第 8 章弱い相互作用の古典論

(1)

第

8

章弱い相互作用の古典論

8.1

ベータ崩壊とニュートリノ仮説

8.1.1

ニュートリノ仮説

ベータ崩壊は電子の放出を伴う原子核の崩壊過程である．電子はガンマ遷移における内部転換電子¹ として放出されることもあるが，

Chadwick [ 1 ]

は

1919

年に

,

両者の間に明瞭な違いがあり

,

はっきりと区別できることを示した．

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

kinetic energy [MeV]

electron number Q

図

8.1:

中性子のベータ崩壊の電子のエネルギースペクトル

ベータ崩壊の測定は次の特徴を示している（図

8.1

参照）

•

電子は連続なエネルギースペクトルを持つ．

•

どのような既知の放射線でも捕捉できるように熱量計を用いて測定しても

,

電子以外の粒子（エネルギー）は検出されない．

1内部転換電子（internal conversion electron）：励起状態にある原子核が基底状態，あるいは，より低い励起状態に遷移するとき，ガンマ線を放出する代わりに，そのエネルギーEγを原子の軌道電子に与え，電子が軌道から飛び出す．この電子を内部転換電子という．電子の運動エネルギーは Ee=Eγ−φ（φは軌道電子の結合エネルギー）で，固有のエネルギーEeの線スペクトルをもつ．なお，電子の放出により軌道に空孔が生じ，

その外側の軌道電子によって満たされる．そのとき，軌道電子のエネルギー準位の差に相当するエネルギーが特性X線として放出される．

153

(2)

•

エネルギースペクトルは決まったエネルギーの上限を持ち

,

崩壊によって解放されるエネルギーに対応している．たとえば，トリチウム（³

H

）からヘリウム（³

He

）へのベータ崩壊の場合

,

電子の運動エネルギーの上限値は，トリチウムとヘリウムの質量の差に等しい．

これらの実験データは，以下の重大な問題を提起した．

•

ベータ崩壊ではエネルギーの保存則が破れている．ベータ崩壊は２つの状態間の遷移であり，放出されるのは電子だけであるから，エネルギーの保存則が成り立つなら，

電子の運動エネルギーは一定でなければならない．原子核の反跳運動量は小さく，それに伴う運動エネルギーは無視できる．エネルギー保存則は時間の一様性に起因する非常に重要な基本的物理法則である．

•

ベータ崩壊では角運動量の保存則および複合系の統計の規則が破れている．トリチウムのベータ崩壊の場合（

( )

内に角運動量の値を記す）：

3

H(

¹₂

) −→

³

He(

¹₂

) + e

⁻

(

¹₂

)

崩壊する³

H

のスピンは ¹₂ である．一方，崩壊によって生成される³

He

と電子のスピンもそれぞれ ¹₂ であり，両者の相対運動に付随する軌道角運動量を考慮しても，崩壊後の系の角運動量は整数になる．

これらの困難のすべては，観測されない未知の粒子を導入することによって解決できる．

この粒子は

1930

年に

Pauli [ 2 ]

が仮定した粒子であり，ニュートリノである．ニュートリノはベータ崩壊で電子と共に放出され，電子が持ちうる運動エネルギーの上限値と電子の運動エネルギーの差に等しいエネルギーを持ち去ると考えられる．

物理学の基本的な保存則が，ベータ崩壊においても成り立つとすると，ニュートリノの性質について幾つかの制限が加えられる．

•

電荷の保存則から，ニュートリノは電気的に中性である．この性質はベータ崩壊の実験結果とも一致する．もしニュートリノが電荷を持つならば，電磁相互作用（イオン化など）によって検出されるはずである．同様な考察から，ニュートリノが磁気モーメントを持つとしても極めて小さい．

•

エネルギー保存則から，ニュートリノの質量

m

ν は小さく，

m

ν

= 0

と矛盾しない．

トリチウムのベータ崩壊において，³

H

，³

He

および電子の質量から

m

_ν の上限とし

て

0.5 keV

が，さらに電子のエネルギースペクトルの形から上限値

0.2 keV

が得ら

れる．

•

角運動量の保存則および複合系の統計規則から，

3

H(

¹₂

) −→

³

He(

¹₂

) + e

⁻

(

¹₂

) + ν

e

(

¹₂

)

ニュートリノはスピン ¹₂ を持つ

Fermi

粒子である．

(3)

8.1 155 8.1.2 Fermi

のベータ崩壊理論

Fermi

は

1934

年，電磁相互作用によるガンマ線放出との類推から，ベータ崩壊の理論

を構築した

[ 3 ]

．

Fermi

の理論はパリティの保存を仮定するなど，以降の発展により幾つかの根本的な変更を受けるが，その結果の多くは現在でも通用する．その詳細は後述するが，重要な点は１つのパラメータ（結合定数

g

）を導入して以下の事項が説明できることである：

•

ベータ崩壊によって放出される電子の連続エネルギースペクトルの形

•

電子のエネルギーの上限値と崩壊寿命の関係

•

ベータ崩壊の分類と選択則連続エネルギースペクトル

Fermi

の理論に従い，遷移確率についての

golden rule

を用いると，エネルギーが

ε

と

ε+dε

のあいだの電子を放出するベータ崩壊の確率は次の式で表される：

w(ε) dε = g

²

m

_e⁵

c

⁴

2π

³

¯ h

⁷

| M

_if

|

²

F (Z, ε) (ε

₀

− ε)

