ケプラーの法則の記述について

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(1)Title. ケプラーの法則の記述について. Author(s). 吉岡, 一男. Citation. 北海道教育大学紀要. 第一部. C, 教育科学編, 35(2): 131-144. Issue Date. 1985-03. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/4970. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . ケブラーの法則の記述について. ロ. 岡. 男. はじめに. １. ケブラーの法則は，言うまでもなく，惑星をはじめとする太陽系の天体の公転運動を表わす重要な法則であり，また，ニュートンが万有引力の法則を考え出す根拠となり，逆に万有引力の法則をもとに導出された法則としても有名である。そして高校理科１の教科書の一部には地球の運動との関連で記載されており，物理の教科書では，万有引力との関連で記載されている．もちろん，地学の教科書にも記述が見られる．しかし，これらの教科書におけるケブラーの法則の記述は，いくつかの問題点があるにもかかわ. らず，昔からあまり変わっていないように思われる．以下で，地学の教科書における記述について，筆者の気付いた点を述べることにする．ただし問題点として，そもそもカリキュラム全体の流れの，り基本的なものもあるであろう中でケブラーの法則をどのように位置付けるべきかというようなよ. が，本稿ではそれには触れず，あくまでも記述そのものについての問題点を述べたものであることをお断わりしておく．なお，以下で引用する地学の教科書は，新教育課程用の８教科書で，その教科書番号・発行所・名称は，つぎのとおりである（教科書番号順に記す）。以下ではそれぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ社の教科書と略称することにする．００４数研００３啓林館高等学校地学００２大日本図書地学東京書籍地学００７教地学６実教出版００００５第一学習社高等学校地学出版高等学校地学００８大原出版地学育出版地学地球の探究. ００１. １１. 「一定」の用語の使い方. ケブラーの法則はほとんどの教科書で，第１法則から第３法則の順に，その内容が箇条書きで述各教科書におけるこれべられている．そしてたいてい，図１のような説明図を一緒に載せている，．らの記述が，表１に載っている．なお，Ｄ社の教科書にはケブラーの法則そのものの記述は見られず，ただ「太陽－地球間の距離」の項目の中で，「地球は，太陽を１つの焦点とするだ円の軌道上を公転しているので，地球は太陽から一定の距離にはなく， ……」と簡単に触れるにとどまっている．一方Ｂ社の教科書では，ケブラーの３法則は箇条書きには書かれておらず，「惑星の距離と大きさ」の項目における惑星の距離測定の説明の中１３１.

(3) . 吉. 表１第１法則. 岡一. 男. 地学教科書におけるケブラーの法則の表現第２法則. 第３法則. ます条翻ｒ槌きだ饗字製喜憂鋪愛Ａ翻奇麗憲尋璽警護らず一定である。 … …，楕円軌道の場合，太陽・惑星間の平均距離をａ，公転周期をｒと. ると，Ｂ贈鞘豪放姦勝隻議奮匙繋鏡蓄電警な定の時す身 ‐ 最（Ｍ十勝となる。一. 陽と惑星を結ぶ直線（動伽もＣ李罫書奇麗揺？￥と太等しい時間に等しい面積を描く。. Ｄ. ／／′－－／／／′. ／／′ ／－－′ ／′／／. 品Ｍ（，十冊）. であることが知られている … … 惑星の太陽からの平均距離ａの３乗は，. 惑星の公転周期Ｐの２乗に比例する。. すなわち，どの惑星についても，３／Ｐ２；に（一定）が成り立つ。８. ／／－. ／／／′／／. ゞ至島繍冬弓を＊議題鰯溜穆踏を琴筆だ翻曹ド黒罫書驚夏絵軌道は鷹嬢要職！霊漕の ’撒一蹴翻さ纏お乗. Ｅ. の惑星についても一定である。. の焦点とする楕円である。. Ｇ. は一定である。. モ書雲欝昆総撰琴識￥茎三学躍艶豊麗も緊瀞詩書藍豊署蕎勇. 惑星の平均距離ａの３乗と公転周期. 惑い星につの宝ｒど葺きすぎ蒙を誕三轟か憲日警護籍珊脅鵠濯ぎ密３ａ－一定Ｐ２. で，各法則が必要な箇所で（最初第３法則が，ついで第１法則が）有機的に述べられている．そしてそのあと，運動の法則と万有引力の法則から導かれたものとして，ケブラーの３法則がまとめて書かれている．表１に引用したのは，そのまとめの部分の記述である．さて，ケブラーの法則を既に知っている人が表１の記述を読むならば，抵抗なくスムーズに頭に. 入るであろう．しかし，初めてこの法則に接する生徒がこれらの記述を読んで正しく理解するかどうかについては，疑問を感じる．たとえばＶ節で述べるように，そもそも楕円の定義や性質が分からなかったり，忘れている生徒がかなりいるものと思われる．そのような生徒にとっては，「焦点」，「長軸」，「半長径」なる用語が. 出てきても，ピンとこないであろう．したがって，図２のような楕円の説明図を添えることが望ましい．しかし，楕円の説明のようなことは数学の授業との兼ね合いの問題であり，そこまで地学の. 教科書で考える必要はないという意見もあるだろう．以下では，ケブラーの法則に固有の内容にかかわる記述の問題点を述べてみよう．. まず注意しなければならないのは，ケブラーの第１法則と第３法則は惑星全体あるいは惑星相互の比較において成り立つ法則なのに対し，第２法則はおのおのの惑星内において成り立つ法則とい. うことである．さらに第１法則において楕円軌道の大きさや形は惑星ごとに異なり，また第２法則において，各惑星の描く面積（いわゆる面積速度）も惑星ごとに異なる（大ざっぱには，平均距離１３２.

