Measure の Extension について
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(2) . 北海道学芸大学紀要 （第二部）. 第７ 巻 第１号. 昭和３１年７月. Ｎ１ｅａｓｕｒｅ の ｅｘｔｅｎｓｌｏｎ に つ い て. 久. 保. 陽. 田. 人. 北海道学芸大学函館分校数学研究室. ｉｏｎ ｏｆ ハ４ｅａｓｕｒｅｓ ・Ｋ ｍ； Ｙｏｔｏ （γｒＡ ： ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｓ ．. Ｍｅａｓｎｒｅ の ｅｘ ｉ ｔ ｅｎｓ ｏｎ に 関 す る 最 近 の 論 文 の う ち、 読 ん だ も の を 総 合 報 告 的 に 述 べ て み た い と. 思います。 理論展開の道すじを主眼としたので筆者の一寸した工夫を施した個所を除いては証 明は 略してあります。 この方面に興 味を持たれる方にすこしでも参考になれば幸甚に思います。 Ｓ１ ， 基. 礎 概. 念. Ｘ を ６ｘｅｄ ｓｅｔ， Ｃ を 又 の ｓｕｂｓｅｔ の ｃｌａｓｓ と す る。 定義 １ ．１ ．１） ＥＥ Ｃ， ＦＥ Ｃ一 ＥｎＦＥ Ｃ ．１ （１ （１ に対して有限個の ＥＩＥ Ｃ （Ｚ＝０，ヱ，２… ー れ） が存 在 し ．１ ．２） Ｅ， Ｆ Ｅ Ｃ， Ｅ仁 て Ｅ瓦仁五ｉＨ 且 β‘ ＋・一 β‘Ｅ Ｃ で ある。 但 し 互。＝ Ｅ， 足 ＝Ｆ と す る。. か. る Ｃ を ゑ〆′ずみ堰 と 呼 ぶ。. 定義 １ ．２ （１．１．１） の 他 に （１ ，２ ，１） ＥＥ じ ， Ｆ Ｅ Ｃ一丑－ＦＥじ ， な らば Ｃ は デカ増 をなすと言う。 特に （１ ．２ ，２） Ｅ元Ｅ Ｃ （メニヱ， ２， … …） →. ひ ＆：Ｅ Ｃ ，. . を満たす時 ｏ‐“”ｇ と名付ける。 定義 １ ．３ （１．１，１） の 他 に βＥ Ｃ一Ｅ′Ｅ Ｃ， （１ ， ３） Ｃ を満たすならば は カメｄ であると呼ぶ. １ ） が成立する時 ぴ方メメ であると言う。 ，２ ．２ 。 特に （. 定義 １ ．４ （１．１．１） の 他 に ＥＥ Ｃ （１ ． ４） ， Ｆ Ｅ Ｃ一 ＥｎＦ Ｅ Ｃ ， を満たすならば Ｃ は 幻“〆” で あ る と 呼 ぶ。 ｆ ｉｎｇ ｉｎｇ ｉｎｇ ｌｄ ｉ ｄ，ｌ 以 上 の定 義か ら ｈａｌ ｉ ‐ ｒ ｒ ‐６ｅ ｔ ａｔ ｃｅ の間には次の関係がある。 ，ｒ ， ぴ‐ ， 賃ｅ ，ｄ. ｌ ｌ ｄ→６ ｄ→ｒ ｉ ｄ五ｅ ｅ ｎｇ 雀琵驚きｎｇ ↓. ｌｎｇ びｍｒ. ↑. ｌ 定義 １ ａｓｓ Ｃ 上で定義された ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｒｅａｌ ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ” が次の条件をみたす時 ，５ ｃ 方 欄 おり αｄｄ訪れ８ “２ｅｑｓ”だ と 呼 ぶ。 （１ （の 二０， ，５ ．１） ＥＥ Ｃ一０≦”（β）≦ 仰 ： ◇Ｅ Ｃ一 ‘ （１ （Ｅ）＋”（ ） ．５ ，２） Ｅ， Ｆ Ｅ Ｃ ‘ ， ＥｎＦ＝０ 且 βＵ Ｆ Ｅ Ｃ→”（ＥＵ Ｆ）＝≠ ．. 特に ー ５ ー.
