大規模 複雑 な システムのゲー ム理 論 による考察
上 木 政 美 奥 田 和 重
1.は じ め に
大 規 模 複 雑 な シ ス テ ム の最 適 化 を 図 る とい う 問題 に対 して,シ ス テ ム をい く つ か の サ ブ シス テ ム に分 割 して 考 察 す る とい う分 割 原 理 の 手 法[1],[2]が あ る 。 そ の 際,サ ブ シス テ ム 間 の独 立 性 は か な り高 い もの と して扱 い,シ ス テ ム 全 体 に は 目 的 関 数 が 存 在 す る もの とす る。 最 適化 の過 程 の 中 で は シ ス テ ム 間 の 情 報 を調 整 す る 機構 と して コ ー デ ィネ ー タ を設 置 し,そ れ ぞ れ の サ ブ シ ス テ ム の 最 適 化 を 図 る こ と に よっ て 全 シ ス テ ム の最 適化 を 図 る とい う もの で あ る。 分 割 原 理 は大 規 模 複 雑 な シ ス テ ム を い くつ か の サ ブ シ ス テ ム に分 割 す る こ とで 計 算 効 率 を上 げ,シ ス テ ム全 体 の最 適化 に効 果 を得 る とい う利 点 を もつ が,反 面,あ
る 程 度 サ ブ シス テ ム の 最 適 性 は 犠 牲 に され る こ と,コ ー デ ィネ ー タ に よ る調 整 の た め 各 サ ブ シス テ ム の 最 適 反 応 が 多 少 遅 れ る な どマ イ ナス 面 も持 つ[1],[2]。
本 論 文 で は 各 サ ブ シス テ ム の独 立 性 が 高 く,そ れ ぞ れ に 目的 関 数 が 存 在 す る が,シ ス テ ム 全 体 と して は 明確 な 目的 関 数 が 存 在 しな い 場 合 を取 り上 げ る 。 シ ス テ ム全 体 の 目的 関 数 が 明確 で ない 場 合,サ ブ シ ス テ ム の情 報 が 集 中 す る コ ー デ ィ ネ ー タの 設 置 は な じまず,サ ブ シ ス テ ム 問 の相 互 関 係 を満 た す よ うに サ ブ シス テ ム 自身 が 調 整 し な け れ ば な らな い 。 こ れ を行 うた め に,各 サ ブ シ ス テ ム が持 つ 情 報(目 的 関 数 や 制 約 条 件 の 構 造,係 数 の値 な ど)を 最 適 化 を行 う前 に 互 い に交 換 す れ ば,相 互 関係 を満 たす 最 適 決 定 を行 う こ とが で き る。 この よ う な 決 定 問題 は ゲ ー ム 的 決 定 問 題[3]と 呼 ば れ ゲ ー ム理 論[4][5][6][7][8]を 適 用
〔77〕
す る こ とが で き る。
まず 非 協 力 ゲ ー ム の手 法 を取 り上 げ る。 あ る意 思 決 定 主 体 が 他 の 意 思 決 定 主 体 の 決 定 の も と に 自 らの 決 定 を行 う と きを 「 決 定 に優 先 権 が あ る」 とい い,そ
の と き の 解 をStackelberg均 衡 解 と い う。 決 定 に優i先権 が な い 場 合 の 解 を Nash均 衡 解 とい う。 サ ブ シス テ ム 聞 で 交 換 で き る 情 報 に は,最 適 決 定 を行 う 前 に 知 る こ との で き る事 前 情 報 と,最 適 決 定 後 に初 め て 明 らか に な る 事 後 情 報 が あ る。 前 者 は 目的 関数 や 制 約 条 件 式 の 構 造,あ る い は デ ー タ と して あ らか じ
め与 え られ て い る係 数 の値,過 去 の 決 定 変 数 の値 な どで あ り,後 者 は 最 適 化 問 題 を解 くこ とに よ っ て決 定 さ れ る変 数 の 値 や そ の と きの 目的 関 数 の値 な どで あ る。 各 サ ブ シ ス テ ム が 事 前 情 報 を サ ブ シス テ ム 問 で 交 換 す る こ と に よっ て相 互 関 係 の調 整 を行 う こ とが で きれ ば,サ ブ シス テ ム の 最 適 解 を得 る こ とが で きる が,こ の よ う に して得 た 最 適 解 は サ ブ シ ス テ ム 間 の相 互 関 係 を満 た して い るが, シ ス テ ム 全 体 の 最 適 解 に は 必 ず し もな っ て い な い 。 しか し これ は各 サ ブ シス テ ムが 一種 の 均 衡 に 達 して い る と考 え る こ とが で き,「均 衡 解 」[1],[2]と 呼 ば れ, さ らに この 均 衡 解 を求 め る こ と を 「 均 衡 化 」[1],[2コ と呼 ん で い る 。
次 に協 力 ゲ ー ム の 手 法 を取 り上 げ る。 一 般 的 に,非 協 力 で 得 られ る 利 得(こ こ で は 目的 関数 の 値)よ り,協 力 で得 られ る利 得 の 方 が 大 きい 。 こ れ は 世 間一 般 で い えば,会 社 同 士 が 競 争 し あ っ て 商 品 の価 格 を下 げ る よ り,談 合 して 価 格 を上 げ た 方 が 儲 か り,よ く 「 闇 カ ル テ ル 」 な ど と し て新 聞 紙 上 に 登場 す る こ と か ら も わ か る 。 しか し,N個 の サ ブ シ ス テ ム か ら な る シ ス テ ム 全 体 にn人 協 力 ゲ ー ム の 理 論 をそ の ま ま適 用 す る こ と は,そ の 複 雑 さ か らい っ て極 め て 困難 で あ る。 本 論 文 で は 「Nashに よ る2人 交 渉 ゲ ー ム 理 論 」 と 「3人 協 力 ゲ ー ム の コ ア 理 論 」 を取 り上 げ る こ と に す る 。 「Nashに よ る2人 交 渉 ゲ ー ム 理 論 」 で は,解 に 到 達 す る こ とが で き る の で,こ の 解 を 「Nash交 渉 解 」 と呼 ぶ こ と
にす る。 ま た,「3人 協 力 ゲ ー ム の コ ア 理 論 」 で は,一 意 の解 に到 達 は で き な
い が 集 合 と して の 解 を得 る の で,こ れ を 「コア に よ る集 合 と し て の解 」 と呼 ぶ
こ とに す る。 た だ,コ ア の 中 か ら特 定 の 解 を選 び 出 す こ とは 「 仁 」 と して 知 ら
れ て お り,本 論 文 で は扱 わ な い が今 後 の 課 題 と した い。
大規 模複 雑 な システ ムの ゲー ム理論 によ る考 察
792.理 論 編
2.1非 協 カ ゲ ー ム に よ る考 察
こ こ で対 象 とす る 大 規 模 複 雑 な シ ス テ ム は シ ス テ ム 全 体 と して の 目 的 関 数 は 明 確 で は な い が,各 サ ブ シ ス テ ム は独 自の 目的 関 数 を持 つ もの とす る。 各 サ ブ シス テ ム は サ ブ シ ス テ ム ど う しの 相 互 関係 を満 足 しな が ら 自 らの 目的 関 数 を最 適 化 す る も の とす る 。 す な わ ち 〃個 の 各 サ ブ シス テ ム の 最 適 化 問 題 は 次 の よ う に与 え られ る もの とす る。
漁 乃(Xl,...,Xi,...,Xn)
sub'to}}ll∵}
(1)
(a)Nash均 衡(決 定 に優 先 権 が な い 場 合 の均 衡 化)
サ ブ シ ス テ ム の 決 定 に優 先 権 が な い と きの 均 衡 解 はNash均 衡 解 と して 知 ら れ て お り,次 の よ うに 定 義 さ れ る[5]。
n個 の サ ブ シ ス テ ム がNash均 衡 解 を採 用 し て い る と き,い ず れ の サ ブ シ ス テ ム に つ い て も 自己 の 目的 関 数 を改 良 す る よ うな 解 は存 在 し ない 。
この 定 義 を 式(1)に適 用 す れ ば,各 サ ブ シス テ ム の 同 時 最 適 化 問 題 とな り, Maxfi(厨,...t;̲1,Xi,x}+1,...,城)
励 撫 ∴∵ ≦ η
②
を 満 た す ∀Xi(iニ1,…,〃)に 対 し て
fi(x窒,̲,κ 彦̲1,Xi,x歪+1,̲,場)≦fi(x士,...,x蒙̲、,x套,x彦+1,̲,協)(3)
が 成 立 す れ ばx}はNash均 衡 解 で あ る 。
つ ま り式(3)は,n個 の サ ブ シ ス テ ム そ れ ぞ れ の最 適 化 問題 の 同 時 最 適 化 が 実 現 され な け れ ば な らな い こ とを意 味 し,こ の と き均 衡 解 に 達 した とい え,こ の 状 態 を均 衡 化 と呼 ん で い る。
式(2)のLagrange関 数 を以 下 の よ う に定 め る。
Li(XI,...,Xn,λi,μ ゴ)=fi(xf,...,x})+λ ∫(9i(嬬,...,x})‑bi)+μ 劣房(Xl)
式(3)で 定 義 さ れ る κ痘=1,。..,n)がNash均 衡 解 で あ る た め の 必 要 条 件 は
詮 一 轟 儘 ・ …切+λ 緩 汐(癒 ・ ・ 翻+μ 場 鳥 ㈲ 一・
馨 舞 一9i(xr,…,・})一 ・"b・ 〈一 ・
誰 一襯)≦ ・
謬(9i(城̲,城)一 ∂ゴ)=0 μ蓼丁ん(x言)=0
脇 μ彦≧0
