福岡大学理学集報 41 ⑵ 165 ～ 176（2011） －165－
弾性異常を有する合金の理想強度化 ーゴムメタルを例として
田中 宏典1）・武末 尚久1）・矢野 壮2）
（平成 23 年 5 月 31 日受理）
Strengthening of Alloys with Elastic Anomalies toward the Ideal Strengths
— Gum Metal as an Example
Kousuke Tanaka1), Naohisa Takesue1), and Takeshi Yano2)
（ReceivedMay31,2011）
Abstract
Multi-critical systems of matters often exhibit remarkable behavior, called anomaly, to external fields which are mechanical, electric, or magnetic. The representative metallic systems are those involving martensitic transformations. The example is Gum Metal, a severely cold-swaged polycrystalline bcc titanium alloy whose composition is Ti-36Nb-2Ta-3Zr-0.3O in mass%. At room temperature, this alloy is quite critical between the states of two phases, β (bcc) and the martensite α” (orth.), and shows ultra-low non-linear elasticity, very high strength, and plastic deformation with almost no work hardening suggested of the dislocation-free type, called ideal deformation.
In order to realize these features simultaneously, the elastic constants c11 and c12 must satisfy the condition that a difference between the two values is very small. If satisfied, expected are the stress-induced martensitic transformation and significant elastic anisotropy, which motivated us to verify them through measurements of the elastic constants, first-principles calculation, and in- situ observation by ultra-high voltage electron microscopy under uniaxial tensile stress.
Results of the cij series obtained show that the anisotropy factor is 0.44±0.03, meaning the siginificant anisotropy, and that the ideal strength calculated is 2.0±0.1GPa, practical for this alloy, implying the ideal deformation. On the other hand, results of the electronic total energy calculation indicate that the <110> tensile strain at the fixed volume enhances the instability to α”, which was clearly confirmed by the in-situ observation. All results fully support the whole idea.
1） 福岡大学理学研究科，〒 814-0180福岡市城南区七隈 8-19-1
DepartmentofAppliedPhysics,GraduateSchoolofScience,FukuokaUniversity,8-19-1Nanakuma,Jonan-ku,Fukuoka 814-0180
2） 東亜非破壊検査株式会社，〒 478-0045愛知県知多市南浜町 11
ToaNondestructiveInspectionCo.,Ltd.,11Minamihama-cho,Chita,Aichi478-0045
－166－
第 1 章 緒言
