自動制御系に適用する漸近法の諸形式について 利用統計を見る

諸形式について

（昭和39年9月10受理）

前

沢

成

一

郎

Notes on Various Forms of the Asymptotic Method

Applied to Automatic Control Systems

SeiichiroMaezawa

       SynOP8cis      This study has or．iginated from the discussion following the qdress by Prof． Ichikawa  of Nagoya University−before the 2nd Annual Meeting of the Society of Instrument and  Control Engineers he・ld on the 2 nd， October，1963． Since then， wh i“le discussions on his  succeedihg’three adresses on similar probユems continued， the author has been trying to find  the suitable forms of the asymptσt・i’c method favourbly applied to various nonli血ear control  systems．      Special features of autolnatic control systems consist in the situation fhat damping of ，considerable amount is present and血any essentially nonlinear elements are frequently’  included in them．      1T…p・with this situ・ti・n・th・g・n・・ating・・luti・n・・血・・t・・ting POint 1・f apPlying  the asympto七ic method should be carefuユly selected． The good selection飽ables us， already  at the first approximation， to obtain the accuracy℃o壬responding to that obtai・ried by the se− cond approximation of the ord．i・nary form of the asymptotic method．

1まえがき

 最近Boro刀lo60B−MHTPOHO肪℃KHHのA斑MnTO−

THqecKne M．eTo頁bf B TeOprm’HenHHeHHblx Ko− ne6aHllvai）が益子氏の邦訳2）「によって紹介されたのを 機縁として、我国でも非線形自動制御系の動作の種々 相に対して、漸近法を適用することが試みられるよう ．になった。特に名古屋大学市川邦彦氏の一連の研究は 著しい。著者は市川氏のこれ等の諸講演にっいて、そ れぞれの学会から討論を依頼せられた関係もあって、 漸近法の非線形自動制御系の適用についてこの一ケ年 間に種々考える所があった。学会誌の討論欄の紙数は 甚だ限られているので、ここにこれ等の考察を取まと めて報告して置きたい。

2 過渡応答の計算

特に追従自動制御系では重要な特性の一つであると ころの過渡応答の計算は、非線形自動制御系では線形 の場合と異って周波数応答から変換出来な・い関係もあ って殊に重要な課題となる。  最初の例は第1図にブロック線図を示す飽和ゲイン ニ次系の過渡応答を求める問題である。飽和要素の特『 性を    …＝M・・nh （i・）・…・…・一・…一（2．・・） と仮定している。第2図に示す通り原点における傾斜 はK、飽和値がMである。  ステップ入力またはインパノレス入力に対する過渡応 Fig．1． ］Block ’Diagrani for℃ontrσ1 System with Saturating Gain Element．

昭和39年12月

山梨大学工学部研究報告

第15号

酬城笛・

M  ∫．0 20 ao Fig．．2．． Characteristics of Saturatipg Gain Element． 答は微分方程式

   嘉＋D筈臓nh（幕づ一・

      ’’’”‘’…………・’・”（2．02） で規定される。    ω＝〆瓦厄，λ＝D／2ゾ短一…………・（2・03） を用いて独立変数および従属変数を次のτおよびXに 変換すると    ・一ωちx・＝IS・ ’∵・……・・∴………・．（2・・4） 微分方程式は    馨＋2橿＋・・nh・x−・…・…・……・（2・・5） となる。  これに漸近法を適用するのに普通通りに調和振動系 から出発して（d／dτをダッシュ’で表わす）

   ‘㌘竺認＿2λ沁・…・（2・・6）

として、第二近似を取ると    x−・…φ㌔茎（H2n＋・（α）      c・s（2n＋12n＋1）2−1）φ       ’’’’’’’’’’’”‥・・’・・・…  （2．07）、    票〒λ｛一・＋÷・・☆（H、（α  α））｝    縣三・一÷λ・＋÷（H・（α）＿1α）      ；（！z）’1！9（a）−1）2