で あ るが,一 般 的 に これ らの 必 要 条 件 を満 た すNash均 衡 解 は 一 意 に は定 ま ら ず,集 合 と して の 解 が得 られ る 。 しか し,サ ブ シス テ ム の 均 衡 化 問 題 が2次 計 画 問 題 等 の と き は一 意 のNash均 衡 解 が 得 られ る こ とが 知 られ て い る[9]。
(b)Stackelberg均 衡(決 定 に優 先 権 が あ る場 合 の 均 衡 化) Stackelberg均 衡 解 の 定 義 は,以 下 の よ う で あ る[5コ。
決 定 に先 手 と後 手 の 区 別 が あ り,先 手 が 戦 略 を示 した 後 に後 手 が そ れ を知 っ て 自分 の 戦 略 を 決 定 しゲ ー ム は終 了 す る。
これ は先 手 で あ る サ ブ シス テ ム に とっ て 最 も良 好 な解 を合 理 的 に決 定 す るた
め の 規 則 で あ る。 後 手 で あ る サ ブ シス テ ム は 先 手 に対 して 受 動 的 で,先 手 が 示
した 解 の も とで 自 らの 問 題 を最 適 化 す る 。 本 論 文 で は 単 純 化 の た め サ ブ シ ス テ
大規 模複 雑 な シス テムの ゲ ーム理 論 に よる考 察8ヱ
ム が2つ の 場 合 を 中心 に扱 う が,基 本 的 に はn個 の サ ブ シ ス テ ム に お け る考 え方 も同 様 で あ る 。 もち ろ ん優 先 順 位 の 決 め方 は 刎 通 りあ る。
例(n=2の と き)
サ ブ シ ス テ ム1が 先 手 で 決 定 に 優 先 権 が あ り,サ ブ シ ス テ ム2が 後 手 で あ る 場 合
サ ブ シ ス テ ム2は サ ブ シ ス テ ム1の 任 意 の 決 定x亨 ∈X,に 対 し て
f2(κ瀧 彦)≧f,(xSx、),x、 ∈x,
と な る よ う に 諺=T(sx1)を 選 択 す る 。(Tは 反 応 関 数 と 呼 ば れ る)
こ の と きfi(xST(xE))≧fi(κ1,T(Xl)),κ1∈x,を 満 た すxゼ ∈Xi,耀=7'傭)が 存 在 す れ ば(xf,x9)は サ ブ シ ス テ ム1を 先 手 と す るStackelberg均 衡 解 で あ る 。 よ っ て サ ブ シ ス テ ム2の 均 衡 化 問 題 は,任 意 のx9∈X,に 対 し て 以 下 の よ う に な る 。
Mexf2(OXエ,X2) sub.to92(Ori,X2)≦b,
h,(X2)≦O x,≧O
こ の 問 題 のLagrange関 数 は
L、(X9,X2,λ,,μ2)=f2(X9,X,)+λ;(9、(X9,X、)‑b、)+PtSh、(X,)
で あ り,最 適 化 の 必 要 条 件 は 以 下 の よ う に な る 。
鷺 一 ∂ 舞 醐 κ秀)+λ秀 ・∂ 亀 醐 κ彦)+μ窪 ・∂ 亀 砺(*X2)一 ・
鷺 一翫 鵬)一 あ ≦ ・
絵 一礁)≦ ・
λ彦T(9、(x9,κ 彦)一 ∂、)=0
μ秀丁乃、(*X2)=0 λ秀≧0,μ 秀≧0
さ て 決 定 に優 先 権 の あ る サ ブ シス テ ム1の 均 衡 化 問 題 は,上 記 の サ ブ シス テ ム 2の 最 適 条 件 を 考 慮 す る こ と に な る 。 つ ま り
Mexfi(Xl,κ2)
sub.to91(Xl,X2)≦b,
h,(Xl)≦O
畿+λ 鵜+μ 鶏 一・
92(Xl,X2)≦b2 h,(x2)≦O x,≧O
とな る。 な お,こ の 問題 のLagrange関 数,最 適 化 の必 要 条 件 等 は 省 略 す る 。
2.2協 力 ゲ ー ム に よ る 考 察
前 節 で は サ ブ シス テ ム に は 目的 関 数 が 存 在 す るが,シ ス テ ム全 体 と して は 目 的 関 数 が 明確 で ない 大 規 模 複 雑 な シス テ ム の 最 適 化 に か わ る概 念 と して 非 協 力 ゲ ー ム(Nash均 衡 解 とStackelberg均 衡 解)均 衡 化 に つ い て 考 察 した 。しか し, 一 般 的 に非 協 力 ゲ ー ム に よ っ て獲 得 で き る利 得 は
,サ ブ シス テ ム が 協 力 して得 られ る利 得 よ り小 さ い 。こ こ に各 サ ブ シ ス テ ムが 協 力 しよ う とす る誘 因 が あ る。
協 力 す る こ と に よ っ て お 互 い の利 得 を増 や す こ とが で き る な ら話 し合 い(交 渉)
を す る 余 地 が あ り,N個 の サ ブ シ ス テ ム の利 得 の 増 加 さ ら に は シ ス テ ム 全 体
に と っ て に協 力 ゲ ー ム の 手 法 を取 り入 れ る こ と は有 効 と考 え られ る 。
大 規模 複雑 なシス テ ムのゲ ー ム理論 に よる考察83 (a)2人 交渉 ゲ ー ム
まず,サ ブ シ ス テ ムが2つ の場 合 に協 力 ゲ ー ム に お け るNashに よ る2人 交 渉 ゲ ー ム[5]の 手 法 を取 り入 れ てNashの 均 衡 化 の 概 念 を考 察 して み よ う。 ま ず2つ の サ ブ シス テ ム の 最 適 化 問 題 を次 の よ う に記 述 し よ う。
サ ブ シス テ ム1
Maxfi(Xl,X2)
sab.togi(Xl,κ2)≦bi
h,(Xl)≦O
x,≧O
(4)
サ ブ シス テ ム2
漁 劣
sub.to
f2(κ1,x、>
9、(X、,X、)≦ ∂、
h,(X2)≦O
x,≧O
(5)
こ こ で κ1,κ2は サ ブ シ ス テ ム1,サ ブ シ ス テ ム2が そ れ ぞ れ と る戦 略 で あ り, 無 限 戦 略 と考 え る。 そ れ ぞ れ の 利 得 関 数(目 的 関 数)を 次 の よ う に定 義 す る。
a=fi(Xl,X2),V=f2(κ1,κ2)
そ れ ぞ れ の 制 約 条 件 の 中 で の κ,りの 取 り得 る値 の 組 の 集 合 を協 力 実 現 可 能 集 合 とい い,R・1(u,り)}で 表 す 。
2つ の サ ブ シ ス テ ム は こ の 協 力 実 現 可 能 集 合Rの 中 に交 渉 の基 準 点c=(Cl, c2)を 定 め,交 渉 をす る こ とに よ っ て お 互 い の利 得 を 最 大 に し よ う とす る 。 基 準 点 に つ い て は2つ の サ ブ シス テ ム が 共 通 の認 識 と して あ らか じ め定 め て い る 場 合(固 定 基 準 点)と 交 渉 の 過 程 で基 準 点 そ の もの につ い て駆 け引 きが行 わ れ
る場 合(脅 し点)と が あ る。
こ こ か ら,Nashに よ る 交 渉 の公 準 に つ い て 説 明 す る。 交 渉 は協 力 実 現 可 能 集 合Rと 基 準 点cと の 組(1〜,c)の 上 で 行 わ れ る と考 え る こ と が で き る。 こ の 組(R,c)を 交 渉 の 場 と呼 ぶ こ と に す る。 交 渉 の 場 は つ ぎの 性 質 を もつ と仮 定 す る。
前 提1:Rは 平 面 上 の 有 界 閉 な 凸 集 合 で あ る 前 提2:基 準 点cをRに 想 定 す る こ とが で きる
前 提3:u>c1,レ>c2と な る よ うな(u,り)が 少 な く と も1つRに 存 在 す る 交 渉 と い うの は与 え ら れ た 交 渉 の場(R,c)か ら,交 渉 の 妥 結 点 と して,Rの
あ る1つ の 点7=(it,P)を 選 び 出す こ とで あ り,交 渉 ゲ ー ム と よ ば れ る。 こ の ゲ ー ム の解 を 求 め る こ と は次 の よ う な 関数 を求 め る こ とで あ る。
Ψ(R,c)=7た だ し7=伽,P)∈R
この 関数 を 決 定 す る基 準 と してNashの 公 準 を採 用 す る。
「 公 準1」 個 人 合 理 性tz≧c, ,P≧c,
プ レ イ ヤ ー の 受 け取 る利 得 は,交 渉 が 不 成 立 の 場 合 に 得 られ る利 得 未 満 で あ っ て は な らな い 。 こ の こ と は交 渉 が 成 立 す る最 低 の 条 件 で あ る。
「公 準2」 共 同 合 理 性(パ レ ー ト最 適 性)
も し(u,り)∈Rでa≧it,v≧Pな ら ば(u,り)=(it,P)で あ る 。 交 渉 は 双 方 が よ り よ く な る 点 が あ る 限 り継 続 さ れ る 。
この 「 公 準1」 お よ び 「 公 準2」 をみ た すRの 領 域 を 交 渉 領 域 と よぶ 。 交 渉 は この 領 域 の どの 点 を 選 ぶ か を め ぐっ て行 わ れ,妥 結 点 は 必 ず この 領 域 に な
け れ ば な らな い 。
大 規 模 複 雑 な シ ス テ ム の ゲ ー ム 理 論 に よ る 考 察
「公 準3」 正1次 変 換 か ら の 独 立 性 集 合T・1(〆 リノ)}お よ び 基 準 点 〆 が, 得 ら れ る も の と す る 。
U!==Crla+β1,〆=α2レ+β2Cl!=CrlCl+β1,C2!=α202+β2
た だ し α1>0,α2>0
85
(R,c)か ら 次 の 正1次 変 換 に よ っ て