²

ε

²

− 1 dε (8.1)

すなわち，この式は電子（陽電子）の連続エネルギースペクトルの形を与える．ただし，電子のエネルギー

ε

は質量を含み，また，電子の質量

m

_e

c

² を単位としている．

β

^±崩壊の

Q

値は

Q

_β

= ε

₀

− 1 (8.2)

で与えられる．

M

_if は原子核の行列要素であり，許容遷移² では電子のエネルギーに依存

しない．

F (Z, ε)

は電子（陽電子）の波動関数が，原子核がつくる

Coulomb

ポテンシャル

によって原子核に引き込まれる（から押し出される）効果を取り入れる因子である．

β

⁺崩壊では，原子核の電荷

Z

を

− Z

で置き換えて

F ( − Z, ε)

とすればよい．

(8.1)

を次のように書き直し

K(ε) =

w(ε) ε √

ε

²

− 1 F(Z, ε)

_1/2

=

g

²

m

_e⁵

c

⁴

2π

³

¯ h

⁷

_1/2

| M

_if

| (ε

₀

− ε) (8.3)

K(ε)

を電子のエネルギー

ε

に対してプロットすると，許容遷移では直線になる（

Kurie plot

）．

例として，⁶⁴

Cu

のベータ崩壊を示す．⁶⁴

Cu

は図

8.2

に示すように，隣り合う２つの原子核よりエネルギー（質量）が大きく，電子を放出する

β

⁻ 崩壊と陽電子を放出する

β

⁺ 崩壊の両方が可能である：

β

⁻ ⁶⁴

Cu −→

⁶⁴

Zn + e

⁻

+ ν β

⁺ ⁶⁴

Cu −→

⁶⁴

Ni + e

⁺

+ ν

(8.4)

(4)

64

Ni

0

64

Cu

1

β

β 64

Zn

0

Q( ) = 579 keV Q( ) = 653 keV

β β

図

8.2:

⁶⁴

Cu

の崩壊様式

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0

1 2 3 4 5

( )ωε[arbitrary]

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0

1 2 3 4 5

K( )ε[arbitrary]

図

8.3:

左：エネルギースペクトル，右：

Kurie plot

．白丸は

β

⁺ 崩壊，黒丸は

β

⁻ 崩壊．

図

8.3

の左図に⁶⁴

Cu

のベータ崩壊のエネルギースペクトル

[ 4 ]

を示す．

(8.1)

は電子と陽電子のエネルギースペクトルの形を良く再現している．また，図

8.3

の右図に示すように，

実験データは

(8.3)

で良く表されている．

崩壊寿命

電子（陽電子）のエネルギー

ε

について

1

から

ε

0 まで積分すると崩壊確率が得られる．すなわち，崩壊確率

λ

と電子のエネルギーの上限値

ε

0 とが関係づけられる：

λ = g

²

m

_e⁵

c

⁴

2π

³

¯ h

⁷

| M

_if

|

²

f (8.5)

f =

_ε₀

1

F (Z, ε)(ε

0

− ε)

²

ε

²

− 1 dε (8.6)

2 後で述べるFermi型とGamow-Teller型を許容遷移という．それ以外は禁止遷移と呼ばれる．

(5)

8.1

157

ベータ崩壊では，平均寿命

τ

m

= 1/λ

より半減期

t

_1/2

= log 2/λ

が用いられることが多い．

崩壊の半減期を測定することによって，原子核の遷移行列要素

M

if を求めることができる．

あるいは，逆に，行列要素が理論的に予言できる遷移の半減期を測定して，結合定数

g

を求めることができる．また，原子核の遷移確率を表す尺度として

f t

値

ft = log 2 g

²

m

_e⁵

c

⁴

2π

³

¯ h

⁷

| M

_if

|

²

(8.7)

がしばしば用いられる．この式は単に

(8.5)

を書き直しただけであり，

t

は半減期である．

ニュートリノの質量

(8.1) - (8.6)

ではニュートリノの質量が

m

_ν

= 0

であると仮定している．ニュートリノの質量が有限であるときには，エネルギースペクトルの形に，上限値付近で特徴的な影響を与える．

(8.1)

で

(ε

₀

− ε)

² はニュートリノのエネルギーと運動量の積を表している．エネルギーは質量も含んでいるので変更を受けないが，運動量は有限な質量

m

_ν のため，それに相当するだけ減少する：

エネルギー

: ε

₀

− ε −→ ε

₀

− ε

運動量

: ε

₀

− ε −→

(ε

₀

− ε)

²

− (m

_ν

/m

_e

)

²

(8.8)

その結果，

Kurie plot

は直線からずれる．その例を図

8.4

に示す．上に示したニュートリ

16.6 17.0 17.4 17.8 18.2 18.6 kinetic energy [keV]

K( )ε

図

8.4:

トリチウムのベータ崩壊の

Kurie plot

．上から順に

, m

_ν

= 0.0 keV, 0.2 keV, 0.5 keV

．

ノの質量の上限値（

0.2 keV

）は，このような実験の解析から得られた値である．なお，崩壊確率を求める式

(8.6)

の電子のエネルギー

ε

についての積分も，電子が取り得るエネルギーの上限値がニュートリノの質量分だけ減少する．しかし，ニュートリノの質量は小さいので，崩壊確率に対する影響は無視できる．

(6)

8.1.3

ニュートリノの存在を証明する実験

ニュートリノは，物理学の基本的保存則がベータ崩壊においても成り立つように導入され，また，それに基づいて作られた

Fermi

のベータ崩壊の理論は，電子の連続エネルギースペクトルの形などを説明するのに成功した．しかし，ニュートリノは直接捕まえることの極めて難しい粒子であり，ニュートリノに関する証拠のほとんどは間接的であった．

ベータ崩壊において解放されるエネルギーのうち，電子がもつエネルギーの不足分をニュートリノが運び去ると考えられる．エネルギーに対応してニュートリノの運動量がある．同時に放出された電子の運動量と反跳した原子核の運動量を測定すれば，運動量の保存則から，

両者の和はニュートリノが持つ運動量と大きさが等しく反対向きである．一方，ニュートリノの質量が

0

（あるいは極めて小さい）であるとすれば，ニュートリノの運動量によりエネルギーが定まる．このような反跳実験は，原子核の反跳エネルギーが小さいために難しいが，測定が幾つかの原子核のベータ崩壊について行われ，運動量とエネルギーの保存則が成り立っていることが確かめられた．しかし，この実験は保存則が要求する以上の性質を明らかにするものではない．

ν

e p

n

Cd ν

γ

γ γ

図

8.5:

ニュートリノの存在を証明する

Reines

と

Cowan

の実験

ニュートリノの存在を独立に証明する実験は，

Reines

と

Cowan

によって行われた（図

8.5

参照）

[ 5 ]

．中性子のベータ崩壊で，中性子が陽子に変わり電子とニュートリノが放出され

るのであれば，陽子にニュートリノを照射するとベータ崩壊の逆反応が起こり，陽子は中性子に変わり陽電子を放出するはずである：

n → p + e

⁻

+ ν

ν + p → n + e

⁺

(8.9)

水素を含む物質にカドミウムを加えたものを大きな容器に入れ，原子炉からのニュートリ

(7)

8.1

159

ノを照射した．ニュートリノ以外が反応を起こさないよう，容器は厚いコンクリートや鉛でシールドした．生成された陽電子は，直ちに電子と対消滅し，

e

⁺

+ e

⁻

→ γ + γ (8.10)

ガンマ線として検出される．一方，中性子はしばらく後にカドミウムに捕獲され，捕獲の際に放出されるガンマ線によって検出される．対消滅とそれに続く捕獲ガンマ線は特徴的であり，上に示したニュートリノ捕獲反応は，他の反応と明瞭に区別される．この実験は，ニュートリノによって初めて起こる現象を捕らえており，ニュートリノの存在を証明している．

8.1.4

ニュートリノのヘリシティ

弱い相互作用の研究において重要な進展の一つは，

Goldhaber

らによるニュートリノのヘリシティの測定である

[ 6 ]

．ヘリシティ

h

は次の式で定義される：

h = σ · p

| p | (8.11)

ここで，

σ

はスピンの向きを表し，

p

は運動量である．従って，スピンと運動量が同じ向きのとき

h = 1

，逆向きのとき

h = −1

である．

Goldhaber

らの実験は ¹⁵²

Eu

の準安定状態がＫ電子捕獲³ とそれに続くガンマ線放射を

巧に利用して行われた：

152

Eu

^m

(0

⁻

) + e

⁻

→

¹⁵²

Sm

^∗

(1

⁻

) + ν

152

Sm

^∗

(1

⁻

) →

¹⁵²

Sm(0

⁺_g.s.

) + γ

(8.12)

この崩壊過程で放出されるのはガンマ線とニュートリノであるが，ニュートリノは測定できないので，ガンマ線を測定することによってニュートリノのヘリシティを決めなければならない．より正確に言えば，ガンマ線の運動方向と角運動量の向きを測定することによって，

ニュートリノの運動方向と角運動量の向きを決定しなければならない．ここでは，基本的な保存則である，運動量と角運動量の保存が重要な役割を果たしている．ガンマ線が放射される向きを量子化の軸（

z

軸）とする．

角運動量の向き

1.

始状態においてＫ殻から捕獲される電子の角運動量・パリティは ¹₂⁺であり，ベータ崩壊する原子核の状態は

0

⁻である．従って，始状態の角運動量は ¹₂ であり，その

z

成分は

+

¹₂ か

−

¹₂ のいずれかである．

2.