    ＋☆誉、昆湯譜竺11（a）

      ”δ・・………・… （2．08） となる3）。ここにH2π＋1（α）はtanh（a cos ’￠）のフt−−p リェ級数展開    tanh（a cosφ）＝Hl（a）cosφ十H，（a）cos 3φ十       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （2．09） の係数をぽたH・2…（・）は☆H’・n＋・⊆・）を劾 す。  （2．08）からの計算結果を市川氏の論文から転載し

12

3、0 2．0 1，0

o

 o

Fig． 翼冗又1“ヲメ ワ，変化淑オ三 る調…皮3で） ＼ “、● ＿＿＿ぷ近 @  ルン D．．《江良 法カニ近似 Eクッタ・キ’ル ￨約∂…カー 法近似 、 、● 、 、 “ 、 ∨ 、 “ 、 、 、 へ 、  ，、0 2、。 3、・ 4．・ ω・カ 3．  Compari 8 n of Results by    Various Methods． て第3図に示す。  これは漸近法の第二近似であるため（2・08）式を導 出するまでには可成りの量の計算が必要であり・また 自動制御系のように大きい減衰（入＝＝O．5以上）項を 右辺にまわして摂動と考えることは不自然でそのため 誤差も大きいのではないかと想像される。  この場合減衰項は線形項であるから、これはその儘 左辺に残して原方程式を

   c’t＋㌘㌘；竺㌫｝…（2…）・

と書換えて、線形減衰振動解を母解として出発した方 が誤差もtanh xの非線形性だけに起因するものとな るので見透しもよくまた誤差自身も小さくなると予想 される。  また小さい摂動項に起因する振幅変調と周波数変調 を伴う振動形態で動作を捉えようとする漸近法より も、任意の非線形性を取扱うことの出来るパラメータ ー変化法の方が、今の問題のような非線形性の大きい 系の過渡応答の解析に適していると思われる。  一般に非線形微分方程式    x”十22ct十x＝g （x， v「〉・………・…（2．11） において、母解を    X・・ce一λ・・C・Sφ，φ＝9・＋θ， q＝VI＝万       ・・・・・・・・・・・… ‥・・・・・…  （2．12） として、Cとθをパラメeタ rdに撰び、 また補助条 件を    c「cosiP−cθt sinφ＝0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （2．13） と取ると、速度〆は線形減衰系の場合と同形の    」ct＝＿ce−）、T（（7 sinφ十λcosφ） ・・・・・・…  （2．14） となり、更に（2．14）を微分して〆を計算して（2・ 12）（2．14）と共に原方程式（2．11）に代入すると    一cr q e一λTsingb−Cθt g e一λTcosip     ＝・9（x，め・…………・…………・（2・15）

となるので（2．13）（2．15）をct，θ’にっいて解く と、パラメeタr−一のcとθを規定する微分方程式は

：1：‡三：llレ（∵）

となる。表現の簡単化のため     a＝＝ce−一）Lγ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （2．17） と置いてa，φをパラメeタ r一と考えると・解は     ㌘鵬、i。φ＋λ。。、φ）｝・…・…・（2・・8）

   ㌘∴蕊蝋ザmφ／

   ダ∵蕊ごφ・『輌／

      ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （2．19） で与えられる1以上は厳密式で何等の省略を行ってい ない。すなわち我々は変数変換（2．18）によってxに 関する二階の原微分方程式（2．11）のかわりに、α， θに関する二個の一階方程式（2・19）を得たのであ る。  当面の場合は     g（x， x’）＝x−tanh x ・・…………・（2．20） だから、フーリエ展開（2．09）を用いると（2・19）式は