(3) . １ｅａｓｕｒｅ の ｅｘｔ ｉ Ｎ ｅｎｓ ｏｎ に‘）い て. メキノ） （１ ， ．５ ．３） β，Ｅ Ｃ （Ｚ＝ヱ， ２，… …） ， Ｅきｎ Ｆｊ＝０ （. ‐丘 Ｕ ） ‘Ｅ Ｃ一〆 （ ひＥ．. ｉ‐ １ ，. １コＩ. ＝呂 〆 ＆） ． ・ きコ１. ‘郷 仰 か αα両 疑りβ “２中ｓ”だ と 呼 ぶ。 単 に ｍｅａｓｕｒｅ と言う時は、 両 が成立するならば ゑ は ｃｏｚ 者 を 総称 す る こ と に す る。 ｍｅａｓｕｒｅ が ＥＥ Ｃ な ら ば ”（β）＜ ｍ な る 時 万 物 お で あ る と 呼 ぶ。 ｉｎｇ 上 で は こ の 事 は必 ず しも 成 立 しな い。 ｔｅ な ら ば 有 界 で あ る が ｒ ６ｅ ｌｄ 上 の ｍｅａｓｕｒｅ が ｎｎｉ ｍｅａｓｕｒｅ が有界であれば一般性を失なわず ０≦”（β）≦Ｚ と仮定出来る。 ｋ ｌ Ｃ〔 ご を みた す も の と す る。 ” を Ｃ 上 の ｍｅａｓｕｒ ｅ 定義 １ ．６ Ｃ ， Ｃ を 又 の二つの ｃ ａｓｓ で とす る 時、 Ｃｋ 上の ｍｅａｓｕｒｅ 〆 が 存 在 して、 βＥ Ｃ ならば 〆（Ｅ）＝”（Ｅ） なる時、 〆 は ” の （Ｃ か ら Ｃｋ へ の） ８＃おれｓＺのｚ で あ る と 呼 ぶ。 ｂ ｔ ｄ ｄ ｒｅａｌ ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ β＊ が 次 の 条 さ 定義 １ ．７ 又 のすべての ｓｕ ｓｅｔ で 定 義 れ た ｅｘｅｎ ｅ Ｚｅ“’ ２ｇ”跳γβ で あ る と 呼 ぶ。 ‘ 件 を みた す 時、 Ｃαγの 疑ｏｄｏり’ の ｏｚ ＊ ド ０ （１ ，７ ，１） Ｅこ ｘ→０≦メ（Ｅ）≦ の ： ”（の ＝ （１ ．７ ，２） β〔Ｆ→” Ｅ）受忍 Ｆ）. 〆（＆） （１ ． ．７ ．３） ｛＆｝ に対 Ｌて 〆（ び 風）≦ ． ｘ ＊ に つ い て β が ｍｅａ Ａ仁 に 対 して 〆（Ａ）＝ 〆（Ａ ｎ β）十 〆 ｅ で ある ことを任 意 の ｓｕｒａｂｌ ” ｔｅ “＊ ， ６ｎｉ ） が成立することと定義 し ！き ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ ｓｅｔ の 全 体 を Ｄ（〆）， ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ （ＡｎＥ′ ′ ｌｄ ） と か く こ と に す れ ば、 Ｄ（〆） は ザ行ｅ （メド ， Ｄ （〆） は ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｍｅａｓｕｒｅ の ｓｅｔ の全体を Ｄ′ ） を なす。 ｌｄｌ ザ６ｅ. Ｓ２. ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ の ｅ×ｔｅｎｓｉｏｎ， ｔ ｌｙ ａｄｄｉ ｌｄ 上の ｆｉｎｉ ｔｅ ｆｉｅ. ２ 」 に よ る 次 の 定 理 で あ る。 ｓｋｉ ｉｄ 上の一般的な ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ は Ａ， Ｈｏｒｎ ６ｅ ， Ａ． Ｔａｒ ｌｄ Ｆ＊ に Ｆ を 含 む 任 意 の ６ｅ ｉ ｉ ｌ ６ ｉ ｉ ｆ ｒ は ｔｖｅ ｛ ｅ ｍｅａｓｕ ｅ ／ ｌｔ 定理 ２．１ ６ｅｌｄ Ｆ 上 の ｎ ｔｅ ｙ ａｄｄｉ ， ｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ. まされない。 〆 をもつ。 併 メド の一意性は必 ずしも保住. ｉ ｌｙ ａｄｄｉ ｔ ｔ ｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ の ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ について次の系を ｅ こ の こ と を 使 え ば ｒｉｎｇ 上 の 有 界 な ６ｎｉ 得 る。. ｉｎｇ 疋＊ 上 に ｉｖｅ ｎｌｅａｓｕｒｅ β は 尺 を 含む 任 意 の ｒ ーｄｉ ｔ ｌｙ ａ〔 ｔ ｅ 系２ ．２ ｒｉｎｇ 尺 上 の 有 界 な ６ｎｉ ド を もつ ｉｏｎ メ ｅｘｔｅｎｓ 。 証明 これを示すには、 尺 から ぞ（疋）（尺 を含む最小の ｈｅｌｄ） へ の ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ の 存 在 が示 さ ＊ ＊ ） への ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ の 存 在 は 定 理 ２．１ よ り得 ら れ る か ら 尺 こＦ（疋 ） れるならば、 ぞ（尺） から Ｆ（疋ド に注意すれば証明が終る ” は有界だから βＥ疋 で ０≦“（β）≦ヱ と して よ い。 Ｆ（Ｒ）＝｛互ＩＥＥ. 。. （Ｅ）＝ヱ （β）＝”（ＥＪ （ＥＥ兄） ”・ ‘ ・ Ｒ ｏγ 五′Ｅ疋ふ な る 故、 （尺） 上の ｓｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ β・ と して、 ！ ｉｖｅ ｎｌｅａｓｕｒｅ で ” の ｅｘｔｅｎｓｌｏｎ ｌｙ ａｄｄｉ ｔ ｔ ‘ ｅ －“（互′ ） （序 ＥＲ） とすれば ′ ・ は Ｆ（尺） 上 の Ｇｎｉ. となることがすぐ分る。 （終） Ｓ ３ ｒｉｎｇ ｉｎｇ ｒ. 上の. 上の. ｉｖｅ ｎｌｅａｓｕｒｅ ｔ ・ｒａｂｌｙ ａｄｄｉ ｃｏｕｌ. の. ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ．. ｉ ｔｙ に よ り ｒｉｎｇ 尺 よりそれを含む最 ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ はそ の ｏ ｔ ｉ ‐ａｄｄｉ ｖｉ ｔ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄｄ. ｉ ｉｎｇ 疋ぴ（尺） ま で の ｅｘｔ ｅｎｓ ｏｎ 小 の び‐ｒ. ｉ ｏｎ が を 考 察 出 来 る。 即ち、 尺 よ り 突け（尺） へ の ｅｘｔｅｎｓ. ３ ） であるための必要且十分条件が知られている。 ｉ ｔ ｑｕｅ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ をも と が Ｆび（尺） に ｕｎｉ ｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ ／ 定理 ３ ． ｌ ｒｉｎｇ 疋 上の ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄｄｉ Ｇｉ ｔ な こ と で あ る。 即 ち、 任 意 の 互ＥＲ に対して つための必要旦 ‐十分条件は ” が 尺 上で ｏ‐ ｎ ｅ る. ｕｎｉｑｕｅ. － ６ ー.