角運動量の保存は角運動量の

z

成分の保存も意味する．従って，終状態における角運動量の

z

成分の大きさは ¹₂ である．終状態は

0

⁻ 状態の原子核と，ニュート

3ベータ崩壊の一種（ここではGamow-Teller型）.原子軌道は殻構造をもつが，１番内側の殻をＫ殻といい，

軌道角運動量が = 0の1s1/2 軌道である．Ｋ軌道にある電子を原子核が捕獲する過程をＫ電子捕獲と呼ぶ．

(8)

Eu Sm ν

Sm γ Sm

ν

152Sm 0 0.0

2 0.122 1 0.963 152Eu

0 0.046

図

8.6:

ニュートリノのヘリシティを決める

Goldhaber

らの実験．

152

Eu

のＫ電子捕獲に続いて ¹⁵²

Sm

からガンマ線が放出される．

ニュートリノと反対方向に放出されたガンマ線だけが共鳴散乱によって選択的に捕らえられ，白抜きの矢印で表したように散乱体

152

Sm

の

1

⁻ 状態を励起する．この状態はガンマ線を放出して

2

⁺ 及び

0

⁺ 状態へ遷移する．

リノとガンマ線からなり，ニュートリノのスピンは ¹₂，ガンマ線は

1

である．合成した角運動量の

z

成分の大きさが ¹₂ になるのは次の２通りの場合であり（角運動量の

z

成分を記号

m

で表す）：





m

_ν

= +

¹₂

m

γ

= − 1





m

_ν

= −

¹₂

m

γ

= +1

どちらの場合も

m

_ν と

m

_γ は異符号である．従って，ガンマ線に対して

m

_γ

= +1

であるか

m

_γ

= − 1

であるかを測定すれば，ニュートリノの角運度量の向き

m

_ν が決定できる．

運動量の向き

3.

始状態の原子核 ¹⁵²

Eu

^m は静止しているので，運動量の保存から，ベータ崩壊によって放出されたニュートリノと¹⁵²

Sm

^∗

(1

⁻

)

は反対向きに運動する．¹⁵²

Sm

^∗

(1

⁻

)

の寿命は

τ

_m

= 0.03 ps

と短いため，ニュートリノを放出して反跳を受けた ¹⁵²

Sm

^∗ は，運動量を保ったままガンマ線を放出する．（電子捕獲過程によって生成された特定の

z

成分の値がガンマ崩壊まで保持される．）

4.

¹⁵²

Sm

の

1

⁻

→ 0

⁺ 遷移で放出されるガンマ線は，図

8.6

の右側に白抜きの矢印で示したように，散乱体の ¹⁵²

Sm

の

1

⁻ 状態を励起する．

Goldhaber

らは

Sm

₂

O

₃ を散乱体として用い，共鳴散乱によって励起された

1

⁻状態から

2

⁺ 状態，及び

0

⁺ 状態へのガンマ線放射を観測した．ただし，このような共鳴散乱は，ガンマ線を放出した ¹⁵²

Sm

が散乱体である¹⁵²

Sm

に向かって運動するときだけ起こる．従っ

(9)

8.1

161

て，共鳴散乱を用いると，ニュートリノの運動量とガンマ線の運動量は反対向きであることがわかる．

5.

以上より，ニュートリノとガンマ線は，角運度量が逆向きであり，また，運動する向きも逆である．すなわち，ニュートリノとガンマ線のヘリシティは同じである：

h

_ν

= h

_γ

(8.13)

つまり，ガンマ線のヘリシティ

h

_γ を測定すれば，ニュートリノのヘリシティ

h

_ν は直ちに求まる．

Goldhaber

らは ¹⁵²

Sm

の

1

⁻ 励起状態から

0

⁺ 基底状態へのガンマ線の円偏向を測定し，

ガンマ線の角運動量の向きが

m

_γ

= − 1

である結果を得た（ガンマ線の運動の向きに

z

軸をとっている）．運動量の向きと角運動量の向きが逆であるから，ガンマ線のヘリシティは

h

_γ

= − 1

である．これより，直ちに，ニュートリノのヘリシティが求められ，

h

_ν

= σ

_ν

· p

_ν

p

ν

= − 1 (8.14)

であることが示された．

なお，定量的には，円偏向の偏極度は

0.67 ± 0.15

であり，

h

ν

= − 1

から期待される値

0.75

と誤差の範囲で一致している．最近の

Vylov

らの実験からは，

h

ν

= −0.93 ± 0.10

が得られている

[ 7 ]

．

β

⁻ 崩壊に伴って放出される反ニュートリノのヘリシティに関しては，間接的な方法によって

h

_ν

= +1

であることが確かめられた．つまり，反ニュートリノは右巻きである．一方，電子と陽電子のヘリシティは，磁化した鉄による散乱実験によって測定された．鉄原子は２個の価電子を持ち，そのスピンは磁化磁場に並行である．ベータ崩壊で放出される電子

（陽電子）と価電子のスピンが反並行なとき，散乱の確率は平行なときより大きい．電子の質量は有限なので，特定のヘリシティ

h

e

= ±1

を持たず，電子の速度

v

に依存した値を持

つ

[ 8 ]

．ヘリシティの測定の結果は表

8.1

のようにまとめられる．

表

8.1

電子とニュートリノのヘリシティ

粒子

ν ν e

⁻

e

⁺

ヘリシティ

− 1 +1 − v

c + v

c

(10)