こ の と き,Ψ(R,c)=(ti,P)な ら ば Ψ(T,c!)=(飢Pり で あ る 。 す な わ ち,利
得 を測 定 す る 単 位 や 尺 度 を変 え て も本 質 的 に 変 わ りは な い 。
「 公 準4」 対 称 性
Rが 座 標 の 原 点 を通 る45度 線 につ い て対 称 でc1=c2な ら ばtz=Pで あ る。 こ の こ と は2人 の プ レイ ヤ ー の 立 場 が 交 渉 の場(R,c)に お い て 対 称 な ら,交 渉 の結 果 も対 称 で あ る こ と を意 味 す る。
「公 準5」 不 適 切 な 選 択 肢 か ら の 独 立 性
(it,P)∈T⊂Rな る 集 合Tを 考 え て も,Ψ(T,c)=(tz,P)で あ る 。 こ こ でc=(c、,c2)∈Tで あ る 。
こ れ ら の 公 準 の も と で 次 の 定 理 が 成 立 す る こ と をNashは 証 明 し て い る[5]。
定 理
固 定 基 準 点 を も つ 交 渉 ゲ ー ム に お い て,交 渉 の5つ の 公 準 を み た す 関 数
Ψ(R,c)=7た だ し7=(tz,P)∈R
が 一 意 に 存 在 し,次 の 式 か ら ア=(it,P,)を 求 め る こ と が で き る 。
(it‑Cl)(P‑C,)=max(〃‑C1)(V‑C、) (㌦響
レ≧c2
こ こ で7=(tZ,P)∈Rは 交 渉 の 妥 結 点 を 示 し,交 渉 ゲ ー ム のNash交 渉 解 と 呼 ば
商 学 討 究 第52巻 第4号
v▲
▲v'
A
R
ア(擁,の 3
B
)
c(c1,02)
C 〃'
0
＼ 」
F房
図1Nash交 渉 解
れ る 。
こ の 定 理 の 意 味 を 図 形 的 に 考 え て み る 。
図1に お い て,線 分AC上 の 点 は パ レ ー ト最 適 で あ り,交 渉 領 域 は 線 分AB で あ る 。c=(cエ,c2)を 原 点 と す る 新 し い 座 標 軸 〆 ゾ に よ っ て 表 さ れ る 点 を
(〆 〆)と す る と,U'=U‑Cl,り!=り 一C2で あ る か ら(U‑Cl)(り 一C2)=〆 〆 で あ る 。
!ノ̲z4レー κ
κ は定 数
とお く と,こ れ は新 しい座 標 軸 彪 〆 を漸 近 線 に もつ 双 曲線 で あ る 。 こ の 定 理
の 式 は κ をRの 範 囲 内 で 最 大 に す る こ とで あ る か ら,κ を最 大 に す る 双 曲 線
はRの 右 上 方 の境 界,つ ま り,交 渉 領 域AB上 でRと 接 す る双 曲線 で あ り,
そ の 接 点 を(tz,P)と す る と,そ の 点 が 定 理 の 式 を満 た す 点 で あ り,交 渉 の 妥
結 点 で あ る。
大 規模 複雑 なシス テム のゲ ー ム理 論 に よる考察87
先 の2つ の サ ブ シ ス テ ム の均 衡 化 の 問 題(4),(5)に2人 協 力 ゲ ー ム の 手 法 を適 用 し て み よ う。
漁 sub.to
{fi(Xl,X、)一 一CII{f2(Xl,X、)‑C、}
9i(X1,X2)≦ ∂1
9、(X、,X、)≦ ∂、
h1(Xl)≦O
h、(x2)≦O
XI≧O
x,≧O
(6)
こ の 問 題 のLagrange関 数 は
L(Xl,X2,λ1,λ2,μ1,μ2,)
={fi(Xl ,X2)‑Cll{f2(κ1,X、)‑C、}+Rf(9i(X、,X,)‑b1)+λ9(9、(κ 、,κ、)‑b、) +μfh,(X1)+Pth,(X2)
と な る 。 こ れ よ り 最 適 性 の 必 要 条 件 は
絵 ￡1砺 挽){f・(X・,X・)‑C・1+Glt1;f2(Xl,X・){f・(X・,X・)‑Cl}
+暢9・(x・,x2)+鴫g・(Xl,x2)+μ 丁農
、h,(x・)一・
護 一 義 加 ・){伽 ・)一・・}+轟 伽 ・){加 ・)一・・}
+λ ぞ轟91(Xl,x2)+λ 場
,9・(Xl,x・)+μ義 乃・(x・)一・
9窒 一9伽)‑b,≦ ・
1完 一9・(x・,x・)一∂・≦ ・
∂L ニh1(x2)≦0
∂μ1
∂L =h,(X2)≦0
∂μ2
で あ る。
も し,こ の 状 態 で2つ の サ ブ シス テ ム の 交 渉 が 成 立 す る な らば,や は り一 種 の 均 衡 状 態 にあ る と考 え る こ とが で き る 。 しか も非 協 力 ゲ ー ム に お け る均 衡 状 態 よ りお 互 い の 利 得 が 増 え る な らそ れ ぞ れ の サ ブ シ ス テ ム に とっ て 望 ま しい 状 態 で あ り,も し加 法 和 の よ う な単 純 な利 得 計 算 が 許 され る な ら,シ ス テ ム全 体 に と っ て も明 らか に非 協 力 ゲ ー ム にお け る均 衡 状 態 よ り優 れ て い る。 交 渉 の 基 準 の 決 定 は また 別 の難 しい 問 題 で あ るが,基 準 が 決 まれ ば,サ ブ シス テ ム の 最 適 化 は一 種 の 均 衡 状 態 つ ま り,一 意 の 解 に 到 達 で き るの で あ り,我 々 は これ を
2人 交 渉 ゲ ー ム に よ る 「Nash交 渉 解 」 と呼 ぶ こ と に す る 。
(b)コ ア の概 念
n人 協 力 ゲ ー ム に お け る 「コ ア」 の 概 念[5]を 導 入 す る た め の 準 備 をす る。
まず 対 象 とな る大 規 模 複 雑 な シ ス テ ム の各 サ ブ シス テ ム は明 確 な 目的 関数 を有 す るが,シ ス テ ム全 体 と し て は 明確 な 目的 関 数 は な い 。 さ らに そ れ ぞ れ の サ ブ シス テ ム が他 の サ ブ シ ス テ ム と提 携(結 託)し て 自分 の 利 得 を 多 くす る(目 的 関 数 の よ り よい 値 を得 る)と い う行 為 を 認 め る。 ま た この 利 得 は サ ブ シ ス テ ム 間 で 貨 幣 な どで 自 由 に 譲 渡 さ れ る も の と考 え る。 これ は ま さ に 実社 会 で の企 業 活 動 そ の もの で あ る 。 ラ イバ ル と し て しの ぎ を削 りあ って きた各 企 業(非 協 力 ゲ ー ム)が あ る 日突 然,技 術 提 携 や 合 併(協 力 ゲ ー ム)を 発 表 す る こ とは よ く
ヒ
あ る こ とで あ る。 我 々 は 「コ ア」 を導 入 す る にあ た りサ ブ シ ス テ ム の 利 得 を配 分 と い う概 念 で 読 み換 え る こ と にす る。
① 譲 渡 可 能 効 用 と別 払 い
一 般 に 利 得 あ る い は効 用 が ,何 らの 制 限 な く分 割 可 能 で あ り,貨 幣 とか 労
働 とか そ の 他 何 らか の 方 法 に よ っ て,利 得 の 一 部 をサ ブ シ ス テ ム 間 で 自由 に
大規 模複 雑 な システ ムの ゲー ム理論 に よる考 察89
譲 渡 で き,か つ,サ ブ シ ス テ ムAが 他 の サ ブ シ ス テ ムBに 譲 渡 し た場 合 に, Aの 失 っ た 利 得 の 大 き さ が,Bの 得 た 利 得 の 大 き さ に等 しい と き,そ の ゲ ー ム は 譲 渡 可 能 効 用(transferableutility)を もつ とい う。 そ して 利 得 の 一 部 を譲 渡 す る こ と,お よ び そ の 譲 渡 さ れ た利 得 を別 払 い(sidepayment)と い う。
② 特 性 関 数 形 ゲ ー ム
譲 渡 可 能 効 用 を も つ 〃人 ゲ ー ム を前 提 と し,ゲ ー ム の ル ー ル を以 下 の よ う に定 め る。
(1)サ ブ シ ス テ ム の 集 合 をN・11,2,̲,nlと し,nは 有 限 な 正 の 整 数 とす る 。
(2)Nの 任 意 の部 分 集 合 は 提 携 と し て 行 動 す る こ とが 可 能 で あ る。 す な わ ち,許 容 提 携 で あ る 。任 意 の提 携 をS,T等 の 記 号 で表 す 。
(3)譲 渡 可 能 効 用 が 存 在 して,提 携 内 で 別 払 い が 行 わ れ る 。
こ の よ う な 協 力 ゲ ー ム を 表 現 す る に あ た っ て,こ こ で は,von Neumann/Morgensternの 考 え方 に よっ て,次 の よ う な 関 数(特 性 関 数)を
定 義 す る 。
(i>任 意 の 提i携Sに 対 して,実 数 値 り(S)を 対 応 さ せ る 関 数 レが 存 在 し て,こ の 関 数 を特 性 関 数 と よ び,り(S)を 提 携Sの もつ提 携 値 とい う。
㈹ 提 携T(≠N)⊂Nの もつ 値 り(T)は,T以 外 の サ ブ シス テ ムAl‑T が 提 携 と して,行 動 す る と考 え た と き に,提 携Tが 最 悪 の 場 合 で も確 保 で き る値 とす る。 た だ し
レ(Q)=0と す る 。
こ の よ う に して,サ ブ シス テ ム の 集 合Nと 特 性 関 数 り と の組(N,り)と し
て 定 義 され る ゲ ー ム を特 性 関 数 形 ゲ ー ム とい う。
