カー ブマ ッチ ング法による 水平成層比抵抗構造解析の 自動化

秋田大学工学資源学部研究報告,第 2 3 号 ,2 0 0 2 年1 0 月

論 文

カー ブマ ッチ ング法による 水平成層比抵抗構造解析の 自動化

坂 中伸也 * *

AnAut o ma t i cAna l y s ュ sO ft heCur v eMa t c hi ngMe t hod f o rEl e c t r i cSo undi ngunde rLa ye r e dSt r a t a

Shi n' ya Sakanaka

Abst Tact

Thec ur vemat c hi ngme t hodhast r adi t i onal l yus e df oranal ys i soft her e s i s t i vi t yme t hod,whi c hi ss o‑

c a l l e de l e ct r i cs oundi ng,unde rl a ye r e ds t r at a･I nt hec ur vemat c hi ngme t hod,atf ir s twepl otobs e r vedv a lue s ofappar e ntr e s i s t i vi t yonal ogar i t hmi cc oo r di nat et r ac i ngpaPe r ･The nwea n a lyz et hes ubs ur f ac er e s i s t i vi t y s t r uct ur ewi t hc ompar l ngt heobs e r ve dc ur v ewi t ht het he or e t i c alonef らrt wo‑ l a ye r e ds t r at a.Al t hought he l i ne ar丘l t e rmet hod,whi c hc anc al c ul at et het he or e t i c alc ur vee as i l yandac c ur at e l y,i smor epopul ari nl at e ye ar s,t hec ur vemat c hi ngme t hodhasana dv ant ageofvi s ua li z i ngt heana lys i spr oc e s s .

I nt hi smanus c r i pt ,anaut omat i cana lys i soft hecur vemat c hi ngme t hodf orWe nne re l e c t r odec onf igur at i on i si nt r oduc e d･I nt hepr ogr am c ode,Mar qua r dtme t hod,oneoft henon‑ l i ne arl e as ts quar emet hods ,i sus e dt o f

itt het heor e t i ca l c ur vewi t ht heobs e r ve done.Thee xampl e sofappl yi ngt heaut omat i canal ys i st opr ac t i c a l dat aandi t savai l abi l i t yar es hownaswe l la st hef low c har toft hemet hod.

1 . は じめに

一般 に電 気 探 査 と呼 ばれ る比抵 抗 法 ( r e s i s t i vi t y me t hod) では,水平成層構造の解析に対 して,カー ブマ ッチ ング法 が伝統的 に用い られて きた.近年で は正確 な理論観 測値 を少 ない計算量で算出できる リ ニアフィル タ一法 ( 1 )を用い るのが主流だが,カーブ マ ッチ ング法 は解析手順 を視覚的に確 かめなが ら構 造 を決定で きる とい う利 点がある.

カーブマ ッチ ング法ではまず,両対数方眼 トレー シングペーパー に測定値 である見掛比抵抗の値 をプ ロッ トし,あ らか じめ用意 された水平二層比抵抗構 造 に対す る理論 曲線 に合致 させ なが ら地下の比抵抗

2002 年 8 月 7 日受理

= 秋 田大学 工学 資源 学部地球資源 学科 .De par t me ntor Ear t hSc i e nc eandTe c hnol ogy,Fac ul t yorEngi ne e r l ng andRe s our c eSc i e nc e,Aki t aUni ve r s i t y.

1

構造 を推定 してゆ く. この方法 を コン ピュー タのア ル ゴ リズムで記述 し,自動解析化す ることを試み る.

自動解析 に際 しては,カーブマ ッチ ングで解析 した とき と同様 の解析 シー トをコンピュー タの画面に出 力 し,視覚化す ることが 目標 である.

カーブマ ッチ ング法は,決 め られ た手順 に従 って

解析 をすす めれ ば,誰で も計算機 を使 わな くて も地

下の比抵抗構造 を解析す ることがで きる. この よ う

な手軽 さか ら,秋 田大学工学資源 学部地球資源学科

の応用地球物理学研 究室では,学部 3 年生対象 の電

気探査実習 において ウェンナ一法 にカーブマ ッチ ン

グ法 を利用 している.電気探査 の測定値 を丁寧 に理

論 曲線 に合 わせ てい くには注意力 と時間が必要であ

ることか ら,カーブマ ッチ ング法 の 自動解析 プ ログ

ラムが開発 されれば,教育活動 を よ り円滑 に行 える

とい う利点 もある.

2 坂 中伸也

水平成層比抵抗構造 を 自動解析す る方法 としては, リニア フィル ター を用 い るイ ンバー ジ ョンの方法が す で に確 立 され てい る.正確 な比抵抗構 造 を少 ない 計算 量で算 出す るには リニア フ ィル ター法 は有効で あ るが,カー ブマ ッチ ング法の 自動解析法 を用意 し てお けば,カーブマ ッチ ング法 の結果 を用 いて リニ ア フ ィル ター法のスター トモデル と して用 い る こと もで きるであろ う.

以 下の章では,やや冗長ではあるがまず カーブマ ッ チ ング法 の考 え方 と手順 を述べ る.そ の上 で今 回考 えた 自動解析 の手順 を紹介す る.最後 に ここで紹介 す るカー ブマ ッチ ングの 自動解析 を,学生実験 で得 られ た電気探査のデー タに適用 した ものを紹介す る.

実験 フィール ドは秋 田大学近辺 の手形 山で ある.辛 形 山は標 高 100m 足 らず の台地 で あ るが,その表層 は磯 ･砂 ･泥 よ りな る更新 世の堆積物及 び段丘堆積 物 か らな る.電気探査 を実施 した場所 では確認 でき

ないが,下部 には暗灰 色泥岩 を主 とす る中新世後期 の船川層 の存在が予想 され る ( 2)

2. 標準曲線 によるカー ブマ ッチ ング法 2.1 ウェンナ一法

比抵抗法 は四極 法が主流 だが, 四極 法の うちで も 特 に ウェンナ‑ ( we nne r ) 法, シュランベル ジャー ( sc hl umbe r ge r ) 法,ダイポール ･ダイポール ( di pol e ‑ di pol e )法 とい った電極配置が よ く用い られ る. この 稿 では ウェンナ一法のみ を扱 うが,その電極配置の 概念 図を Fi g. 1 に示す . ウェンナ‑電極配置 におい ては, 4 本 の電極 を等 間隔 α で直線 状 に配 置す るわ けだが, この とき,外側 の電流電極 か ら地 中に交代 直流電流 を流 し,内側 の電位 電極 で電位 差 を測定す る. ウェンナ一法 はその電極配置 が単純 でわか り易 いため,地 下の比抵抗構 造 の垂 直探査 に も水平探査 に も広 く用 い られ てい る. ウェンナ一法 に よる見掛 比抵抗 paの算 出式 は

pa‑2 汀a芋 ‑2打αR

1)

で表す こ とができる. ここで V は電位 電極 間の電位 差,Jは電流電極 か ら流 した電流 である.