   ÷芸一＋÷｛（1＿H・（a））…φ

    一芝、H2n＋1（a）cc・（2n＋・）φ｝・i・φ

   晋…÷｛（・−H‘α））…φ a

    」ξ、rα）…（2n＋・）φ｝…φ       ．…・………・… （2．21） 初期条件を    。＝0・x＝x（0），dx／d・＝0・・………・（2・22） とすれば（2．18）から    φ（・）＝＝ 一・・r・÷・     ・（・）−x（・）V・＋一芸……・・……・…（2・23） となる。   （2．21）を即座に解く方法はないと思われるので  （2．21）の第二項は小さいと考えて繰返し法を適用す ’ることにする。すなわち最初はこれを無視して第ゼロ 近似として    才冷竺一二λ・望一￠・…・・…・・（2・24） すなわち    a（・）＝・（0）・一λ・，φ（・）＝φ（0）＋q・：・・…・（2・25） を取り、第m近似a（m），φ（m）と第m＋1近似a（m＋1）： φ（m＋1）の関係を次のよう規定する。 。，h．、）4α芸＋1）一＋十｛（  H（a（m1−    a（m））））…φ（m》 一芝、砺霊（m））…（2紺）φ・m・｝・i・φ（m） 4φ￨＋1）一・一÷｛（  H（a（m1−   a（m））））…φ伽・ 一芝、砺；1霧⑳）…（2・＋Dφ・m・｝…φ（m）       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （2．26）  実際に積分するにはAτ＝0．2と取って梯形則によ る数値積分を用いる。  第5高調波以上を省略して計算した結果が第3図に プロットしてある。Runge−Kutta−Gi11法は電子計算 機によるものであり、殆んど厳密値に近いと信せられ るので（市川氏）、このパラメr一タ・一変化法による結果 は非常に高精度であることがわかる。  次にそれでは線形減衰解から出発する漸近法はどう なるであろうか。これにっいては市川氏が著者の討 論4）に対する回答に述べられたように市川氏自身が新 しい方法を開発中であると聞いている。一方著者は討 論当日以後ソ連文献の調査を志したが、語学力の不足 と他事に煩わされて進まなかった。しかし最近に至っ て漸く文献7）8）9）の存在を知った。文献9）は未だ入手 出来ないが文献7）8）によれば、やはりソ連は漸近法の 発祥の地（ミトロポノレスce 一の漸近法の原著1）初版 は1955年）だけあって、線形減衰系から出発する漸近 法についても特にキエフ学派によって可成りの研究が 積まれその手法も標準化しているように見える。  そこで先づfionOBの方法にっいて紹介しよう。 非線形微分方程式     E，十22x十x＝εg（x， x）・・・・・・・・・・・・…  （2．27） において、解を    x・・a。・・φ・…………・………・…・・…・…（2・28）

量1∴∴／一…（2・29）

と置いて、ε2の精度で原式を満足するようにすると・ φ1とBlは次の連立微分方程式から定められる・

：1蕊ぜ÷）｝一く2・3・）

昭和39年12月

_{山梨大学工学部研究報告}

_第15号

ここに β（・）一÷∫：9（・…φ・一・g・i・φ      一2acosip）sinφdφ

   ㌻蕊蕊φ・一・q s’・￠ ／

      ’’”°’’’’’’’’”・・’・・・…  （2．31） （2．30）式を書換えるとB，とψ1／aに対して対称な 形

：1璽ピ㌶｝一②

   2q・B・一・（・）一轟、潔一     ＿ 2qλa  dγ      492十22  da 従って（2．29）は

   ÷」緩一＋㌃｛β（・）

    ＋ 29巫．＿互＿＿R2a       4q2・十λ2      4q2十22          da    暑一9＋⊥｛γ（の となる。通常β（a），r（⇒のグラフは共に曲率の小さ い滑らかな曲線であって、その二階の微係数42β／4が d2γ／da 2は省略してもよい場合が多い。その時（2． 32）の解は次のように書ける。

   2・警一βω＋講司

    一轟嘉  1

      …  （2．33）_｜ dβ

da

        2q     ＿＿R！■ 一＿4乙＿＿2望担Ldβ      492−←22  da   492十22 一万一       ．．．．．・・・・・・・・・・・・・・・・…  （2．34） となる。  さらにdβ／dα，dγ／daも省略すれば