金属材料に低弾性，高強度，高延性それぞれを発現 させるためには，従来より色々な工夫がなされてき た．それらはおおよそ以下に述べるように 3 つに大別 できる．低弾性については，複数相の臨界状態を利用 することである．例えば，Fig.1 に示す模式的な相図 より分かるように，マルテンサイト変態が潜在する場 合は，相境界近傍の濃度を材料に与えることである．
そうすることにより，弾性異常による格子軟化や応力 誘起変態の擬弾性を付与することができる．高強度に ついては，高加工率の冷間加工を行うことである．そ れにより，材料を加工硬化させて強化することができ る．高延性については，本来の柔らかさを利用すると
Fig. 1
Fig.1 模式的な相図．灰色の帯は母相とマルテンサ イトとの相境界．濃度揺らぎを考慮して横幅 をとった．
Fig. 3 Fig. 2
Fig.2 均一変形の模式図．図中，横方向の破線はすべり面を示し，b は素過程の変形量を示す．
Fig.3 不均一変形の模式図．図中，T が上下逆転した形の記号は刃状転位を示す．また，横方向の破線はすべり面 を示し，b はバーガースベクトルを示す．
弾性異常を有する合金の理想強度化（田中・他） －167－
か，煩雑な熱処理をすることである．しかし，一般に 金属材料を始め，物質の強度と弾性，そして強度と延 性との間にはおおよそ比例関係［1］があるので，材料 に高強度かつ低弾性，または高強度かつ高延性を併発 させることは困難であった．このことは，長年の間，
金属物性に従事する者にとっては定説であったが，近 年それが覆され，弾性異常と重度の冷間加工により，
高延性が発現する可能性があることが分かってきた．
その発現機構はまだ実証されていないが，結晶中の転 位の運動が関与しない塑性変形であると予想されてい る［2］．この種の特殊な塑性変形も含めて，金属の塑 性変形メカニズムについて以下に述べる．
金属材料の塑性変形には 2 種類考えられる［3］．1 つ は均一変形または理想変形［2-4］と呼ばれるものである．
この変形は Fig.2 に示すように，原子面が集団となっ てすべり面に沿ってすべるもので，転位の運動が関与 しないものである．変形の素過程は 1 原子間距離のす べりで，これが完了すると Fig.2 中に示す変形量の 分だけ結晶は変形する．この場合の臨界せん断応力は すべり方向の剛性率のおおよそ 6 分の１と言われてい た［3］．この応力は理想強度，または理想臨界せん断 応力呼ばれ，以下記号τcで表すこととする．
一方，もう 1 つの塑性変形は不均一変形［3］と呼ば れるものである．これは通常の塑性変形であり，転位 の運動によるものである．この場合の変形過程を説明 するために，Fig.3 の原子モデルに示すように，結晶 中に刃状転位が存在している状況を仮定する．Fig.3 中，左の図は転位の移動前の状況を示す．この種の変 形の素過程は，転位が 1 原子間距離すべることであ る．右向きの素過程が完了した後の状況を真中の図に 示す．転位の移動前後の図を重ねると，右の図に示す ように転位の移動距離が変形量となり，図中に示す変 形量だけ結晶は変形する．この場合の臨界せん断応力 は，理想強度τcのおおよそ数十分の 1 であることが 分かっている．この応力をすべり応力と呼び，τdで 表すこととする．
τcとτdの関係は，bcc 金属についてよく調査され
ている［1,2,4-7］．τcは理想変形の素過程についての第一
原理計算で算出された［6,7］．その結果を Fig.4 にまと める．図よりτcは数 GPa 以上であることが分かる．
一方，τdは引張試験等を行うことで求められる．そ の値は通常１GPa を下回るので，τcはτdよりも数 十倍以上大きいことが分かる．また，τcは bcc すべ り方向である 111 方向の剛性率に比例すると考えられ るので，第一原理計算で求めた弾性定数よりその剛性 率を算出すると，τcはそのおおよそ 0.11 倍であるこ とが分かった［6,7］．
以上のことより，τdはτcより小さいので理想変
形は起こり得ない．それゆえ，材料の塑性変形能は加 工硬化により限られてしまう．ただし，次の２つのこ とを利用することで，τdとτcの大小関係は逆転し，
理想変形が実現し得る．1 つは，重度の加工により，
十分に加工硬化させてしまう，すなわち転位を十分に 不動態化させてしまい，τdを上げることである［4］． もう１つは，多重臨界点近傍の弾性異常を利用して，
τcをτdより少し下げることである．例えば，bcc 金 属の場合，すべり方向の剛性率は c11－c12または c44に 比例するので，弾性異常により，どちらかの項が小さ くなれば，τcは下がることになる［1,2,4-7］．もしτdと τcの関係が逆転すれば，理想変形による高延性が発 現することが期待され，それに加えて，高強度，低弾 性が併発することも期待される．
以上説明したケースに偶然該当するものに，ゴムメ タ ル と い う も の が あ る［8］． こ の 合 金 は， 組 成 Ti- 23.1Nb-0.7Ta-2Zr-1.1O（at%）の bcc 構造を持つ多元系 Ti 合金であり，重度のスェージング加工が施されて いる．この合金は，低弾性，高強度，高延性を併せ持 つので，これら実験事実と前説を勘案すると，この合 金は理想強度まで強化され，塑性変形は理想変形であ ると予想される［2,4,6,7］．そのことを実証するためには，