(4) . ケブラーの法則の記述について. ′ Ａ′. Ａ近. Ａ′. 日点. 惑星の楕円運動Ｓ，Ｓはそれぞれ楕円の焦点であ. り，太陽はＳにある。扇形ＳＡＢ，ＳＣＤ，ＳＥＦの面積が. それぞれ等しいとすると，惑星は等しい時間にそれぞれ，ＡＢ，ＣＤ，ＥＦだけ動く。図１. ケブラーの第２法則の説明図（Ａ社の教科書より）. 楕円はＦ，Ｆを焦点とし，この２点からの距離の和が一定の点Ａの軌跡である。図からわかるように，. Ａ′Ｆ＋Ａ′Ｆ′＝２α だからＡ″Ｆ＝Ａ″Ｆ′＝α ＯＦ＝ＯＦ′ ，，. ー仔ご扉でぁる。また，. も！を難じ、率かい，. ｅであらわす。図２. 楕円の説明図（Ｆ社の教科書より）. ）の平方根に比例して外側の惑星ほど大きい１）。教科書の記述は，これらのことを生徒に伝えなければならない。もちろんどの教科書の記述でも，３つの法則を総合的にじっくり判断するならば，これらのことは正しく認識できよう．しかし，個々の法則の記述を読んでも，すぐにはその正しい意味をつかむことのできない生徒が多いのではないだろうか．教科書の表現は，意図的にある内容を. 伏せる（たとえば，その内容をあとで練習問題として設けるため）場合は別にして，簡潔であるとともに分かりやすいことが大切である。そして教科書の表現は，記述を少し工夫することにより，. かなり分かりやすくなるように思われる．. たとえば，第１法則を「惑星は太陽を１つの焦点とし，惑星によりそれぞれ決まった形と大きさの楕円軌道を公転する．」のようにゴジック部分の記述を加えるならば，第３法則まで読まなくても，楕円軌道が惑星ごとに. 異なることが理解されるであろう，特に，上述のことを理解する上で混乱を招く表現上の点として，表１に見られるように，「一定」の用語の使い過ぎが挙げられる．「一定」の用語はいろいろな意味で使われており，たとえば久田隆｝は中学校理科教科書で使われている「一定」の意味を次の４とおりに分けている基氏２，．＠唯一の決まった（値）． ⑤ それぞれ決まった（値）． ◎ ④. 任意に決めた，ある決めた．変わらない，ある状態が続く．. Ｂ社の教科書の例で言えば，. 「……，一定の時間に一定の面積を通過する．」という第２法則の説明における「一定の時間」とは，「どんな時間でもよいが，一度決めてしまえば後は変えないある時間」ということであり， ◎の意味で使われている。そして「一定の面積」とは，「時間が決まりさえすれば，公転軌道上のどこに. あっても同じ面積」ということであり， ③の意味で使われている．一方，第３法則の説明における「一定」とは，「すべての惑星に対して同じ値」ということであり， ◎の意味で使われている．「－１３３.

(5) . 吉岡. 一. 男. 定」の用語を用いる場合には，これらいろいろな意味のうちどの意味で使われているのかを，生徒に明確に伝えるような表現でなければならない．さらに，「一定」の用語を用いる場合には，一定の値をとる対象として何を考えているかという「－. 定の適用範囲」を明確にすべきであろう．すなわち，第２法則における一定の適用範囲は「一個の惑星内」であり，第３法則における適用範囲は「惑星全体」であることを，誤解なく生徒に伝えな. ければならない．これらの観点からも，教科書の表現はまだまだ十分とは言えない．以上の点を明確に表現するには，たとえばＣ社の教科書のように「一定」の代わりに「等しい」の用語を用いるのもよいであろうし，第２法則でも，第３法則でしばしば見られる「比例する」という表現を用いて，「それぞれの惑星において，太陽と惑星を結ぶ線分が描く面積は（あとで述べるように，面積速. 度を表すこの表現にも問題があるが），その間に経過した時間に比例する．」としてもよいであろう．あるいは「一定」の用語を用いるならば，たとえばＡ社の教科書のように，第２法則では「惑星によってそれぞれ」，第３法則では「惑星によらず」というような語句を挿入してもよいであろう．ちなみに，英米の天文教科書におけるケブラーの法則の記述の典型的な例は，次のとおりである．. １ｌｌｉｔｈｏｎｅｆｏｃｕｓｐｌａｃｅｄａｔｔｈｅｓｕｎ」（ｔｏｆｅａｃｈｐｌａｎｅｔｉｓａｎｅ「（第１法則）Ｔｈｅｏｒｂｉｐｓｅ．．Ｒ．，ｗｉ. ）より）ｌｄｉｎｇ」３Ｋｉｎｇ著「ＴｈｅＵｎｉｖｅｒｓｅＵｎｆｏ. ｌｉｉｎｅｊｏｉｎｉｎｇｅａｃｈｐｌａｎｅｔｔｏｔｈｅｓｕｎ（ｔｏｒ）ｓｗｅｅｐｓｏｖｅｒｕｓｖｅｃｃａｌｅｄｔｈｅｒａｄ「「（第２法則）Ｔｈｅｌｆｅｒｉｎｋｌｅｉｉｍｅｔｆｓｐａｃｅｉ」（Ｃ．Ｍ．ＨｕｆｅｑｕａｌａｒｅａｓｏｎａｎｄＭ．Ｂ．Ｈｏｌｎｅｑｕａｌｉｎｔｅｒｖａｌｓｏｆｔ．，Ｆ．Ｅ．Ｔｒ）より）著「ＡｎｌｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏＡｓｔｒｏｎｏｍｙ」４. ｉｏｄｓｏｆａｎｙｔｗｏｐｌａｎｅｔｓｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅｒａｔｉｏａｓｔｈｅｃｕｂｅｓ「（第３法則）Ｔｈｅｓｑｕａｒｅｓｏｆｔｈｅｐｅｒ）より）ｔｉｊｏｒａｘｅｓ」（Ｒ．Ｔ．Ｄｉｘｏｎ著「ＤｙｎａｍｉｃＡｓｒｏｎｏｍｙ」５ｏｆｔｈｅｒｓｅｍｉｍａ．ｔｌ」ｔこのように，第２法則で「ｅａｃｈｐｌａｎｅ」と対照的な語句を用ａｎｅｓ，第３法則で「ａｎｙｔｗｏｐ. いて法則の適用範囲を示しているものが多い．また筆者の見る限りでは，英米の天文教科書においｔｔ」なる語を用いているものは一冊もなく，すべａｎて，第２法則の記述で「一定」に相当する「ｃｏｎｓｌて「等しい」に相当する「」なる語を用いていることに注意しておく．ｅｑｕａ. ＩＤ面積速度の表現ケブラーの第２法則は別名「面積速度一定の法則」と呼ばれているように，面積速度（本来は，太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間におおう面積の意味であるが，ここでは，任意の長さのある与えられた時間におおう面積という広い意味で用いることにする）が時間によらず，惑星ごとに定まっ. た値を保つという法則である．そこで，面積速度の概念を生徒に伝えることが重要であるが，教科書の表現は分かりにくいように思われる．分かりにくくなっている原因の一つは，前節で述べたように「一定」の用語の用い方にある．さ. らにもう１つの原因は，「描く」という用語を用いていることにあるように思われる．すなわち表１に見られるように，ほとんどの教科書では面積速度を「太陽と惑星を結ぶ線分が，単位（等しい，一定の）時間に描く面積」. と表現している．しかし，「絵を描く」とか「図形を描く」という表現はよく用いられるけれども，「面積を描く」という言い方は，日常生活ではなされない．したがって，この表現に初めて接した１３４. ．.