も し,問 題 が標 準 形(戦 略 形)π 人 ゲ ー ム と して表 現 され て い る 場 合 に は, 特 性 関 数 は次 の よ う に して 求 め る こ とが で きる 。
い まサ ブ シス テ ムiの もつ 戦 略 の 集 合 をSlilとす る。 そ の と き,提 携 丁 の もつ 共 同戦 略 の集 合STはST=nSi,}で あ る 。 こ こでnは 提 携 丁 の す べ て
ぎ ア げ ア
の サ ブ シ ス テ ム に つ い て の 直 積 を 表 わ す 。[ST]をSTの 凸 包 と し,P.を 提 携 Tの も つ 共 同 戦 略 と す る と,1)T=【ST]で あ る 。
標 準 形n人 ゲ ー ム をT(提 携 グ ル ー プ)と!>LT(非 提 携 グ ル ー プ)と の 2人 ゲ ー ム に お き か え,TとIV‑Tと の も つ 共 同 戦 略 の 集 合 を そ れ ぞ れ P.=IP},轟 一T=Iq}と し,サ ブ シ ス テ ムiの 利 得 をfi(P,q)と す る と,こ の ゲ ー
ム の 特 性 関 数 は
㈹ レ(T)=maxminΣfi(P,q)た だ し り(N)=O
カ ア ァ を アル ァ づ ア
に よ っ て 求 め ら れ る 。
こ の よ う な最 悪 の 場 合 で も確 保 で き る値 とい う考 え方 で 定 義 し て得 られ る特 性 関 数 をvonNeumann/Morgenstern型 特 性 関 数 とい う。
③ 交 渉 領 域 と 配 分
〃 人 ゲ ー ム の 交 渉 領 域 は 次 の よ う に 考 え られ る 。
ゲ ー ム(N‑11,2,...,nl,り)が 与 え ら れ て い る とす る 。 サ ブ シ ス テ ムiの 利 得 をXiと し 利 得 ベ ク トル をx==(x1,̲,Xn)と す る と,別 払 い の あ る 協 力 実 現 可 能 集 合[5]はR=lx=(Xl,...,Xn)/Σ 紛 ≦ り(M}と か け る 。
i∈T
協 力 実 現 可 能 集 合 の 点xが 交 渉 領 域 に あ た る た め に は,次 の2つ の 条 件 を 満 た して い な け れ ば な らな い 。
(i)個 人 合 理 性 任 意 の サ ブ シ ス テ ムiに つ い て 拘 ≧ り({i}) (li)全 体 合 理 性 ΣXi=v(N)
i∈〈x
そ の と き こ の2つ の条 件(個 人 合 理 性 と全 体 合 理 性)を 満 た す 利 得 ベ ク トル
大規 模複 雑 な シス テムの ゲ ーム理論 に よる考 察 を配 分 とい う。 す な わ ち交 渉 領 域 は 配 分 の集 合 で あ る。
9ヱ
④ 配 分 の 支 配
ゲ ー ム(N,レ)が 与 え ら れ,そ の 配 分 の 集 合 をA・ ・Ix==(κ1,...,Xn)}とす る 。 そ の と き2つ の 配 分 の 比 較 に 関 し て 次 の 条 件 を 考 え る 。
い ま2つ の 配 分x, .yにつ いて提 携Sに 関 して,次 の条件 を考 え る。
(1)有 効 条 件 Σ 屡 レ(s)
ゴどヨ(2)選 好 条 件Xi>yi,∀i∈S
こ の2つ の 条 件 が 成 立 す る と き,提 携Sに 関 し て 配 分xは 配 分 .yを 支 配 す る(dominate)と い いxdomsツ と か く 。
配 分xに つ い て 有 効 条 件 が 成 立 す る と き,提 携Sをxの 有 効 集 合(effective set)と い う 。 ま た2つ の 配 分x,yに つ い て 適 当 な 提 携Sが 存 在 し てxdoms .yと な る と き,単 にxは.yを 支 配 す る と い いxaomyと か く 。
⑤ コア
配 分 の 支 配 とい う概 念 を用 い る と交 渉 の 過 程 にお い て 支 配 され る 配 分 は何 らか の提 携 に よ っ て 拒 否 され て排 除 され る こ と に な り,支 配 さ れ な い 配 分 が 残 る こ と に な る 。 この よ う なゲ ー ム の 解 を コア と呼 び次 の よ う に定 義 す る。
定 義 コ ア
ゲ ー ム(ハ ζり)に お い て,い か な る 配 分 に も支 配 さ れ な い 配 分 を コ ァ と い う。
ま た,個 人 合 理 性 を提 携 に 拡 張 す れ ば,配 分xに 対 して 任 意 の 提 携Sに つ い て ΣXi≧ レ(s)が 成 立 す る と き,xは 提 携 合 理 性[5]の 条 件 を み た して い
ゴ お
る とい う。 この よ う に,κ が す べ て の 提 携 につ い て 提 携 合 理 性 を満 た して い
れ ば この κは 安 定 と考 え られ,コ ア は次 の よ う に も定 義 で き る。
ゲ ー ム(N,レ)に お い て,次 の 二 つ の 条 件 を 満 た す 利 得 ベ ク トルx=(κ1,...,Xn) の 全 体 を コ ァ と 呼 ぶ 。
(i)Σ 拘 ≦ り(N)
ゴぱ
㈹Nの す べ て の 部 分 集 合Sに 対 して Σ κ之 り(S)
i∈s
大 規 模 複 雑 な シ ス テ ム の考 察 をす る に あ た り,サ ブ シ ス テ ム の 独 立 性 の 高 さ に よっ て,分 割 原 理,非 協 力 ゲ ー ム,2人 交 渉 ゲ ー ム(協 力 ゲ ー ム)と そ の 手 法 を変 え て きた 。 しか し,常 に シ ス テ ム 全 体 の 最 適 化,あ るい は個 々 の シス テ ム の 最 適 化 を め ざ し,一 意 の解 が得 られ る こ と を意 識 して き た 。 も ち ろ ん,非 協 力 ゲ ー ム のNash均 衡 解 で は解 は一 意 と は 限 らず,複 数 に な る こ と も認 め て きた 。 しか し,π 人 協 力 ゲ ー ム の概 念 を導 入 す る に あ た り,集 合 と して の解 を認 め る こ とに な る。
譲 渡 可 能 効 用 を もつ%人 協 力 ゲ ー ム は 任 意 の提 携 を許 す と極 め て 複 雑 な 様 相 を呈 す る。 解 は ほ とん どの 場 合,集 合 と して得 られ,そ の 中 の どの 配 分 に落 ち着 くか は さ ら に別 の基 準 を必 要 と して い る 。 本 論 文 で は 特 に3人 協 力 ゲ ー ム の コ ア ま で を考 え る が,他 に は 安 定 集 合,交 渉 集 合 とい っ た解 概 念 も あ る。 特 に交 渉 集 合 の 仁 は コ アが 空 で な い と き,コ ア の 中 の 利 得 ベ ク トル を 一 意 に 定 め る手 法 と し て有 用 と考 え られ る 。また 別 の機 会 に検 討 して み た い 。
(c)3人 協 カ ゲ ー ム(N={1,2,3},レ)の 場 合
3人 協 力 ゲ ー ム の サ ブ シ ス テ ム を1,2,3と し,そ れ ぞ れ の 戦 略 をx, .)i,z (こ の 場 合 無 限 戦 略)ま た,そ れ ぞ れ の 利 得 を 表 す 関 数 をfi(x,.y,z), f2(x,Y,z),ノ §(x,y,z),と 考 え る と,上 記 の よ う な 性 質 を 持 つ 特 性 関 数 は 以 下 の
よ う に 定 義 で き る 。
大規 模複 雑 な シス テムの ゲ ーム理 論 に よる考 察
レ({1})=maxminfi(x,ツ,z)
ぎ ニ ソサヨ
リ({2Dニmaxminf2(x,ツ,2)ニソ あ ヱ リ({3})=maxminf3(x,y,z)
ヱ コ ら ツ
リ({1,2})=maxmin{fi(x,ツ,z)+f2(x,ツ,z)}
ガロツ ヨ
リ({2,3})=maxmin{f2(x,ツ,z)+f3(x,ツ,9)}
ニソリヨ ガ
リ({1,3})=maxmin{fi(x,ツ,z)+f3(x,ツ,9)}
あご ツ
レ({1,2,3})=max{fi(x,y,9)+f2(x,y,9)+f3(x,y,9)}
93
(7)
ま た,3人 協 力 ゲ ー ム(N={1,2,3},り)の コ ア が 空 で な い た め の 必 要 十 分 条 件 と して 次 の 定 理 が 成 立 す る こ とが 知 られ て い る 。
定 理 り({1,2})+レ({1,3})+り({2,3})≦2り({1,2,3})
我 々 は 上 記 の特 性 関 数(7)に従 う3人 協 力 ゲ ー ム に こ の定 理 を適 用 す る 。 す な わ ち
maXmin{ガ(X,y,Z)+乃(X,ツ,9)}+maXmin{f2(X,ツ,2)+乃(X,ツ,Z)}
x,y ツリど ぎ
+maxmin{fi(x,
ぎ ヱ ツ
.y,9)+f3(X,ツ,2)}≦2max{ガ(x,.y,9)+乃(x,y,2)+f3(x,y,z)}(8)
式(8)を 満 足 す るx,y,zが 空 で な く 存 在 し,そ のx,y,gに よ っ て 得 ら れ る 利 得 fi(x,y,g)+f2(x,y,z)+f3(x,.y,g)を 分 配 と考 え れ ば,そ れ は 何 も の に も 支 配 さ れ な い 分 配 利 得 で あ る 。 つ ま り そ の 意 味 で 安 定 し た 状 態 に な っ て い る こ と に な る 。 し か し,こ の 分 配 利 得 は 集 合 の 形 に な り,無 数 に 存 在 す る 。 こ れ を,「 コ ァ に よ る 集 合 と し て の 解 」 と よ ぶ こ と に す る 。
