Complex Ring に於ける積分について

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(1)Title. Complex Ring に於ける積分について. Author(s). 佐々木, 幸一. Citation. 北海道學藝大學紀要. 第二部, 7(1): 11-16. Issue Date. 1956-07. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5482. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 第７巻第１号. 北海道学芸大学紀要（第二部）. Ｃｏｍｐｌｉｎｇｅｘｒ佐. 々. 昭和３１年７月. に於ける積分について木. 一. 幸. 北海道学芸大学旭川分校数学教室. ｉＫ６ｃｈｉＳＡＳＡＫＩ：ｏｎｌｎｔｅｇｒａｌｉｎＣｏｍｐｌｅｘｒｉｎｇ．. Ｃｏｍｐｌｅｘｒｉｎｇ. は中野教授〔１〕に於て定義され、そこでは複素平面上の点集合の可測性が定義されて開集合及閉集合は可測であることが示されている本稿Ｓ２では全連続なる条件下でＢｏｒｅｌ。集合の可測性が証明される。叉〔１〕では連続な複素函数の積分が定義されているが、Ｓ３では先づ殆連続函数の概念を導入し、特に有界殆連続函数に対する積分の拡張を試みる。. ＳＩ．線型東空間実数を係数とする線型空間訳に準順序 ≧ が定義されているとする。モヨα 定義１．１９，α入（ぇＥｄ）に対し、α≧”入（パＥの，－且匁≧”入（スＥィ）なる任意の％に対し弟≧α であるとき αごＵぬとかく相対的に α＝ｎ α入を定義する。。 . 定義１，２班が次の条件を満すとき線型束空間と云う。１）リモヨ” ，み，ｃに対し ”≧ろなら α十Ｇ≧６十ｃ．２）訳ヨα ，ろ及び実数 α≧０に対し α≧るなら αα≧ の．３）訳ヨα ，るに対し αＵろが存在する。. 定義１モは連続であると云う。．３訳が更に次の条件４）を満すならば、９４）訳ョ”〉≧○ （しごヱ２ ……）に対してｎ α が存在する，，ｙ。. 定義Ｔ．４. 班ョ％に対しメＵＯ＝＃ち（－のＵＯ＝匁‐ 拷＋＋劣ｒ＝！＃！とかく，。. 定義１ αｎ功）＝〔の〕α と定義し、更に一．５訳が連続であるとき、訳ョＰ， α≧０に対してＵ（般に訳ヨＰ， α に対して〔がα＝〔ｌｉｖｅｉｉｎｅａｒｔｐ－〕”十一〔ｌｐｌ）α－と定義すると、〔Ｐ〕は紙上のｌ，，ｐｏｓｉｄｅｎｐｏｔｅｎｔな作用素となる。之を訳に於ける射影子と云う。定義１リモヨ匁≧の．６射影子〔Ｐ〕，〔ｑ〕に対し〔Ｐ〕キ≧〔ｑ〕＃（なら〔Ｐ〕≧〔のと定義するこの関係≧は射影子の全体に於ける準順序である。。〔恥］↑だ，炉〕とは〔か〕≦〔ムナ〕（し＝ヱー，２，……）且Ｕ〔恥〕＝〔Ｐ〕を意味する。 . 定義１．７駅ョｃに対し〔ｃ〕＝Ｚならｃを完備な元と云う。. 定義１）を満すとき訳は全連続であると云う。．８連続な線型束空間訳が次の条件５５）射影子の任意の二重系列〔んに対し、. ↑＝も〔ｐ〕. （にヱ，２，……）. 〔ｐ一↑鴛，炉〕及び自然数の二重数列. し ”“ （，ｐ＝ヱ，２，……）が存在して. －１１－.