（1）この合金に弾性異常があることと，（2）τcと実 変形強度が同レベルであることを確認する必要があ り，また，（3）変形挙動が通常の挙動と異なることを 原子レベルで観測する必要がある．本研究では，これ ら遂行を要する項目の内，（1）と（2）に取り組むた めに，以下のことを行った．
・ゴムメタルと同じ組成を持つ合金の単結晶を育成 すること．
・圧電共振法により弾性定数を測定し，弾性異方性 の検証及び理想強度の評価を行うこと．
・第一原理計算及び引張その場電顕観察により，弾 性異常に伴う弾性異方性と応力誘起マルテンサイ Fig.4 第一原理計算で算出された bcc 金属のτcの
値．参考文献 2 より引用．
－168－
ト変態が起こるかどうかを確認すること．
第 2 章 立方結晶における弾性定数と理想強度
本章では，弾性定数と理想強度τcとの関係につい て説明する．本章の記述にあたっては，主に参考文献 9，10 を参考にした．
今，x，y，z 空間内に結晶を配置したとする．この とき，結晶における x 軸に垂直な面の x，y，z 方向に かかる応力をそれぞれτxx，τxy，τxzと定義する．
ま た， 同 様 にτyx，τyy，τyz，τzx，τzy，τzzも 定 義する．結晶全体に加えられている応力は，
xx xy xz
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c c c
c c c
c c c
c c
c
（2.1）
で表され，これを応力テンソルと呼ぶ．このとき応力 テンソルの対角要素であるτll（l＝x,y,z）は，各面の 法線方向の応力を表し，主応力もしくは垂直応力と呼 ばれ，また，非対角要素τlm（l≠m,l,m＝x,y,z）は，
各面内方向の応力を表しており，ずれ応力あるいはせ ん断応力と呼ばれる．ここでは主応力とせん断応力を 区別するために，主応力を，
σl＝τu
と表す．また，せん断応力には，
τlm＝τml
の関係があるために，応力テンソルは，
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yx yy yz
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c c c
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c
（2.2）
と表されることになり，独立な成分は 6 個となる．
次に歪みについて考える．今，物体内の点 A（x,y, z）が，外力により物体が変形して，点 A*（X,Y,Z）
に移動したとする．このとき，
X＝x＋u（x,y,z），Y＝y＋v（x,y,z），Z＝z＋w（x,y,z），
のように，変位の x，y，z 軸方向成分を u，v，w で 表すと，歪みも，
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（2.3）
のようにテンソルで表される．この対角要素εlを主 歪みまたは垂直歪みといい，非対角要素γlm（l≠m）
をせん断歪みという．歪みテンソルにおいても応力テ ンソルと同様に独立な成分は 6 個である．
次いで，ここで仮定した結晶を弾性体に見立てる と，歪が微小な場合には，独立な応力と歪みの間に次 のような線形関係が成り立つ．
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（2.4）
式中の cij（i, j＝ 1,2,...,6）は，弾性スティフネス定 数，または弾性定数と呼ばれる．これらもまた 36 個 すべてが独立なわけでなく，
cij=cji （2.5）
の関係がある．また，立方結晶のように x，y，z 軸 まわりに 4 回対称を示す結晶の対称性を利用すれば，
式（2.4）は，
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41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
x x
y y
z z yz yz zx zx xy xy
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
V H
V H
V H W J W J W J
ª º ª ºª º
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« »
« » ¬ ¼ ¬ ¼« »
¬ ¼
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44 44
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
V H
V H
V H W J W J W J
ª º ª ºª º
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« »
« » ¬ ¼ ¬ ¼« »
¬ ¼
x x
y y
z z yz yz zx zx xy xy
c c c
c c c
c c c
c c
c
（2.6）
と表され，独立な弾性スティフネス定数は 3 個とな る．一方，逆に応力量から歪み量を導き出す関係式 は，弾性コンプライアンス定数 sijを用いて，立方晶 の対称性を考慮すれば，