   ÷＝＋丁β（・）

   晋一9＋一☆γ（・）  我・々の当面の問題では    β（a）＝O    ・（a）…☆∫：｛・；…φ      一・anh（・…φ）｝…φ・d￠      一《1−H・‘の） となるから、簡単な第一近似は ｝ ｝／ ｝… （2・35） L …  （2．36）

r

」 x＝acosφ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （2．37）

塁顯しr｝…（2・38）

で初期条件（2．22）は φ（0）：＝ −tan−1 λ σ一一凵i1−H1（の）       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （2．39）  ただし（2．39）の中では混乱することはないと思わ れるのでaの初期値a（0）の代りにaと書いた。x（O） とa（0）の関係のグラフを第4図に示す。たとえばx（O） ＝3．0，x（O）＝0に対する値はφ（0）＝−48°11’， a（0） ＝4．50となる。この初期値に対する結果も第3図に記 入してある。その際（2．38）の第1式は簡単に積分出 来るので、その結果を第二式に持込んで数値積分によ ってφを求める。数値積分はここでも4τ＝ O．2とし て梯形則を用いている。  第3図で著しいことは調和振動解から出発した通 常の漸近法の第二近似の精度に匹敵する精度をこの HonOBの方法は既に第一近似で可能ならしめている ことである。更にdγ／daを考慮した（2．34）式を適 用したり・或は改良第一近似として（2．28）の代りに    x＝＝・…φ＋㌻、（H2n＋、（の2n＋1）・−1，c°・（2n＋1）φ       一t’’’”■■’°”一■’一■一■”・一 （2．40） を用いれば第一近似でも一層精度は高まるであろう。 またHonOBの方法の第二近似の精度は大いに期待さ れるわけであるが、これ等の問題は将来の宿題であろ う。 x（o）  3、0 2．0 7． 0 0 0 Fig． 4． 0  7．0   20   3、0   4．0   50        α（o） Relation between Initial Amplitude a（0）and Initial Displacement x（0）．

 次に第3図に見る通り、パラメーター変化法が非常 に精度が高い点は強調されてよい。もっとも考えよう によっては殆んど厳密式の数値解法を行ったようなも のであるから、これは当然であると言えるかも知れな い、然し漸近法の到達すべき理想像として大いに有意 義と思われる。

3むだ時間を伴う飽和ゲイン制御系の

  リミット・サイクルの計算  次の問題はむだ時間を伴う二階の飽和ゲイン制御系 で、そのブロック線図を第5図に示す4）。この系の安 定問題を論じ、特にリミット・サイクルの振幅と周期 を求めたい。飽和要素の特性は前題と同様にtanhで 表現している（第2図）。 兄

フFP

Fig． 5．  Block Diagram for Control       System with Saturating Gain       Element and Time Lag． 今度は動作方程式が ・・TE＋DE＋M・・nh〔K 2（t−LM）〕一・ C       ．．．．．・・・・・・・・・・・・・・・・…  （3．01） となる。再び    ωπ＝レ！琢ア，  ζ＝D／2レ／乙乙K，  h＝ωnL       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （3．02） の表現を用いて、独立変数、従属変数をt，2から次 のτ，Xに変換する。    τ＝tOnt，  x＝（K／M）2………・…・…・（3．03） 新しい微分方程式はd／dτをダッシュで表わして    x”十2ζxノ十tanh Xh ＝＝ O，  エh＝x（τ一h）       ・・・・・・… 一・・・・・・・・・・…  （3．04） 今度も線形減衰振動解を母解として    X＝a COSφ＝eβ一ατ cosil， φ＝レτ＋θ       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （3．05） と置き、補助条件を    β’cosφ一θ’sinφ＝0 …・・・・・・・・・… …… （3．06） と置けば、速度」t「は    x’＝＿eβ一ατ （αcosφ十レsinφ）・・・・・・… （3．07） となり、元の方程式は    x”＋2ζx’一←tanhエh     ＝eβ’一αt〔（α2一レ2−Pθt−2αζ）cOsφ     十（2レα一β’レー2ζレ）sinφ〕十tanhエh＝0       ・”・・’・・・・・・・・・・・・・・・…  （3．08） となるので、ここでαとレを