(4) . 久 保 田. β＝. 陽. 人. Ｚ＝ヱ． ２… …） な る こ と で あ る。 び 鼠 （Ｅ′ＥＲ） が存 在 して ＃（＆）＜ の （. ） Ｊ ｌ ・ａｎ４ ． Ｖｏｎ． Ｎｅｕｌ. は定理 ３．１ を. 前に定義を掲げる。 定義 ３ ．２ が を 又 上 の. ６ｎｉ ｔｅ ｍｅａｓｕｒｅ. の場合に更に 精密に考察した。 それを述べる. ｌ ｆ ｉｎｇ － ｒ ｏｕｔｅｒｍｅａｓｕｒｅ と す る。 ｈａ. 産ん が が の. ｄｅｔｅｒｎｌ ｌｎｍｇ ｓｅｔ. で. あ る と は 次 の ３ 条件 を み た す こ と で あ る。 ′ ．２ ．１） ＥＥ／ん一 ＥＥＤ （〆） ‐ ば＝ヱ （３ ，２ ，２） ｛尻｝（ ，……） が存在して Ｘ＝ Ｕ 鼠 ，２. ＊ ′〆 （３ ’ （Ｆ） こ ｚ ，２ ．３） ＥＥ ルガ→ 〆（互）＝Ｚ. . ） （ＥＥ ルム. に ｉｎｆ は βこＦ 旦‐ Ｆ ＥＰ（〆） な る Ｆ. に つ い て 取 る。 実 は げ が ｄｅｔｅｒｍｕ ｌ ｌｎｇ ｓｅｔ を も つ こ と 、 ゑだ が ｒｅｇｕｌａｒ な る こ と が ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ で あ る。５）. 然る時には次の定理が成立する。 ｉｖｅ ｉ ｆ ｉｎｇ 疋ん 上 の ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄｄｉ ｔ ‐ ｒ と を ｈａ 定理 ３ ， ｎｉｔｅ ｍｅａｓｕｒｅ とす れ ば ｏｕｔｅｒｍｅａｓｕｒｅ ．３ ′ だ が 存 在 して 疋た ま ‘だ の ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｓｅｔ と な る。 ′ （Ｅ） 且 ルバ ‘ ′ ， 上 で は 〆（Ｅ）＝／ これを使りて次の主定理を得る。 定理. ３ ．４. ｉｖｅ ｌ ｆ ｉｎｇ 尺ん 上の ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄｄｉ ｔ ｔ ‐ ｅ ｍｅａｓｕｒｅ とす れ ば ｒ ” を ｈａ ，６ｎｉ. ＊〔 品 こ＆〆. ＊ 上に ｕｎｉｑｕｅ ｈａｌ ｆ‐ ｒｉｎｇ 及ん. ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅＺ ｉ が存在し ｔ に ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄｄｉ ド ′ ６ ｉ Ｄ ｔ 尺 な あ る な 〆 ） こ と で は こ る て ＃ の ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ と な る。 Ｚ ｅ な 十 件 （ ｎ る必 条 ｔが 。. Ｄ 奪う をみたす任意の. への ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ を考察したが、 Ｈ．ｊ ．Ｐｅｔｔｉｓ 々適当な附加条件で は更に ｌａｔｔｉｃｅ Ｌ 上に定義された ｍｏｄｕｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ は 尺（Ｌ） （Ｌ） に夫， ， 尺α 以上は. ｆ ｉｎｇ ｈａｌ ‐ｒ. からこれを含む任意の. ｈａｌ ｆ ｉｎｇ ‐ｒ. ｉｏｎ が 存 在 す る こ と を 示 した ６ ｅｘｔｅｎｓ 。） こ れ を次 節 で 述 べ る。. Ｓ４ 定義 ４．１. ｉ ｌａｔ ｔ ｃｅ 乙. ｉ ｉｏｎ の ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ． １ａｔｔ ｃｅ 上の ｍｏｄｕｌａｒ ｆｕｎｃｔ. 上の. ｉｏｎ の が 次 の 条 件 を み た す と き ““〆”卿γ で あ る と 言 う ｓｅｔ ｆｕｎｃｔ 。. 丑， Ｆ ＥＬ一の（ＥＵ Ｆ）＋≠（ＥｎＦ）＝の（Ｅ）＋の（Ｆ） ｌｙ ａｄｄｉ ｉ 尺（乙） 上 に 貿ｎｉ ｔ ｔ 定理 ４，２ ｅ ｖｅ ｉｏｎ をもつための必十条件は ＯＥＬ ならば ≠（０）＝０ 且 上 上 で ｍｏｄｕ ｌａｒ な ｍｅａｓｕｒｅ の ｅｘｔｅｎｓ （４ ． １）. ｉｃｅ 乙 上 の ｓｅｔｆｕｎｃ ｉ ｔ ｏｎ と す る。 ≠ が の は・ｌａｔｔ. る こ と で ある。 証明. 上 か ら 尺ん（乙） へ の ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ が存在して ｕｎｉｑｕｅ なることを言えば、 定理 ２ ・よ り ，２. 尺ん（乙） か ら 尺（乙） へ の ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ の存在が （一意性をこめて） 分っているから証明が終る。 ｉ ｔ ｏｎ 中 を 月 ＝Ｅ－Ｆ 品， （Ｌ） 上 の ｆｕｎｃ （Ｌ）＝｛Ｅ－ＦＩＥコＦ， Ｅ ， ＦＥＬ｝ な る こ と に 注意 し て 島， Ｉ （Ｅコ ， Ｅ ，Ｆ ＥＬ） に 対 し て. （ ゑ（月）＝≠（Ｅ－Ｆ）＝≠（Ｅ）－≠（Ｆ） で定 義 す る と 必 の ｍｏｄｕｌａｒｉｔｙ に よ り Ａ の表現の如何にか ６ｎｉ ｉ ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ ｔｅｌｙ ａｄｄ ｔ. わ らず 一 意 に 定 ま つ て 死ん（Ｌ） 上 の. なることが分る。 （終）. ｉ ‐ｅｘｔ ｅｎｓ ｏｎ の存在も の の条件をすこし強めれば証明出来る。 その 更 に 上 か ら 兄ぴ（乙） へ の ｄ ｉ び ｔ ｔ ために二、 三の ｎｏ ａ ｏｎ を 述 べる。 ， γ を 又 の ｓｕｂｓｅｔ の ｃｌａｓｓ とする時 旧 －ＦＩＥＥ Ｕ ， Ｆ Ｅ Ｖ， ， ＦＥ 瑳 Ｅコ巧 ， ｉＥ－Ｆ１βＥ Ｕ ▽ 口 を 夫 々 ／▽ ， 初／ で 記 す こ と に す る。 叉 Ｌ（Ｕ Ｖ） なる記号を入れるために次の定義をする。 ｉ ｌｕｅｄ ｓｅ ｉ ｔ ｆｕｎｃｔ ｃｅ Ｌ 上 で 定義 さ れ た ｒｅａｌ ｖａ ｏ ｌ 定義 ４，３ １ａｔｔ ｌ ≠ が 次 の 条件 を み た す 時 く。 ｉｏｎ で あ る と 呼ぶ ｖａｌｕａｔ.
(5) . 八 ／ ｌ ｉ ′ こィ ）し・て ） ｅｘｔｅｎｓ ｅａｓｕｒｅ α ｏｎ ー. （４ ．３ ．１） ０≦の（Ｅ）＜ｍ （ＥＥム） （４ ａｒ ．３ ．２） の は ｍｏｄｕｌ. ｙ ＦＥ乙）→の（Ｅ）≧の（Ｆ） （４ ．３ ．３） βコＦ （Ｅ ・ ， ′ Ａ′ ′仁 又 おＥ Ｕ ＦＥ Ｖ が存在して ｌ ｂ 上（ロ ｙ ０ Ａ 乙 ） は ｓ ｓ の ｕ ｃ ａ ｓ で任意の に対 して ｅ＞ ． ， ， ， ′ ′ 且 の（Ａ′ ′ Ａ′こ 互亡月こＦ仁Ａ′ Ａ Ａ Ａ ｔ ）－ｅ≦≠（ ）≦の（ ）＋ｅ な る ｓｅ の 全 体 で ある。 叉 ムー は 乙 の ｎｏｎ‐ｚｅｒｏ ｅｌ ｅｍｅｎｔ か ら な る ｓ ｔ の ｃｌａｓｓ と す る。 ｅ. 定理 ４．４ 乙 は. ｌａｔ ｉ ｔ ｌｕａｔ ｉ ｃｅ で の は 乙 上 の ｖａ ｏｎ と す る。 又 の ｓｕｂｓｅｔ の ｃｌａｓｓ び， Ｖ. が. 存在して ７） Ｚ （４ ．４ ，１） Ｕ／ 仁Ｃ（の／ （４ ／Ｌ（口 ）〔乙（豆 Ｖ）／ ，４ ．２） 乙ー ， ｙ） な ら ば、 の の 疋ぴ（上） へ の ｄ‐ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ 少 が 存 在 す る。 ＯＥＬ， ≠（０）＝０ な ら ば 少 は ｕｎｉ ｑｕｅ で ある。 ｉ （４ ｔ ｏｎ で、 こ れ等 が 必 要 と な る の は め に ｃｏｕｎｔａｂｌ ｅ ．４ ．１） ．４ ，２） は 一 つ の ｄｅｎｓｉｔｙ ｃｏｎｄｉ ，（４ ７ ｉｖｉ ） ｔｙ をもたせんがためである。 この内容は Ｈ．ｊ ｔ Ｐ ｉ ａｄｄｉ ｔ ｔ わ に ｅ の諭 女 く ｓ しい ． 。. Ｓ５. Ｃａｎｏｌ ｉｃａｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ・. ｌｄ Ｆ 上 の 丘ｎｉ ｌｙ ａｄｄｉ ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ で ｔ ｔｅ ” を ６ｅ. メド ， “＊ を 夫 々 β よ り ｉｎｄｕｃｅｄ さ れ た. とする。 