8.2

パリティの非保存

8.2.1

Ｋ中間子の崩壊

強い相互作用と電磁相互作用はパリティを保存するので，弱い相互作用も同様であると考えられていた．弱い相互作用においてパリティが保存しないのではないかという疑問は

K

メソンの崩壊の研究から生じた

[ 9 ]

．

K

メソンは弱い相互作用によっていろいろな様式の崩壊をするが，その中に２つの

π

メソンと３つの

π

メソンに崩壊するモードがある：

θ → π

⁺

+ π

⁰

τ → π

⁺

+ π

⁺

+ π

⁻

(8.15)

これらは，初め，２つの異なる粒子

θ

と

τ

の崩壊であると考えられた．しかし，両者は，崩壊を除いて，ほかのどのような性質によっても区別することは出来ず，同じ粒子であると考えざるを得なくなった．

π⁺

π⁰ L

π⁻ π⁺

π⁺ L₁

L₂

図

8.7:

Ｋ中間子の

2π

崩壊と

3π

崩壊の軌道角運動量

π

メソンのスピン・パリティは

0

⁻ である．図

8.7

に示すように，

θ

の

2π

崩壊では，

π

⁺ と

π

⁰ の間の軌道角運動量を

L

とすると，終状態のパリティは

( − 1)

¹⁺¹

( − 1)

^L

= ( − 1)

^Lになり，

θ

のスピンは

J = L

である．一方，

τ

の

3π

崩壊では，２つの

π

⁺ の間の軌道角運動量を

L

1，両者の重心に対する

π

⁻ の軌道角運動量を

L

2 とすると，終状態のパリティは

( − 1)

¹⁺¹⁺¹

( − 1)

^L¹

( − 1)

^L²

= ( − 1)

^L¹^+L²⁺¹となる．また，このとき，角運動量の保存から，

τ

の角運動量は

J = |L

1

− L

2

|

，

|L

1

− L

2

| + 1

，

. . .

，

L

1

+ L

2 のいずれかの値になる．

3π

崩壊の

Q-

値は小さく，できるだけ小さい

L

₁

, L

₂ の状態に崩壊しやすい．

τ

崩壊の実験により，

L

₁

= L

₂

= 0

の状態への崩壊が起こることが確かめられた．このことは，

τ

のスピンが

J = 0

であり，終状態のパリティが負であることを示している．また，

J = 0

より

2π

崩壊の終状態のパリティは正となる．

すなわち，スピン

J = 0

の

K

メソンが，

K → 2π

では正のパリティの状態に，

K → 3π

では負のパリティの状態に崩壊している．この２つの崩壊モードの共存は，崩壊を引き起こす弱い相互作用において，パリティを保存する項と保存しない項が存在することを示している．

(11)

8.2

163

8.2.2

空間反転と擬スカラー

物理学で用いられるベクトルには，空間反転に対して異なった振る舞いをする２種類のベクトルがある．空間反転とは３つの座標の符号を同時に変える変換である：

x → − x , y → − y, z → − z (8.16)

空間反転に対して符号を変えるベクトルを極性ベクトル（単にベクトルということもある），

符号を変えないベクトルを軸性ベクトル（擬ベクトルともいう）という．極性ベクトルと軸性べクトルは座標系の平行移動や回転に対しては同様に振る舞う．極性ベクトルの例としては，位置

r

，運動量

p

，電場

E

などがあり，軸性ベクトルの例としては，角運動量

J

，スピン

σ

，磁場

B

などがある．２つの極性ベクトル，あるいは２つの軸性ベクトルの内積は空間反転に対して不変であり，スカラーと呼ばれる．一方，極性ベクトルと軸性ベクトルの内積は空間反転に対して符号を変え，擬スカラーと呼ばれる．

ある物理現象と，それを空間反転した物理現象とが同等に起こるとき，パリティが保存するという．パリティが保存するならば，この現象を支配するハミルトニアンの中で，空間反転に対して符号を変える項は禁止される．たとえば，空間反転に対して不変である電磁相互作用においては，スカラーである

E

² や

B

² は許されるが，擬スカラーである

E · B

は許されない．実験で

E · B

を測定したら

0

になるはずである．

擬スカラーの測定値が

0

でないということは，パリティが保存しないことを意味する．言い換えれば，擬スカラーの測定を行わなければパリティの保存に関する情報は得られない．

パリティを保存する強い相互作用と電磁相互作用の類推から，弱い相互作用のハミルトニアンからもパリティを破る項は除かれていた．

1956

年に

Lee

と

Yang [ 9 ]

は，パリティを破る擬スカラー量を測定する実験が行われていないことを指摘した．実際には

1928

年にベータ崩壊によって放出される電子の偏りが測定され，擬スカラー量

v

e

· σ

eが

0

でないことが発見された．しかし，この事実は誰にも信用されず忘れ去られていた．

J JJ

e p p

_e

σσ

e

ν

p p

_ν

σσ

_ν

図

8.8:

原子核のベータ崩壊における極性ベクトル（白矢印）と軸性ベクトル（黒矢印）

原子核のベータ崩壊に関与するベクトルを図

8.8

に示す．空間反転に対して符号を変える極性ベクトル（運動量）を白抜きの矢印で，符号を変えない軸性ベクトル（角運動量，スピン）を黒い矢印で表す．これらのベクトルの内積として作られる擬スカラーには，原子核