(6) . ケブラーの法則の記述について. 生徒の中には，何を意味するのか戸惑う者も出てくるのではないだろうか．この点に関して，英米の天文教科書では前節で挙げた例にも見られるように，「ｓｗｅｅｐｏｖｅｒ」ある. ｔいは「」なる表現を用いている．これはもともと（掃除をする際，ほうきなどで）「掃く」ｓｗｅｅｐｏｕとか「吹き払う」という意味であるが，面積速度を視覚的に表すのになかなかうまい表現のように. 思われる．日本語でも，そのような表現が草ほれる，とは言っても，筆者自身あまりうまい表現が思い浮かばない。しかし，たとえば本節の始めに書いたように，「描く」の代わりに「おおう」と表. 現する方が，まだ分かりやすいであろう．もちろん，表２に示されているように，多くの教科書では図１のような面積速度の説明図を載せているので，図を見れば面積速度の意味は直ちに理解されるかもしれない．しかし，だからと言っ. て説明文が分かりにくくてよいわけではなく，分かりやすい表現が草【ましいことには変わりがない．より分かりやすく表現する努力が必要であろう．表２. 教科書. 地学教科書におけるケブラーの法則関係の諸記述の有無. ケブラーの第２法則の「平均距離＝軌道の半長径」「平均距離＝（近日点距. 説明図あり. 離十遠日点距離）÷２」の記述あり. の記述あり. Ａ. ○. ○. ○. Ｂ. ×. ○. × ×. Ｃ. ○. ×. Ｄ. ×. ○. ×. Ｅ. ○. ○. ○. Ｆ. ○. ×. ×. Ｇ. ○. ○. ○. Ｈ. ×. ○. ×. ｌｖ平均距離の表現第３法則の記述で気になる点としては，平均距離の表現が挙げられる．表１に見られるように，第３法則の載っている教科書では，Ｇ社を除きすべて楕円軌道の半長径を「平均距離」と表現して. いる．「平均距離」という用語は一見分かりやすい印象を与えるかもしれないが，具体的に何の平均を意味するのかということになると，迷ったり，その意味を誤解する生徒が出てくるように思われ. る．誤解するとは，平均距離を公転軌道の近日点距離と遠日点距離との平均値という正しい意味に受け取るのではなく，たとえば，公転運動をしている間に取る太陽・惑星間の距離の時間平均（す. なわち具体的には，一定の時間間隔を置いて１公転周期にわたって測った太陽・惑星間の距離を平均することにより得られるような値）と受け取るようなことである．ついでに言えば，このような意味での距離の時間平均値＜ｒ〉は軌道の半長径ａよりも大きく，. 軌道の離心率をｅとすると，. （・十豹６にα. （１）. １３５.

