有限群スキームの torsor について

(1)

有限群スキームの torsor _について

– On the torsors of certain finite group schemes –

数学専攻正木正子

MASAKI Masako

概要

k :

体

,

G :

有限群に対し

, G

をガロア群とするガロア拡大

K/k

をつくる

.

この時

, SpecK

は

Speck

上の

G

k

− torsor

とみなせる

.

この概念を拡張し

,

有限群スキーム

N

をガロア群に持つ

, SpecA

の拡大である

N −torsor

について考え

,

更に

N − torsor

の

special fiber

と

generic fiber

を求め

,

引き上げ問題を考えてみる

.

定義

1. S

を

X

上のスキーム, Gを

X

上の群スキームとする. S, Gが次の条件を満たす時, Sを

X

上の

G − torsor

という.

• G

が

S

に作用し, Sは

X

上忠実平坦

(faithfully flat)

かつ

X

上局所有限型

(locally of finite type)

である.

•

次の写像が同型射

(isomorphism)

である.

S × X G −→ S × X S (s, g) 7−→ (s, sg)

1 SpecA 上の N-torsor

1.1 仮定

A = (A, m) :

離散付置環

(DV R), m = πA(A

の極大イデアル)

k = A/m (A

の剰余体),

chark = p > 0

λ ∈ m \ { 0 } , v(λ ^p

⁻

¹ ) = (p − 1)v(λ) < v(p) (v

は付値)

K = f.f.(A)(A

の商体)

, charK = 0

µ _p = { 1, ζ _p , ζ _p ² , · · · , ζ _p ^p

⁻

¹ } ⊂ K (ζ _p

は

1

の原始

p

乗根)

µ ∈ m

に対し,

G ^(µ) := SpecA

[ X, 1

1 + µX ]

と置く.

この群スキーム構造を, x

◦ y := x + y + µxy

で定義する.

これにより,

G ^(µ)

は

SpecA

上のアファイン群スキームとなる.

1

(2)

1.2 SpecA

上の,次のような完全列

(1), (2)

を考える.

0 −−−−→ N −−−−→ ⁱ

^d

G ^(λ) −−−−→ ^ψ G ^(λ

^p

⁾ −−−−→ 0 (1) i _d : x 7−→ x, ψ : x 7−→ (λx + 1) ^p − 1

λ ^p , N = Spec (

A[X]

/

( ^(λX+1) _λ

_p^p⁻

¹ ) )

0 −−−−→ G ^(λ) −−−−→ ^α

^(λ)

G m,A ι

^♯

−−−−→ ι

_∗

G m,A/λA −−−−→ 0 (2) α ^(λ) : x 7−→ λx + 1, ι ^♯ : x 7−→ x mod λ

(2)

は, ι

: SpecA/λA , → SpecA(自然な閉移入)

から得られる.

(1)

より,

0 −−−−→ H ⁰ (SpecA, N ) −−−−→ ⁱ

^d

H ⁰ (SpecA, G ^(λ) ) −−−−→ ^ψ H ⁰ (SpecA, G ^(λ

^p

⁾ )

−−−−→ ∂ H ¹ (SpecA, N ) −−−−→ H ¹ (SpecA, G ^(λ) ) = 0

(1)

^′

が得られ, H

⁰ (SpecA, N ) ∼ = {

a ∈ A ^(λa+1) _λ

p^p⁻

¹ = 0 }

, H ⁰ (SpecA, G ^(λ) ) ∼ = A, H ⁰ (SpecA, G ^(λ

^p

⁾ ) ∼ = A, H ¹ (SpecA, N ) ∼ = A/Im ψ = A

/{ (λa + 1) ^p − 1 λ ^p

∀ a( ∈ A) }

となる.

a

を, a(

∈ A/Im ψ)

の代表元とすると, H

¹ (SpecA, N)

は,

SpecA

上の,

a

に対する

N − torsor

の同型類の集合である.∂(a)

∈ H ¹ (SpecA, N)

は,

∂(a) = G ^(λ) ×

_G^(λp)

SpecA = Spec (

A[X ] /

( ^(λX+1) _λ

p^p⁻

¹ − a) )

となり, Nは

∂(a)

にガロア群として

N × SpecA ∂(a) −→

∂(a)

のように作用する.

1.3 N-torsor の special fiber と generic fiber

1.3.1 α α p,k − torsor

∂(a)(= N − torsor)

に対する

special fiber = (

∂(a) )

s

は, α

α _p,k − torsor

となる.但し, α

α _p,k = N _s = N ⊗ A k = Spec (

k[X ]/(X ^p ) ) ( ,

∂(a) )

s = ∂(a) ⊗ A k = Spec ( k[X] /

(X ^p − a) )

である.α

α _p,k

は,

(

∂(a) )

s

にガロア群としてα

α p,k × Speck

( ∂(a) )

s → (

∂(a) )

s

のように作用する.H

¹ (Speck, α α p,k )

は,

Speck

上の, aに対する

α α p,k − torsor

の同型類の集合である.

1.3.2 µ µ p,K − torsor

∂(a)(= N − torsor)

に対する

generic fiber = (

∂(a) )

η

は, µ

µ p,K − torsor

となる.但し, µ

µ p,K = N η = N ⊗ A K = Spec (

K[T]/(T ^p − 1) ) ( ,

∂(a) )

η = ∂(a) ⊗ A K ∼ = Spec (

K[T ] /(

T ^p − (λ ^p a + 1) ))

である.