(12)

の角運動量に対する電子の角分布

J · p

_e，電子のヘリシティ

σ

e

· p

_e

/ | p

_e

|

^{，ニュートリノの} ヘリシティ

σ

ν

· p

_ν

/| p

_ν

|

^{などがある．}

8.2.3

パリティの破れ：偏極核から放出される電子の非対称

ベータ崩壊における擬スカラー量のなかで，原子核の角運動量

J

と電子の運動量

p

_e の内積を検出するために特に設計された実験が

1957

年に行われた

[ 10 ]

．この実験では，偏極したコバルト原子核のベータ崩壊

60

Co →

⁶⁰

Ni + e

⁻

+ ν (8.17)

で放出される電子の非等方性を測定した．図

8.9

に示すように，⁶⁰

Co

の基底状態のスピン・

パリティは

5

⁺であり，

99 %

以上の確率で ⁶⁰

Ni

の

4

⁺ 励起状態へベータ崩壊する．

60Co 5 (2.824)

60Ni 0 0.0

2 1.333

4 2.506

図

8.9:

⁶⁰

Co

のベータ崩壊

(a) θ

J JJ

p p

_e

p p

_ν

(b)

π − θ

J JJ

p p

_e

p p

_ν

図

8.10:

原子核の角運動量と，電子とニュートリノの運動量

図

8.10

で

(a)

の鏡映が

(b)

である．電子の運動量は極性ベクトルであるから，空間反転によって向きが変わる．一方，角運動量は軸性ベクトルであるから，空間反転によって向きが変わらない

p

_e

→ − p

_e

, J → J (8.18)

もしパリティが保存する（空間反転に対する不変性が成り立つ）なら，

(a)

と

(b)

の現象は同等に起こり，もし保存しないのなら，両者の間に差が現れる．たとえば，パリティが保存

(13)

8.2

165

するなら，原子核の角運動量

J

の向き（

θ = 0

）に放出される電子と，反対向き（

θ = π

）に放出される電子の数は等しい．両者の数に違いがあるならば，それは空間反転に対する対称性が破れていることを意味する．

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3

time [min]

counting rate

H

図

8.11:

⁶⁰

Co

のベータ崩壊における電子の非対称性

Wu

らは ⁶⁰

Co

原子核に断熱消磁法を用いた．磁場によって角運動量の向きをそろえるとともに，冷却によって，熱的作用による角運動量の向きの変化が起こらないようにした．そして，原子核の角運動量の偏りの方向

θ = 0

とその反対方向

θ = π

で電子の数を比較した．

実際には，測定器の方向を変えるのではなく，磁場の向きを逆転することによって，原子核の角運動量の向きを反転した．

測定結果を図

8.11

に示す．

Counting rate

は温かい無偏極試料に対する比として表してある．原子核の角運動量に偏りがあるときには電子の数に明瞭な差があるが，時間が経過するに伴い試料の温度は上昇し，偏りの大きさは減少する．約６分後には原子核の偏極は消滅し，電子の放出も等方的になる．こうして，弱い相互作用によるベータ崩壊において，空間反転に対する対称性が破れている（パリティが保存しない）ことが確かめられた．

(14)

8.3 4 Fermi

相互作用

8.3.1 Lorentz

不変な定式化

Fermi

は

1934

年，電磁相互作用との類推から弱い相互作用を定式化した

[ 3 ]

．電磁相互

作用は，量子電気力学（ＱＥＤ）によって，電流密度

J

_µ^EM

J

_µ^EM

= − ψ

_e

(x) γ

_µ

ψ

_e

(x) (8.19)

とフォトンを表す場

A

_µ との結合として記述され，

Hamiltonian

密度は

H

_EM

(x) = +eJ

_µ^EM

(x) A

^µ

(x) = −eψ

_e

(x) γ

_µ

ψ

_e

(x) A

^µ

(x) (8.20)

と表される．ここで，

ψ

_e は電子を消滅させる演算子であり，

ψ

_e

= ψ

_e^†

γ

₀ は電子を生成する演算子である．

γ

^µは

Dirac

の

γ

行列を表し

γ

⁰

=

I 0

0 −I , γ

^k

=

0 σ

^k

−σ

^k

0 (8.21)

後で用いられる

γ

₅ は

γ

₅

= γ

⁵

= iγ

⁰

γ

¹

γ

²

γ

³

=

0 I

I 0 (8.22)

で定義される．

I

は

2 × 2

の単位行列で，

σ

¹

=

0 1

1 0 , σ

²

=

0 − i

i 0 , σ

³

=

1 0

0 − 1 (8.23)

は

Pauli

行列である．なお，

x

^µ

= (x

⁰

, x)

は反変成分を，

x

_µ

= (x

⁰

, − x)

は共変成分を表し，

両者は計量テンソル

g

_µν

= g

^µν

=







1 0 0 0

0 − 1 0 0

0 0 − 1 0

0 0 0 − 1







(8.24)

によって変換される．

カレント

-

カレント相互作用

Fermi

は電磁相互作用の電流密度

(8.19)

