No. 1
統計数理
10/17 組み合わせと確率 10/24 確率変数と確率分布 10/31 代表的な確率分布
11/7 ランダムウォークと破産問題 11/14 ブラウン運動と拡散
11/21 雑音
石川顕一
http://ishiken.free.fr/lecture.html
http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-
principle-2005/index.html （昨年度のオープンコースウェア）
No. 2
統計数理
11/14 ブラウン運動と拡散
• 自己相関関数
• ランジュバン方程式
石川顕一
No. 3
５１ ブラウン運動
• イギリスの植物学者ブラウン（1827年）
‒ 水中の花粉の中の微粒子の運動を顕微鏡で観察し、不規則な運動をしてい ることを発見。
熱運動している溶媒分子か らの衝突を受けて運動。
周囲の環境の分子の熱運動の 影響によって生じる不規則な 運動
ブラウン運動
(Brownian motion)
微粒子１個のレベルのブラウ ン運動の力学的記述
マクロな熱力学的 記述（拡散）
ランジュバン方程式
No. 4
５１ ブラウン運動
• 確率変数 x(t) は、一般に時刻 t と t+ τ とでは一般に異なる値 x(t) および x(t+
τ ) を取る。
‒ τ → 0 : x(t)とx(t+ τ )は近い値
‒ τ → 無限大 : x(t)とx(t+ τ )は完全に独立
• 連続する事象間の相関 → 時間間隔 τ に依存
!
G( " ) = x(t )x(t + " ) = lim
T #$
1
T x(t )x(t + " )dt
0
% T
自己相関関数
時間平均
自己相関関数
No. 5
４３ ランダムウォークと拡散
• ランダムウォークと拡散現象
!
P(t, x ) = 1
4 " Dt exp # x 2 4Dt
$
% & ' ( )
!
" P
" t = D " 2 P
" x 2
!
D = l 2 2 "
• 初期条件
‒
t = 0での濃度分布は？
!
P(t,x)dx
"#
$ # = 1
!
x " 0 # P(t $ +0, x ) = 0
!
x = 0 " P(t # +0, x = 0) = $
ディラック(Dirac)のデルタ関数
!
" ( x) = lim
t #+0
1
4 $ Dt exp % x 2 4Dt
&
' (
)
* +
x = 0
に集中した分布!
P(t = 0, x) = " ( x)
ランダムウォークは、１次元の拡散方程式
のモデルの１つ
!
x 2 = 2Dt
位置の分散
!
" x 2
（平衡状態での）ゆらぎ 散逸・輸送
揺動散逸定理No. 6
５２ ランジュバン方程式
• 溶媒中の微粒子の運動方程式
‒ 確率的な力を導入 → ランジュバン方程式
!
m d 2 x dt 2 = F
!
F = "m # dx
dt + R (t )
粘性抵抗力 揺動力(random force)
!
R(t) = 0
!
R " (t)R # ( t ) $ % & "# & (t ' $ t )
•
異なる方向成分は無相関•
時間が異なれば無相関•
微粒子によっても異なる!
m du dt = F
!
F = "m # u + R (t )
微粒子について平均
!
m d
dt u = " m # u
No. 7
５２ ランジュバン方程式
• 拡散係数との関係
!
m d 2 x
dt 2 = "m # dx
dt + R(t)
x 成分のみを考える。
!
m d 2 x
dt 2 = " m # dx
dt + R(t )
両辺に
x
をかける。!
mx d 2 x
dt 2 = "m # x dx
dt + xR(t )
時間平均または微粒子について平均
!
m x d 2 x
dt 2 = " m# x dx dt
温度 T で、
!
1
2 m dx dt
"
# $ %
&
'
2
= kT 2
!
x dx dt = 1
2
d x ( ) 2
dt
!
x d 2 x dt 2 = 1
2
d 2 ( ) x 2
dt 2 " dx dt
#
$ % &
' (
2
!
1
2 m d 2 x 2
dt 2 " kT = " 1
2 m # d x 2
dt
No. 8
５２ ランジュバン方程式
• 拡散係数との関係
!
f = d x 2 dt
!
1
2 m df
dt " kT = " 1 2 m # f
!
