行列式の性質（２）

(1)

　　　　　　行列式の性質（２）

det(^t Ａ ) ＝ Σ sgn(σ) ａ ^σ(1)1 ａ ^σ(2)2 ^・・・

ａ ^σ(n)n ^σ

定理３ . ３ . １

　　　　　　　ｄｅｔ（ ^t Ａ）＝ｄｅｔ（Ａ）

＝ Σ sgn(σ ^－１ ) ａ ^1σ ^－１ ⁽¹⁾ ａ ^2σ ^－１

(2) ・・・ａ^σ ^－１^nσ ^－１ ⁽ⁿ⁾

（ａ ^σ(i)i ^ならばａ ^iσ

－１ (i) ）

(2)

定理３ . ３ . ２

　ａ ¹¹ 　０　・・・　０ａ ²¹ 　ａ ²²

　・・・　ａ ²ⁿ ａ ⁿ¹ 　ａ ⁿ²

　・・・　ａ ⁿⁿ

・

・・・・・・・ａ ²² 　・・・　

ａ ²ⁿ

ａ ⁿ² 　・・・　

ａ ⁿⁿ

・

・・・・

＝ａ

11

ａ ¹¹ 　０　・・・　０ａ ²¹ 　ａ ²²

　・・・　ａ ²ⁿ ａ ⁿ¹ 　ａ ⁿ²

　・・・　ａ ⁿⁿ

・

・・・・・・・

ａ ¹¹ 　ａ ²¹

　・・・　ａ ⁿ¹ ０　ａ ²²

　・・・ａ ⁿ² ０　ａ ²ⁿ

　・・・　ａ ⁿⁿ

・

・・・・・・・

ａ ²²

　・・・　

ａａⁿ²²ⁿ

　・・・　

ａ ⁿⁿ

・

・・・・

＝ａ

11

＝

(3)

定理３ . ３ . ３

（１）１つの列をｃ倍すると行列式はｃ倍になる

。

（２）１つの列が２つの列ベクトルの和である行列の行　　

　　　列式は、他の列は同じでその列に各々の列ベク

　　　トルをとった行列の行列式の和となる。

（３）２つ列行を入れ替えると行列式は－１倍になる。

（４）２つの列が等しい行列の行列式は０である

。

（５）１つの列に他の列の何倍かを加えても、行列式　　　

　　　は変わらない。

(4)

2 3 4 -4 0 1 0 6

3 0 1 -7 0 -3 -5 8 1 2 1 3 0 1 -1 8 1 1 2 -5 1 1 2 -5

=

0 1 0 6

1 1 2 -5 0 1 -1 8 0 -3 -5 8

= ー

1 0 6 1 -1 8 -3 -5 8

= ー

= 2 1 0 3 1 1 4 -3 5 4

= 2 1 0 0 1 1 1 -3 5 13

= 2 1 1

5 13 = 16

(5)

定理３ . ３ . ４

　　Ａ：ｒ次正方行列　　Ｂ：ｓ次正方行列　

　ｄｅｔ　　　　　　＝　ｄｅｔ　　　　　　

＝　ｄｅｔ（Ａ）ｄｅｔ（Ｄ）

Ａ　Ｂ０　Ｄ

Ａ　０

Ｃ　Ｄ

定理３ . ３ . ５　　　　　Ａ，Ｂ：ｎ次正方行列　　　　　　　ｄｅｔ（ＡＢ）＝ｄｅｔ（Ａ）

ｄｅｔ（Ｂ）

ｄｅｔ　　　　　　＝ｄｅｔ　　　　　　　

　　　　　　　　　＝（－１）^ｎｄｅｔ　

Ａ　０

－Ｅ　Ｂ

Ａ　ＡＢ

－Ｅ　

０ ^－Ｅ　０

Ａ　ＡＢ

(6)

5 3 8 2

2 7 13 5 0 0 9 4

0 0 -2 1 = 5 3

2 7

9 4 -2 1

= -29 ・ 17 = -493

ac - bd ad + bc a b c d -(ad + bc) ac - bd -b a -d c =

(ac – bd)

²

+ (ad + bc)

²

= (a

²

+ b

²

)(c

²

+ d

²

)

(7)

ａ

¹¹ ^・・・

ａ

^1j

　・・・　

ａ

¹ⁿ

ａ

ⁱ¹ ^・・・

ａ

^ij

　・・・

ａ

ⁱⁿ

・・

・

ａ

ⁿ¹ ^・・・

ａ

^nj

　・・・

ａ

nn

Ａ

^ij

＝

　　余因子行列とクラーメルの公式

・・

・

・・

・・・・

・・

・・・・

Ａ＝

^{3 1 -2}^{4 -3 0}

2 6 5

Ａ

12

＝

4 0

2 5

Ａ

22

＝

3 -2 2 5

(8)