(7) . 吉. 岡. 一. 男. ）すなわち同じａでもｅの大きな軌道ほどくｒ〉は大きくなるこのことは直感的で与えられる６．，．には，第２法則から分かるように惑星が遠日点付近の軌道上にとどまる時間が近日点付近にとどまる時間に比べて長いこと，そしてその度合いは，ｅが大きくて楕円軌道が偏平なほど大きいことか. ら理解されるであろう．したがって「平均距離」の語を用いるよりも，「半長径」（または「長半径」，あるいは「楕円軌道の長軸の長さの半分」のようなより平易な語）という意味を明確に伝える語を用いる方がよいと思. う．あるいは「平均距離」の語を用いるのなら，その意味を第３法則の記述の中か後の本文で明確に述べるべきであろう．しかし表２に見られるように（Ｄ社の教科書にはケブラーの法則の記述はないが，天文単位の記述の中で平均距離の説明がなされている）その説明のない教科書がかなりあｊｓ」ｅｍｉｍａｏｒａｘｉ１節に例示したように「半長径」に相当する「ｓる．ちなみに英米の天文教科書では，１. ｔａｎｃｅ」や「ａｖｅｒａｇｅｓなる語を用いている本と，日本と同様に「平均距離」に相当する「ｍｅａｎｄｉ. ｄｉｔａｎｃｅ」なる語を用いている本とが同じぐらいの頻度で見られ，この点に関しては，特に参考になｓるべきことはなかった．. Ｖ. ケブラーの法則の理解度の調査とその結果. ケブラーの法則の記述そのものについて，筆者の気付いた問題点は以上のとおりであった．そこで，これらの点の記述のよしあしでケブラーの法則に対する理解がどの程度違ってくるかを調べる目的で，簡単なアンケート調査を行った．すなわち，筆者が分担している北海道教育大学旭川分校の「理科教育１」の講義を受けた同分校. の３年生を対象にして，ケブラーの法則に関連のある講義の時間の一部を使い，ケブラーの３法則の説明文を与えてその法則の内容に関する問題の回答を求めた．そのさい説明文として，地学の教科書でよく見られる典型的なもの（以後，説明文Ａで表す）と前節までに述べた記述上の問題点を. 考慮して書かれたもの（以後，説明文Ｂで表す）の２種類を用意して，各学生にはどちらか一方を与えた．説明文ＡおよびＢは，それぞれ次に示すとおりである．. 第１法則第２法則第３法則. 惑星の軌道は，太陽を一つの焦点とする楕円である．太陽と惑星とを結ぶ線分は，一定時間には，一定面積を描きながら動く．. 惑星の楕円軌道の長径の半分（平均距離）Ｒの３乗と，公転周期Ｔの２乗の比は一定である（Ｒ３／Ｔ２＝一定）. 説明文Ｂ第１法則. 惑星は太陽を一つの焦点とし，惑星によりそれぞれ決まった形と大きさの. 楕円軌道を公転する第２法則１３６. 太陽と惑星とを結ぶ線分は，等しい時間には惑星ごとにそれぞれ等しい面.

(8) . ケブラーの法則の記述について. 第３法則. 積をおおいながら公転する。楕円軌道の長軸の長さの半分（平均距離）Ｒの３乗と公転周期Ｔの２乗の比は，惑星によらず一定である（Ｒ３／Ｔ２＝一定）．. なお，説明文Ｂのゴシック部分が，説明文Ａとの違いを表す。. さらに，ケブラーの法則に関する問題（問９，１０，１２，１３，１５を除き，説明文Ａを与えられた学. 生も説明文Ｂを与えられた学生も全く同じ問題文である．上記の間の場合だけ問題点の一部が異な. るが，その場合，説明文Ｂを与えられた学生に対する問題文は括弧内に示されている。）は，次に示すとおりである。. 問１．高校で地学１を履修しましたか？ａ。した. ｂ．しない. ｃ。忘れた. ａ．した. ｂ．しない. ｃ．忘れた. 問２．高校で地学１１を履修しましたか？. 問３．高校でケブラーの法則を習った記憶がありますか？ａ．習った. ｂ．習わない. ｃ．忘れた. 問４．ケブラーの法則の内容を現在知っていますか？ａ。よく知っている. ｂ。おぼろげに知っている. ｃ．知らない. 問５．楕円と焦点の定義について，わかっていることを書きなさい．問６．円の場合，その焦点は何か？ａ．中心ｂ．円周上の１点ｃ。中心と円周上の１点との中点の点. ｅ．わからない. ｄ．その他. 問７。各惑星の楕円軌道の形と大きさは，時間とともに変わるか？ａ．形も大きさも変わるｂ。大きさだけ変わるｃ．形だけ変わる. も大きさも変わらないｅ．わからない問８．楕円軌道の形は，惑星によって異なるか？ａ。異なる. ｂ．同じ. ｄ．形. ｃ．わからない. 問９．各惑星において，時間間隔が２倍になると，その間に描かれる（おおわれる）面積は何倍になるか？ａ。１倍ｅ．８倍. ｂ．ノす倍Ｃ２倍。ｆ。わからない. ｄ．４倍. 問１０。半径Ｒの円軌道の場合，単位時間に描かれる（おおわれる）面積を式で表せ。ただし，Ｔを公転周期，〃を円周率とする．. 問１１．各惑星において，太陽に近い時の公転運動の速さは，遠い時に比べてどうか？ａ．速い. ｂ。週１い. ｃ．同じ. ｄ．わからない. 問１２．太陽に近い惑星に比べて，太陽から遠い惑星が同じ時間間隔に描く（おおう）面積は，大きいか？ａ．大きい. ｂ．小さい. ｃ．同じ. ｄ．わからない. 問１３．楕円軌道の長径の半分（長軸の長さの半分）とは右図（図３）のどれを意味す１３７.