2.2 標準 曲線

ウェンナ一法 に よる水 平成層 2 層構 造 に対す る見 掛比抵抗 は,鏡像 法な どを用 い る と以 下の式 で表す

ことがで きる.

∞∑ 血4 + l r Iハr 二dnr

‑2 皇

k l‑

( 1 + 4 n 2 ( d l / a ) 2 ) ^{1 / 2}

‑ n f f ^{1( 1+ n 2 ( d l / a ) 2 ) 1 / 2}

P2 ‑Pl β2 + β1

ここで p l ,P2 は上部第 1 層 目及びその下部 の第 2 層 目の比抵抗 ,d lは第 1 層 の層厚 , aは ウェンナ一法の 電極 間隔である. k l は比抵抗 反射係数 と呼ばれ る.

ここで, pa /pl と a / d ^{l がパ ラメー タ} p2 / pl を介す る従属変数 と独 立変数 であ る とみ な して常用対数 を とる と,式 ( 2 ) はあ る関数 F を用 いて,

l ogpa‑l o gp l ‑ F (l ogall ogd l , 賢) ^{( 4)}

と表す こ とがで きる. この 2 層構 造 に対す る理論 曲 線 をそれ ぞれ のパ ラメー タ p2 / pl につ いて両対数軸 上に描いた ものを標準曲線 または指導 曲線 ( s t a nda r d c ur v e) と呼んでい る･縦軸 に p a /p l ,横軸 に a / d ^l を

とった この標準 曲線 を Fi g.2 に示す.

比抵 抗 法 の垂 直 探 査 で は横 軸 に電 極 間隔 ,縦 軸 に実 際 に測 定 され た見 掛 比抵 抗 を グ ラフにプ ロ ッ

トす るが , これ を以 下 で は実 測 曲線 と呼ぶ こ とに す る･式 ( 4) よ り,大地 の比抵 抗構 造 が 2 層 で あ る 場合 ,電極 間隔 a に対す る見 掛 比抵 抗 pa の実測 曲 線 を標 準 曲線 と同 じス ケール の 両常 用対数 グ ラフ に プ ロ ッ トして平行 移 動 す れ ば ,いずれ かのパ ラ メー タ p2 / pl に対応 す る標 準 曲線 と一 致 す る こ と が わ か る. この とき,Fi g.2で示 され る標 準 曲線 の原 点 ,す な わ ち l ogpa‑l ogp1‑ l og( p a / p l ) ‑ 0 , l ogall og d 1 ‑ l og( a/d l ) ‑ 0の実測 曲線 グラフ上で の位 置 よ り,第 1 層 目の比抵抗 pl , 第 1 層 の層厚 d l

が求 め られ る.

2.3 ハ ンメルの補助曲線

前節 では水平 2 層 構 造 の場 合 につ い て考 えたが, 水平 3 層構 造の場合 で も,上 部 の 2 層 を新 たに第 1 層,第 3 層 を新 たに第 2 層 と見 なせ ば ,2 層構造解析

に用 い る標 準 曲線 を用 いて構 造解 析 が可能 にな る.

3 層構 造 の とき,電極 間隔 を大 き くしてゆ くと,上 部 2 層 中を流れ る電流は層 に平行 に流れ る と見 なせ る. この仮 定に よ り以下の式 を導 くこ とができる.

de p2 pe d l PI pl 賢 ･ 芸 ‑ 1

( 5 )

カーブマ ッチ ング法による水平成層比抵抗構造解析の 自動化

Re s i s t i vi t y p k一 一 一 一 a ‑ ‑ ^斗 ‑ α ^{斗 a ‑ ‑ .‑ 一 斗}

Fi g.1 Sc he mat i cdi agr am ofWe nne re l e c t r odec onf igur at i on･Twoout e re l e ct r ode sC l ,C 2 ar ef ori nj e c t i on ofe l e ct r i cc u汀e nti nt ot hee ar t handt woi nnere l e c t r ode sPl ,P 2 ar ef orme as ur e me ntofe l e ct r i cpot e nt i a l . Eac hs paci ngoft hee l e c t r ode shast hes amei nt e r va l a･

pa/pl ‑∞

0. 1 1 1 0

a / d ^l

0 0 0 5 2 1 5 2iZ' 2 1 1 0 0 0 5 1 2 5 / / / / HU H 日 日 r:

Fi g.2 St andar dc ur vef わrWe nne re l e c t r ode c o n f igur at i on( af t e rSas s a etal . ,1993( 2 ) ) .

ここで peは第 1 層 と第 2 層 を 1 つの一様 な層 とみな した ときの等価 な比抵抗 ,d e はその等価層の厚 さ ( 第 1 層の厚 さ+第 2 層 の厚 さ)である･式 ( 5 ) について p 2 / pl をパ ラメー タ として pe / pl と d e / d l の関係 を両 対数 グラフに描 いた ものが Fi g. 3 である. この曲線 をハ ンメル ( Humme l ) の補助 曲線 と呼んでいる.

このよ うに大地の比抵抗構造が水平 3 層構造であ る場合で も,まず 実 測 曲線上の電極間隔が小 さな部 分 を 2層構造用 の標 準 曲線 に合致 させ ,続いて第 3 層 を新たな第 2 層 と見な して標準 曲線 に合致 させれ

p 2/pl‑ ∞ ヽ

t q

0. 1 1 1 0

de /dl

0 0 0 2 5 1 2 5 0 0 0 ′/ / / / / 5 2 1 5 2 1 1 1 1 1 1

Fi g･ 3 Humme l ' sauxi l i ar y c ur ve ( af t e r sas s a etaL . ,1 993( 2 ) ) .

3

ば よい.第 3 層 を標 準曲線 に合致 させ るときの新た な原 点 ( l og( p a / pl ) ‑ 0 , l og( a / dl ) ‑ 0) は,上部 2 層解析時の原点か らのびた補助 曲線 上 にあることに なる.