∴㌫忽㌶㌦＝°｝一……一（3．・9）

を満足するように撰ぶと    eβ一α「｛一β’・sinφ一θ’・C・Sφ     一cos（ip 一レh）｝十tanh Xh＝＝O すなわち    一β，sinφ一θ’COSφ     一÷｛…（φ一・h）一÷・・nh（・・c・・φ・）｝       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （3．10） となる。 （3．06）と（3．10）からβ’とθ’を解くと       …  （3．11） となる。すなわち求める解は（3．11）で定められる β，θを用いて    x＝acosφ＝eβ一αt cos（vt十θ） ・・・・・・…  （3．12） ここにレ，αは

   ・−V…㌦＋sii浮一ζ…一ζ一si芸

      ………一・・………（3、13） を満足する定数である。以上は省略無しの厳密な式で あるけれども、リミットサイクルを求めるときには    ah÷a，  φh÷iP−vh一θ，h・・・・・・・・・・・・…  （3．14） と置き、またtanh（a cosφ）のFourier級数展開の高 調波を全部省略すると

   畏一一÷（1＿H1（α）） 1

   ×  …（il・一・h）・i・φ ・一?ａEi・（φ一・h）…φ 誓一一÷（1−1’（∋） × …（il−・h）…φ ／’”（3・15）       レ    a リミット・サイクルでは振幅が不変だから   戸≡一㌃∫：β’d・一・一ζ一・s砦み…（3・・6） （3．15）と（3．16）から少し計算して ・一⊥旦ω・i・（φ一・の…φi

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第15号

些④一、一（sinvh     一ζ 2レ）曙の a

1十一

hH・（・）、i。vh

｛石二撃㌃衝ムー

一1｝

i’／ i

．．・．・・・・・・・・・・・・・・・・・…@ （3．17）   灰一一士（1＿旦・（c！      a））       COS vh ×＿．．一一一一一     一＿ ン・＋4一半・酔（H・（a  a））2芸・…レん        ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （3．18） H，（a）／aのグラフを用いて（3．17）から繰返し法で 乃＝鋤Lに対応するく∼を求めて、次に（3．18）にこ のaを代入してθ’を計算すると、リミットサイクノレ の周波数ω九は    ω九＝ωη（り十θ’）……… ………… （3．29） から計算される。結果を第6図、第7図に示す．パラ メータ・…変化法以外の結果は市川氏の著者宛の私信に よるもので、”改良型の漸近法”とは市川氏の開発中の 新しい漸近法の改良型（未発表）の結果である13）。 （3． 17）（3．18）（3．19）式によるパラメーター変化法の結 ハ＝Q3 、 ● ● A＼ ● ．  ． み／． ％． 、＼ @、＼  ／ ^4’ ● 〃タ ＼、 、、 刀A ’ αk γ 果は振幅にっいてはアナコム解と良く一致している が、周波数にっいては特に時間遅れが大きくなると偏 差が目立って来る。この原因については目下考察中で ある。 ％．αh O95．6

0852

O了28

％．αh o95．6 Q8 5．2

0728

q62．4 σ5 2．0 O．41．6 Q51．2

q208

0コQ4

O O   Q5  q了  09  1．1  1．5  1．5 Ct㎞L        従来の漸近ミ去     一・一一一一eY良型のミ斬1近ミ去     一一一一一アナコン解