(3) . Ｃｏｎｌｉｎｇに於ける積分について・）ｅｘｒ１，. （し．，Ｐこヱ，２，… …）. 〔ル〕≦〔ル ””－. Ｓ２，集合の可測性以下繋は完備な元を持つ連続な線型束空間とする。定義２．１全実数に対応する射影子の系Ｐ入（－仰くス＜＋の）及び射影子Ｐに対して、次の条件１））が満されるときＰ入をＰの分解と云う。，２１）ス＞” ならＰ入≧Ｐ一２）ｌｉｍｐ入＝０，ｌｉｍｐ人＝Ｐ， . . ｌｉｍｐ入ニＰル. . １； ”＋メ′ 今Ｚの二つの分解Ｆ入｛＜【切 ‘〆・≦ぇ＜スろぬ ≦／，乙入を固定し、複素平面Ｇ上の半開区間／さ－互応せる４）（乙Ｌ）をに射影子（）＝（～対～。柊－燕， . １で／〉はＧの半開区間、且ｒの点は或. １叉Ｇ上の開集合ｒを、ｒ＝Ｕ／し（但しこ γ州１ｈ．. ４ｙ. の. Ｉ内点とする）の形に書いてＥ（ｒ）＝ＵＥ（心）により β（Ｚ）を定義する。開集合ぎに対しては、Ｅ（日）＝Ｚ一彦（Ｃ－ β）によりＥ（ヨ）を定義する。定義２．２Ｇ上の点集合夢が可測とはｒ・コ琵コ … …，ｒ〉コザ（し＝Ｚ，２，……），三・こぎ２〔 … …，ヨシこザ（し＝Ｚ，２，… …）なる開集合列風間集合列８“ 及び射影子Ｐが存在して β（ｒ）↓ 滝Ｐ，. 互（三）↑鴛，Ｐとなることを云う。夢が可憤りならこの様なＰは一意に定まるので、それを β（夢）で表わす。ｉ夢・））＝β（夢・）ｎＥ（ザ２定理２．１ｌ，及び肌Ｕダ２は可測で β（肌ｎ夢２，ザ２が可測のとき肌ｎず２Ｅ互（肌Ｕ夢）＝β（ずず）Ｕ（），．，. 定理. 〕２．２１. 開集合及び閉集合は可測である。. 」開集合列ｒし＝ヱ，２）定理２．３１．，……）に対してＥ（Ｕｒ＝ＵＥ（ｒｙ . . 定理２．４訳が全連続であるときは、Ｂｏｒｅｌ集合はすべて可測である。. . . ・）が可測集合のときＵ夢レカャ可測であることを示せばよい。証明：型式ン＝ヱ，２ゞ…・ . 可汎りの定義より、開集合ｒｙ熟，，，開集合宣し鋲. ・コｒレ遼コ …… ，“＝ヱ．２， … …）が存在してｒし，. ｒ〉１こぎレ２仁 ……，ｇｙ糾仁塑ｙ，，，，，耳〉鋲コ夢ｙ. 彦ｒｗ〕↓宗も距て肌） . 互（乳）房〔Ｅ卿）↑鴛．. （１）１ ′ ．＾、 . ＬＺ上，上. である。. ０＝ヱ，２ゞ…”）．訳が全連続なることより１）より β（ｒ““）－β（リ～）↓鴛，ｉ（）（〕≧ 政ｒリ絢－－β（夢（〔ｐ ↓鴛，０及び自然数の二重数列約ｐ↑ 篇十のが存在して〔ｐｐＺ，２ゞ…・）任意の自然数ｐを固定する。・訳ヨエ≧０なる任意の％に対して. ＵＥ（れ）匁≧Ｅ（れ）彫≧β（ｒシ）ぉ一座〕匁（シ＝ヱ，２Ｆ …），ｐ，ル，. . 依って、. 故に. め. 固. ＥＵＺ－⑦一転（ダリ二Ｕ≧ ＵＥ（ｒ鈎，鯖－ . . . . . . 鯖＝（ＵＥ（ｒ駆，〔ル〕鯖≧ Ｕ β（ｒるルヂ）じーＵＥ（れ）ｐ）－Ｕ政夢）慧－１２－. ｐ＝.