水平 4 層構造以上の多層構造 の ときで も上部のい

くつかの層 をま とめて‑様 な比抵抗 を持つ 1 枚の層

とみな して順次解析 して ゆ くことがで きる.以上の

よ うに標準 曲線 に実測 曲線 を合致 させ て構造を決定

す る解析法 がカー ブマ ッチ ン グ法 ^{( cur vemat c hi ng}

met hod) である. ウェンナ一法や シュランベルジャー

法 な ど, よく用い られ る電極配 置 については, さま

4 _{坂 中伸 也}

ざま な場合 の理 論 曲線 が用意 され てい る.

2.4 カー ブマ ッチ ング法 の 手順

以 下に ウェ ンナ一 法 にお け るカー ブ マ ッチ ン グ法 の手順 の一例 を具体 的 に示 してお く.

1 . 実測 曲線 ( 横 軸 a,縦 軸 pa) を標 準 曲線 と同 じスケール の 両対 数 方 眼紙 に描 く.

2 . 実測 曲線 の初 めの部 分 ( 電 極 間隔 α の小 さい 部分 ) に合 致す る標 準 曲線 を見 つ け,一 致 さ せ た部分 を実線 で なぞ る.

3. この ときの標 準 曲線 グラフ上のの原点 ( p a/ pl ‑ 1 , a / h ‑ 1 の交点)を実測 曲線 グラフ上に ㊦0 1

と記入す る.

4. ‑致 した標 準 曲線 の p2 / pl の値 が実測 の p2 / p l.

5. 0 0 ¹ の縦 軸 の値 を読 み 取 る｡ この値 が 比抵 抗 β1 を与 え る｡

6. 0 0 1 の横 軸 の値 を読 み 取 る｡ この値 が 一層 目の厚 さ ん1を与 え る

7. p2 /pl ,Pl ,hlを 読 み 取 っ た ら,p2 / plの 値 か ら p2を計 算 す る .図 中 に p2 / p1‑ 00 , p 1 ‑ 00 nm,h1‑ 00m ,p2 ‑ 00nm と 記入す る.

8. 実測 曲線 グ ラフ上 の ⑳0 1 を補 助 曲線 の原 点 に重ね る.

9. 手順 4 で 得 られ た p2 / pl に対応 す る補 助 曲線 ( 原 点移 動 曲線 ) を点線 で写 し取 る.

1 0. 実測 曲線 を再 び標 準 曲線 に重 ね ,標 準 曲線 の 原 点 が手順 9. で写 し取 った補 助 曲線 上 に乗 る よ うに平行移 動 させ て, 実測 曲線 の次 の部分 と一 致 す る標 準 曲線 を探 し,一 致部分 を実線 で なぞ る.

l l . 手順 1 0 . の場合 の標 準 曲線 上の原 点 を 00 2 と 図 中に記入 .

1 2. p2 / pl( 実 は p3 / pe ) ,Pe ,he ( 実 は h2 )を読み 取 り,p3を計 算 す る ･図 中 に p3 / pe ‑ ○ ○ , pe ‑ 000 m,h e ‑ h2 ‑ 00m ,p3 = 000m

と記入 す る.

1 3. 4 層構 造 以上 の場 合 は ,手順 1 2. か ら再び 手順 8. に戻 って 同 じ手 順 を繰 り返 す .た だ し,捕 助 曲線 で読 み 取 った p2 /pl は , p3 / pe,P4 / p / e, p 5 / p / e /な どと読み か え る｡ 0 0 1 , 0 ⁰² も順 に

0 0 2 ,0 0 3 な どと書 きか え る.

1 4 . 最後 に実測 曲線 の下 ( 上で もよい)に水平成層 比抵抗構造 を示す柱状 図風 の絵 を書 き入れ る.

カー ブマ ッチ ング法 で解 析 した実測 曲線 の グラフの 例 が Fi gs.5‑ 7 の上部 で あ る.

この章の前半 に表れ た式 ( 2 ) や式 ( 5 ) の導 出につい ては例 えば,佐 々ほか ( 3) を参 照す る とよい.

3. カー ブマ ッチ ング法 の 自動解析

3.1 Marquardt 法

測 定デー タか ら実測 曲線 を作 成 した ら, 実測 曲線 の部分 部分 に最 適 な標 準 曲線 を ｢自動 的 に ｣ あては めて ゆ くの が 目標 で あ るが, そ の あて は めのた めに ここでは Ma r qua r dt 法 ( 4) , ( 5) を用いた.Ma r qua r dt 法 は非線 形最 小 二乗 法 の一 種 で あ る.標 準 曲線 の 関数 型 は,式 ( 2 ) か らも明か な よ うに非線 形 で ある.

Mar qua r dt 法 は,単純 な最急 降下法や Ne wt on 法 と は違 い,最適解 に近 づ くにつれ ,決 定すべ きパ ラメー タの変化 量 を調 整 す る方 法 で あ る. この方 法 は,残 差 が発 散 した りロー カル ミニマ ム に陥 る こ とに比較 的 強い と言 われ て い る.Mar qua r dt 法 の他 に も,最 急 降 下法 に似 た方 法 も試 してみ たが,最適解 が見つ

か りに くか った り,計算 時 間 が かか った りした.

ここで は実測 申線 に最 も よ く合 致す る標 準 曲線 を 見つ け るた め に決 定す べ きパ ラメー タは式 ( 2 ) や 式 ( 4) よ り, k ^{l (} また は p2 / pl ) ,l o g d l ,l o gpl の 3 つ で あ る.多層構 造 を考 え る ときは , もち ろん これ らの パ ラメー タは等価 層 を考 慮 に入 れ た ときの もの にな る･比抵抗反 射係 数 k l につ い ては式 ( 3)か らもわか る よ うに p2 / pl の 関数 で あ る.手 動 の カー ブマ ッチ ング法 では い くつ か の p 2 / pl につ い てそれ ぞれ の標 準 曲線 が用 意 され て い るが, ここで紹 介す る 自動 の カー ブマ ッチ ン グ法 で は ,連 続 的 な p2 / pl か ら最適 値 を さがす こ とにす る. もち ろん 自動 のカー ブマ ッ チ ン グ法 にお い て も手動 の カー ブマ ッチ ング法 と同 様 にあ る決 め られ た離 散 的 な p2 / pl または k lの最適 値 を決 定す るこ とはアル ゴ リズ ム上可能 であ る.