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44 44
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
H V
H V
H V J W J W J W
ª º ª ºª º
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« »
« » ¬ ¼ ¬ ¼« »
¬ ¼
x x
y y
z z yz yz zx zx xy xy
s s s
s s s
s s s
s s
s
11 12 11 12
100
11 11 12
( )( 2 )
1 c c c c
E s c c
1
2 2 2 2 2 2
11 12
( )
11 12 11 12 44 11 12
1 2 ( )
( )( 2 )
xyz c c
E l m m n n l
c c c c c c c
§ · ½
° °
® ¨ ¸ ¾
° © ¹ °
¯ ¿
44 11 12
111
11 12 44
3 ( )
4 c c c
G c c c
EHK EHK EHK
' 0
EKH EKH 0
EHK '
EHK 0
E E
K H K H
[ '
0
（2.7）
と表され，（2.6）式と（2.7）式を比較すると，スティ
弾性異常を有する合金の理想強度化（田中・他） －169－
フネスの行列とコンプライアンスの行列は逆行列の関 係にあることが分かる．（2.7）式において，対角成分 s11，s44の逆数は，それぞれヤング率，剛性率として 定義される．
こ こ で，x，y，z 軸 の 方 向 を， そ れ ぞ れ 結 晶 の
［100］，［010］，［001］方向にとれば，ヤング率 E100 は，
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44 44
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
H V
H V
H V J W J W J W
ª º ª ºª º
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« »
« » ¬ ¼ ¬ ¼« »
¬ ¼
x x
y y
z z yz yz zx zx xy xy
s s s
s s s
s s s
s s
s
11 12 11 12
100
11 11 12
( )( 2 )
1 c c c c
E s c c
1
2 2 2 2 2 2
11 12
( )
11 12 11 12 44 11 12
1 2 ( )
( )( 2 )
xyz c c
E l m m n n l
c c c c c c c
§ · ½
° °
® ¨ ¸ ¾
° © ¹ °
¯ ¿
44 11 12
111
11 12 44
3 ( )
4 c c c
G c c c
EHK EHK EKH
' 0
EHK
EH 0K EHK '
EH 0K
E E
HK HK
[
'0
（2.8）
と表され，c11-c12が小さくなると，この特定方位のヤ ング率は小さくなる，すなわち，弾性異方性が顕著に なることが分かる［1,2,4,6-7］．一方，任意の方位について も，座標軸を回転させると，任意の結晶方位のヤング 率は，
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44 44
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
H V
H V
H V J W J W J W
ª º ª ºª º
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« »
« » ¬ ¼ ¬ ¼« »
¬ ¼
x x
y y
z z yz yz zx zx xy xy
s s s
s s s
s s s
s s
s
11 12 11 12
100
11 11 12
( )( 2 )
1 c c c c
E s c c
1
2 2 2 2 2 2
11 12
( )
11 12 11 12 44 11 12
1 2 ( )
( )( 2 )
xyz c c
E l m m n n l
c c c c c c c
§ · ½
° °
® ¨ ¸ ¾
° © ¹ °
¯ ¿
44 11 12
111
11 12 44
3 ( )
4 c c c
G c c c
EHK EHK EKH
' 0
EHK
EH 0K EHK '
EH 0K
E E
HK HK
[
'0
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44 44
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
H V
H V
H V J W J W J W
ª º ª ºª º
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« »
« » ¬ ¼ ¬ ¼« »
¬ ¼
x x
y y