に対応して，弱い相互作用の核子カレント密度

V

_µ^c^† とレプトンカレント密度

l

^c_µを導入した：

V

_µ^c^†

(x) = ψ

_p

(x) γ

_µ

ψ

_n

(x) l

^c_µ

(x) = ψ

_e

(x) γ

_µ

ψ

_ν

(x)

(8.25)

(15)

8.3 4 Fermi

相互作用

167

肩に付けた

c

は電荷が変わることを表す．電荷を変える性質は電磁相互作用と大きく異なる．他方，電磁相互作用を媒介するフォトンとの類推は弱い相互作用を媒介する場を意味する．現在の理論では

W

ボソンであるが，当時はこのようなボソンの存在を示す現象はなかった．そこで，

Fermi

は核子カレント密度

V

_µ^c^†とレプトンカレント密度

l

^c_µとの点状相互作用を考案した（図

8.12

）．

e e

γ

n ν

p e

W

n ν

p e

図

8.12:

電磁相互作用（左）からの類推で得られる弱い相互作用

（中）と低エネルギーでの点状相互作用（右）

Hamiltonian

密度は，ベータ崩壊の結合定数を

G

_β として，

H

_β

(x) = G

_β

√ 2

l

^cµ

(x) V

_µ^c^†

(x) + V

^cµ

(x) l

^c_µ^†

(x)

= G

_β

√ 2

ψ

_e

(x) γ

^µ

ψ

_ν

(x) ψ

_p

(x) γ

_µ

ψ

_n

(x)

+ ψ

_n

(x) γ

^µ

ψ

_p

(x) ψ

_ν

(x) γ

_µ

ψ

_e

(x)

(8.26)

と表される．右辺の第１項は原子核内で中性子が陽子に変わる

β

⁻ 崩壊（図

8.13

の左）を，

第２項（第１項の

Hermite

共役）は陽子が中性子に変わる

β

⁺ 崩壊（中），及び電子捕獲

（右）を記述する．

n

p e ν

β decay

p

n ν e

β decay

p e

n ν

electron capture 図

8.13:

左：

β

⁻ 崩壊，中：

β

⁺ 崩壊，右：電子捕獲

(16)

Lorentz

不変な組合せ

Fermi

が導入した弱い相互作用の核子カレント密度

V

_µ^c^†もレプトンカレント密度

l

^c_µも

ψγ

_µ

ψ

の形をしており，

Lorentz

変換に対して４元ベクトル（極性ベクトルに時間成分を加えたもの）として振る舞う．上に示した相互作用

(8.26)

の時空構造は

γ

^µ

γ

_µ によって決められるので，ベクトル

-

ベクトル結合と呼ばれる．この相互作用は原子核の角運動量の変化を伴わ

ない（

∆J = 0

）

Fermi

型ベータ崩壊を記述する．しかし，実験では角運動量の変化を伴う

ベータ崩壊も観測されており，

Fermi

が提案したベクトル

-

ベクトル結合だけでは不十分である．

Gamow

と

Teller[ 11 ]

は

1936

年，ベクトル

-

ベクトル結合だけが

Lorentz

不変な構造ではないことを指摘した．ベータ崩壊に関与するフェルミオンを表すスピノールは４つの成分を持つので，

ψ

と

ψ

の双一次な組み合わせは下の表に示すように全部で

16

成分ある．

表

8.2 ψ

と

ψ

の双一次形式

カレント密度の型独立成分の数

S

：スカラー

ψψ 1

V

：ベクトル

ψγ

_µ

ψ 4 T

：テンソル

ψγ

_µ

γ

^ν

ψ 6 P

：擬スカラー

ψγ

₅

ψ 1 A

：軸性ベクトル

ψγ

_µ

γ

₅

ψ 4

さらに，レプトンカレントと核子カレントで異なる型の組合せも考えられる．ただし，

γ

行列の添字について和をとり，全体としてスカラーか擬スカラーでなければならない．許される組合せは，

S-S

，

V -V

，

T-T

，

P-P

，

A-A

，

S-P

，

V -A

である．これらの中で，どれが正しい型と組合せであるかは，実験によって決めるしかない．

8.3.2 Fermi

遷移と

Gamow-Teller

遷移

寿命が短い許容遷移

ベータ崩壊の確率は

Q-

値（原子核の始状態と終状態のエネルギー差）と関係づけられるが，

一方，崩壊確率は原子核の行列要素の大きさによっても左右される．寿命が短いベータ崩壊は，原子核の角運動量の変化についての選択則

∆J = 0, 1

を満たすときに起こる．

Fermi

型と

Gamow-Teller

型の遷移を合わせて許容遷移と呼ぶ．例を図

8.14

に示す．

許容遷移におけるスピン角運動量と軌道角運動量の関係を図

8.15

に示す．

Fermi

型と

Gamow-Teller

型に共通しているのは，放出される電子とニュートリノが軌道角運動量を持

ち出さない（

∆L = 0

）ことである．従って，原子核のパリティは変わらない（

∆π = 0

）．

２つの型の違いはスピンの変化（

∆S

）である．電子とニュートリノがスピン反平行（１重状態

S = 0

）で放出されるとき，

Fermi

の選択則

∆J = 0

が得られる．

Fermi

型遷移の選択則は，スピンの移行も軌道角運動量の移行も許さない．従って，

Fermi

遷移が許されるのは，

アイソスピンの第３成分のみが異なるアイソバリックアナログ状態（

isobaric analog state,

(17)