実測 曲線 上 で, は じめの標 準 曲線 との合致部 分 を 見つ け る場 合 ,最 適 化 す るパ ラメー タは上記 の kl , l ogdl ,l ogpl の 3 つ で あ るが,2 番 目以 降の合致部分

を見つ け る場合 ,最適 化 す べ きパ ラメー タは 2 つ に な る･ なぜ な らば,式 ( 5)に よって d l と β 1が独 立で はな くなるか らであ る. ここで は ,2 番 目以降の標 準 曲線 の合致部分 を見つ け る とき,k l,l ogd l だけを最 適化 し ,l ogp1 に対 して は式 ( 5) を用 いて決定す る.

Mar quar dt 法 にお い て はパ ラ メー タの初期値 をあ

らか じめ与 える必 要 が あ る. このパ ラメー タの初期

値 は場合 に よって は最終 的 なパ ラメー タの値 に影響

し うる.で き るだ け最適値 に近 い値 を初期値 と して

設 定 したい わけだが,ここでは初期値 として k l= 0 ,

d l を 2 番 目に小 さな電極 間隔 α の値 ,β1 をその ｡に

カーブマ ッチ ング法に よる水平成層比抵抗構造解析 の 自動化

対応す る観 測 され た見掛 比抵抗 伽 とした.

それぞれ のパ ラメー タを繰 り返 し調整変更 しなが ら最適値 を求 め るわ けだが,その繰 り返 しの最大値 MAXIT = 1 0 0と し,繰 り返 し回数 が この回数 を超 え て も最適値 が見つか らない場合,計算 を打 ちきるこ とに した.また,それ ぞれ のパ ラメー タの変化率が EPSILON = 1 0‑ 7 以内 にな った とき,最適値 が求 め ら れた とみな し,その ときの残差 を最小の残差 とした.

この問題 の場合 ,実数 空 間で残差 を最小 にす る方 法 と,対 数 空 間 で残 差 を最 小 にす る方 法 が考 え ら れ るが,対数 空 間 中で残 差 を最 小 にす る よ うにパ

ラメー タを決定す る ことにす る.す なわち,見掛比 抵抗 ,電極 間隔 ともに常用対数 を とった値 に対 して Ma r quar dt 法 を適用す る.

なお,標 準 曲線 は式 ( 2 ) よ り,無限級数 であ らわ され る･式 ( 2 ) で n を大 き く していった とき,その

n に対応す る項 が 1 0‑ 10 を下 まわ る と,それ よ り大 きな n に対す る項 を打 ち切 った.

3.2 最適 な標 準曲線 を選 び出す基準

今 ,実測 曲線 のそれぞれ の ある一部分 に対 して標 準曲線 をあては めるわけで あ るが,あてはめに用い る観 測デー タの個 数 が決 ま ってい るわ けではない.

単に実測 曲線 と標 準 曲線 の残 差二乗和 が小 さい とい う基準で最適 なパ ラメー タを選び 出す とすれば,用 い るデー タ数 が少 なけれ ば少 ないほ ど残差二乗和は 小 さくなる. ここでは, もちろん残差 が小 さくなる ことも要請 され るが,で きるだけ多 くの個数のデー タに対 して標 準 曲線 をあてはめたい とい う要請 もあ る. ここでは

merrOr = ( 6 )

を最適 な標 準 曲線 を求 め るた めの基準値 として採用 す る.nはあて はめに用 いたデー タ数 であ る. この 式は平均誤差 を求 め る式 その ものであ るが,残差二 乗和の平均 が同 じで あれ ば,あてはめに用 いたデー

タ数の多い もの を採 用す ることになる.

あてはめに用 い る最低 限のデー タ数 を nmi nf i tと してあ らか じめ与 えるこ とに した.最初 にあてはめ る標準曲線 に対 しては nmi nfi t= 3 , 2 番 目以降 に対 しては nmi nfi t =4 とした.最初 にあてはめる標準 曲線については,電極 間隔の小 さな部分であるので 地表 もしくは電極表 面の不均質 に影響 されやす く見 掛比抵抗 が不安 定 な ため, nmi nfi t の値 を小 さく し

てあてはめやす くした.

5

3.3 カー ブマ ッチ ング法の 自動解析手順 今回考 えた 自動解析 手順 を以下 に示す .

1 . デー タフ ァイル か ら観 測 デ ー タ を読み込 む.

読み こむべ きデー タは, npts :デー タセ ッ トの数

aw(i) :ウェンナ一法の電極 間隔 ap(i) :観測 され た見掛比抵抗

( i ‑ 1, 2 , … , npts)

2. 実測 曲線 ( β ｡ ‑ α 両対数 曲線 ) を画 面上 にプ ロッ ト.

3. あて は め に用 い る最初 のデ ー タ番 号 is tart を決 める.は じめの標 準 曲線 をあてはめ る場 合 , is tar t = 1 と し, 2 番 目以 降の標 準 曲線 をあてはめ始 める場合 はあてはめにまだ用い ていない最初 のデー タ番号 を istart とす る.

また, あてはめに用い る最低 限のデー タ数 nmi nfi tを決 め る.は じめの標 準 曲線 の場合 nmi nfi t= 3 とし, 2 番 目以降にあてはめる標 準 曲線 の場合 nminfi t =4 とす る.

4. 標 準 曲線 のあては めに用 い るデー タ数 n ,最 適値 を求めるべ きパ ラメー タ k l,l og d l ,l og pl

の初期値 を設 定す る.デー タ数 n の初期値 は nmi nfi t であ る.2 番 目以 降 の標 準 曲線 をあ てはめる場合 ,l og pl をパ ラメー タ として用い ない ので この初期値 を設 定す る必要 はない.

これ らのデー タ設 定は Mar quar dt 法 のための ものであ る.

5. Mar qua r dt 法により最適 なパ ラメータ k l, l ogdl , l og P1 を決定 し,それ らのパ ラメー タに対 して 式 ( 6 ) で定義 され る mer ror の値 を算 出す る.

6. あて は め に用 い るデ ー タ数 n を変化 させ な が ら merror を算 出す る うち,最小 の merror を mi nerr とす る.その ときのデ ー タ数 n を mi nn とす る.