即ち任意の β仁又 に対して （ ）旧コ ＥＦ｝ 〆（Ｆ）＝ｉ ‘ （Ｆ）ＩＥこＦＥ ｉ， ‘～（β）＝ｓｕ〆‘ ｎｆを （ ｌ ｄ とすれば 〃 の ＦＩ へ の ｅｘｔｅｎｓｉｏｌ と す る。 ＦＩ を 〃〔ＦＩ をみたす任意の ６ｅ ｌ レ は必ず ＥＥＦＩ Ｅ 又 に対して ＆（β）≦ β）≦ 〆（ ） を 満 足 せ ね ば な ら な い。 一 Ｆ よ り 任 意 の ｓｅｔ Ｚ を 坂 出 して Ｆ. ｏｕｔｅｒｍｅａｓｕｒｅ ，ｉｎｎｅｒｍｅａｓｕｒｅ. ｉ Ｚ とを 含む最小の ６ｅｌｄ Ｆ（Ｆ ｏｎ レ で任意の指 ， Ｚ） を作った時 ” の Ｆ（Ｆ， Ｚ） へ の ｅｘｔｅｎｓ ‐ ＊ 定された き； 偽（Ｚ）≦ぎ≦‘ ‘（Ｚ） に対 して し（Ｚ）＝ぎ をみたすものが存在するかどうかという問題 と. ８ が 生 ず る。 Ｊ ． Ｌｏｓ ， Ｅ， Ｍａｒｃｚｅｗｓｋｉ は こ れ に対 して 完 全 な 解 答 を 与 え た。ｉ か る ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ を Ｃα’の〃”〆 ８郷の２雛ｏ” と 呼 ぶ。 定理 ５．Ｉ Ｚ仁 ×－ぞ が ”＊（Ｚ）＜の を み た す な ら ば、 ” の Ｆ（Ｆ， Ｚ） へ の Ｃａｎｏｎｉｃａｌｅｘｔｅｎｓｉｏｎ レ が 存 在す る。 特 に ぎ＝ ＆（Ｚ） 或 は き＝” Ｚ） な ら ば 夫 々 ”（Ｚ）＜ｍ， 〆（Ｚ）＜の の条件の下で Ｃａｎｏｎｉ ｉｏｎ ｃａｌ ｅｘｔｅｎｓ. は. ｕｎｉｑｕｅ. に存在する。. ｌ ｉｎｇ 上 でも ｍｅａｓｕｒｅ を 有 界 と 仮定 す れ ば 次 の 形 で ｃａｎｏｎｉ ｃａ 以上の定理は ｈｅｌｄ で 考 察 した が、 ｒ ｉｏｎ ｅｘｔｅｎｓ. の存在が言われる。 ｌｙ ａｄｄｉ ｉｖｅ 系 ５ ｔ ｔ ｅ ，２ “ を ｒｉｎｇ 疋 上 の 右 界 な ｎｎｉ. ｍｅａｓｕｒｅ. とすれば ＺＥ 甘（疋） に対 して “. の 師〔尺） へ の ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ レ が 存 在 す る。 しか も シ（Ｚ）＝‘ ‘（Ｚ） ， 或 は し（Ｚ）＝乙だ（Ｚ） ｉｏｎ は 夫 々 一 意 に 定 ま る こ な る ｅｘｔｅｎｓ 。. ｉｎｇ を 示 ｔａｒｙ ｒ に 師（尺） は 尺 を 含 む 最 小 の １ ｌ ｅｒｅｄｉ. す。 ｉ ｔ 証明は Ｅ． Ｍａｒｃｚｅｗｓｋｉ の 証 明を 同 様 に 辿 れ ば よ い。 ロー６ｅｌｄ 上の ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄｄｉ ｖｅ ｎｌｅａｓｕｒｅ に対 して は 前 と殆 ん ど同 じに ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｄ‐ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ を 考 察 出 来 る。 た ゞ ＆（Ｚ）＜ の で あ っ て も. 必ずしも存在しない。 Ｍａｒｃｚｅｖｓｋｉ， Ｌｏｓ は次の様な 上の. ｉ ｉ ｌ ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄ（ ｔ ｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ だ 及 ｓｅｔ Ｚ仁又. Ｆｏ（ ‘ の． ／ ，磨け Ｚ） へ の ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ. ｅｘａｎｌｐｌｅ. ｌｄ Ｒα とそ の ‐Ｒｅ をあげ て い る。９） ｏ. が存在して ＆（Ｚ）＝０， 〆（Ｚ）＝ の で あ る が. は存在しない。 そこで次の様に述べておけば十分であ. る。 ｌｄ おけ 上 の ｃｏｕｎｔａｂ ｌｙ ａｄｄｉ ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ と す れ ば 定理 ５．５ ′ ｔ と を ジー６ｅ － ８ －. ＺＥ Ｘ一打び が.