3.モ デ ル に よ る 検 討 3.1サ ブ シ ス テ ム 数 が2個 の 場 合
い ま まで 述 べ て き た非 協 力 ゲ ー ム に よ る 「 均 衡 化 」の 概 念 と,協 力 ゲ ー ム(2
人 協 力 ゲ ー ム)に よ る 「Nash交 渉 解 」 に つ い て の 妥 当 性 を 検 討 す る た め に2 つ の サ ブ シ ス テ ム で 構 成 さ れ る シ ス テ ム を 考 え る 。 単 純 化 の た め,各 サ ブ シ ス テ ム の 最 適 化 問 題 を 次 の よ う な 目 的 関 数 を 最 大 化 す る 問 題 とす る 。
サ ブ シ ス テ ム1fi(κ1,x2)=‑x12‑xlx2‑x22+4x1+2x2
サ ブ シ ス テ ム2f2(X1,X2)=‑2xi2‑2xlx2‑x22+4x1+6x,
x、,x2は 戦 略 を,fi,f2は 利 得 を 表 す 。
目 的 関 数 を 図 示 す る と 図2の よ う に な る 。2つ の 目 的 関 数 が 重 ね た よ う に 描 か れ て い る が,上 に 凸 で そ れ ぞ れ 目 的 関 数 を 最 大 に す る 点 が あ る こ と が 推 察 さ れ る 。
巴
o
‑20
‑GO
‑60
一 昏
図2目 的 関数 の概観 (a)単 独 で最 適 化 した 場 合
サ ブ シス テ ム1に つ い て
3t,一 一2x,‑x2+4‑・,St/1‑‑2x,‑x,+2‑・
を 連 立 さ せ て 君=2,xlニOfi(**Xi,X2)=4を 得 る 。
大規模 複雑 な システ ムの ゲー ム理論 に よる考 察95 サ ブ シ ス テ ム2に つ い て
同 様 に 髪 一 一4x・‑2x・+4一 磯 一 一2物 一2x,+6‑・
を 連 立 さ せ て 君=‑1,坊=4f2(**X1,X2)=10を 得 る 。
(b)目 的 関 数 の 加 法 和 を 認 め た 場 合
こ の 場 合 は,上 位 の 意 志 決 定 機 構 の 存 在 を 認 め,シ ス テ ム 全 体 の 目 的 関 数 が 存 在 す る 。 も ち ろ ん サ ブ シ ス テ ム の 独 立 性 が 高 い と き は こ の よ う な 状 態 は 考 え に くい 。
最 適 化 問 題 は
MexF(x1,x2)r〆 三(xl,x2)+ノ1(κ1,κ2)=‑3xi2‑3xlx2‑2x22+8x1+8x2
と な り
∂F ∂F
∂xl=‑6x,‑3x・+8==O・ 一砺 二 一4x・‑3x1+8=0 を 連 立 さ せ て
κf一毒 苔一菩f、(xr,x、')‑lll,乃(xr,xi)一 署,F伽 彦)一響
を 得 る 。
(c)Stackelberg均 衡 解 サ ブ シ ス テ ム1が 先 手 の 場 合
こ れ は 後 手 の サ ブ シ ス テ ム2の 最 適 条 件 を 制 約 条 件 と し た 次 の 問 題 を 解 く こ と に な る 。
Mexfi(xl,x2)=‑x12‑xlx2‑x22+4it1+2x,(9)
sub.to3t‑‑2x・‑2・,+6‑・(1・)
制 約 条 件 式 ㈲ よ り κ2=3‑Xlこ れ を 式(9)に 代 入 し て
ノ1(Xl)=‑x12‑5x,‑3
これ を解 くと先 手で あるサブ シス テム ・の均翻 ま 群 号 となる・ よって 後 手の均鰍 溜+号 一音 とな る.
また,そ れぞ れの 目的 関数の値 は 舟 塁 ∫多一一号 であ る・
サ ブ シ ス テ ム2が 先 手 の 場 合
Mexf2(xl,x2)=‑2x12‑2xlx2‑x22+t3ix,+6x2
sub・t・{語 一 一2Xl‑x2+4‑・
同 様 に 均 衡 解 を 求 め る と 遭=0,霧 二4あ り,そ の と き の 目 的 関 数 の 値 は ff2=‑8,f彦2=8と な る 。
(d)Nash均 衡 解
サ ブ シ ス テ ム1,2の 最 適 反応 は
誕 一 一隔+4一 磯 一一2x,‑2・,+6‑・
で あ り,連 立 さ せ る と 均 衡 解 κ榊=1,κ 弊=2を 得 る 。 そ の と き の 目 的 関 数 の 値 は!轡=1,ノ 押 匿6と な る 。
以 上 の 結 果 を 図 で 検 討 して み よ う。 座 標 軸 κ1,x2とした の が,図3で あ り, 座 標 軸fi,f2と した の が 図4で あ る。 ま た 表1が 考 察 の 結 果 を ま と め た もの で
あ る。 サ ブ シス テ ム が そ れ ぞ れ の 最 適 化 の み を考 慮 す る と,他 方 の サ ブ シ ス テ
ム ま た は シ ス テ ム全 体 と して も利 得(最 適 化)は 必 ず し も大 き くな い こ とが わ
か る。また,こ の 例 で はStackelberg均 衡 解 も好 ま しい利 得 と は い い が た い が,
大 規模 複 雑 な システ ムのゲ ー ム理論 に よ る考 察97
Nash均 衡 解 は 許 容 で き る利 得 か も しれ な い 。 しか し,加 法 和 を認 め た 場 合 は そ れ ぞ れ の サ ブ シ ス テ ム に とっ て あ る い は シス テ ム全 体 に とっ て も最 良 の 結 果 か も しれ な い 。 しか し これ は サ ブ シス テ ム を統 括 す る 上 位 の意 志 決 定 シ ス テ ム が存 在 す る と き可 能 な の で あ り,サ ブ シ ス テ ム の独 立 性 が 高 い と き は実 現 が 難 しい と思 わ れ る。 しか し,な ん らか の 話 し合 い が サ ブ シス テ ム 間 に な さ れ,お 互 い あ る い は 全 体 に と って 望 ま しい 結 果 が あ る とす れ ば妥 協 の 余 地 は残 され て
い る と考 え られ る。 た と え ば 図4に お い て の 第1象 限 内 の 点C,Fな どは 妥 協 点 と考 え られ る点 の近 傍 と な る の で は な か ろ う か 。 もち ろ ん そ の 点 はパ レー ト 最 適 な 点 に な る で あ ろ う。 わ れ わ れ は こ こ で 協 力 ゲ ー ム(Nashに よ る2人 交 渉 ゲ ー ム)の 概 念 を導 入 し,「Nash交 渉 解 」 を求 め て み よ う。
(e)2人 協 力 ゲ ー ム のNash交 渉 解 も う一 度,最 適 化 問 題 を記 述 す る。
サ ブ シ ス テ ム1Mexfi(x、,x2)=一 ・x12‑xlx2‑x22+4,cc,+2t,… … …(11)
サ ブ シ ス テ ム2Mexf2(xl,x2)=‑2xi2‑2vlx2‑x22+4x,+6x2… …(12)
こ こ で 我 々 は2つ の サ ブ シ ス テ ム の 利 得 ベ ク トル を(fi(κ1,x2),f2(κ1,κ2))と 考 え て,こ の ベ ク トル の 最 適 化 を 考 え れ ば よ い 。 も ち ろ ん こ の ベ ク トル は パ レ ー ト 最 適 性 を 満 し て い な け れ ば な ら な い
式 ⑪,⑫ よ り 変tWXIを 消 去 し て,変 数x2を パ ラ メ ー タ と し て 座 標 軸 をfi,f2 と す れ ば 図5を 得 る 。 こ れ ら の 実 現 可 能 な 値fif2の な か に 交 渉 解 は 存 在 す る と 推 測 さ れ る 。 パ レ ー ト最 適 性 を 考 慮 し て,Mathematica3.0[10][11][12]
[13][14][15]を 用 い て,こ れ ら 曲 線 群 の 包 絡 線 を 求 め て み る 。
式 ⑪,⑫ よ り,κ1を 消 去 す る と
4/i2‑.2f,プS+f22+(4x22+16x,‑16)ノ 三
+(16‑18x,‑2x22)ノ …+x24+8x23+12x22‑64x,=0
⑯
商 学 討 究 第52巻 第4号
コζ2
日
サ ブ シス テ ム2が 先 手 のStackelberg均 衡 解
6
1/
、 ノ
lr '
ズ''"・ 一 ぐ'・. ㌦
紋Bこ ∫ ・
/::::::::::瓦4
,膠「・「
単独サブシステム2の最適解.̲
r■ 幽1..曾 ■
:E
・Nash均
馬■衡 解
塾 、F/
一}サ
'ブ シス テ ム1
・/●
ンc/ワ "曾'"巳'"一 偽 ま
一2 一1
‑2
ζ:〕
"〜嘘 ＼
'..,',,.」,,,,'"
加 法和 を認めた場合 の最適解
一唖 単独サ ブシステム1の 最適解
一 石
サ ブ シス テ ム1が 先 手 のStackelberg均 衡 解
D∠!!'t3
.;
翼ユ 15
図3戦 略 κ1,x2を 座 標 軸 と した 場 合
f2
単独サ ブシステム2の 最適値 12
B 1
●
10●E ε 加法和を認めた場合の最適値
サ ブ シ ス テ ム2が 先 手 のStackelberg均 衡 解
●Cに対 する関数値
6
●
F
侵
Nash均 衡解 に対す る関数値
2 単独サブシステム1の 最適値
A
. .■ ■ .