7. m の値 が mi nn+ 3 と同 じに なれ ば次 の手順 8 .に進 む . これ は最 小 の merror す な わ ち mi nerr が現れてか ら n を順 に 3 だけ大 きくし て も新 たな最小値 mi nerr が現れ ない ときで ある ･n≧mi nn+3 が満 た され てない とき,あ てはめに用 い るデー タ数 n を 1 つ増や し,辛 順 4. に戻 る.

8. あて は め に用 い る最 初 のデ ー タ番 号 istart

を変化 させ なが ら mi nerr を算 出す る うち最

小 の mi nerr を mi nferr とす る.そ の ときの

i s tartを mi ns tart とす る.

6 ^{坂 中伸也}

9. istar tの値 が mi nstart+3 と同 じになれ ば次 の手順 1 0 .に進 む . これ は最 小 の mi nerr す なわ ち mi nferr が現 れ て か ら istar tを順 に 3 だ け大 き く して も新 た な最 小値 mi nferr が 現れ ない ときで あ る･ istart≧minstart+3 が満 た され てない とき, あては めに用 い る最 初 のデー タ番 号 is tar tを 1 つ増や し,手順 3.

に戻 る.

1 0. この時点で 目下の標準曲線 に対 して , mi nstar t, それ に対応 す る mi nn 及 び最適 なパ ラメー タ がそれ ぞれ決 まってい る. これ らの情報 か ら, 最適 な標 準 曲線 を実測 曲線 上 に図示 す る.標 準 曲線 を措 く範 囲は あて はめに用 いたデー タ の周辺 とす る.

ll. あてはめに使 うべ きデー タが残 っていないか, さ らな る最適 な標 準 曲線 が見つ か らなか った 場合 次 の手順 に進 む .新 たな標 準 曲線 が あて は め可能 な らば手順 3. に戻 る.

1 2. この時 点で層 の数及 びそれ ぞれ の層 厚 ,それ ぞれ の層 内の比抵抗 値 が求 まってい る.それ ぞれ の値 を出力す る とともに,実測 曲線 の上 方 に柱状図風 の比抵抗構 造 図 を描 く.

以上 の 自動解 析手順 の フロー チ ャー トを Fi g.4 に示 した.

最 後 の手順 1 2. では手動 のカー ブマ ッチ ングの表 記 と合 わせ るた め に層 境 界 の深 さ di ( i ‑ 1, 2 , …)を hi ( i ‑ 1, 2 , . . . )と して出力 した･

プ ログラムは W i ndows 版 vi s ualBas i c6. 0Le ar nung Edi t i on 上 で作 成 した . 自動 解 析 の た め の計算 時 間 は, MAXIT の大 き さや解 析 に用 い るデ ー タに よって 差が あるが, pe nt i um Ⅲ 750MHz のパ ソコンで 2‑ 6 分程度 で あ る.

4. カー ブマ ッチ ング法の 自動解析 の適 用例 前 章で紹介 したカー ブマ ッチ ング法 の 自動解析 プ ログラムの実行結果 を 3 例紹介す る. Fi gs .5‑ 7 に その結果 を示 した.それ ぞれ の図の上部 には両対数 トレー シ ン グペ ー パ ー を用 い た 手 動 に よ るカ ー ブ マ ッチ ン グ法 の解 析結 果 ,下部 には 自動解析 に よる 結果 を示 した.

手動 に よるカー ブマ ッチ ング法 は,実測 曲線 の ど の部分 に どの標 準 曲線 をあわせ るのか とい う部分 で ある程度個人差 が生 まれ る.解 析結果 も層境界 まで の深 さ,それ ぞれ の層 内にお け る比抵 抗値 に も個人 差 が出 るのが普通 で あ る. しか し地下構造 の定性的 な解釈 は誰 が解析 して も差 異 は ない.解析結果 にそ

測定データ読み込み npts, aw( i), ap( i)

( i三 言 1 , 2 ,‥ ‥ npts) 両 対 数 軸 グ ラ フに 実 測 値 を プ ロ ッ ト

新たな標準曲線の あて は め

i s t a r t = i s t a rt+1

変数

npts:データセ ッ ト数 a w ( i): Y e n n e r 法のt極間隅 ap( i ):観測 された見浄比抵抗 istar亡 ;あてはめを始めるデータ番号

∩: あてはめに用いるデータセッ ト数

iStartの決 定

nの 決 定 ( 初 期 値 n=nmi nfit) パ ラ メー タ kl ,dl , 1の 初 期値決

Ma r q u∬ dt 法

与 え られ た データセッ ト歓 n に対 して 最 適 な パ ラ メー タ れ れ plを算出 平 均 誤 差 me rror の算出

最小のm e r r o rを 与 える n を m⊥nn とし,

そのと きのm e r r o r を minerr とす る

n≧m i n n + 3

最小のm e n e r rを与えるi s t a r tをT n instart とし

そのと きのm e n e r rをm i n f e r rと する . i s t a r t≧m i n s t a r t + 3

標準曲線のプロ ット

次の標準曲線のあてはめが可能か

柱状図J L の 比抵抗構造出力

Fi g.4 Fl o wc ha r to ft hea ut omat i ca na l ys i s o rt hec ur v ema t c hi ngme t hod･Se eDe t a i l si n t hema nus c r i pt .

の よ うな若 干 の任 意性 が あ る こ とを考 える と, Fi gs.

5‑ 7 の手動解 析 の結果 と自動解 析 の結果 はほぼ等 しい と見て よいだろ う ･⑳ の数 が層構 造の数,その 位 置 が層境 界 の深 さと等価 な比抵 抗値 を示す こ とか ら, ⑳ の分布 を比べれ ば解析 結果 が似通 ってい るか ど うか一 目瞭然 であ る.

なお, 自動解析 の出力結果 には煩雑 を避 けるため に補助 曲線 は図示 してい ない .また, 自動解析 の結 果 を示 した柱 状 図風 の絵 の 中の数 値 は小数点以 下 2 桁 で表示す るよ うに した .

以 下で はそれ ぞれ の例 ( Exampl eA 〜 C) を概観 してみ る.

4.1 Exampl eA

Exampl eA についての解析結果 は Fi g.5 に示 した.

