解析 I ・講義ノート

第７回

(2020

6

30

(

)

)

第７回本題

 関数のグラフに接線をひくと言うことは、その関数に対して、

一次関数によって、接点とその周辺で最もよいと思われる近似を 与えることでした。ここで最もよいと思う根拠は何だったかと言 うと、同じ点を通りかつその点で接していると言う２条件を満た していることでした。

 元の関数を f (x), その接線を与える一次関数を f ₁ (x) ^とし、接

点の x ^座標を a とすれば、上の２条件は、

f (a) = f ₁ (a) ^かつ f ^′ (a) = f ₁ ^′ (a)

と表され、これにより

f ₁ (x) = f (a) + f ^′ (a)(x − a)

と言う接線の公式が得られます。

近似は、 x = a のすぐ近くでしか役に立ちません。グラフの曲線 がちょっと曲がれば ( ^すなわち f ^′ (x) ^{の値が変われば} ) ^{、途端に接}

線から離れて行ってしまうからです。

 そこで、よりよい近似を得るために、一次関数の次に簡単な二 次関数を用いることは、とても自然な発想でしょう。いくつかの 基本的な初等関数について、 x = 0 ^{において、３つの条件}

f (0) = f ₂ (0), f ^′ (0) = f ₂ ^′ (0), f ^′′ (0) = f ₂ ^′′ (0)

を満たす二次関数を求めてみましょう。 ( 以下、次数を上げて行く

のに備えて、多項式は次数の低い方から昇べきで表します。 )

 指数関数 e ^{x について。}

f (x) = e ^x f ₂ (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² f (0) = 1 = f ₂ (0) = a ₀

f ^′ (x) = e ^x f ₂ ^′ (x) = a ₁ + 2a ₂ x f ^′ (0) = 1 = f ₂ ^′ (0) = a ₁

f ^′′ (x) = e ^x f ₂ ^′′ (x) = 2a ₂ f ^′′ (0) = 1 = f ₂ ^′′ (0) = 2a ₂

より、

a ₀ = 1, a ₁ = 1, a ₂ = 1 2

なので、

f ₂ (x) = 1 + x + 1

2 x ²

0 - x y =e^x

y = f₂(x)

 教科書

73

7.1

f

(x)

 三角関数 sin x ^{について。}

f (x) = sin x f ₂ (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² f (0) = 0 = f ₂ (0) = a ₀

f ^′ (x) = cos x f ₂ ^′ (x) = a ₁ + 2a ₂ x f ^′ (0) = 1 = f ₂ ^′ (0) = a ₁

f ^′′ (x) = − sin x f ₂ ^′′ (x) = 2a ₂ f ^′′ (0) = 0 = f ₂ ^′′ (0) = 2a ₂

より、

a ₀ = 0, a ₁ = 1, a ₂ = 0

なので、

f ₂ (x) = x

0 - x y = sinx

y = f₂(x) = f₁(x)

 ただの接線ですが、これは間違いではありません。

 三角関数 cos x ^{について。}

f (x) = cos x f ₂ (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² f (0) = 1 = f ₂ (0) = a ₀

f ^′ (x) = − sin x f ₂ ^′ (x) = a ₁ + 2a ₂ x f ^′ (0) = 0 = f ₂ ^′ (0) = a ₁

f ^′′ (x) = − cos x f ₂ ^′′ (x) = 2a ₂ f ^′′ (0) = − 1 = f ₂ ^′′ (0) = 2a ₂

より、

a ₀ = 1, a ₁ = 0, a ₂ = − 1 2

なので、

f ₂ (x) = 1 − 1

2 x ²

0 - x y = cosx

y = f₂(x)

  sin x が二次関数で近似しても近似が改善されないのは、 sin x

は奇関数 ( f ( − x) = − f (x), グラフが原点について点対称 ) ^なのに

対して、よりよい近似を求めて追加した２次の項 a ₂ x ^{2 が偶関数} ( f ( − x) = f (x), ^グラフが y ^{軸について線対称} ) ^{だからです。この}

場合、近似の精度を上げるためには、近似に用いる関数の次数を

三次まで上げることが必要です。

 三角関数 sin x ^について ( ^続 ) ^。

f (x) = sin x f ₃ (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³

... ... ... ...

f ^′′′ (x) = − cos x f ₃ ^′′′ (x) = 6a ₃ f ^′′′ (0) = − 1 = f ₃ ^′′′ (0) = 6a ₃

より、

a ₀ = 0, a ₁ = 1, a ₂ = 0, a ₃ = − 1 6

なので、

f ₃ (x) = x − 1

6 x ³

0 - x y = sinx

y = f₃(x)

 これでようやく、一周期分くらいまでは、グラフの形も似て来 ます。

 ついでに他も見てみると…

 指数関数 e ^{x について} ( ^続 ) ^。

f (x) = e ^x f ₃ (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³

... ... ... ...