0 ･･･0 0 　

･･･0 0 0･･･

= + + ・・・ +

ａ

1jａ

2j

ａnj

ａ

1j

･･･

ａ

2j

ａ

nj

ａ ¹¹ ・・ａ ¹

j ・・ａ ¹ⁿ

ａ ²¹ ・・０・・ａ ²ⁿ ａ ⁿ¹ ・・０・・ａ ⁿⁿ

・

・・・・・・・

｜

Ａ

｜＝＋　　　　　　　　

＋・・・＋

ａ ¹¹ ・・０・・ａ ¹ⁿ ａ ²¹ ・・ａ ²

j ・・ａ・ ²ⁿ

・

・・・・・・・

ａ ¹¹ ・・０・・ａ ¹ⁿ ａ ²¹ ・・０・・ａ・ ²ⁿ

・

・・・・・・・ａ ⁿ¹ ・・０

・・ａ ⁿⁿ ａ ⁿ¹ ・・ａ ^nj

・・ａ ⁿⁿ ａ ¹¹ ・・０

・・ａ ¹ⁿ

ａ ⁱ¹ ・・ａ ⁱ

j ・・ａ・ ⁱⁿ

・

ａ ⁿ¹ ・・０・・ａ ⁿⁿ

・

・・・

・

・ａ ^ij ａ ⁱ¹

・・・　^０ａａ¹¹ⁱⁿ

　・・・ａ ¹ⁿ

０　ａ ⁿ¹

　・・・　ａ ⁿⁿ

・

・・・・・・・

＝（－１）

ｉ＋ｊ－２

　＝（－１）^ｉ＋ｊａ ^ij

| Ａ ^ij| 余因子展開

(9)

7 8 3

　＝ Σ （－１）^ｉ＋ｊａ ^ij | Ａ ^ij|

i=1

n

第ｊ列に関する余因子展開

｜

Ａ

^{｜＝（－１）}^ｉ＋ｊａ 1j | Ａ ^ij| ＋・・・＋（－１）^ｉ

＋ｊａ nj | Ａ ^ij|

2 7 4

3 2 0 = -7 + 2 - 5 1 5 3

3 0 1 3

2 4 1 3

2 4 3 0 4 5 2

0 0 2 = -0 + 0 - 2 = -2 =65 2 8 3

4 2 7 3

4 5 7 8

(10)

余因子行列

Ａ＝［ａ ^ij ］：ｎ次正方行列ａ^＊ ^ij ＝（－１）^ｉ＋ｊ |

Ａ ^ji|

Ａ＝［ａ^＊ ^ij ］：Ａの余因子行列

~

定理３ . ４ . １

　　　　　　　ＡＡ＝ＡＡ＝ｄＥ　　（ｄ

＝ｄｅｔ（Ａ））

~ ~

定理３ . ４ . ２

　ｄｅｔ（Ａ） ≠ ０　ならば　Ａ　は正則で　　　　　　

　　　　Ａ^－１＝ ( １ / ｄ ) Ａ　である。　　

（ｄ＝ｄｅｔ（Ａ））

~

( １ / ｄ~) ＡＡ＝Ｅ

(11)

ｃ ^ij= Σ_k=1ⁿ ａ ^ik ａ^＊ ^kj

（－１） ^k ^＋ｊａ ^ik | Ａ

jk| = Σ

k=1

n

ｉ＝ｊの場合ｃ ii

（－１） ^k ^＋ ⁱ ａ ^ik | Ａ

ik| = Σ

k=1

n 行列Ａの第ｉ行

に関する余因子展

＝｜Ａ開ｉ≠ｊの｜

場合ｃ ij

（－１） ^k ^＋ ⁱ ａ ^ik | Ａ

jk| = Σ

k=1

n

行列Ｂの第ｊ行に関する余因子展開

＝０

ＡＡ＝［ｃ

ij ］

~

（－１） ^k ^＋ ⁱ ｂ ^jk | Ｂ

jk|

k=1

= Σn

Ｂ：Ａの第ｊ行を第ｉ行　　　

　で置き換えた行列

(12)

定理３ . ４ . ３（クラーメルの公式）

　　　　Ａｘ＝ｂ　　　　　Ａ：ｎ次の正則行列　　　　　　

　　ｘ^＝　　　　　ｘｄｅｔⁱ ＝　　

（Ａ）

ｄｅｔ［ａ

1 ・・・ｂ^・・・ａ

n ］ｘｉ

1

ｘn

・・

・

| ａ ¹ ^・・・ｂ^・・・ａ ⁿ| 　＝　 | ａ

1 ・・・ Σ ｘ ^k ａ ^k ・・・ａ ⁿ| 　

ｉ

＝ Σ ｘ ^k | ａ ¹ ・・・ａ

k ・・・ａ ⁿ|

＝ｘ ⁱ | ａ ¹ ・・・ａ

i ・・・ａ ⁿ|

＝ｘ ⁱ | Ａ |

(13)

1 1 ・・・

　 1 　　　　

　　特別な形の行列式

・・

・

・・

・・・・

x

¹

x

²

・・・

x

ⁿ

x

²¹

x

²² ・・・

x

²ⁿ

x

^n-1¹

x

^n-1² ・・・

x

^n-1ⁿ

＝ Π (

x

^j ^ー

x

^{1 i}ⁱ⁾^≦^＜^{j n}^≦

ヴァンデルモンドの行列式

＝ ( － 1)^n(n-1)/2 Π (

x

ⁱ ^ー

x

^j⁾ ^{1 i}^≦ ^＜ ^{j n}^≦

Π

x

ⁱ 　＝

x

ⁱ

x

²

x

³

i=1

3

Π (

x

^j ^ー

x

ⁱ⁾ ＝ (

x

³ ^ー

x

²⁾⁽

x

³ ^ー

x

¹⁾⁽

x

²

ー

x

¹⁾

1 i≦ ＜ j 3≦ 　　　　

(14)