手動 に よるカー ブマ ッチ ン グは筆者 自身が 自動解

カーブマ ッチ ング法による水平成層比抵抗構造解析の 自動化

密穐郷靖 久 叫 t 的な ち

○ I ヽ { > > l ヽ " . ′ ∧ l

一 ､ 古 淵モ 持H

生 霊左 記 持鉛 ≡ i 葦 … ･ ヽ > }〜 ＼ ヽヽ ､ 4 十 ､ 号 1 モ ､ 虫 蕃 事 . 当 ､ モ ! ､ ‑ヽ ○ ■ 秦 古 ∨

■ 川

､ ､ 6 . と 泌ミ 〜 洋書 i

■ ■ .

ヽ ､ヽ

書 t と 生肇 ､ ､ ､ バ 1 i { リ L 〜 L 隻 > I t ､ ‑

･ ､t ′ ヽ ヽ ヽ } {モ ヽ

i≠ ー I , ヽ ー k i > i i こ ヾ

墨等 ､ ‡ † モ モ 邑 ヽ i 十 ヽ ､ ヽ . ヾ ヽ ,

> + ミ書 ､ ミ ミ ≧ ミ 諾 ヤ ; ? ,' i V史 i ､ 故 ､ 着

J こ ､ ≠､l ^ r L . 1ヽ a 報累

､ h 巻 . . ぷ 瀧･ { ､ 与 … : 墨

‑ I L 3 l蛍麗胃 章 ′ ■ ∧ ヽ } 訣 ､ 等…… J < v X 描 ヽ ′ ､､ 那 ≠ ミ ≒ ､ き ､ 5 ヽ ヽ i 描 ' ノ ‑ 胃

褒 I , ･ 三 ミ ､ ､ ミ ､ ′!′ uf 筆 . ^ " 壬 ≒ " } >′ { ′ ヽ㌔ ′ { r . t t I 肌 ､ . ‑ : ヾ V ヽ J ○ i I ･ 葦 } ､ ヽ ､ ､ モ ! 照 喜 〜 / ー H ､､ L , : ､ ヽ ､ 虫 t … l 葦 < * 弓 き Y .^ 描拷 < T i l ' i 帯t . ■ 粁較 ､ ヽ ､ 八 1 ヽ , 丁 > 〇 ま ㌣ と幣 追 V 蘇煤 i ^｣ <ミ ^{i i L i i i} 七 ､} ^{n L i L l} ､ ^{､ 当} >､く + "ii J L " ‡ 〉 i / ^ < ヽ ○ キ J < L t 捕 汰 納 与 蔓 抽 Li > こ ヽ ､ i i .､ ● ミ . モ

0. I I l O

h 0 1 . 2 ‑ 9 m ^{h g . O : 9m h B 3 . 06 m} 0 1 =r h o 1 = ^{r h o 2 = r ho3 ‑ ̲} .

8 8 . 1 38 0 9 . 5 8 ^{1 2 6 . 4 3 4. 42}

Ap p ar e nt F ksi st i vi t y . r h o . 月山 1 m‑m)

0 … さ. . 良 ∫ :

‑ ￠

l I

J

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

E l

e

t r o d e ^S

i n g . a

r h o l= 5 8 8 . 1 2 85 559 25 587o hm‑n hl = 0 . 2 9 0 4 1 6 67 399 1 8 41r n r h o 2≡8 0 9. 57 6 21 02 65 5 07o hm‑r n r ho 3/r h oo≡0. 15 8 9 7 81 5 4 2 4 8 5 7 9 r h o ̲ e = 7 5 5. 2 9 5242 8 4 62 4 5o hm‑n h2 = 6 . 0 8 9 6 3 30 19 91 8 58r n r h o 3 = ^{12 6 . 4 3 4 5 697 90 37 lo hr T t ‑r n}

r h o 4/r h oe≡2. 72 00 2 88 0 14 3 28 2E ‑ 0 2 r ho ̲ e :1 6 2 . 5 3 6747 7 3 04 4 lo hm‑m h3≡2 3 . 0 57 7 3 0 63 87 4 9 4∩

r ho 4≡4. 4 2 1 0 4 6 351 18 0 19o hm一m

Fi g･5 Exampl eA.Uppe r :Ther e s ul toft hemanualc ur vemat c hi ngme t hod.Lowe r :TheComput ers c r e e n a氏e rt heaut omat i canal ys i soft hec ur vemat hi ngmet hodwasdone.

7

8

一･ ･ 車 奉 .軌 ･ I.‑ 二 也 申′‑ 中 坂

m 〜,､ミ ÷ は 苦 竹妻 軒 ミ ∫ i 手 / き 書 ; … ､ 識 i + . )i l ･ L ､ ヽ ミ H 守 釜i 巨 , 代 と < ､ や ､ T i､ 求 詫 i 育 半 裸

､< モ ヾ ､

等 控

ヽ 一 ヽ I > } ヽ ヽ } ヽ鮮

i . . 3 :､ J {= < ､ 講 >

‡ 〉 ヽ ､ヽ < ヽ ､ 享 ､ S+ i + + ^ 享 I ; 詔 ､ ∧ l

､ ヽヽ ゝ ヾ

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〜

〜 ､ ､ ､ ー 虫 ､ . 小 ? 汰 " ミ ミ と Y

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^ ミ 怒献‑ L ' + } ′ ヽ ○ ′ 3 : i ヽ ●ヽ p ‑ 勲

さき .謹¥､ , ､ L ^を

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I

･葺. L . U< 持､ 畢 ‑ x . i : ̲ よ ､ F , " . 至 言 ≡ 宗 旨 ≡ き ､ 技芸 ､ ､

ミ 〉 / く ノJド : や ヽ I I ; ( . 〜 ､ 方､

≒ 圭一 ､ !