    1㍍｝’堺ナ変化法

Fig． 6．  Comparison of Results by       Various Methods（ζ＝0．3）．

Q624

Q520

O．41．6 O．ろ1．2

02q8

Qlo．4 O O   1．0   1，2  1．4  1．6  1．8  20  22 ｛AL

       従来の漸近法

    一・一’−ey良型の漸並法     一一一一一アナコン解     XXXxx｝IN・ラメーター変化ミ去     ●●●■■  Fig． 7．  Comparison of Results by        Various Methods（ζ＝0．5）． ；・05 ＼、 う∼． w、ミ ご・＼ ，●   ● ● ● ＼ ・、 bここ’ メ／／ w 杉’’ 、 αh

ノ

’ ，ケ4’

4 剛発振系の解析

 次の問題は第8図にブロック線図を示すような剛発 振系の解析である5）。動作方程式は

   隈ピ＋（1寺ξ璽＋ピ＋K・f（・）一・

      ’’’’’’’’’’’’’”・・・・・・…  （4．01）

ここにf（づは非線形要素NLの特性で原点におけ

る傾斜がK2、飽和値をMとしている。前と同様に    x−一援・・9（め一晶一∫（・）………（4・・2） と置くとg（x）は原点の傾斜が1、飽和値が1の飽和 π Fig．8．  Block Diagram for Control       System capable of Hard Self−       excited Oscillation．

形特性となり、動作方程式は    、f。 T・・ ’i ＋ ti ＋、七妄

   ＋☆旦壽K39ω一・……（4・・3）

となる。この左辺の4っの項の中2’の項は正の減衰項、 またXの項は負の減衰項すなわち発散項であってリミ ット・サイクルにおいてはこの正負が打消し合うと考 えられる。  今リミット・サイクル以外でも振幅の増減が”緩や か”であると考えて、    ω・一、1。≡畏亙Gllα）……（4・・4） を用いて原方程式を    三＋ω・一繧溌｛G1（a  a）x−9（x）｝     一（、＋』を一÷踏・………・・（…5） と書換える。ここにG，（a）はフPtリェ展開          oo    9（ac・sφ）＝ΣG・n＋・（⇒c・s（2n＋1）φ         n ＝＝0        ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （4・｛6） のCOSψの係数で、記述関数はG，（a）／aとなる．  そして（4．05）を系のパラメーターが緩やかに変化 する系と考えて漸近法を適用すると10）、解は    x＝acosφ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （4．07）

告：ξ三蕊璽∵

   告｛、呈。K1芸：K3G1‘の｝÷

       ’’’’’’’’’”・・・・・・・・・・…  （4．08）  （4．04）から    ÷聖一一丁（G・ノ（aiG・（a））一÷）晋        ・・・… −t・・・・・・・・・・・・・…  （4．09） となるから（4．08）は

  d・／d（t／Tめ        ／

      αK、K、K、 T． G（a）−a        ．．．．．．・・・・… ‥・・・・・・…  （4．10） となる。  （4・10）の結果は通常のように原点近傍の調和振動 系から出発した漸近法の第二近似による結果であると ころの

da

dt

   十

     8（1＋α）        ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （4．11） とG（α）／a−1およびGlt（α）−1をεのorderとす るときε2のOrderで一致している。

9ω

撃撃月嚴ﾇに1｝

       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・…  （4．12） に対する（4．10）の第1式の計算結果を第9図に示 す。これはα＝0．2の場合である。  このように系はKI K2 K3 TMの如何によって剛発 振系になったり軟発振系になったりする。その理由は 前述のように減衰項Xと発散項Xの相対的大小によ って系全体の減衰発散が定まるのであるが、周波数ω が大になればなる程Xの項が優勢になって発散に傾 く。 （4．12）のような特性の飽和要素では固有振動数 は原点の値から一たん上昇して後減少して終にはゼロ に向う。従って原点が発散ならばaの増大と共に始 め発散度は増すが後には発散度は減少して終には減衰 系となる。その境目に安定なリミツトサイクルが存在 一、三。｛▲（・−G1’（α）ヂ（a）／a） αK・K・K・i        G、（∋G1’（a）−5      a）｝ OJO α05 i助 ● 0 一〇、05 κ，κ2伶ち₈₅₀   、6 ^2