(9) . 吉岡. 一. 男. るか？. 問１４．平均距離とは，何の平均を意味するか？問１５．楕円軌道の長径の半分（長軸の長さの半分）Ｒの３乗と公転周期Ｔの２乗の比Ｒ３／Ｔ２は，すべての惑星で同じか？ａ．同じである. ｂ．惑星ごとに異なる. ｃ．わからない. このように，問題のうち間１～問４が，説明文を与える前に学生がケブラーの法則の予備知識をどの程度持っていたかを問う質問であり，間５. ４５０. ｃ. ～問１５が，予備知識と説明文を読んで得たものと. ｂ. 解したかを問う問題である．このうち，間５，間. ａ. を合わせて，学生がどの程度ケブラーの法則を理ｌｏ，問１４が自由記入，残りが選択回答式の問題である．. そして筆者としては，説明文Ｂを読んだ学生の方が，問５以降の正答率が高いことを期待してい. 図３. たわけである．ただし，間５，間６，問１４は用語. 半長径の設問図. の意味の理解を問う問題であり，説明文の理解の影響は受けないものと考えられる．なお，３年生はＡとＢの２グループ（昭和５８年度は，Ａグループが数学，理科，美術，技術，職業，家庭専攻．Ｂグループが，国語，英語，社会，教育，教育心理，幼児教育，音楽，書道，保健体育専攻）に分けられており講義時間が別になっているが，調査日は，Ａグループが昭和５９年１月０分ぐらいの時間を取って急２５日，Ｂグループが同年１月２８日であった．いずれも，講義の中で２いでやらせたものであり，また，趣旨が徹底せず，隣と相談して回答した学生もいる可能性がある．そうした点で信頼性がやや落ちるけれども，全体の傾向を変えるほどの影響はないものと思われる．さらに，理数系の学生の多いＡグループの方がケブラーの法則に対する予備知識が豊富であるので，問題の正答率も高いように思われるかもしれない．しかし表３に見られるように，両グループ表３. ケブラーの法則に対するＡグループとＢグループの予備知識Ａグループ：５７名Ｂグループ：８０名全体：１３７名. 間番号選択記号. ｌ. １３８. ｂｃ. ２. ｂ. ３. ｂ. ４. ｂ. Ａグループ. Ｂグループ. 全. 回答数（％）. 回答数（％）. 回答数（％）. ２８（４９．１）２９（５０．９）ｏ（０．０）６（１０．５）５１（８９．４）０（０．０）２９（５０．９）２１（３６．８）７（１２．３）０（０．０）３２（５６．１）２５（４３．９）. ４７（５８．８）３３（４１．３）０（０．０）６（７．５）７４（９２．５）０（０．０）４９（６１．３）２５（３１．３）６（７．５）１（１．３）３９（４８．８）４０（５０．０）. ７５（５４，７）６２（４５．３）０（０．０）１２（８，８）１２５（９１，２）０（０．０）７８（５６．９）４６（３３．６）１３（９．５）１（０．７）７１（５１．８）６５（４７．４）. 体.

(10) . ケブラーの法則の記述について. 説明文Ａを与えたグループと説明文Ｂを与えたグループのケブラーの法則に対する予備知識全体：１３７名説明文Ｂのグループ：７９名説明文Ａのグループ：５８名表４. 間番号選択記号１. ｂ. ２. ｂ. ３. ｂ. ４. ｂ. 説明文Ａグループ. 説明文Ｂグループ. 回答数（％）. 回答数（％）. 回答数（％）. ２９（５０），０２９（５０）．００（０．０）３（５，２）４５５（９．８））０（０，０２）３２（５５．）２２（３７．９）４（６．９）０（０，０３．４）３１（５２７（４６．６）. ４５８６（．２）３３（４１．８））０（０．０９（１１，４）８６）７０（８．０（０．０）４６（５８．２）２４（３０．４）１，４）９（１１（Ｌ３）４０（５０．６）３８（４８．１）. ）４７５（５，７３）６２（４５，）０（０．０１２（８．８）. 全. 体. １２５（９１．２）. ０（００），６９）７８（５．）４６（３３，６１３（９５），）１（０，７１（５１８）７．４６７４）５（．. の予備知識には顕著な差はなく，その後の問題の正答率も，一部を除いて大きな差はなかった．これは，当分校を受験する学生には，専攻にかかわらず高校時代文系コースのカリキュラムを取った. 者が多いこと，また，大学入学後理数系専攻であっても，それまでにケブラーの法則を学ぶ機会がなかったという事情によるものと思われる．したがって，以下では両グループをまとめてしまい，それを説明文Ａを与えたグループと説明文Ｂを与えたグループに分けて，この両グループ間での回答を比べることにする．なお，表４に見られるように，この両グループのケブラーの法則に対する予備知識（特に，問３，間４）にはほとんど差がなく，両グループにおけるケブラーの法則への理. 解度の差は，説明文の差によると考えてよいであろう．表５に，問５以降の選択回答式の問題に対する両グループの回答分布を示した．選択記号のうち丸で囲ったものが正答である．また，間番号の下の数値は，両グループの正答率の有意差の程度を示す値である（ただしすべての間において，回答区分は正答と誤答のただ２つに分けてＺ２値を求めたので，自由度は１である）．この表に示されているように，すべての間で，説明文Ｂを与えら. れたグループの方の正答率が高い．これは期待どおりの結果である．値にも示されているように，その差は一般に小さい．すなわち，間９，問１３しかし，問１５を値が１以下とは，有意水準が０除いてｚ２値は１以下である．．３よりも大きいということであり，両グループの差が統計的ばらつきのために起きた偶然の結果としても十分説明できることを示している．先にも述べたように，間６においては，それは予想されていたことであるが，間７，問８，. づべ問１１，問１２において差が小さかったのは，急いで問題をやらせたために，他に比て意味の取りらいこれらの間の意図を理解しないままあてずっぽうに答えた学生がかなりいたからではないかと思われる．実際，問題をやらせて学生の間を回っている時に，これらの問題の意味を数名の学生から尋ねられた．５の間で，それぞれ「面積速度」問９，問１３，，「半長径」．０，問１５においては，有意水準が０，２～０「第３法則の一定の適用範囲」の理解度へ説明文の影響していることが現れている．いずれにせよこの調査は，ある程度ケブラーの法則への予備知識のある大学生に対して行ったものであり，予備. 知識のない高校生に対しては，説明文の影響が更に大きいものと思われる．一方表６には，自由記入の問題に対する回答状況が示されている。問１０を除き，説明文の是非の１３９.