(4) . ，佐々. 木. 幸一. 〕≧ ＵＥ（ｒ伽）－ＵＥ（肌）珍，，. 従って、. . . （ｐ＝ヱ，２，，……）. . . ｎ〔カー；○ より、ｎ（ＵＥ（ノー仰）－Ｕ忍（れ））－○ ，ｐ，. . 故に、. . ｎ（Ｕ野（ｒ卿. Ｐニ１〉＝１. . ）－Ｕお〔肌）. 従って、ＵＢ（ｒ駆ＰＵＥ（ずＪ，，）↓鴛】ｙ鴬１Ｖーー. １ｙ一，. ば．. ・. 定理２．３により、忍〔ＵｒレＥ夢，陶）↓鍵，Ｕ（ぃ）ＩＵｒジノＵザソ（て＝Ｚ，２ト－－）メ．コＵｒレ，”ｙ２コ …，ＵＺリレ，，，”ｙ，つＵｒレ，”し，（て＝ヱ，２ゞ…・・）は開集合である。 . で. こ. 勿論. . ｉｉ）ＵＥγ （・）とおく。ルはすべて閉集合、且定理２， “＝か，（”＝ヱ，２ゞ…・，１により . Ｅ（の燕）＝ＵＥ（三〉，柊）（メニヱ，２ｒ“”）， . β（おｖ）≦Ｅ（肌）≦ ＵＥ（外）（シ）≦ ＵＥ（夢ｙ）（“＝ヱ，２，……），麟， ”＝ヱ，２，… …）だから、 β（の，Ｅ（の仏）≦〔Ｐ〕（”＝ヱ，２ｒ…．）とすると．. 丑（ヨシ…）≦互（の仏）≦〔め〕（し≦”｝レを固定して考えることにより、Ｅ（Ｅ）↑ｉｉ．，２，……），成れ）より β（乳）≦〔の〕（し＝Ｚ卿故に、こ. ～）≦ ＵＥ（芋 ≦◎〕（），従って、ＵＥ（の麟）＝ＵＺ文字三，ＵＥ（ダリ，ｖ．故に、夏（の帥）↑富. ｙ温１. ‐ ｌん， ′. ｙ＝Ｌ. ｙ湖ｔ. で、の．〔偽こ ……，の燕こＵザぃ. ｉｉｉ（）（）によりＵデシは可測集合で、且 β（Ｕ外）＝ＵＥ（外）である。（証終） . . . 暮３．有界殆連続函数の積分完備な元をもつ連続線型束環訳より得られる. Ｃｏｍｐｌｅｘｒ）罪＝訳十メリｉｎｇｌモを考える。. 半閉区間. ４＝｛ス十〆” ；ん≦ス＜心， ”・≦”＜”２｝について、. 定義３．１. 各イに対応する癖の要素頃４）が、頃イ）＝奴イ．１）＋α（４２）２，４１４２＝の，，（４＝”・十／. を満すとき α（４）は加法的であると云う。 α（４）が加法的で、叉訳の一定要素Ｚがあって、任意の有限個の半閉区間. 山，… …，４. ４麟４し＝○ （）に対して ” し. ね）ー＋ｒ頃４ヒ（）！＋……＋．α（＆）ｒ≦ｚ！２となるとき、頃４）は有界変分であると云う。定義３左上の複素函数ギ（（ ‘ ｝とする。閉区間／・≦ス＜ん，〃．≦”＜′ ）が連，２４＝｛ス＋〆〆；ス２続であるとき、４の有限分割４＝４．＋ … … ＋ルイメＩＦｏｌを作り、（しＥｚｙ（し＝ヱ，２トーのに対してＸ淳（ . ）α（４）. 表し）， ′ を考え山，… …，／ “ の対角線長の最大. を０にする極限をとるとＸ亨（） α仏）は訳の一定の要素ｃに収鰍する。１この極限を ′△ ）ｏの（（）〆α（ノ，. と書き、４に於けるギ（く）のａ（ィ）による積分と云う。この積分については次の間係が成立する。－１３－.