・o
10 一 ε 一5一 唖 一2 2⊆
一 ユ ●D
11
サブ システム1が 先手のStackelberg均 衡 解に対す る関数値
図4利 得fi,f2を 座 標 軸 と し た 場 合
大規模 複 雑 なシス テ ムの ゲー ム理論 に よ る考 察 表1戦 略 と利 得の 比較
x1 x2 f1 f2 加 法 和(参 考)
単 独 サ ブ シス テ ム1 2 0 4.0000 0.0000 4.0000 単 独 サ ブ シ ス テ ム2
一1
4一9 .0000
10.0000 1.0000加法和
0,533 1.6 1.6356 6.8978 8.5333サ ブ シ ス テ ム1が 先 手 の
Stackelberg均 衡 解 2.5 0.5 3.2500
一2 .2500
1.0000サ ブ シ ス テ ム2が 先 手 の
Stackelberg均 衡 解 0 4
一8 .0000
8.0000 0.0000Nash均 衡解 1 2 1.0000 6.0000 7.0000
Nash交 渉解 1 2 1.0000 6.0000 7.0000
1 1.25 2.6875 5.4375 8.1250
1 一 〇.59 2.0619
一 〇 .7081
1.35381 1.55 2.1475 5.7975 7.9450
1 5.29
一19 .6941 一4 .8241 一24 .5182
0.02 2 0.0396 7.9992 8.0388
0.02 1.25 0.9921 5.9667 6.9588
0.02 一 〇.59
一1 .4367 一3 .7853 一5 ,2220
0.02 1.55 0.7461 6.9147 7.6608
0.02 5.29
一17 .4303
3.6235一13 .8068
一1 .73 2
一6 .4529
2.0142一4 .4387
一1 .73 1.25
一6 .8129 一2 .6433 一9 .4562
一1 .73 一 〇.59
一12 .4617 一18 .8353 一31 .2970
一1 .73 1.55
一6 .5339 一 〇 .6453 一7 .1792
一1 .73 5.29
一18 .1653
9.1535一9 .0118
0.56 2 0.8064 7.3728 8.1792
0.56 1.25 2.1639 6.1503 8.3142
‑ 0.56 一 〇.59 0.7287
一1 .6145 一 〇.8858
0.56 1.55 1.7559 6.7743 8.5302
0.56 5.29
一18 .4401 一 〇
.5561 一18 .9962
2.93 2
‑2 .7249・
一9 .1698 一11 .8947
2.93 1.25 0.4101一6 .8373 一6 .4272
2.93 一 〇.59 3.3357一5 .8805 一2
.5448
2.93 1.55
一 〇 .7089 一7 .6353 一8 .3442
2.93 5.29
一29 .7687 一32 .6933 一62 .4620
(α) (β)(γ) (δ)
(ε)
99
圭ユ
il
図5κ2を パ ラ メ ー タ と した 場 合 の 利 得 の 概 観
こ れ は 変 数x2を パ ラ メ ー タ と す る と 図5の よ う な 曲 線 群 に な る 。 ま た,式 ⑬ を 変 数 κ2に つ い て 微 分 す る と
一64+241t,+24x22+4 ,t23+16/3+8κ 爺 一8f,‑4x2/7,=0(14)
と な り,式 ⑯ と 式 ⑯ を 連 立 さ せ て 変 数 κ2を 消 去 す る こ と に よ っ て 次 の 包 絡 線 を 得 る 。
1(}f14+ノ13(656‑64f,)+ノ12(‑7388‑328f,+88f,2)
+fi(39984+5276f,‑356f,2‑48f,3)+9f,4+210f,3+457f,2‑1176()f,一 一87808=0
こ れ が 包 絡 線 の 方 程 式 で あ り,こ れ を 描 い た も の が 図6で あ る 。
図6に は い ま ま で 考 察 し て き た 最 適 解 等 が 描 き 込 ん で あ る 。第1象 限 の 点F,
大 規模 複雑 な シス テム のゲ ーム理 論 に よる考察
E2
12B
→
10E● 8 C
5 ●N
F
些
2
A
1
10一 日 一 δ 一伍 一2 2
一・i
'D●
至i
ヱ0ヱ
図6包 絡 線 の概 観
Cの 近 傍 の 包 絡 線 上 の 点 が パ レー ト最 適 性 を満 た す で あ ろ う こ とが 視 察 さ れ る。
さ て,Nashに よ る 協 力 ゲ ー ム(2人 交 渉 ゲ ー ム)の 「Nash交 渉 解 」 を 求 め て み よ う。交 渉 に あ た っ て基 準 点 を い か に決 定 す る か は極 め て 困 難 な 問 題(脅
し点 等)で あ るが,こ こ で は 単 純 化 の た めNash均 衡 解 を採 用 し,基 準 点 決 定 の論 議 は ま た 別 の 機 会 に 譲 る こ とに す る。
式(6)よ りNash交 渉 解 は 以 下 の条 件 を満 足 す る点 とな る 。
MexF(x1,x2)={ノ1(Xl,x2)‑1}{ノ …(Xl,x2)‑6}
={‑x12一 κlx2‑x22+4κ1+2x,‑1}{‑2x12‑2xlx2‑x22+4,v,+6x2‑6}。 ・・(15)
式 ⑯ に極 値 を与 え る可 能 性 の あ る 点 は,変 数 κ1,κ2に つ い て そ れ ぞ れ偏 微 分 し, ゼ ロ とお い て 連 立 させ る と得 られ る。 す な わ ち
F(xエ,x2)=6‑28x,+24xi2‑12xi3+2xi4‑18t,+40x,x,‑22ti2x2
+4t13x2+19x22‑18x,x22+5xi2x22‑8x23+3xlx23+x24
商 学 討 究 第52巻 第4号
こ の 式 を 変tWXI,x2に つ い て そ れ ぞ れ 偏 微 分 し て ゼ ロ と お く と,
‑28+48x
,‑36xユ2+8xi+40x,‑441vlx2+12ti2x2‑18x22+10x,x22+3x23=0
‑18+40x
1‑22x12+4xi3+38x,‑36x,x2+10x12x2‑24x22+9xlx22+4x23=0
連 立 させ て変 数 κ1,x2をそ れ ぞ れ消 去 す る と以 下 の方 程 式 を得 る。
227‑9946xi+27727xi2‑19434xi3‑1655xì
+4994κ15‑2503x16+666x,7‑84xエ8+8xi9ニ0 3072+1536x2‑62058x,2+640x,3+1688x24
+128x,5‑250x,6‑28t,7+6x28+κ29=0
こ れ の 近 似 解 を 求 め る と以 下 の よ う に な る。
{{x→1.'},{x→0.0244628663363206655、},
{x→2.48776856683184011'+5.88976159602672311'1}, {x→2.48776856683184011、‑5.88976159602672311'1}, {x→‑1.73789135521353221'},{x→0.564300743166107121'}
{x→2.93689225939703533、},{x→1.36834917632519492'‑2.82478289176970633'1}
{x→1.36834917632519492'+2.8478289176970633'1}}
{{x2→2,、},{x2→1.25784221444840316'},
{x2→‑5.62892110722420202、+2.54476646267950856、1}, {x2→‑5.62892110722420113'‑2.54476646267950856'1}, {x2→‑0.597057868958903359'},
{x2→1.55782303332490723'},{x2→5.29793327964812199'}, lx2→‑2.12934922200706289'‑1.39993641930100309、1}, {x2→‑2ユ2934922200706289、+1.39993641930100309、1}}
実 数 解 だ け 取 り 出 し て,Nash交 渉 解 の 可 能 性 を 調 べ だ の が や は り 表1で あ る 。 (ε)の κ1≒0.56,x,≒1.55の と きfi≒1.76,f,≒6.77,加 法 和 は 約8.53と な り,
大 規模複 雑 な シス テム のゲー ム理論 に よる考察