(11) . 吉. 岡. 一. 男. 表５ ▼説明文Ａを与えたグループと説明文Ｂを与えたグループのケブラーの法則の内容に対する理解度説明文Ａのグループ：５８名説明文Ｂのグループ：７９名全体１３７名問番号〆値選択記号 ⑥ ｂ６０．４４８. ｃｄ. ｂ７０．５０７. ｃ. ④ ③. ８０．７７２. ｂ. ｂ. ９２．９３７. ◎ ｄｅｆ. ④ １１０．０８２. ｂｃｄ. ③ １２０．４７８. ｂｃｄ. ③ １３１．９９１. ｂｃｄ. ③ １５２．１１４. ｂ. 説明文Ａグループ. 説明文Ｂグループ. 回答数（％）. 回答数（％）５６（７０．９）０（０．０）１２（１５）．２１（１３）．１０（１２）．７７（８．９））７（８．９１０（１２．７）４）３（５４．４１１５２（２．）６６（８３．５）５（６．３）８（１０．１）１（１．３）３（３．８）３０（３８．０）１８（２２）．８）８（１０．１１９（２４．１）３６（４５．６）１６（２０．３）１５（１）９．０１２（１５，２）２９（３６．７））６（７．６２３（２９１）．２１（２６．６）６４（８１．０）５（６．３）３（３），８９７（８．）２５７（７．２）８（１０．１）１４（１７，７）. ３８（６５．５）４（６，９）２（３．４）０（０），０１０（２４．１））５（８．６５（８．６）８（１３．８）２８（４８３）．１２（２０）．７４５（７７．６）９（１５．５）４（６．９）２（３．４）３（５２）．１４（２４１）．１４（２４１），６（１０３）．１９（３２８）．２５（４３１）．１４（２４１）．９（１５，５）１０（１７，２）１８（３１），０）５（８．６１９（３２）．８１６（２７６．）４１（７０）．７１４（２４１．）０（０．０）３（５．２）３５（６０）．３１１（１９０）．１２（２０．７）. 全. 体. 回答数（％）９４（６８．６）２（３．４）１４（１０，２）１（０．７）２４（１７．５）１２（８．８）１２（８，８）. １８（１３１）．１（１７５．８）２４（１７．５）. １１１（８１．０）. １４（１０．２）１２（８８）．３（２．２）６（４．４）４４（３１）２，３２（２３．４）１４（１０．２）３８（２７．７）１（４６４．５）３０（２１．９）２４（１７５）．・２２（１６，１）. ４７（３３）４，１１（８．０））４２（３０．７３７（２７．０）. １０５（７６．６）. １９（１３．９）３（２．２）１０（７３），９２（６７，２）１９（１３．９）２６（１９，０）. 影響は受けない問題と考えられるので（事実，間５と問１４においては両グループの間で正答率に明確な差は見られなかった）両グループをまとめたものが示されている．なお，回答内容の欄の「誤解による回答」とは，問題をこちらの意図した意味に解さないで，たとえば問５において焦点を「惑星の公転軌道における太陽の位置」と書いたような回答を意味している．この表に見られるように，そもそもケブラーの法則理解の前提条件である楕円の理解が，全く足. りない．この事情は高校生でも変わらないであろう．本論文では触れないが，数学との連携の必要性を示している．あるいは，楕円の概念を使わないで，惑星はほぼ円軌道を描いているものとして，第２と第３法則だけを教える可能性も考える方がよいのかもしれない．また問１４において，平均距離を「近日点距離と遠日点距離の平均」と正しく答えた者は一人も居なかった．これは問題の出し. 「誤解による回答」が２方が悪かったせいもあるが（８．５％もある），平均距離の意味を正しく理解し. ている学生が，非常に少ないことを示すものである．なお問１０の正答率には，説明文Ａを与えたグ. １４０.