(6) . 久. 保 田. 陽. 人. ｌ ｅｘ七ｅｎｓｉｏｎ レ が 存 在 す る。 こ の 際 〆（Ｚ）＜の をみたすならば ” の 月。（Ｆぴ ｃａ ， Ｚ） へ の ｃａｎｏｎｉ （Ｚ） 或 は し（Ｚ）＝≠～（Ｚ） を みた す ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ は ｕｎｉｑｕｅ で友 し（Ｚ）＝”＊ ）る。 ４ 容 定理５ Ｚ Ｚ は 易に 限 個 Ｚ 有 の Ｉ ． ， ２ ，… …， ％ に対して拡張出来る。 ｌｄ Ｆ 上 の Ｈｎｉ ｌｙａｄｄｉ ｉｎｉ ｉｖｅ ｔｅ ｔ ｔ 定理 ５ ｅ ｍｅａｓｕｒｅ と す る。 有 限 個 の 又 の ｓｕｂｓｅｔ ． ６ β を Ｇｅ ，ｆ 煮， Ｚ２ Ｚ Ｆ ｉ ２ Ｚ Ｚ ３ が ＥＦ ｎ） な ら ば ！ と の Ｆ（Ｆ ） への ， （ ， ′→） （ ＝ ， ，… …， ，… … 悌 ， ， Ｚ ， Ｚ２ ，… …，Ｚ“ ｃａｎｏｎｉ ｃａｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ. が存在する。. 定理５ ，４ を 有限 回 施 せ ば よ い か ら 証 明は 明 ら か で ある。 昼６. 先ず定義より始める。 定義 ６．１ ズ の ｓｕｂｓｅｔ の 限個ょりなる. ｓｔ。ｃｈａｓｔｉｃ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｌ ｌｔ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ. ｃｌａｓｓ Ｃ. が ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎヒ ｓｅｔ よ り な る と い う の は Ｃ のすべての 有. ｓｅｔ 風， ＆ｒ …・ ２ｒ …・ ，１ よ り な る ね， Ｚ ，＆ と ０ ，ん に つ い て. Ｅ ぬ・髭 も …ｏ氏２％キ０. が 成立 す る こ と で あ る。 但 し β１＝Ｅ ， ＥＯ＝ 理 と す る。. 定義より分る様に ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｅｔ よ り なる ｃｌａｓｓ Ｃ には ｄｉ ｓ ｏｉｎｔ ｓｅｔ は存在しない。 したが Ｊ っ て Ｃ 上の任意の函数しは ｖａｃｏｕｓｌｙ ｍｅａｓｕｒｅ で ある。 そ こ で し を Ｆ（Ｃ） に 拡 張 して ｍｅａｓｕｒｅ ならしめうるかどうかという問題が生ずる。 事実 Ｃ 上の り≦ン（Ｅ）≦Ｚ をみたす函数は Ｆ（Ｃ） ，. Ｅぴ（Ｃ） に拡 張 出 来、 夫 々 ｉｎｉ ｌｙ ａｄｄｉ ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ， ｃｏｕｎｔａｂｌｙ ａｄｄｉ ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ ならしめ且次 ｔ ｔ ｔ ｅ ｉ ｔ ｔ に述 べる ｓ ｏｃｈａｓ ｃ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎ［ の 性 質 を も た せ る こ と が 出 来 る の で あ る。 こ れ 等 の 研 究 は Ｅ ． ０ ） Ｎ［ａｒｃｚｅｗｓｋｉ に よ る １ 。. 定義 ６．２. ６ｅ ｌｄ Ｆ 上の ｍｅａｓｕｒｅ ｛ ｉ ｔ ｔ ｏｃｈａｓ とが ｓ ｃ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ で ある と は 有限 個の 威 Ｅぞ. ｉ＝１ （ ｎ 鼠中 島 ・ｉキｊ ） に対 して、 〆（鼠・＆ － …・・Ｅ“ ） ＝ ／！′ ．２ｒ …・ （ＥＰ な る こ と で ある。 ‘ ， . 定理 ６ ．３. Ｃ を ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｅｔ （ｄ‐ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｅ ｔ ） の ｃｌａｓｓ と す る。 しか る 時 は Ｃ 上で り β 定義された ≦し（ ）≦ヱ をみたすすべての函数に対して Ｆ（Ｃ）（Ｆ １ Ｃ）） 上 に ６ｎｉ ｌｙ ａｄｄｉ ｔ ｉｖｅ ｅ ｔ ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ） ′ ｍｅａｓｕｒｅ （ ｔ ｃｏｕｎｔａｂｌ ‘ ｙ ａｄｄｉ. が存在して. ｉｏｎ で 且 ” は Ｃ に つ 〆 は ン の ｅｘｔｅｎｓ. き とは定義 ６ ．１において有限個の 鼠 の 代りに ｓｅｑｅｎｃｅ 遜り に 対 して 対 応 す る 式 が 成 立 す る こ と で あ る。 