103結 果 を 図6の 中 に点Nと して 描 い て み た 。 点Cの 極 め て近 傍 に あ り,理 論 通 り の 妥 協 点 が 得 られ た の で は な か ろ うか 。優 先 順 位 の 無 い非 協 力 ゲ ー ム の 均 衡 点 (Nash均 衡)で あ る 点Fと 比 較 した 場 合,そ れ ぞ れ の サ ブ シス テ ム に と っ て 利 得 の 改 善 が み られ 協 力 す る とい う誘 因 が 存 在 す る。
3.2サ ブ シ ス テ ム 数 が3個 の 場 合 次 の よ う な モ デ ル を想 定 す る。
今,図7の よ う に あ る大 都 市 近 郊 に リ ン ゴ を供 給 して い る3つ の村,A村, B村,C村 が あ る と し よ う。 苗 木 の 特 許 権 の 関係 で,A村 で は 「 つ が る」,B 村 で は 「 ふ じ」,C村 で は 「 王 林 」 をそ れ ぞ れ 生 産 して い る 。 リ ン ゴ は そ れ ぞ れ の村 の 農 協 を通 じ て大 都 市 に供 給 され るが,価 格 は そ れ ぞ れ の 品種 の 供 給 量 や 消 費 者 の 好 み 天候 に よ る 出 来 不 出 来 な ど様 々 な 要 素 で決 定 さ れ る 。 こ こ で は 簡 単 の た め そ れ ぞ れ の 品種 の 供 給 量 で 決 ま る こ と に し よ う。 つ ま り,そ れ ぞ れ の 村 の利 得 に は 自身 の 品種 の 供 給 量 が 一 番 影 響 す る こ とに な るが,他 の 品種(他 の 村)の 供 給 量 も影 響 す る こ と にす る 。 そ の よ う な前 提 の も と に村 単 位 で の利 得 関数 を次 の よ う に定 義 す る 。
⑱ ・・A村 ・ つがる・の購
ザ がる」を供給
灘/(包 ＼ 讐
y:B村 「ふ じ」 の供 給 量 図7
z:C村 「王 林 」 の 供 給 量
リンゴ を供 給 して い る村
A村 の 利 得 関 数f。(x,Y,・)一 一x・+s・‑E(響 ⑯
B村 の 利 得 関 数f。(x,M・)一 一2y2+・2y‑2〈2毛+9)(i7)
C村 の 利 得 関 数fc(x,y,・)一 一一・2+…‑2z(響 ⑱
こ こでx≧0,ッ ≧0,z≧0と す る。
も ち ろ ん そ れ ぞ れ の村 は そ れ ぞ れ の 利 得 関 数 が よ り大 き くな る よ う に 自 らの 供 給 量 を調 整 す る こ とに な る。 非 協 力 ゲ ー ム に お け るNash均 衡 と協 力 ゲ ー ム
に お け る3人 協 力 ゲ ー ム の コ ア の概 念 を用 い て こ れ を 考 察 す る こ と にす る 。
(a)Nash均 衡(非 協 力 ゲ ー ム に よ る均 衡 化)
非 協 力 ゲ ー ム のNash均 衡 解 とは,式 ㈲,㈲,⑯ にお い て,お の お の の村 は 他 の村 の最 適 反 応 に 自 ら も最 適 反 応 をす る 。 つ ま り,以 下 の方 程 式 を連 立 させ
れ ば,そ れ ぞ れ の リ ン ゴの 最 適 な 供 給 量 と利 得 を求 め る こ とが で き る。
州453・ 、51・453]2。52。9≒ …5・6
∫轡[讐 ・欝 矧 一 欝 ≒9・ ・95
誓+2x+÷(† ・)一・
誓 一12‑4y+÷(‑2x‑・)一 ・
彩 一・ ・‑2α まツL2・ 一・
14693221778
∴x=453'y=151'z=453
⑲
㈲
大規 模複 雑 な シス テムの ゲー ム理論 に よる考 察105
fgash讐,欝,i欝 一 器 鍔 ≒15.4・5⑳
各 々 の村 が 他 の村 と協 力 す る こ とな く,自 らの リ ン ゴ の供 給 量 を調 整 す れ ば い ず れ はNash均 衡 に到 達 し,式 ㈲,⑳,⑳ の よ う な利 得 を得 る こ とに な る。
さて こ れ を も し,三 つ の村 が協 力 した と仮 定 した 場 合 と比 較 して み よ う。
三 つ の村 が 協 力 す る と い う こ と は,各 々 の 利 得 関 数 の 和 が 最 大 に な る と考 え ら れ る。
.●.fA.B.o(x,ツ,9)=fA+fB+fc
‑一 ノ ー2ノ ーノ ー1}鍔 一11ぎ2‑1}ぎ2+dr+12y+… … … ・e2)
式㈱ の最 大 を求 め て み よ う。
晦 野 一8‑2x一 誓+(一y‑"94)一 警 一・
㍗c‑・2÷4y+一 箏 ぞ 一・
雫 ・‑1・ ÷ 者 一2αまツL2・ 一・
を 連 立 さ せ て
217264206316461
●●●x=11185'ツ==22370'2=4474
よ っ て 最 大 値
儲 階ll響1・ 鵬 一瑠 ≒37・448を 得る・
さ て 先 ほ ど のNash均 衡 解 の 場 合 と比 較 検 討 し て み よ う 。
!磨 ゐ+fgash+!静 ゐ≒10.516+9.095+15.405=35.Ol6<37.448=!欝 釜+(:…(23)
これ は非 協 力 の 状 態 よ り協 力 の状 態 の ほ うが 利 得 が大 きい こ と を示 し て い る 。 つ ま り,利 得 が 貨 幣 な ど と して 譲 渡 可 能 で あ れ ば,三 つ の 村 で何 らか の話 し合 い が な さ れ る可 能 性 が あ る とい う こ とで あ る。 しか し,3者 以 上 の 協 力 ゲ ー ム は そ れ らの 中 で の提 携(結 託)行 動 も考 え られ,非 常 に複 雑 な様 相 を呈 す る。
本 論 文 で は コ ア の概 念 を導 入 し,非 協 力 ゲ ー ム との 関 係,集 合 と し て の解 の 意 味 につ い て 考 察 す る こ と にす る 。
(b)コ ア に よ る集 合 と して の解
特 性 関 数 を どの よ う に決 め る か とい う問 題 は重 要 で あ る。 定 義 の 内容 を吟 味 し,特 性 関 数 を以 下 の よ う に 考 え る。
り({A})=maxminfA(X,.y,Z) ヱ ツリご レ(IB})=maxminfB(X,ッ,Z) ツ あヱ レ({C})=maxmin/b(x,ツ,z)
ヱ ごソゥヱ
レ({、4,B})=maxmin{fA(X,ツ,Z)+fB(X,ツ,9)}
ぶリツ オ レ({B,C})=maxmin{fB(x,ツ,z)+fc(x,ツ,z)1
ツリヱ ぢ
り({.4,C})=maxmin{fA(x,ツ,z)+fc(x,ツ,2)}
あヱ ツ
リ({A,B,C})=max{ゑ(x,ッ,z)+fB(x,y,z)+fc(x,y,z)}
②の
① 単独 で利得 を得 ようとす る場合
A村 の 利 得 関 数 はf。(x,y,・)一 一x2+8x一 響 勾 ⑯
で あ る が,v({A})はB,C村 が 提 携 し た場 合 で もAが 確 保 で きる 利 得 と考 え られ る。
そ こで 式 ㈲ に お い てy,zを 所 与 と して 与 え られ た もの と して,そ ん な 中 でx
を 変 化 させ て 得 る こ とが で きる 最 大 の値 を り({五})と考 え る。
大 規模 複雑 な シス テム のゲ ーム理論 に よる考察 式 ㈲ をxに つ い て偏 微 分 して0と お く
∴OfA(x,.y,z∂ 劣)‑8‑2劣 」 去9‑・
十
8
一
4
=
∴
107
式㈹へ代入
∴ 。({A})一 騨(蓋+蒲̲+16)
計 算 す る と供 給 量x,y,zに 制 限 が 無 い場 合 は り({A})=0と い う 固定 した 値 に な るが,供 給 量 に 制 限 が 付 く こ と も考 え られ る の でy,Zの 変 化 に よ る 利 得 を観 察 す る た め,最 小 とい う条 件 を取 り除 い た 関数 と し て 図8に そ の 概 観 を描 い た 。 この 場 合 は最 小 値0と して 観 察 さ れ る。 以 下 同 様 の考 え 方 で 特 性 関 数 を描 い た(図8〜 図13)。
15
10
5
30
図8A村 の特性 関数 概観 同様 に他 の特性 関数 を求 め以下 に図示 す る。
B村
・({B})一鱒(者+秀+藷 一2・一・+18)
(UOOOO41つ﹂ハ∠‑占
図9
203〔Dξ
B村 の特性 関数 概観
寸 ホ C
商 学 討 究 第52巻 第4号
∴ ・({CD一囎(蓄+菱+欝 一2x‑2y+25)
40
20
20103Py
図10C村 の 特 性 関 数 概 観
30
②2つ の 村 が 協 力(提 携)利 得 を 得 よ う と す る 場 合 A,B村 が 協 力 す る 場 合