帰納法

n=2 のとき明らかに成り立つ。

n-1 のときに成り立つと仮定する。

1 1 　・・・

　 1 　　　　

・・

・

・・

・・・・

x

¹

x

² ^・・・

x

ⁿ

x

²¹

x

²² ^・・・

x

²ⁿ

x

^n-1¹

x

^n-1² ^・・・

x

^n-1ⁿ

＝　

1 1 　・・・　

1 　　　　

・・

・

・・

・・・・

0

x

² ^ー

x

¹ ^・・・

x

n ー

x

¹

0

x

²⁽

x

² ^ー

x

¹⁾ ^・・・

x

ⁿ⁽

x

n ー

x

¹⁾

0

x

^n-2²⁽

x

² ^ー

x

¹⁾ ^・・

x

^n-2ⁿ ⁽

x

n ー

x

¹⁾

＝　

(x

² ^ー

x

¹

)(x

³ ^ー

x

¹

)

・・・

( x

ⁿ ^ー

x

¹

)

1 1 ・・・

　 1 　　　　

・・

・

・・

・・・・

x

²

x

³

・・・

x

ⁿ

x

²²

x

²³ ・・・

x

²ⁿ

x

^n-2²

x

^n-2³ ^・・・

x

^n-2ⁿ

(15)

＝　

(x

² ^ー

x

¹

)(x

³ ^ー

x

¹

)

・・・

(x

ⁿ ^ー

x

¹

)

Π (

x

^j ^ー

x

ⁱ⁾ 　 2 i≦　　　　＜ j n≦

＝ Π (

x

^j ^ー

x

^{1 i}ⁱ⁾^≦^＜^{j n}^≦

(16)

a₀ -1 0

・・・ 0

・・

・

・・

・・・・ a₁

x

^-1

・・・　　

a₂

⁰

x

^・・・

0 a_n

0 ・・・

0

x

＝ a₀xⁿ+ a₁x^n-1+

・・・ + a_n 　

F ＝

・・

・ -1

帰納法

n=0 のとき明らかに成り立つ。

n-1 のときに成り立つと仮定する。

・・

・

・・

・・・・

x

^-1 ^・・・

0 0 0

x

^・・・

0 0 ・・・ 0

x

F ＝ a0 ー (-1) 　

・・

・ -1

0

x

^-1

・・・

・・

・・・・

a₁ -10 ・・・

0 　　

a₃ 0

x

^・・・

0

a_n

⁰ ・・・ 0

x

・・

・ -1

a₂

x

^-1 ^・・・

＝ a₀xⁿ+ (a₁x^n-1+ a₂x^n-2+ ・・・ + a_n)

＝ a₀xⁿ+ a₁x^n-1+ a₂x^n-2+ ・・・ + a_n

(17)

Ａ＝

1 2 3

0 3 4 ^t

Ａ

＝

1 0 2 3 3 4 １．(1)

(2) 1 2

0 3 ＋ -3 -2 0 -1

2 ＝ -5 -2

0 1 (3) 3 1 2

0 -1 4

2 0

-1

＝

⁴_-4

(4) 3

1

3 5

1

＝

² ^ー 3 3

　　練習問題解答

(18)

２．(1)

1 -1 6 -2 2 4 6 2 2 6 4 4

0 8 -8 8 ③ ＋① ×(-2) 0 6 -6 6 ② ＋① ×(-2)

0 1 -1 1 ②×1/6 1 -1 6 -2

1 -1 6 -2

0 1 -1 1 ③×1/8 1 0 5 -1 ① ＋② 0 1 -1 1

0 0 0 0 ③ ＋② ×(-1)

(2)

階数　２

(19)

(3) 1 0 5 -1

0 1 -1 1 0 0 0 0



c

 x

₁⁺

5 x

₃ ^{= -1}

 x

₂ ー

x

₃ = 1

3

x

とする。

 x

₁= -1 ー

5c

 x

₂^{= 1 +}c

x 

c

3

 x

₁+

5c

= -1

 x

₂ ー

c

= 1



c

x

_＝-1 + c 1

0

-5 1

1

 (

c ∈ Ｒ

)

(20)

(4) 1 0 1 1 0 0 -2 1 -2 0 1 0 0 3 1 0 0 1

0 1 0 2 1 0 ② ＋① ×2

0 0 1 -6 -3 1 　　③＋② ×(-3) 1 0 0 7 3 -1 ① ＋③ ×(-1)

1 0 1 1 0 0 0 3 1 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0 1 0 2 1 0

0 1 0 2 1 0 0 0 1 -6 -3 1 　

逆行列

7 3 -1 2 1 0 　　　　 -6 -3 1