z z yz yz zx zx xy xy
s s s
s s s
s s s
s s
s
11 12 11 12
100
11 11 12
( )( 2 )
1 c c c c
E s c c
1
2 2 2 2 2 2
11 12
( )
11 12 11 12 44 11 12
1 2 ( )
( )( 2 )
xyz c c
E l m m n n l
c c c c c c c
§ · ½
° °
® ¨ ¸ ¾
° © ¹ °
¯ ¿
44 11 12
111
11 12 44
3 ( )
4 c c c
G c c c
EKH EHK EH K
' 0
EKH EKH 0
EKH
'
EH 0K
E E
KH KH
[
'0
（2.9）
と表される．ここで，（2.9）式中の l，m，n は［xyz］
方向と 3 つの <100> 方向との方向余弦を表す．同様 に，<111> 方向の剛性率は，
11 12 12
12 11 12
12 12 11
44 44
44
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
H V
H V
H V J W J W J W
ª º ª ºª º
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« » « »« »
« »
« » ¬ ¼ ¬ ¼« »
¬ ¼
x x
y y
z z yz yz zx zx xy xy
s s s
s s s
s s s
s s
s
11 12 11 12
100
11 11 12
( )( 2 )
1 c c c c
E s c c
1
2 2 2 2 2 2
11 12
( )
11 12 11 12 44 11 12
1 2 ( )
( )( 2 )
xyz c c
E l m m n n l
c c c c c c c
§ · ½
° °
® ¨ ¸ ¾
° © ¹ °
¯ ¿
44 11 12
111
11 12 44
3 ( )
4 c c c
G c c c
EHK EKH EH K
' 0
EHK EKH 0
EHK
'
EKH 0
E E
KH HK
[
'0
（2.10）
と表され，c11-c12または c44が小さくなると，<111>
方向の剛性率も小さくなることが分かる［1,2,4,6-7］．また，
bcc 金属であるゴムメタルが固有に持つすべり方向は
<111> 方向なので，理想変形を起こすために到達し なければならない最低のせん断応力，すなわち理想強 度τcは G111に比例することが分かる．この比例関係 は，第一原理計算によれば［6,7］，
τc＝0.11G111 （2.11）
となることが分かっている．よって，（2.10），（2.11）
式に従うと，c11-c12または c44が小さくなると，τcも 小さくなり，理想変形が起こりやすくなる．
第 3 章 電子系第一原理全エネルギー計算
本合金が弾性異常を有する可能性があることは前述 した．もし本当に異常があるならば，それに伴い Ti 合金系特有のマルテンサイト相（α”，斜方晶）への 応力誘起転移が起こるはずである．そのことを確認す るために，電子系第一原理全エネルギー計算による相 安定性の評価を行う．以下手法について簡単に述べ る．
本計算には，KKR-CPA グリーン関数法［11-13］を用 いた．この手法では，定常状態の電子系シュレディン ガー方程式を変分原理に従って解く際，基底関数とし て波動関数を用いず，代わりに状態密度の形状を表現 する関数を用いる．そうすることにより，全エネル ギー計算を迅速に行うことができる．取り扱った合金 系 は Ti，Ti-25.0Nb，Ti-25.0Zr，Ti-25.0Ta，Ti- 23.0Nb-2.0Zr，Ti-23.0Nb-2.0Zr-0.7Ta で あ る（ 濃 度 は 全て at%で表す）．基本構造は，単純 bcc 格子の 2×2
×2 の大きさをもつものであり，それが含む全ての格 子点に，構成元素を完全に無秩序配列させた．よっ て，格子点は 16 個であり，各格子点での構成元素の 占有率は濃度（at％）である．以下計算手順を説明す る．
まずそれぞれのモデルについて格子定数の最適化を 行った．次にその格子定数を持つモデルに，体積を一 定にして［110］方向の引張歪を与え，全エネルギー 計算を行った．さらに，歪に対する計算に加えて，
Fig.5 のモデル構造に示すように，黒い面すなわち
（1-10）面を［110］方向へシフトさせてエネルギー計 算を行った．以下，歪をε%と表し，シフト量を格子 定数に対する分立座標を用いてηと表す．
モデルの結晶構造は，Fig.6 に示すように，εとη により bcc，斜方晶，hcp に分類される．εが 0％で ηが 0 のとき，結晶構造は bcc，εが 10.7％でηが 0.083 の と き， 結 晶 構 造 は hcp と な る． ま た，0 %
<ε<10.7 %， ま た は 0<η<0.083 の と き（bcc と hcp の間の構造），結晶構造はα”相のもの（斜方晶）
となる．ただし，典型的なα”相のεとηは，それぞ れ約 3％と 0.05 である．本計算では，εに 0%から Fig.5 （1-10）面（黒い面）を［110］方向へシフト
させている様子．