I○:.X

< ､､ ー { ヽ i I i +

誉J ; ､ L 蔓 誘 惑 千 i i ミ 享 i I . i L ^{: i}

晶 出

∴ + 至 言 . ､ Ii i i . ! く i 〜 , 迂 V 簿 . 二 心^ ･ ､ せ >

ol ∫ 10

0 . 35m 4 . 9 7m 4 1 . 3 0m

呂 も 晶 2 r h 3 ! 1 8 . ; 3 r h ⁸ 0 ⁵ 2 . 0 = 0 r h 1 o 8 3 . 1 = 7

A, , a , en.Re s i s . i vi t 飽 ̲ a bh m一m)

l : I )

￠=

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

E bc t r o d eSp a c l ne . 8 ( r n )

t 9

亀 穐 瑚 簡 c u h) 卿

d o ー 三 成 rh rh hl rh

r h o l ≡0 , 2 2 3 2 92 4 4 35 8 9 51 4

≡1 6 0 5. 217 5 3 05 84 7 1o hm一m 0 . 3 5 4 2 4 02 6 4 8 4 8 0 7 4m

≡3 5 8. 4 329 4 4 89 69 86 o hr 7 1 ‑m r h o 3/r h oeI0 22 4 0 0 4 8 4 97 3 65 9 g r h o ̲ e :3 7 9 . 45 3 0 1 11 9 9 4 3 9o hm一m h 2 = 4 . 96 6 8 3 09 2 1 9 2 90 9r T I r h o 3 = 8 4 . 9 9 931 4 7 5 5 8 2 9 9o hm‑m r h o 4/r h o e = 0 . 1 0 8 47 5 2 4 37 7 6 0 0 5 r ho e = 9 5. 7 48 8 9 8 6 3 22 1 5 1o hm一m h 3;4 1 . 2 9 6 872 1 1 5 2 7 04∩

r h o 4≡1 0 . 1 6 943 4 6 3 2 86 1 5ohm一m

Fi g,6 Exampl eB･Seet hec apt i onofFi g･5

カーブマ ッチ ング法に よる水平成層比抵抗構造解析 の 自動化

鞍… 主 こ ' r : 圭 . ン . ( . . ミ ミ ≒ ! = 撃

■ ご さ { ‑ . . . ' 宗 . I i ; " Y ' 辛 苦 . T ヽ . リ f l . > . ‑ キ 〜ヨ : ; 〜

キ … : て : 汗 ≡ 鼓 ‑ く / ( ̲ 七 ≠ : :

i OO 驚 蝕 喝 博 免れ ) 桝 O

+ 0 , 6 ^0m l 1 ^4m 1 6 . 5 9 m r h ₄ o 9 1 3 . =r 8 02 h o 9 1 2 . 0 こr 84 h o 7 2 8 . 4 = 4 ^{r h 3 o 5 3 . 0 = 1}

A p p a r e n tR B Sぬt i vi t y . r h o j bhm一m)

l 0

■ … l ■ ■ ■ I . ㌔

( " 1

0 . 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 E l e c t r o d eS p a ci n g . a( m )

r h o l≡4 9 3 . 8 0 3 8 0 1 0 1 3 2 8 3o hm一m h l≡0 . 6 0 1 8 2 1 0 5 9 8 4 1 3 1 8r n r h o 2=2 9 2 . 0 8 1 7 1 4 5 7 2 2 4 2o hm‑n r h o 3/r h oe≡1 . 4 0 6 1 8 4 3 0 9 3 9 6 7 3 r h o ̲ e=3 ね 2 4 1 1 9 9 2 1 6 4 4 8o hn 卜m h 2≡1 , 7 3 6 8 8 6 6 3 6 0 8 3 9 lm r h c I 3≡4 7 8 . 4 4 1 8 3 5 7 4 8 4 9 6o hm‑n r h o 4/r h oe = 0 . 0 7 6 2 8 3 2 8 3 0 7 9 6 5 8 r h o ̲ e= 4 6 8 . 9 2 8 7 1 2 5 0 3 9 8 6o h m‑r n h 3≡1 6 . 5 9 2 5 4 7 0 8 9 0 4 4m r h o 4≡3 5 . 0 0 8 5 8 8 8 8 9 3 2 4 6o hm‑n

Fi g.7 Exampl e C ･Seet hecapt i onofFi g･5･

9

1 0 坂 中伸也

折の結果 を参考にせず に解析 した ものであ る. 自動 解析 の結果 を参考 にせ ず に手動解 析 を した こ とは Exa mpl eB,C において も同様 である.手動解析 では α= 0. 2 m の 1番 目のデー タをカーブマ ッチ ングに用 いたが, 自動解析 では α=0. 3m の 2 番 目のデー タか らカーブマ ッチ ングを始 めてい る. 自動解析 で 1 番 目のデー タを用いて も残差 を非常 に小 さくできるが, その ときの ◎ の位置は横軸 の 0. 1 の部分 よ りず っと 左側 にきて しま う. これ は第 1 層 の層厚 が 1 0 c m 以 下であることを示す .通常,地表 に近い部分は水平 方向にも不均質であることが多 く,あま りにも薄い 第 1 層は解析結果 として無意味であると考 えられ る.

自動解析 では第 1 層 の厚 さが 0. 1 m 以下にな らないよ うにプログラム コー ドを組 んだ.そのために 自動解 析では 1 番 目のデー タか ら解析 を始めた ときに式 ( 6 ) で表 され る最適 な標準 曲線 を選び出す ための基準値 をそれほ ど小 さくできなかった と考 え られ る.

次 に 2 番 目の標 準 曲線 のマ ッチ ングについてであ るが, 自動解 析 の結果 で は か な り多 くのデー タに 対 して標 準曲線 を合 わ してい る. これ は式 ( 6 ) の基 準によって,多 くのデー タを用 いた ものが最適解 に な りやす い性質が表れ た もの と考 え られ る.例 えば α= 1. 2 m 付近 で標準 曲線 が実測値 か ら少 しずれてい るところに着 目しよ う. この部分 については,手動 でカーブマ ッチ ング した ときは もっ と実測値 とのず れが小 さくな るよ うに合わせ る人が多い と予想 され る. この場合 ,手動解析では標 準 曲線 と実測値 のず れ を小 さくす ることに重点 を置 き, 自動解析 ではで きるだけ多 くの実測値 に対 して標 準 曲線 をあてはめ ることに重点 を置いた形 になってい る. この手動解 析 と自動解析 の違 いについて,いずれ の結果 が妥 当 であるかの判断は難 しい ところで, どち らが正 しい 結果 であ る と結論付 ける こ とはで きない. しか し,

ともか くこの Exampl eA については,最終的な解析 結果は手動 に よるもの と自動 に よるものの解析結果 に大 きな違いはな く, よく一致 してい る.