1
2 m d 2 x 2
dt 2 " kT = " 1
2 m # d x 2 dt
!
df
dt + " f # 2kT m = 0
!
f = 2kT
m " ( 1# e # " t )
!
x 2 = 2kT
m " 2 ( " t + e # " t # 1 )
10 -13 秒のオーダー t
が十分大きければで減衰
!
x 2 = 2kT m " t
拡散方程式より
!
x 2 = 2Dt
!
D = kT m "
アインシュタインの関係式
(Einstein’s relation, 1905
年)
マクロな量の測定から ボルツマン定数
k
を決 定できる。No. 9
５２ ランジュバン方程式
• まとめ：溶媒中の微粒子の運動方程式
‒ 確率的な力を導入 → ランジュバン方程式
!
m d 2 x dt 2 = F
!
F = "m # dx
dt + R (t )
粘性抵抗力 揺動力(random force)
!
R(t) = 0
!
R " (t)R # ( t ) $ % & "# & (t ' $ t )
•
異なる方向成分は無相関•
時間が異なれば無相関•
微粒子によっても異なる!
x 2 = 2kT
m " t + 2kT
m " 2 ( e # " t #1 )
10 -13 秒のオーダー で減衰
t
が十分大きければ!
x 2 = 2kT m " t
拡散方程式より
!
x 2 = 2Dt
!
D = kT m "
アインシュタインの関係式
(Einstein’s relation, 1905
年)
特殊相対性理論、光量子仮説も！No. 10
５３ 速度相関関数による表現
!
" (# ) = u(t 1 )u(t 2 ) == u(t 1 )u(t 1 + # ) 速度相関関数
たくさんの微粒子に関する平均 粒子の変位の２乗の平均
!
x 2 = 2Dt
t が十分大きいところで
!
D = lim
t"#
1
2t x 2 を拡散定数の定義と考え る。
!
x = u( t )d " t "
0
# t
!
D = lim
t "#
1
2t dt 1 dt 2 u(t 1 )u(t 2 )
0
$ t 0
$ t
拡散係数は速度相関関数の時間積分に よって表される。
平衡状態では
!
u(t 1 )u(t 2 ) は時間差のみの関数
!
" (t 1 # t 2 ) = u(t 1 )u(t 2 )
!
D = lim
t"#
1
2t dt 1 dt 2 $ (t 1 % t 2 )
0
& t 0
& t
No. 11
５３ 速度相関関数による表現
!
D = lim
t"#
1
2t dt 1 dt 2 $ (t 1 % t 2 )
0
& t 0
& t
!
D = lim
t"# 1$ %
t
&
' ( )
* + , ( % )d %
0
- t
[証明]
!
dt 1 dt 1 " (t 1 # t 2 )
0
$ t 0
$ t = dt 1 0 dt 2 " (t 1 # t 2 )
t
1$
0
$ t + dt 1 t
1dt 2 " (t 1 # t 2 )
$ t 0
$ t
= dt 1 dt 2 " (t 1 # t 2 )
0 t
1$
0
$ t + dt 2 0 dt 1 " (t 1 # t 2 )
t
2$
0
$ t
= dt 1 dt 2 " (t 1 # t 2 )
0 t
1$
0
$ t + dt 1 0 dt 2 " (t 2 # t 1 )
t
1$
0
$ t
= 0 dt 1 $ 0 t
1d % " [ ( % ) + " ( #% ) ]
$ t = 2 dt 1 0 d %" ( % )
t
1$
0
$ t
= 2 d % dt 1 " ( % )
%
$ t 0
$ t = 2 0 (t # % ) " ( % )d %
$ t
!
" = t 1 # t 2
!
" D = lim
t#$ 1% &
t '
( ) *
+ , - ( & )d &
0
. t
!
" ( # ) が減衰関数なら
!
D = " ( # )d #
0
% $
!
" ( #$ ) = " ( $ )
No. 12
５３ 速度相関関数による表現
!
" ( # ) が減衰関数なら
!
D = " ( # )d #
0
% $
!
" ( # ) = u(t 1 )u(t 2 ) == u(t 1 )u(t 1 + # ) 速度相関関数
拡散係数は、速度相関関数を積分したもの
!
" ( # ) = k B T
m e $ # / #
c!
" c ：相関時間
!
D = k B T m " c
!
D = k B T m "
アインシュタインの関係式
(Einstein’s relation, 1905 年 )
!
" c = # $1
相関時間 抵抗係数