ｉ ｃ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ で ある。 た ゞ し ｄ ｓｔｏｃｈａｓｔ ‐ｉｎｄｅｐｅ ・ ｌｄｅｎｔ. ｌｄ の 集合 風（ こ の考 察 をも う す こ し広 め て、 いく つ か の 負ｅ ｔＥ ｒ） と そ の上 の 行ｎｉ ｌｙａｄｄｉ ｔ ｉ ｔ ｅ ｖｅ ｉｐｌ ｉｃａｔ ｉｖｅ ｅｘｔｅｎｓ ｔ ｉｏｎ で あ る １ ｌｕｌ に ａｎａーｏｇｏＬ １ ｓ な 議 論 を したのが次に述べる １ 。. ｍｅａｓｕｒｅ ！ ‘ ず. １ ） 【ｕｌ ｉＰ１ ｉ ｉｖｅ ｅＸｔｅｌ ｔ 葺ア Ｍ ｃａｔ ｌｓｉｏｎ１. １ ｌｄ の ｆａｍｉ ｌｙ 足（ ｔＥ７ ） を 又 の ｓｕｂｓｅｔ よ りな る ｎｅ ｉｖｅ ” は 凡（ ｔＥ ｒ） 上 の Ｇｎｉ ｌｙ ａ（ ｌｄｉ ｔｅ ｔ ，ノ ， 行ｎｉ ｔｅ ｍｅａｓｕｒｅ と す る。 明 り が しけ につき ａｌｎｌｏｓｔｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ（小ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ） で あ る と は、 １ に 対 して 鼠 ＥＦ 賃ｎｉ ｉｎＲｎｉ ｔ ｔ ｅｉｎｄｅｘ （ ｅｓｅｑｕｅｎｃｅ） んＥ７ （Ｅリミリ な ら ば Ｅ， ．＆ － …， ．Ｅ“． め だか ， ｌｄ Ｆ の ｎｌｅａｓｕｒｅ で ｛Ｃ …… ＼０ とす る。 叉 ｇ は ６ｅ ｉ ｌｙ と す る。 ｝ は 〃 の ｓｕｂｃｌａｓｓ の ｆａｎ ・ ‘ ｉ Ｇ が！ ｃ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ で あ る と は、 巧 Ｅ Ｇゴ ‘につ き ｓｔｏｃｈａｓｔ （ね干為Ｊ キゾ） に 対 して ”（Ｅ．…… Ｅ“ ） ／〆（Ｅ′ ｌｄ Ｆ の ｓｕｂｎｅｌ ） な る こ と に す る。 更 に 兄 を 行ｅ ｄ と し、 ＝ ／ ． ‘コ１. と した時 政 の. Ｆ への. 角 を 兄 上 の ｍｅａｓｕｒｅ. ｉｏｎ レ が ・ ｃｏｎ ｉｐｌ ・ｍｏｎ ｅｘｔ ｉ ｉ ｅｎｓ ｔ ｎｕｌ ｃａｔ ｖｅ で あ る と は 凪 が し に つ き. であるとする。 次の結果は Ｅ． Ｍａｒｃｚｅｗｓｋｉ に よ る も の で あ る。 １ 行 ｌ ｉｖｅ ｌｙ ａｄｄｉｔ ｔＥ７ ｔｅ ｎ・ｅａｓｕｒｅ の ｆ ｌｙ と す る。 ） 上 の ６ｎｔ ｅ 角 を ｅｄ 兄（ ａｍｉ ， Ｇｎｉ. ｉ ｓｔｏｃｈａｓｔ ｃ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ. 定理 ７．１. しか らば ′｛ ‘の. ｌ ｉ ｉｖｅ ｅｘｔ ｉｏｎ が存在するための必十条件は ｆ が （ Ｕ 足） へ の ｎｌｕｌｔｉ ） ｃａｔ ｅｎｓ ｌ 角 ＺＥ Ｔ.
(7) . ｉｏｎ に‘）い て Ｎ１ ｅｎｓ ｅａｓｕｒｅ の ｅｘｔ ａｌｍｏｓｔ ｉ ｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ で あ る。 ｉｏｎ に対応する必十条件は未だ知られていない １ ‐ ｄ ｅ ｘｔｅｎｓ 定理７ の ． 。. につき. 次に上定理を. ｒｉｎｇ. ｉ の時に拡張することを試みる。 簡単のために、 ｒ ｎｇ疋・尺２及その上の有界な. ズ＝ヱ， ２） に つ い て 考 察 す る。 二 つ の ｒｉｎｇ 尺・ ｍｅａｓｕｒｅ ｏ≦‘ （Ｅ）≦ヱ （ ・ ， 疋２ が ′ロ メ２ に つ き ａｌｎ・ｏｓｔ ｌｄ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ で ある こ と を ６ｅ. 一般に. の場合と同様に定めておく。. ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ β は Ｆ（尺） に ｅｘｔ ｉ ｌｙ ａｄｄｉ ｉ ｉ ｔ ｔ ｒ ｅ ｏｎ を も つ か ら ・ｇ 兄 上 の 有 界 な ６ｎ ｅｎｓ ・. ＊ と す れ ば Ｆ（品） Ｆ（什） が ′とき ｉ ） へ の ｅｘｔ ） ｏｎ を ‘〆，！ ｅｎｓ と （系 ２ ２ ２ ．， ， ， Ｆ（尺３ ．２）、 ぬ，≠嬢 の Ｆ（尺・ ＊ につ き ｉｍｏ 尺 疋 ｄ ｉ が ｄ て の で め れ ｔ る 件 間 ら る ｔ 求 な 条 な ら ばよ い と ” ｅ ｅ ｅ ｎ こ に ２ ・‘ ｌ ｎ ｓ ２ ‘ ｌ ・ な ａ ｐ ！２ ，. る。 次の定理が示される。 ｉｎｇ 尺Ｉ と 定理 ７， ２ ！