@54

62 U0、．8 64 一〇」0 0．5 7．0 ∫．

        ＿−a

Fig． 9．  Relation between Amplitude      aand Degree of Divergence      Φ（a） 15

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第15号

する。この場合は軟（soft）発振系となる。  これに反して原点で減衰系であればaの増大と共 に減衰度は減じて行くが、この時途中で一たん発散に 転じた後再び減衰となるか、又は途中で一度も発散に 転ぜず、減衰系を続けるか二つの場合がある。前の場 合は減衰→発散→減衰と性質の転ずる境界にリミット サイクルが一個ずつ生ずるが振幅の小さい方は不安 定、大きい方は安定であって、この場合系は剛（hard） な発振系となる。後者の場合にはリミットサイクルは 全然存在せず系は絶対安定である。従ってsoftとhard の境目は原点の安定不安定の境目であり、原点におけ

るωは

だから ω・i・）一一

ﾃ響昏

   （  11十α）定≦一芸ピ すなわち    K、K， K、 TM 〈． ．！±旦…・…・…・……（4．13）       α がその条件となる。  この場合も漸近法の出発点となる基準系を適当に撰 ぶことによって通常の漸近法の第二近似の精度が既に 第一近似で得られることは注目に値する。特に今の場 合出発点となったのは記述関数法による第価線形系で ある。記述関数法と漸近法は互に対立する二っの手法 ではなくて、このような利用法によれば、漸近法は記 述関数法の短所を補足するものであると言えるであろ う。 5 結 言  以上市川氏の諸講演の討論に関連して、非線形自動 制御系の種々の問題に対する漸近法ならびにパラメ・・ タ ・一変化法の適用にっいて論じて来た。  自動制御系の通常の振動系と異る主要点は a）過渡応答特性を良くする必要から系は相当大きな  減衰を含んでいること。 b）リレ・・要素、飽和要素其の他の顕著な非線形要素  が系に含まれる場合が多く、非線形項は小さな摂動  項と考えるのに可成りの困難を感ずること。  これ等の諸点に対処する方法として本論文の結論と して  1）大きい線形項は出来る限り左辺に残して摂動項 は非線形項に限ること。線形項ならば小さいものだけ が摂動項として許されると考えること。例えば大きい

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線形減衰項のあるときは線形減衰系から出発し、また むだ時間を伴うときはむだ時間を伴う線形系から出発 する。これによって普通の漸近法の第二近似の綱度が 既に第一近似で得られる。  2）顕著な非線形要素に対処する場合も全く同様で あって、出発点となる線形系として出来るだけ実際の 動作状態における原非線形系に近いものを撰ぶこと。 たとえば復元項の特性がf（X）である系のリミット、 サイクルの考察ならば、復元項が型（4）Xであるとこ       a ろの記述関数法による相当線形系から出発する。4の 例ではこれによって通常の第二近似で得られる結果が やはり第一近似で得られている。  3）2の結果を見るとパラメーター変化法が非常に 高い精度を持っように思われるかも知れない。然しこ れはむしろ当然とも言える。それは何故かと言うと、 一体パラメータ変化法自身は何等の省略を含まない厳 密な式であり、結果の精度はこの厳密式をどんな近似 算法で扱うかに依存する。2においてはこれを繰返し 法と数値積分法によって処理しており、繰返し回数は 11回に及んでいる。また然し一方から言うと繰返しが 何回でも同様な手続で可能であってしかも結果の収束 によって結果の精度が保証される点はこの方法の大き な強みである。これに反して漸近法は摂動項が大きい とき、近似を進めるに従って収束に向うかどうかすら 保証されていないし、また第1近似，第2近似と進む に従って急速に算式が煩雑となって事実上第3近似以 上は実行不可能となる。この点は自動制御系のように 顕著な非線形要素を含む系に対しては漸近法の大きな 弱点となっている。  4）過渡応答の計算は特に追従制御系では重要であ る。非線形性も大きく減衰も大きい系の過渡応答はい わゆる振動という概念から遠い場合も起って来る。漸 近法は本来振動という根本概念から出発している手法 であって、いわば振幅変調、周波数変調によって摂動 による調和振動からの差異をcOverしようとするも のであるから、あまり顕著な外れはcoverし切れな くなって来る。たとえば過渡応答では復元項f（t）の 代りに線形相当要素（F，（め／a）Xを取ろうとしても 振幅aを適当に取ることがリミットサイクルの場合と 違ってむつかしい。飽和特性要素で減衰が大きい場合 など大きい変位では系の様相はいわゆるaperiodicと なり、普通の漸近法のようにacosφの項で表現する のは無理も甚しいことになる。このような場合を含ん で適用の可能なように漸近法を改良することと出来な いであろうか。将来を期したい。