f ^′′′ (x) = e ^x f ₃ ^′′′ (x) = 6a ₃ f ^′′′ (0) = 1 = f ₃ ^′′′ (0) = 6a ₃

より、

a ₀ = 1, a ₁ = 1, a ₂ = 1

2 , a ₃ = 1 6

なので、

f ₃ (x) = 1 + x + 1

2 x ² + 1

6 x ³

0 - x y =e^x

y = f₃(x)

 近いところではかなりべったりです。

 三角関数 cos x ^について ( ^続 ) ^。

f (x) = cos x f ₃ (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³

... ... ... ...

f ^′′′ (x) = sin x f ₃ ^′′′ (x) = 6a ₃ f ^′′′ (0) = 0 = f ₃ ^′′′ (0) = 6a ₃

より、

a ₀ = 1, a ₁ = 0, a ₂ = − 1

2 , a ₃ = 0

なので、

f ₃ (x) = 1 − 1 2 x ²

こちらは偶関数なので、よりよい近似のために追加した３次の項

a ₃ x ^{3 は効果がありません} ( ^図も f ₂ (x) と同じなので省略します ) ^。

してみましょう。この場合、三次関数は、

f ₃ (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + a ₃ x ³

ではなくて、接線の公式の形をまねて、

f ₃ (x) = a ₀ + a ₁ (x − 1) + a ₂ (x − 1) ² + a ₃ (x − 1) ³

とおいて求めた方が便利です。

f (x) = log x f ₃ (x) = ^同上 f (1) = 0 = f ₃ (1) = a ₀

f ^′ (x) = ¹ _x f ₃ ^′ (x) = a ₁ + 2a ₂ (x − 1) + 3a ₃ (x − 1) ² f ^′ (1) = 1 = f ₃ ^′ (1) = a ₁

f ^′′ (x) = − _x ¹

f ₃ ^′′ (x) = 2a ₂ + 6a ₃ (x − 1) f ^′′ (1) = − 1 = f ₃ ^′′ (1) = 2a ₂

f ^′′′ (x) = _x ²

f ₃ ^′′′ (x) = 6a ₃ f ^′′′ (1) = 2 = f ₃ ^′′′ (1) = 6a ₃

より、

a ₀ = 0, a ₁ = 1, a ₂ = − 1

2 , a ₃ = 1 3

なので、

f ₃ (x) = (x − 1) − 1

2 (x − 1) ² + 1

3 (x − 1) ³

0 - x

y = logx y = f₂(x)

0

x- 6

y

y = logx y = f₃(x)

 より一般に、関数 f (x) ^の x = a ^における n ^次関数 f _n (x) ^によ

る近似を、条件

f (a) = f

(a), f

(a) = f

(a), f

(a) = f

(a), . . . , f

(a) = f

(a)

により定義することにしましょう。

 ここで f _n (x) ^を、

f _n (x) = a ₀ + a ₁ (x − a) + a ₂ (x − a) ² + · · · + a _n (x − a) ⁿ

とおいて、上の条件を書き直すと、

f (a) = a ₀ , f ^′ (a) = a ₁ , f ^′′ (a) = 2a ₂ , . . . , f ⁽ⁿ⁾ (a) = n! a _n

より、

a ₀ = f (a), a ₁ = f ^′ (a), a ₂ = 1

2 f ^′′ (a), . . . , a _n = 1

n! f ⁽ⁿ⁾ (a)

なので、

+ · · · + 1

n! f ⁽ⁿ⁾ (a)(x − a) ⁿ

となります。

 ２次の係数の内、 1

2 ^は実は 1

2! であり、１次の係数には実は 1 1!

が、定数項には実は 1

0! (= 1 ^は約束 ) が、それぞれ隠れているもの と思って、眺めてみていただければ、覚えやすいと思います。

 ここで用いた記号、

f

, f

, f

, . . . , f

73

 今、近似と言う以上、誤差がどの程度小さいのか、ちゃんと評 価しておく必要があります。そこで、この誤差を剰余項として、

f _n (x) ^{に付け加えたものを、} f (x) ^の x = a ^{におけるテイラー展}

開と呼びます ( x = 0 の場合にはマクローリン展開とも言います )

( ^教科書 69 ^頁参照 ) ^。

 剰余項の与え方は一つではありませんが、代表的なものの一つ

が、平均値の定理の一般化として得られます。

教科書 69 ^{頁にもある通り、}

f (x) − f (a)

x − a = f ^′ (c)

より、

f (x) = f (a) + f ^′ (c)(x − a)

で、これは一次関数による近似ではなく ( ^{と言うのは、} c ^は x ^に依

存して動いてしまうからです ) ^、定数 ( ^０次関数 ) ^{による近似} f (a)

の誤差 ( ^剰余項 ) ^が f ^′ (c)(x − a) であることを意味しています。

  x = a ^{の近くで、少なくとも} C ^{n 級である関数} f (x) ^{に対して、}

(n − 1) 次関数による近似の剰余項を , 平均値の定理に倣って、 n

次導関数を用いて与えたのが、テイラーの定理で、

f (x) = ⁿ

^{− 1}

k=0

1

k! f ^{(k )} (a)(x − a) ^k + 1

n! f ⁽ⁿ⁾ (c)(x − a) ⁿ

を満たす c ^が a ^と x ^{の間に存在します。}

 具体的に与えられた関数について、そのテイラー展開を第 n ^項 ( ^＝剰余項 ) ^{まで求めるには、} n ^{次までの微分} ( ^係数 ) ^{全てを知る必}