8.3 4 Fermi

相互作用

169

14N 1 0.0

0 2.313

1

3.948 ¹⁴O

0 (5.143)

6He 0 (3.508)

6Li 1 0.0

図

8.14: Fermi

遷移（左：

0

⁺

→ 0

⁺）と

Gamow-Teller

遷移（

0

⁺

→ 1

⁺）の例

n

p e ν

S=0

∆S = 0

∆L = 0

∆J = 0 Fermi

n

p e ν

S=1

∆S = 1

∆L = 0

∆J = 1 Gamow-Teller

図

8.15: Fermi

遷移と

Gamow-Teller

遷移

IAS

）の間だけである．

Gamow-Teller

型の選択則

∆J = 1

が得られるのは，２つのレプトン対がスピン平行（３重状態

S = 1

）で放出されるときである．スピンを１単位持ち出す

（

∆S = 1

）ので，

∆J = 1

である．ただし，

∆J

は球テンソルのランクであるので，原子核の角運動量が常に１単位変化するとは限らない．また，

J = 0 → J = 0

遷移は許されない．

ベータ崩壊の理論は，寿命の短い許容遷移

(Fermi

遷移と

Gamow-Teller

遷移

)

を正しく記述できなければならない．その上で，禁止遷移が，その理論によって説明できるか確かめれば良い．

許容遷移を表す

Lorentz

不変な型

Fermi

遷移と

Gamow-Teller

遷移に寄与するのが，表

8.2

に示した５種類の中のどの型であるかを見るには，対応する

γ

行列を陽に書いてみると良い．

γ

行列が作用する４成分スピノールは，粒子の質量を

m

，運動量を

p

，エネルギーを

E =

p

²

c

²

+ m

²

c

⁴ として

u

_±

=

E + mc

²





χ

_±

cσ · p E + mc

²

χ

_±





(8.27)

(18)

と表される．ここで，

χ

_±は２成分

Pauli

スピノールで，

χ

₊

=

1 0 , χ

₋

=

0 1 (8.28)

±

の符合は正と負のヘリシティに対応している：

σ · p ˆ χ

_±

= ± χ

_±

(8.29)

原子核内に閉じ込められた核子の運動量は質量に比べると十分小さいので，核子は非相対論的に扱える．すなわち，スピノールの４成分のうち，上の２成分（主要成分）が重要である．

従って，

γ

行列（の積）において，スピノールの主要成分を結びつける左上の対角成分が

0

になる型は許容遷移に寄与しないと考えられる．許容遷移の実験データを再現すると期待できるのは，左上の対角成分が

0

でない型である．

表

8.2

に示した５種類の型に対応する

γ

行列を陽に書いてみると次のようになる：

S : 1 =

I 0

0 I (8.30)

V : γ

₀

=

I 0

0 − I γ

_k

=

0 − σ

_k

σ

_k

0 (8.31)

T : γ

₀

γ

⁰

=

I 0

0 I γ

₀

γ

^k

= γ

_k

γ

⁰

=

0 σ

_k

σ

_k

0 γ

_k

γ

^l

=

m

iε

_klm

σ

_m

0 0 σ

_m

(8.32)

P : γ

₅

=

0 I

I 0 (8.33)

A : γ

₅

γ

₀

=

0 − I

I 0 γ

₅

γ

_k

=

σ

_k

0 0 − σ

_k

(8.34)

Fermi

遷移ベクトル型

(V )

の時間成分とスカラー型

(S)

（テンソル型の

γ

₀

γ

⁰ もスカラー型と同じ）が

Fermi

の選択則をもたらす．両者の違いは電子とニュートリノの角相関に現れる．すなわち，電子とニュートリノの運動量ベクトルの間の角度を

θ

とすると，角相関の

θ

に対する依存性は

V : 1 + v

c cos θ, S : 1 − v

c cos θ (8.35)

と符号が異なる（

v/c

は電子の速度と光速の比）．この依存性の違いは，

γ

行列の右下の対角成分の符合に起因する．レプトンの質量は小さいので，４成分スピノールの両成分がほぼ

第 8 章 弱い相互作用の古典論

8

8.1

8.1.1

Chadwick [ 1 ]

1919

,

,

8.1:

8.1

•

•

,

153

•

,

H

He

,

•

•

( )

H(

) −→

He(

) + e

(

)

H

He

1930

Pauli [ 2 ]

•

•

m

m

= 0

H

He

m

0.5 keV

0.2 keV

•

H(

) −→

He(

) + e

(

) + ν

(

)

Fermi

8.1

155 8.1.2 Fermi

Fermi

1934

[ 3 ]

Fermi

g

•

•

•

Fermi

golden rule

ε

ε+dε

w(ε) dε = g

m

c

2π

¯ h

| M

|

F (Z, ε) (ε

− ε)

ε

ε

− 1 dε (8.1)

ε

m

第 8 章弱い相互作用の古典論