後 記  昨年10月12日以来前後4回にわたる関連学会からの 依頼討論およびその間の私信の往復において、終始著 者を啓発された市川邦彦氏に尊敬と感謝の言葉を申述 べたい。新領域を開いた同氏の功績は非常に大きいと 思われる。同氏からの刺戟によって著者も自動制御系 への漸近法の適用に関してっっ込んだ勉強の出来たこ とは誠に窟しいことと思っている。尚漸近法にっいて は、日本機械学会の振動工学における最近の進歩講習 会11）、第7回自動制御連合講演会の特別講演12）で紹介 したので参照されたい。 文 献 1） Boronbl60B−MHTpononbcKHti； AcHMnToTH−   qecKHe▲MeToAbl B TeopMH HenHHethblx   KoJle6aHH爵， rocTexH3双aT，1958． 2）益子訳、ボゴリューボフーミトロポリスキー、   非線形振動論一一ma近的方法一、共立出版K．K．   （昭36） 3） 市川：”漸近法による非線形制御系の解析” 計 ，測と制御、3巻、5号（1964） 4） 市川：”むだ時間および高階非線形系の漸近法   による解析”日本機械学会論文集、30巻、218号   （1964）． 5） 市川：”剛発振系の解析と発振の制御” 第3回   計測自動制御学会学術講演会論文講演、1964   Sept． 6）市川：”ゲイン飽和制御系の周波数応答” 日本   機械学会第42期全国大会論文講演、 （前刷集   No．122） 1964． 7） nonoB， E． fi． H HanbToB＞M．r．；HpH6nli−   》KeHHHe MeToAbl I・lccneJ oBaHHH HenHHeil−   Hblx ABToMaTHqecKHx CHcTeM， MocKBa，   1960．p．507以下 8） KpHHellKHti， H．H．；PacqeT HenHHetiHblx   ABToMaTHqecKHx CvacTeM， KHeB，1962． 9） llaBnoB， B．B，；Haxo＞KAeHHe npH6nH＞KeHHHx   Pe皿eHnva HenmHethHblx 丑HΦΦepeHUHa刀bH瑚x   YpaBHeHHti， onHcblBaK）MHx nepexo双Hble   npoqeccbl B cHcTeMax aBToMaTHqecl《oro   peryJI叩oBaHH只，、、ABToMaTHKa” H3八一Bo AH   yCCP， JVb6，1961． 10） MHTpononbcKmb， K）．A．；rlpo6neMbi AcHM−   nToTHqcKoΩTeopH首HecTauHoHapHblx Kone−   6aHH口， MocKBa， 1962． 11）前沢：日本機械学会198回 ”振動工学におけ   る最近の進歩”講習会教材（昭38年10月） 12）前沢：”非線形制御系の解析”第7回自動制御   連合溝演会特別講演論文集（昭39年10月） 13）市川：論文4）の討論．