4.2 Exampl eB

Exa mpl eB の結果 は Fi g.6に示 した.Exa mpl eB について も,最終結果 の数値 には若干 の違 いがある が,手動 によるもの と自動 によるものの結果 は一致 している と言 って よいだろ う.Exampl eB について は手動によるもの も自動 に よるもの も α=0. 5m の第 1 番 目のデータを無視 して,α=0. 7 m の 2 番 目のデー タか らカー ブマ ッチ ングを始 めてい る.α= 5 5 m, α= 70 m の最後の 2 つ のデー タについては合わせ ら れ る標準 曲線 が見つ け られ なかった ことになる.水

平成層構造 を仮定 した ときは, このよ うに急激 に比 抵抗 が下が ることは理論 的にあ り得ない.下層部 に 比抵抗が O の物質が あった と して もこれ ほ ど急激 に 比抵抗が下が らない ことは明 白である.可能性 とし ては電気探査器 が十分 な電流 を地 中に流せ なか った ために,電極 間隔の大 きな ところでは十分な電位差 を電位電極で感知で きなかった ことが考 え られ る.

4.3 Exampl eC

Exa mpl eC につ い て の解 析 結 果 は Fi g.7に示 し た.Exa mpl eA,B につ い て は手動解 析 の結果 と自 動解析の結果 は どち らも 4 層構造であったが. この Exa mpl eC については,手動 に よる結果が 5 層構造,

自動 による結果が ⁴ 層構 造で ある. この違いの原因 は,Exa mpl eA の部分で も述べた よ うに, 自動解析 では第 1 層 の層厚 が 1 0c m よ りも小 さくな らない と い う制限が加 わってい るか らであろ う.実際,手動 解析 の結果 に よる第 1 層 の深 さは約 7c m である.

ここでは手動解析 による第 1 層 と第 2 層の等価層 が 自動解析 に よる第 1 層 に対応す ると考 えれ ば,ほ ぼ似通 った解析結果 を出 している と言 ってよいので はないだ ろ うか･最後 の 3つ の O の位 置 を手動解 析の結果 に よるもの と自動解析の結果 によるもの と

を比べ るとほぼ同 じよ うな位 置にある.

この Exa mpl eC にお い て も α‑ 60m 付近の電極 間隔が大 きな部分 については うま く合 う標準曲線 を 見つ け られていない. これ も何 らかの原因の誤差で デー タがゆがめ られてい ると考 え られ る.

4. 4 解析例 と実際の地下構造 について

手形 山山頂付近で得 られ た電気探査のデータにつ いて,解析例 を 3 例挙げたが,実際の地下構造 との 関連 について最低限の コメン トしてお く.なお,辛 形 山では多 くの測点での電気探査 のデー タが蓄積 さ れつつあ り,地下構造の詳細 な解釈 と地質 との対比 については別稿 にゆず りたい.

ここでは多 くの解析例 を挙 げたわ けではないが, 少な くともそれ ぞれ の解析結果 には差異が認 め られ

る.Exa mpl eA 〜 C のそれぞれ の観測点は 1 00m と は離れていないが,電極 系の 中心付近の地形は平坦 であった り斜 面上 であった りとい った違いがあ る.

また測定点付近 は旧手形 山スキー場であるため,表 土が外部か ら持 ち こまれ ていた り,道路の部分 には 砂利 が敷 かれ ていた りす る. この よ うな ことか ら, 手形 山 とい う同 じフィール ド内で解析結果が違 うこ

とは特に不思議 な ことではない.

この稿 で と り挙げたカーブマ ッチ ング法は水平成

層比抵抗構造 を仮定 してい る. しか し手形山の よ う

秋田大学工学資源学部研究報告,第2 3号,2 002年1 0月

に地形が平坦で なか った り表層 の地質が均質でない 測定点においては,実際の地下構造が水平成層構造か らある程度ずれ てい る もの と考 え られ る.Exampl e A 〜 C の測定点間の水平距離が近いにもかかわ らず, その解析結果が 実際 に違 うとい うことは,手形 山付 近 の地下構造 が 2 次元的 も しくは 3 次元的であるこ

とを物語 ってい る.

1 次元水平成 層構 造 を解析す るためのカーブマ ッ チ ング法や リニ ア フ ィル ター法で得 られ た解析結果 は実際の地下構 造 と完全 に一致す るわけではないが, 地下構造のおお よその傾 向を示す ことに適 してい る.

それぞれの測 定点 にお け る 1 次元モデル を計算 して お くことは, 2 次元以 上 の詳 細 な地下構 造モデル を 構築 してい くた めの作業 の一部 として も有用である.

ともあれ, この稿 の主題 は,与 え られ た実測値 に対 して最適 な水平成層構 造モデル を与 える自動解析 手 法 を考 えることで あ る.

5. 終わ りに

最後 に実際の観 測デー タにカーブマ ッチ ング方 の 自動解析 を適用 したが,思いのほか うま く解析 で き た と感 じてい る.まだ多 くのデー タを解析 した実績 がないため,デ ー タセ ッ トに よっては うま く解析 で きない もの もあ る可能性 があ る.

解析例 として挙 げた ものは比較的観 測誤差の少 な いデー タで あるが,理論値 ( 標 準 曲線) か ら大 き く 外れた異常値 が実測値 に含 まれ ることもある. この よ うな異常値 を含 むデー タに対 して も, 自動的 に異 常値 を除去 して妥 当な解析結果 が出せ るよ うにプ ロ グラムを改 良す る必要 が あるか も しれ ない.

また,Ma r qua r dt 法 にお け る最 大繰 り返 し計算 の 回数 HA XI T や最適 なパ ラメー タが得 られ た と判断す るためのその変化率 EPSILOⅣ の値 を変 えると少 し解 析結果が違 うこ とが あ る. さらに,カーブマ ッチ ン

グに使 う最低 限 のデ ー タ数 nminfit の値 ,式 ( 6)で 示 した最適解 を得 るた めの基準 を変更すれ ば解析結 果 に影響が あるであ ろ う. これ らの最適 な値 につい て も少 しずつ検討すれ ば, よ りよい 自動化 プ ログラ ムを完成 させ る ことがで きそ うである.

謝辞

本原稿 を完成す るにあた って,二人の査読者 の方 か ら,論 旨展開,並び に文章校正 について有益 な コ メン トをいただ きま した.また,原稿 作成 か ら印刷 まで編集担 当の方 々にはお世話 にな りま した.

i f l

参考文献

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( 3) 佐 々宏一 ･芦 田譲 ･菅野強 ( 1 993):建設 ･防 災技術者 のための物理探査,森北 出版 ,21 9 頁 . ( 4) 中川徹 ･小柳 義夫 ( 1 982):最 小 二乗法 に よ る実験デー タ解析,東京 大学 出版 会 ,206頁.

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BookCompa ny,p. 298.