さ て 次 に 特 性 関 数 り({A,B})=maxmin{fA(x,Mg)+fB(x,.y,z)}を 以 下 の
あ ツ ヱ
よ う に決 め た 。 ま ず,A村 とB村 が 協 力(提 携)す る。 つ ま り,お 互 い の 利 益 関 数 に つ い て加 法 和 を し,そ の 後 で貨 幣 な どに よ り利 得 を分 け合 う と考 え る。zを 所 与 の もの と考 え て,A村 とB村 が 協 力 す る こ と に よ っ て 得 られ る 最 大 の利 得 を特 性 関 数 と した 。
fA.β(x,.y,9)=fA(x,ツ,9)+ん(x,莇)
κ(γ+勿
=‑x2‑2ツ2‑
4
・y(2毛+z)+8x+・2y
㈲
をx,yに つ い て そ れ ぞ れ 偏 微 分 し て0と お く。
∴8一 ㍗ 誓 一÷ ◎+・)・・,・2÷dy‑9(2x+・)一 ・
こ れ ら を 連 立 さ せx, .yをzで 表 す と3(‑800+21g)4(‑756+25z) κ=一1031'・y=‑1031
大 規模 複雑 な シス テム のゲ ーム理 論 に よる考察109 これ を式 ㈲ に代 入 す る と,特 性 関 数 は以 下 の よ う に な る。
∴ ・({川 一ゆ 儒 一需+盤6)
図11が そ れ を 描 い た もの で あ る 。か ろ う じて 正 の値 を保 っ て い る よ うで あ る。
4応201南‑占‑肖
1020304050
図11A,B村 が 協 力 す る場 合 の特 性 関 数 概 観
B,C村 が'協力 す る 場 合
次 に 特 性 関 数 レ({B,C})=maxminlfB(x,y,g)+fc(x,.y,z)}は 以 下 の よ う
ニソジ ォ ぎ
で あ る 。 まず,B村 とC村 が 協 力(提 携)す る。 つ ま り,お 互 い の 利 得 関 数 に つ い て 加 法 和 を し,そ の 後 で 貨 幣 な どに よ り利 得 を 分 け合 う と考 え る 。 を所 与 の もの と考 え て,B村 とC村 が 協 力(提 携)す る こ と に よっ て 得 られ る最 大 の 利 得 を特 性 関 数 と した 。
fB.c(x,ツ,z)=fB(x,y,2)+fc(x,y,2)
=‑2プ ≠2α 吉ツ)之」(2毛+z)+12y+1・ ・… … ・・26)
を.」2,zに つ い て 偏 微 分 し て0と お く。
∴12一 砂 迦 評 与 一α ・ ・十2讐 ツ)‑2・一・
こ れ ら を 連 立 さ せ .y,zをxで 表 す と
6(‑625+39x)10(‑702+25x)
ツ=‑1679 ・9=‑1679
こ れ を 式 ㈱ に 代 入 す る と,特 性 関 数 は 以 下 の よ う に な る 。
∴ ・({B,c})一喚n(倫 一 響 警+響)
図12が そ れ を描 い た もの で あ る。 こ れ も ど う に か正 の 値 を保 っ て い る よ うで あ る。
2∩︾‑山‑
1015202530
図12B,C村 が 協 力 す る場 合 の 特 性 関 数 概 観
A,C村 が 協 力 す る 場 合
さ て,3つ 目 の 特 性 関 数 レ({A,C})=maxmin{fA(x,y,z)+fc(x,.y,2)}は 以
x,2y
下 の よ うで あ る。
まず,A村 とC村 が協 力(提 携)す る 。 つ ま り,お 互 い の 利 得 関 数 につ い て 加 法 和 を し,そ の 後 貨 幣 な どに よ り利 得 を分 け合 う と考 え る。ッ を所 与 の も の と考 え て,A村 とC村 が 協 力(提 携)す る こ とに よっ て 得 られ る最 大 の 利 得 を特 性 関 数 と した 。
fA.c(x,ッ,x)=fA(x,ッ,z)+fc(x,y,2)
一 一x2‑・ ・‑2(磐 一 響 幻+翫+1・ ・e7)
大規模 複 雑 な システ ムの ゲー ム理論 による考 察 をx,zに つ い て偏 微 分 して0と お く。
∴8‑2x‑t/y+・)‑k'一 ・,・・÷2α ま ツ)‑2・ 一・
こ れ ら を 連 立 さ せx,zを .yで 表 す と 8(‑475+12y)5(‑1184+51y) κ=‑1431'z=‑1431
こ れ を 式 ㈲ に 代 入 す る と,特 性 関 数 は 以 下 の よ う に な る 。
∴ ・({A,C})‑mln(1叢1一 号1穿+機 票)
1ヱ1
図13が そ れ を描 い た もの で あ る。 こ れ も ど う に か正 の 値 を保 っ て い る よ うで あ る。
=L5202530354Q
‑1
図13A,C村 が 協 力 す る場 合 の 特 性 関 数 概 観
③ コ ア に よ る 集 合 と し て の 解
3人 協 力 ゲ ー ム(N={1,2,3},り)の コ ア が 空 で な い た め の 必 要 十 分 条 件 と し て,前 述 し た よ う に,次 式 が 成 立 す る こ と が 知 ら れ て い る 。
り({A,B})+り({B,C})+り({A,C})≦2v({A,B,C})es)
さ て,り(IA,B,C})=max{fA(x,y,z)+fB(x,y,z)+fc(x,y,x)}の 値 は,先 の 計 算 で 値37.448を 得 て い る 。
不等 式㈲ を満 たす よ うに前述 の結 果 を代入す ると以下 の不 等式が成 立す る。
23之21556926496128x25308z 10311031+1031+16791679
+響+揚 一'罪+響 ≦2×3魍8… ㈲
つ ま り,こ の不 等 式 ㈲ を満 た す 変 数x,y,zの 領 域 が,そ れ ぞ れ の 村 の 各 リ ン ゴ の 出 荷 量 で あ り,ま た そ のx,y,zか ら得 ら れ る利 得fA,fB,fcが こ の3 人 協 力 ゲ ー ム の 配 分 で あ り,「 コア に よ る集 合 と して の解 」で あ る 。 しか し, コ ア は 一 意 の解 を教 え て は くれ な い 。 支 配 さ れ ない 配 分 と して,そ の 意 味 で 安 定 な状 態 を示 して い る 。 さ らに一 意 の 解 に行 き着 くに は仁 な どの概 念 を導 入 しな け れ ば な ら ない が,別 の 機 会 に 譲 る。
不 等 式㈲ を満 た す 領 域 を示 し た もの が 図14で あ る。 領 域 は こ の場 合,立 体 的 な 図形 で あ り,図14に お い て は不 等 式 ㈲ の右 辺 の 値 を変 化 させ て描 画 させ て い る 。 つ ま り,図14の 中 にあ る い くつ か の 曲 面 に挟 ま れ た(曲 面 も含 む) 部 分 に相 当 す る 。 図14か ら分 か る通 り,こ の モ デ ル の コ ア は 空 で は な い 。 こ の 場 合3つ の シ ス テ ム は この 領 域 内 の あ る利 得 の 状 態 を容 認 す る。 しか し,
図14「 コ ア に よ る 集 合 と して の解 」 の 概 観
大 規模複 雑 な シス テム のゲ ーム理 論 に よる考察 刀3 利 得 が あ る一 意 の 状 態 に な るか 否 か は わか らな い 。 利 得 の 領 域 が 示 され た だ け で,そ の 中 の どの状 態 で 収 ま る か は ま た別 の 基 準 を必 要 とす る 。 この リ ン ゴ を生 産 す る村 の モ デ ル を現 実 社 会 と照 ら し合 わ せ て考 えて み よ う。 リ ンゴ の 出荷 量 は天 候 そ の 他 で 年 毎 に変 化 す る の で あ り,市 場 に 出 回 っ た リ ン ゴ の 価 格 は市 場 が 決 定 し,そ れ に よ っ て も た ら され る利 得 は あ る範 囲 内 で あ れ ば そ れ ぞ れ の村 で 容 認 され るで あ ろ う。 つ ま り,コ アが 空 で ない と き,そ れ ぞ れ の サ ブ シ ス テ ム の利 得 は あ る範 囲 の 集 合 と して 容 認 され,安 定 した 状 態 な る と考 え る こ とが で き る。
配 分 の 支 配 とい う概 念 を導 入 し,ど の 配 分 に も支 配 され な い配 分 を コ ァ と して サ ブ シ ス テ ム ど う しの 関 係 を 考 察 した が,コ アが 空 の場 合 もあ る。 そ れ で も,あ る 配 分 に落 ち着 くこ とが 安 定 集 合 と して 知 られ て い る が,考 察 は別 の機 会 に譲 る 。
4.お わ り に