(5) . ｉＣｏｍｐｌｎｇに於ける積分についてｅｘｒ. １）ｉ）〆α（／）＋／△鱒（ぢ１）αα（）〆α（）＝五・坪（（／．（／定理３．１１）４ｏ＝４・十物，４１４２＝０に対して ′△。（ｌ ” ）”須の＝′△ ２）ｉ△。｛のに）＋（く，。少（リメα（）。夢（り””（４）十′△ ）”α（４）３）〆α（４）＝γ／△蜂（〈） ′△。 γ夢（〈，但し γ は任意の複素数。４）／△。ｄα（”）＝”（４），）が成立する。）もし１α（４）ーも叉加法的要素系であるならば次の５，６１））αα（１ノ１≧ｔ′△ ５） ′△ ）ｌｄ１α（４）１の（と．。字（く。）ならば））≦≠（（ｏ）に対し〆（）６，（（Ｅｄ）４６上の実数値連続函数？（（，≠（‘ ム坪（こ）ぬα（４）１≦′△少（く）ｄ１α（４月．・彩子Ｐの分解であるとは、１）が射／１に対応する射影子 β（定義３．３各半閉区間／）＝０１）４１４２＝０÷→Ｅ（４．）β（イ２１１）≦Ｅ（４．）Ｕ … … ＵＥ（＆））ＵＢ（／２ｚ一 …… 干魚 ÷→Ｅ（ノ２）ゑこ４，十／｝ ‘ こく≠ １Ｆは＋ ”‘；ス３）ノ２ーｅー≦え＜え２ーｅ，ｇ１≦≠ ｝４＝｛ス十メメメー≦ス＜ね， ”１≦“＜〆２ＺｍＢ１ｚＥ（４）＝Ｐなる事である。）＝Ｅ”）に対してＺｅ，Ｚカタ . . 固定する。訳に於けるヱの二つの分解Ｆ入，Ｌ入（一閃＜ス＜＋ｍ）及び舜の要素 α を１）… …（＃）とおくと、）（上穆｝に対し、 β（４）＝（入・２－Ｌ帥｛４＝｛ス十〆” ；ん≦ス＜ス２－Ｆ入２２， ′”≦”＜！. ‘ ）α は有界変分な加法的要素系である。叉ＩＥ（ィ）α１／Ｅ（４）は震に於てＺの分解となり、従ってＥ（も明かに加法的要素系となる。以下（拝）についての殆連続函数を定義して、それの積分を考える。. 前節によりＧの点集合の可測性は定義されているので（ン＝）がＤで殆連続であるとは、開集合列Ａし定義３．４Ｇの点集合Ｄ上の複素函数咲く０Ｚ，……）が存在して、亙（る）↓耀，，２，且任意のシに対してＤＡ′ ｙに於ての（（）が連続であることを云う。）に）））＋β （（），（（この定義によれば、（〈，βに対し αヂ（（，少（（）がＤで殆連続なら、複素数α ｝））がＤ上の実数値殆連続函数なら肌ぜ〆芋に）），（（，はＤで殆連続であり、叉ヂ（（，少（（Ｄ（下班）ときには上の上が全連続であるＤ特にであるル綱尤卿（〈は上の殆連続函数）（（）｝。，半連続函数はＤで殆連続である。明かにの”）がＤで殆連続なる為の必要且十分な条件は、その実部函数及び虚部函数がＤで殆連続なる事である。Ｚ２て定理３．２訳が全連続のとき、Ｇコハダ上の実数値函数．んｇ）（し＝，，… …）につい、１）九が単調減小で肌で上半連続、且極限函数／を有すると／は肌で上半連続である。んが単調増加でみグで下半連続、且極限函数／を有すると／は肌で下半連続である。２）ヂｖが朋上で単調で、極限函数／を有し、各ヂｙが財で殆連続なら／は肌で殆連続である。. ３）んが夫. メメ）；Ｚ脳タ７２／γに）ダで殆連続で、ア（ぢ）＝Ｚブ２ん（０，／（（ブ. 肌で殆連続である。として函数人，／．が得られるときは、／，／は４ｏは肌で殆連続である。）んが夫々朋で殆連続で、極限函数／を有するならば、／ヱが極限函数（（）定理３．３訳が全連続のとき、ＧコＤ上の殆連続函数ｙ”）＝，２，… …）をもてば、（（）は刀に於て殆連続である。｝ ‘ ２次に有界殆連続函数の積分を定義する。今４＝｛ス＋〆” ：ス・≦ス＜ね， ′な＝”＜′ １））１≦γ （くＥ／）がそこで有界、即ち序（（０とし、閉区間面上の殆連続函数字（〈， γ＞０４一－１.