‘・ ２を ｒ ，′ ， 尺２ 上の有界な. ６ｎｉ ｉ ｉｖｅ ｍｅａｓｕｒｅ と す る。 ｔｅｉｙ ａｄｄ ｔ. ｌｍｏｓ ｔｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ で あ る。 ‘ （７ ２ につ き ａ ，！ ．２ ，１） ＲＩ 尺２ は ”・ Ｆ Ｆ Ｆ ０ ヱ ７ ２ ２ ≧ Ｅ る は ） ＞ （ ２ な ‘ ｇ１（β）＞０ な る ｓｅｔ ＥＥ ・ を 含 ま な い。 （， ， ！ ２ ◇，ヱ＞！ ≧ ≧Ｐ ならば 又半ＡＵβ （Ｆ） （Ｅ）≧… 〈 ‘ ・ ２ ， ．２ ，３） ヱ＞′ ｉｖｅ ｅｘｔｅｎｓ ｉｏｎ が存在する ｉｐｌ ｉ ｔ ｃａｔ ， ”２ の ｍｕｌ 上の 三条件が成立すれば 尺（尺・ 。 ，Ｒ幻 上に ”・ ） ）が 証明 Ｆ（尺）＝｛β１ＥＥＲ 伊 厘 Ｅ町 なることに注意 して、 上の三条件の下で Ｆ（尺・ ， ぞ（尺２. ＊ ＊ 定理７ ） 上 に ”， ．１ よ り ぞ（元・ ， 疋２ ，ぬ ｉ ） で あ る か ら ” は求むる ）こ Ｆ（尺・ ｉ ｉ ｉ ｏｎ ゑ が 存 在 す るｏ Ｒ（Ｒ１ ｅｎｓ ｔ ｖｅ ｅｘｔ ｃａｔ の ｍｕｌ ｐｌ ， Ｒｚ ， Ｒ２ ド に つ き ａｌｍｏｓ ＊ メメ ｔｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ な る こ と は 容 易 に 検 ｉｏｎ で ある。 Ｆ（尺． ） が ‘” ） ｅｘｔｅｎｓ ， ， （Ｒ２ ＊ につ き ａ ｌｍｏｓ ｔｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ な る こ と を 示 せ ば、 とき， ＃２. 証される。 （終） ｉｎｇ の場合には必ずしも言 ７ ｌｄ な ら ば （７ Ｆ． ．２ ，３） が 出 る が、 ｒ ．２ ．２ ．２） ，１） よ り （ ，（７ ， Ｆ２ が ６ｅ ｌ ｉ わ れ な い。 した が っ て （７ ．２ ．３） は ｒｉｎｇ の場合には ｅｓｓｅｎｔａ で あ る。 ．２ ．２） ，（７ 参. 考. 女. 敵. １ ｐ・８４ Ｄｅｆ１０ ｅｇｒａ ｅｓ ａｎｄ ｌｎｔ ｏｒｓ ｖｏ１１ （Ｍｅａｓｕｒ ｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔ ｎａｎｎ： Ｌｉ ｔ ．１ ．２ １） Ｊ ・ ｖｏｎ． Ｎｅｕ ． Ｔｒａｎｓ ． Ａｍｅｒ ． Ｍａｔｈ ． Ｓｏｃ ６４ （１９４８） ２） Ａ． Ｈｏｒｎ ａｎｄ Ａ． Ｔａｒｓｋｉ： Ｍｅａｓｕｒｅｓ ｉｎ Ｂｏｏｌｅａｎ ａーｇｅｂｒａｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｌ ．２１. ． ・Ａ ｅｏｒｅ Ｉ ．ｏｓ： Ｍｅａｓｕｒｅ ｔｈｅｏｒｙ （１９５０） ｐ １ １ ．５４ ， ｎｌ ３） Ｐ・ Ｒ． Ｈａｌ ４） （１） ．３ ．３ ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ｌｏ ．１１６ ．ｐ ） ５） （１） ．１０ ．２ ． Ｔｈｅｏｒｅｍ ｌｏ ．１ ． １０４ ｉ ｆｎ Ｅ ｉ ｔ ・ ｅａｓ ｒｅｓ Ｐ Ｌ ［ ｏ ｎ ｏ １ ｐ １８６‐１９７ ｎ ｔ ｘ ｅ ｓ ｅ ６） Ｈ．Ｊ ｓ： ． ．ｏｆ Ｍａｔｈ．ｖｏ１５４ （１９５１） ｐ ． Ａｎｎ ．. ～ 滑 ７） （６） Ｐ ．１ ｐ ２６７－２７６ ．３６ （１９４９） ｐ ． ． Ｆｕｎｄ ． Ｍａｔｈ ８） Ｅ． Ｍａｒｃｚｅｗｓｋｉ ａｎｄ Ｌｏｓ： Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｓ ９） （８） ｐ ． ２７４ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５. ｉ ｇｄｅ ｌ ｉ ｉ ｌ ｉ ｅｓｕｒｅ ｒ ａｐｐ ａ ｔｈｅｏｒ ａ ｎ ｔ ｃａｔ ｏｎ ａ ，ｌ １Ｏ） Ｅ． Ｍａｒｃｚｅｗｓｋｉ： ＢｎｓｅｎユｂｌｅｓｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｓｅｔｌｅＬ ． Ｆｕｎｄ １ ３ ‐ ２ ８ ｈ Ｍａｔ ３５ （ ８ １９４ ） ｐ．ｐ １１ ） Ｂ． Ｍａｒｃｚｅｗｓｋｉ： Ｍｅａｓｕｒｅｓｉｎ ａｌｍｏｓｔｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ 行ｅｌｄ． Ｆｕｎｄ． Ｍａｔｈ．３８ （１９５２） Ｐ．Ｐ ２１６一２２９. －‐ｌｏ 一.
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