(12) . ケブラーの法則の記述について. ループと説明文Ｂを与えたグループの間での差が見られ，前者が１７．２％，後者が２５．３％で尤２値が. １．２７５であった。そしてまた，この間だけに（先ほ. ど述べた講義受講のグループ分けの）ＡグループとＢグループの間で正答率に大きな差が見られ，前者が２９．８％，後者が１６．３％であったこれは．，. 前者に理数系専攻の学生が含まれているので，問１０のような数式を扱う問題に慣れていることによるのであろう。以上のとおり，まだ不完全な調査ではあるが，. 説明文の少しの工夫によりケブラーの法則の理解が良くなることは，十分示されている。今後，さらに説明文や調査方法を改良してより完全な調査. 表６ケブラーの法則の用語に対する理解度（自由記入の問題に対して）全回答数：１３７名. 問番号５. １０. １４. 回答内容回答数（％）正答１４（１０２），誤答６（４，４）誤解による回答２４（１７，５）「分からない」または未記入９３（６７９），正答３０（２１，９）誤答１１０５（．９）誤解による回答０（０，０）「分からない」または未記入９２（６７２），正答０（０，０）誤答２５（１８２），誤解による回答３９（２８５），「分からないーまたは未記入７３（５３．３）. を行いたいと思っている. ＶＩケブラーの第３法則地学教科書におけるケブラーの法則の記述自体に対する問題点を述べてきたここで記述内容，．）に関して一つ気になる点があるので，簡単に述べることにする７。それは，ケブラーの第３法則のより正確な表式として，たとえばＢ社のように（表１参照）．３ α. －あ（Ｍ十ｍ）. （２）. （Ｇは万有引力定数，Ｍは太陽質量，ｍは惑星質量）を載せている教科書のあることである表１．には示されていないが，Ｅ社の教科書でもケブラーの法則の説明の中で，「第３法則については，太陽の質量をＭ，惑星の質量をｍ，太陽と惑星との平均距離をａその，公転周期をＴとすれば，一般化されたケブラーの第３法則は次のようになる３ α. この式は，ａ３／Ｔ２が２つの天体の質量の和に比例することを示している。しかし太陽の質量は非常に大きく，最大の質量をもつ木星でも，太陽の１／１０００以下であるから，３／Ｔ２＝一定という関係が成り立つことがわかる太陽系の惑星については十分正確に，ａ．一般化されたケブラーの第３法則は，太陽と惑星との間だけではなく惑星と衛星連星の主星，，と伴星など，万有引力によって公転しているあらゆる天体間で成り立っておりこの式によって，，太陽，惑星，連星，銀河系などの質量が求められる」（原文の記号を一部変更）．すなわち，（２）式で表された（Ｅ社の教科書の表現を借りるならば）一般化されたケブラーの第. ３法則がより正確な式であるけれども，Ｍ》ｍだからｍを無視することができて（２）式は次のよ，. うに書ける. １４１.

(13) . 吉. 岡一. 男. α３. （３）. . ここで右辺は惑星によらないから，左辺も惑星によらない定数と見なすことができ，ケブラーの第３法則が成り立つ．これらの教科書では，このように説明しているわけである．３／Ｔ２とＧ（Ｍ十ｍ）／４〃２とのところが，（２）式の方が（３）式よりも正確である（すなわち，ａ２３／Ｔ２とＧＭ／４〃との差よりもずっと小さい）と言えるのは，実は金星，地球，木星ぐらい差がａで，他の惑星ではとてもそうは言えないのである．これを示したのが，表７である．この表でａと）に載っている値である（理科年表の値ではＴの桁数が足りない）１９８４年版）８Ｔのイ直は，天文年鑑（．，また，５列目も４列目と同じく，天文単位を長さの単位，太陽年を時間の単位に採っている（ちな２の値は０９９９９２０である）したがって（２）式が厳密に成りみに，同じ単位で表したＧＭ／４〃，．．立つならば，４列目と５列目の値は一致するはずである．しかしこの表に見られるように，上述の３つの惑星を除き両者の一致は良くない．これは，（２）式が厳密に成り立つのが，太陽と当該の惑星のみが存在してお互いの万有引力で運. 動する，いわゆる２体問題の場合であるのに対して，現実には他の惑星による摂動の結果（２）式からのずれが生じる，という事情によるものである．そして，上述の３惑星を除いて，（２）式が（３）式よりも正確とはもはや言えないほど摂動によるずれが大きくなるというわけである．. ‐ このような事情にもかかわらず，ケブラーの第３法則の説明の所で（２）式を出している教科書があるのは，先ほど挙げたＥ社の教科書の引用文の終わりに書かれていることからうかがえるように，教科書の後の方で，特に連星の質量を求める際に使われる式として言及されることが考慮に入れられたためであろう．しかし，このような扱い方には，筆者は２つの理由で疑問を覚える．１つは，今まで述べたように太陽系内の天体に対しては，（２）式が（３）式よりも正確だとは必ずしも言えないこと．もう１つは，高校段階では（３）式を定量的に導くことはできるけれども，（２）式を導くことには無理があるからである．したがって，（惑星に対する）ケブラーの第３法則の理論式としては，（３）式に）とどめておくべきであろう９．. 表７惑星水星金星. 地球. 火星木星土星天王星海王星冥王星. １４２. ａ（平均距離）. ケブラーの第３法則の検証Ｔ（公転周期）. ３ａＴ２. Ｇ（肌十粥）４ガ２. （天文単位）. （太陽年）. ０．３８７０９９０，７２３３３２. ０．２４０８５２０，６１５２１０. ０．９９９９２１０．９９９９２２. ０．９９９９２００．９９９９２２. ５．２０２８３３９．５３８７６２. １１．８６２１４２９．４５９２０. １．０００９０７１．００００７９. １．０００８７２１．０００２０５. １．００００００１．５２３６８８. １９．１９１３９３０．０６１０７. ３９，５２９４０. １，００００３９１．８８０８８８. ８４．０２３２０１６４．７７１９. ２４７．８２５７. ０．９９９９２２０．９９９９１３. １．００１２００１．０００５６９１．００５６９９. ０．９９９９２２０．９９９９２０. ０．９９９９６３０．９９９９７１０．９９９９２０.