(T = λX + 1

とする)

µ µ p,K

は,

(

∂(a) )

η

にガロア群として,

µ µ _p,K × SpecK

( ∂(a) )

η −→ (

∂(a) )

η

のように作用する.H

¹ (SpecK, µ µ _p,K )

は,

SpecK

上の, aに対する

µ µ p,K − torsor

の同型類の集合である.

2

(3)

1.4 まとめ

a ∈ H ¹ (SpecA, N) ∼ = A

/{ (λa + 1) ^p − 1 λ ^p

∀ a( ∈ A) }

に対し,

a

を, aの代表元とする.この

a

に対し,次のように表せる.

α α _p,k − torsor = Spec ( k[X] /

(X ^p − a) ) ∼ = Spec k(a

¹^p

) N − torsor = Spec

(

A[X] /( (λX+1)

^p−

1 λ

^p

− a )) µ µ p,K − torsor = Spec

( K[T ] /(

T ^p − (λ ^p a + 1) ))

全ての

H ¹ (SpecA, N)

の元

a ∼ = ∂(a)(a

に対する

N − torsor)

は, その

special fiber

である

α α _p,k − torsor

から,

generic fiber

である

µ µ p,K − torsor

への変形を与える.

一方,任意のα

α _p,k − torsor ∈ H ¹ (Speck, α α _p,k )

に対し,これに対応する

N − torsor

は, α

α p,k − torsor

の, µ

µ p,K − torsor

への引き上げとなっている.

2 X 上の N-torsor

2.1 A 上のスキーム X

X −→ ^φ SpecA, X; A

上有限型の射影スキーム,

O X (X) = A

を仮定する.

O SpecA

φ

^♯

−→ φ

_∗

O X

より, φ_∗

O X ∼ = A

^∼ は

SpecA

上の構造層となる.又, その他の条件は,

1.1

で仮定した通りとする.

1.2

における,

SpecA

上の完全列は, X上の完全列と見る事ができる.

0 −−−−→ N −−−−→ ⁱ

^d

G ^(λ) −−−−→ ^ψ G ^(λ

^p

⁾ −−−−→ 0 (1) ι 1 : SpecA/λA , → SpecA, ι 2 : SpecA/λ ^p A , → SpecA

から,

0 −−−−→ G ^(λ) −−−−→ ^α

^(λ)

G m,A ι

^♯₁

−−−−→ ι ₁

_∗

G m,A/λA −−−−→ 0 (1 − 1) 0 −−−−→ G ^(λ

^p

⁾ −−−−→ ^α

^(λp)

G m,A

ι

^♯₂

−−−−→ ι 2

∗

G m,A/λ

^p

A −−−−→ 0 (1 − 2) α ^(λ) : x 7−→ λx + 1, ι ^♯ ₁ : x 7−→ x mod λ

α ^(λ

^p

⁾ : x 7−→ λ ^p x + 1, ι ^♯ ₂ : x 7−→ x mod λ ^p

が得られる.

(1 − 1), (2 − 1)

から得られる長完全列より,

H ¹ (X, G ^(λ) ) ∼ = {

L ∈ Pic(X) L| X

λ

∼ = O X

λ

} (1 − 2) H ¹ (X, G ^(λ

^p

⁾ ) ∼ = {

L ∈ Pic(X) L| X

_λp

∼ = O X

_λp

} (2 − 2)

と表せる.

但し, H

¹ (X, G m,A ) = Pic(X),

H ¹ (X, G m,A/λA ) = Pic(X λ ) , H ¹ (X, G m,A/λ

^p

A ) = Pic(X λ

^p

),

ι ^♯ ₁ : L 7→ L| X

_λ

:= ι

^∗

₁ L = L mod λ , ι ^♯ ₂ : L 7→ L| X

_λp

:= ι

^∗

₂ L = L mod λ ^p , X _λ := ι

^∗

₁ X = X × SpecA Spec(A/λA) , X _λ

p

:= ι

^∗

₂ X = X × SpecA Spec(A/λ ^p A)

とする.

3

(4)

2.2 cocycles

X = ∪

i

∈

I U _i , U _i = SpecA _i , U _ij := U _i ∩ U _j (i, j ∈ I), t ij ∈ O X (U ij )

^×

= A

^×

_ij , t ij ; transition function

{ t ij } i,j

∈

I ; cocycle

とする. t

ij

倍写像

(t ij · ) : O U

_ij

−→

∼

O U

_jiから, X 上の可逆層

L

が得られる. 又,

L| X

_λ

= { t _ij } mod λ

である.

この時,

(1 − 2), (2 − 2)

は,

H ¹ (X, G ^(λ) ) ∼ = {

{ t _ij } i,j

∈

I t _ij ≡ 1 mod λ }

(1 − 3) H ¹ (X, G ^(λ

^p

⁾ ) ∼ = {

{ t ij } i,j

∈

I t ij ≡ 1 mod λ ^p }

(2 − 3)

と表せる,

(1)

から得られる長完全列に,

(1 − 3)

と

(2 − 3)

を当てはめると,次のように表せる.

0 −−−−→ H ⁰ (X, N ) −−−−→ ⁱ

^d

H ⁰ (X, G ^(λ) ) −−−−→ ^ψ H ⁰ (X, G ^(λ

^p

有限群スキームの torsor について