(6) . 佐. 々. 木. 幸. 一. とする。定義により開集合列Ａし（し＝ヱ，２，……）が存在し、彦〔仏）↓稽，０，且痴Ａ′ し（しごヱ，２，…））の、Ｇの上への連続に於て（（）は連続である。４６４′ ｙは閉集合だからその上の連続函数字（（拡大仰（く）を定めて、或正教尺に対し、１のし“）１≦ 尺（（ＥＣ，し＝ヱ，２，… …）となる様に出来る。ｆＡ雌〉（（）〆Ｅ（“）” （し＝Ｚ，２，……）は定義されるが、実は之はＡｖ（し＝Ｚ，２，２＝Ｚ ……） … （，のし，， …）の取り方如何に拘らず常に一定の舜の要素に収鰍する。 ′ に対しては夢式ぢ）＝（１先づ収敵性：！６（月麟十Ａｙ））＝の（（） ‘≧レとすると、（Ｅ／（．故に任意の正、. 数８. に対して、（＊）. に；－夢仏（〈）一例（（）１≧弓布こ月．十ＡぃＡ柊十Ａしは開集合だから半閉区間. ４（ｐ＝ヱ，２，……）を定めて、Ａ穆十Ａ〉＝Ｕｄの . 且月柊十Ａｙの点は或／１しの内点である様に出来る。（＊）の左辺は有界閉集合だから、Ｈｅｉｎｅ‐Ｂｏｒｅｌ. の定理を用いて新に有限個の米鞍駆三一帯山，……』“ を定め、ｊー｛く；１物 α）－字（く）－≧弓ノ６こＵ４ｐ亡＆十Ａ“ ノｐミて）ｐｄＦ０（ . と出来る。従って. ｉ／△ ）α政４）α－′へ）－≠｛‘ ）１弱〔４）一 ‘ （。デ”）ｄＢ（４）α１－１ムー（。物（ば区（４）α１ ≦ノ△ ぎ）一宇｛＜）回Ｅ（４）一 ≦ １ ′△ く △ にｄ匹（４）α１十／△ 。１（。。ー２に．ＩＥ（月）。４※１十『Ｅ（４， . ．. ところでＫ. Ｋ. Ｐ＝Ｉ. Ｐ＝Ｉ. ｘ β（４ｏ４一ＵＥ. 故に、. Ｋ. 尺. Ｐ＝Ｉ. Ｐ＝Ｉ. ．. 一Ｅ（Ｕ４）≦β（Ｕ４）≦Ｅ（４十β）－Ｅ（）ＵＥ〔４）一Ｅ（ｄＪ。４ｐｐ. Ｋ. Ｋ. ｐ＝Ｉ. Ｐ＝１. ２」ＩＥ（４）４滋１一刃Ｅ（４４）回 ≦Ｅ（月訓α１. 従って、１′△ ）ｄ互〔』）”－．畠。ヂ） ‘燭（４） ≦２Ｋβ 訓αｉ十ｓｌ丑（＆）。 ′Ｅ〔月）αｒ≦２に彦（月訓 α１ｅ→０とすると、ーメ△ （）ｄお”）α－／△。恥（０‘ 。物（，. ２に皮月ＪＦＩ↓胆，○ だから．「△ レニムぐＭ皮４）α （。偽（. ．. ２ … …）は収叙する。，. その極限がん，ｖ”）（）の取り方如何に拘らず同一なることも上と同様の方法に・し＝ヱ，２ゞ…・よって結論出来る。１１この極限を ′もの（（）” に依る積分と定義する。）” と書きの（（）の４に於ける、Ｅ〔）ｄＢ（／／上記Ａし，の（（）に対して明かに１）”－／△ ）〆β（イ） ≦２に丑（ん）１α１（し＝ヱ，２，……）ー′△ ／。欠く）ｄＢ（。