要があります。従って公式として簡単に書ける例は、そう多くは ありません。

  e ^x , sin x, cos x ^{については、} n ^{次導関数が} n ^{について周期的に}

現れるので、 x = 0 における展開を容易に求めることが出来ます

( ^教科書 72 ^{頁参照。ただし} c = θx ^{と読み替えて下さい} ) ^。

f (0) = e = 1 ^なので、

e ^x = ⁿ

^{− 1}

k=0

1

k! x ^k + e ^c n! x ⁿ

 一方、 log x ^{についても、} n ^{次導関数が} n ^{で簡単に表せるので、}

容易に求めることが出来ます。

 実際 f (x) = log x ^のとき、

f ⁽ⁿ⁾ (x) = ( − 1)( − 2) · · · {− (n − 1) } x ^{− n} = ( − 1) ^{n − 1} (n − 1)!x ^{− n}

より、 f ⁽ⁿ⁾ (1) = ( − 1) ^{n − 1} (n − 1)! ^なので、

log x =

n

− 1 k=1

( − 1) ^{k − 1}

k (x − 1) ^k + ( − 1) ^{n − 1}

nc ⁿ (x − 1) ⁿ

  f (x) ^が C ^∞ 級の場合に、剰余項を設けるのではなく、関数列 の極限である無限級数

n lim →∞ f _n (x) =

^∞

n=0

1

n! f ⁽ⁿ⁾ (a)(x − a) ⁿ

を考えたものを、 f (x) ^の x = a におけるテイラー級数展開と呼 びます ( ^教科書 86 ^頁参照 ) 。ただし、この極限値は任意の x ^に対し

て存在するとは限らないので、収束範囲を調べておく必要があり

ます。それに関しては、次回扱います。

f (x) = x ^{p で} p =

m ^のとき、

x

− a

x − a = x

− a

x − a

= (x

)

− (a

)

(x

)

− (a

)

= (x

− a

) { (x

)

+ a

(x

)

+ · · · + (a

)

x

+ (a

)

} (x

− a

) { (x

)

+ a

(x

)

+ · · · + (a

)

x

+ (a

)

}

= (x

)

+ a

(x

)

+ · · · + (a

)

x

+ (a

)

(x

)

+ a

(x

)

+ · · · + (a

)

x

+ (a

)

→ n(a

)

m(a

)

(x → a)

= n

m a

= pa

= f

(a)

  f (x) ^が C ^{2 級のとき、}

g (x) :=













f (x) − f (a)

x − a (x ̸ = a) f ^′ (a) (x = a)

に対し、

g ^′ (x) =



















f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a)

(x − a) ² (x ̸ = a) f ^′′ (a)

2 (x = a)

が連続であることまでは示しました。

分可能です。一方、 g ^′ (x) ^の a ^から x ^{までの平均変化率は、}

g ^′ (x) − g ^′ (a) x − a =

f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a)

(x − a) ² − f ^′′ (a) 2 x − a

=

f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a) − f ^′′ (a)

2 (x − a) ² (x − a) ³

ですから、ここで ( f (x), f ^′ (x) ^が共に x = a ^{で連続であることに}

注意すれば )

f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a) − f ^′′ (a)

2 (x − a) ² → 0 (x → a) (x − a) ³ → 0 (x → a)

より、ロピタルの定理が使えそうなので、

x lim → a

g ^′ (x) − g ^′ (a)

x − a = lim _{x → a}







f ^′ (x)(x − a) − f (x) + f (a) − f ^′′ (a)

2 (x − a) ²







′

{ (x − a) ³ } ^′

= lim

x → a

(f ^′′ (x) − f ^′′ (a))(x − a) 3(x − a) ²

= lim

x → a

f ^′′ (x) − f ^′′ (a) 3(x − a)

 ここで、 f ^′′ (x) ^が x = a で微分可能のとき、かつそのときに限 り、この極限値が存在して、

x lim → a

f ^′′ (x) − f ^′′ (a)

3(x − a) = f ^′′′ (a) 3

が成り立ちます。このとき、 g ^′ (x) ^は x = a ^{でも微分可能なので、}

g (x) は２回微分可能になります。

とです。

 ここで特に f (x) = sin x, a = 0 ^{ととれば、} g (x) ^は sin x

x ^を x = 0

でも連続になるように拡張した関数になります ( ^{第３回参照} ) ^。

 今回の解答から、この g (x) ^もまた x = 0 ^{で３回微分可能である}

ことがわかりますが、実は無限回微分可能になることも確かめら れます。 n ^{次微分係数} g ⁽ⁿ⁾ (0) の値がどうなるか、考えてみま

しょう。