(14) . ケブラーの法則の記述について. ＩＩおわりにＶ. 現行の地学教科書におけるケブラーの法則の記述上の問題刻ま，以上のとおりであった．. 全体として感じたことは，教科書による個性があまりない画一的な書き方をしており，旧教育課程の教科書と比べても，その記述がほとんど変わっていないことである．一般的に，日本の教科書の内容は画一的なものではあるが，この部分は特にそれを強く感じる．これは，本稿で述べたような古くから確立されていることを教科書の執筆者が書く場合，同じ出版社の古い教科書の記述をそ. のまま拝借したり，少し表現を変える程度で載せる傾向があるためと思われる．ページ数や執筆時間など制限の多い日本の教科書の現状ではある程度は仕方のないことかもしれないが，それらの制. 限内でもまだまだ工夫する余地があるのではないだろうか．もともと本研究は，ケブラーの法則および万有引力の法則に対して，画一的な教科書とは別の扱. い方を探る目的で始めたものである．日本の地学教科書の扱いを調べた本稿は，その一部と考えている．なお，ケブラーの第２法則の表現について，北海道教育大学の長谷川俊雄教授から有益なご意見を頂いた．記して感謝致します．. 注および文献１）これは，たとえば次のようにして第３法則から導かれる．すなわち面積速度Ｓは，楕円軌道の半長径ａと半短径ｂ（あるいは離心率ｅ）および公転周期Ｔを用いて，次のように表される．ｓ＝篇ら／Ｔ＝ガメ. ：ア／Ｔ. ①. 一方，第３法則により次式が成り立つ．ａ３／Ｔ２＝Ｃ，（Ｃ，は定数）. ②. ②式を①式に代入してＴを消去すると，. ［；…琴（Ｃｓ＝Ｃ〆冨で. は定数）. ③. 惑星ではｅは小さく，それを無視するとＳαノ冴となる．２）久田隆基「中学校理科教科書における「一定」３頁日本，「同じ」，「等しい」のような用語の使われ方」４３～５教科教育学会誌第６巻１号１９８１年ｉｄｉ）３）１ｎｇｒｎｇ（Ｗ．Ｈ．ＦｒｅｅｍａｎａｎｄＣｏｍｐａｎｙｖｅｓｅＵｎｆｏｌ．Ｒ．Ｋｉ．９３．，ＴｈｅＵｎ，１９７６，ｐ. ｆｅｉｉｎａｎｄＭ．Ｂ．Ｈｏｌｉｉｍｌａｒｔｔｔｔａｎｄ÷ＷｉｎｓｔｏｎｒｎｋｌｅｒｏｄｕｃｏｎｔｏＡｓｒｏｎｏｍｙ（Ｒｅ４）Ｃ．Ｍ．Ｈｕｆ．Ｔｒ．，Ｆ．Ｅ，Ａｎｌｎｔ，ｌｎｃ，１９６７）．７４．，ｐ. ｉｌ）ｃｅ ‐Ｈａｌ５）Ｒ．Ｔ．Ｄｉｘｏｎ，ＤｙｎａｍｉｃＡｓｔｒｏｎｏｍｙ（Ｐｒｅｎｔ．．３２，，ｌｎｃ，１９８０，ｐ６）これは，たとえば次のようにして導かれる．すなわち，公転周期をＴ，時間変数をｔとすると，定義により〈ｒ〉は次式で表される．. ④ ２ｄβ／ｄｔしかるに真近点離角をβ（図１で乙ＡＳＢ）とすると，面積速度＝（／２）×（）であるから，第２法則によりｒ２ｄ″ｄｔ）＝一定すなわち，（ｒ／２）×（２ｄβ ｄｔぱｒ. ⑤. ｔからｄβに変換すると， ⑤式を用いて④式の積分変数をｄ. １４３.

(15) . 吉. 岡. 一. 男. 翫２冗２メタの ‐‘ 翻β ／‘ γ. ⑥. （ただし⑥式の分母は， ④式の分母のＴをたた云と置いた後，積分変数をｄ靴変換したもの）. ここで ⑥式の分母は冗ａｂあるいはろ＝α. ２×（楕円軌道の面積）を表す積分であるから，軌道の半短径をｂとすると，その値は２：アの関係を用ぃて，次のょぅになる．. ⑦ ２一方，楕円の極座標表示の関係式ｒ＝ａ（１－ｅ）／（１十ｅｃｏ）を⑥式の分子に代入すると，それは次の形の積分ｓβ になる．. ３〆－ｆの３（１‐ ２ α. 冗１十｝メター｛１／（十β獅ｓｃｏｓの３. ０. ⑧. ●. ． ⑧式の積分は次の形に表される．（たとえば，森口繁一，宇田川鮭久，一松信「数学公式１」１８７～１８８頁１９６年５岩波書店を参照せよ）．. ２ ” ／上｛・（・十８のｓの３Ｍ. ｛・／２（・一〆“×｛［. ２－（２ｉ１十８のｓβ）（／ｓｎβ／. ：）”冗ｔａｎ（” ” ＊・十８）. ２ ” （夕／２））３１ｔ］ｒＨ｛（１－の ‘ ｛／（１十８のｓの２｝煽一切パー－〆）班将ガ／／２（１ず）班ａｎ（⑨式の右辺の積分. ⑨. 冗２ば２～激に等しいことを用いて ⑦式から１（１十８のｓの２旧例ま，｛１パメーザ））｛／，. 直ちに求まる。） ⑧， ⑨式より， ⑥式の分子は次のようになる．. ３メタｒγ. ３（１メド伽事：メガ α. ⑩. ⑦， ⑲式よりくｒ〉は次の形に書ける．２〈ｒ〉＝３ａ／２－ａ（１－ｅ）／２２＝ａ（１＋ｅ／２）. ⑪. この⑪式が求める式であった．７）本節のより詳細な議論については，「地学教育」に「ケブラーの法則と万有引力の法則の記述について」の標題で投稿中である．８）天文年鑑編集委員会編「天文年鑑１９８４年版」７１頁１９８３年誠文堂新光社９）ケブラーの第３法則から連星の質量決定のための式への筆者の展開案は，「地学教育」に投稿中の「ケブラーの法則と万有引力の法則の記述について」の中で示されている．（本学助手・旭川分校）. １４４.

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