の（（が成立する。連続函数については、この積分の定義は明かに本節最初の積分の定義と一致する。有界殆連続函数の積分についての性質として. 定理３．４. １）. ぬ＝４・十４２，４・４２＝０，のとき、１ＺＥ（４）” ｆＡ。の（く）ｄＢ（”）”＝＝′△，夢（の‘猛火／ｒ△＃（こ）‘ ）α十Ｊ，. ２） ′△。）｝ｄＥ（ィ）”＝αｉ△ ）ｄＥ（４）α十β′△ ｛岬（く）十β （〈）〆Ｅ（４）α 但しα ，β は任意の。（と。質と複素数。ィＣヱ２３））開集合系Ｃし＝ヱ，２，… …）が存在してＥ（ｑ）↓ 滝０，且６ ′（し＝，，……）で咲く１＝（１）αＥ（／〈）”＝〆△”（〈）なら、 ′△ ）ｄＥ（）” ／．。多（（４）ｌｄｉβ（４）α１≧１／△。〆と）αＥ（”）”ｔ）メ△。炉（（．一１５－.

(7) . Ｃｏｍｐｌｉｎｇに於ける積分についてｅｘｒ. ５）ヂ（く））が特に実数値函数で欠く）≦少（（ｌａ）（〈Ｅ／）なら，（くＥｄ ′△ ダイメ α ）１玖）α１．。リｉ（）αｉ≦／△″（く６）訳が全連続であり、んに）（し＝ヱ，２，… …）はノｌａに於ける実数値殆連続函数でそこで一様有界、即ち正数γ が存在して、ｌｆ（ぢ）１≦γ し. Ｚ伽／（＝Ｚ，２，… …）メガ（））＝Ｚｚ，としヂ（（）＝Ｚ，ヂ（（ｙ一の. ん（（），とおくとき、. ‐ ヂ（（／△ （くメガげ △ ）”ＩＢ（イ） ≦≧ １１メ岡ノリα１≦Ｚ）α１）ゐ玖ノ）α１≦Ｊタ ”′弾ん（のぬ β〔ノ短。ｆ △ ，。ん”）α 匿（ー－両面. 。. ７）訳が全連続であり、ん “）（ン＝ヱ，２，… …）は／１０に於ける実数値殆連続函数でそこで一様有界且極限函数 ′（（）を有するなら物７１ヱ）＝ヱ△ ｚｆ△ （（）〆ＩＥ〔）．／ノ。ヂ（（）αｉβ（８）駅が全連続でありの（く）（リ＝ヱ，２，… …）は４６に於ける殆連続函数でそこで一様有界且極限函数（く）を有するなら虜タ１）α フｚ′△。し”）ｄＢ（ノリ”＝〆△。欠く）ｄＥ（／．参１）２）３）４）. 考. 女. 献. Ｈ．Ｎａｋａｎｏｉｉｌｗｅｈ．１７（１９４１）ｓｅＧｅｏｒｄｎｅｔｅＡＩｇｅｂｒａ．Ｊａｐａｎｅｓｅｊｏｕｒ，Ｔｅ．Ｍａｔ．日．ＮａｋａｎｏＭｄｌｄｉｄｉｄ１－１ＴｋｙｏＭａｔｈ．ＢｏｏｋＳｅｒｉｏｒｅ９４８ｕａｓｅｍｒｅｒｅ（ｏｎｅｒｓ）ａａｃｅｓｏｅｓｖｏ１ｐ，・．１．. 中野秀五郎，古典積分論（１９４９）．共立出版．ｉｌｔｊ堀田譲治，連続線型束におけるＳｔ１９４９）ｅｓ積分について（ｅ．「数学」第２巻第１号．. 一１６－.

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