薄肉箱形断面柱の相関座屈実験 及び固有値計算法の比較

長野工業高等専門学校紀要 ･第

2 1

( 1 9 9 0 ) 2 3

薄 肉箱形断面柱の相 関座屈実験 及 び固有値計算法の比較

永 藤 壽 宮   小 林 清

I

n t e r a c t i o n   B u c k l i n g   E x p e r i m e n t   o f   B o x   C o l u m n s  

and Comparison between Various Calculations of Eigen‑value Toshimiya NAGATO Kiyoshi KOBAYASHI

Bo xs e c t i o nsp r e s e n tve r yi n t e r e s t i n gp r o p e r t i e si nt he丘 e l do fc o mp r e s s e de l e me n t s . Thep ur po s eo ft hi se xpe r i me nt si st os u p pl ye xp e r i me n t ald a t ao fi n t e r a c t i o nb uc kl i n g ( o v e r a l la n dl o c a lbu c ki n g) .

Sup p o r tc o nd i t i o n sa r epl n･ e n d e dt y p eb yu s i n gne wd e v e l o p e dbo wls ho e . Yo uc a ns e e仇ec o mpa r i s o nb e t we e nva r i o u sc a l c u l a t i o nso fe i g e n‑ va l uep r o bl e m.

1

.

近年,構造解析 において,電子計算機 の発達 に伴い,橋梁本体及 び,各部材力学的合理化 断面が,多 く用い られ,薄肉軽量化が進め られている. しか しなが ら1

96 9

4Danu be

しそれぞれ試供体を作製 し,圧縮耐荷力実験 を行 い,極限強度 と達成強度 について考察 した 結果を報告 し,理論適用の材料 とす る. また実験 の際の両端 ピン支承 とい う条件 に対 し著者 が開発 した

2

2.

鋼種 は

,SS4 1

●土木工学科 助教授

= 文部技官

原稿受付 平成2年 6月30日

2 . 1

1 8 0 . 0

.

0 ^{4 . 0}

すみ粥虐待山々 図1 断 面 白点 元

線,全体座屈 は,E.C.C.Sの複 数桂強度 曲線 を用 いて,両座屈強度 が,等 しくな る とい う 点及 び,耐圧試験機 の能力1

0 0

5mの制約条件 を満 たす様 に,基本

[ ･ .

類 の供試体 を作製 した.支持条件 は,.1･̲逆 の池 り,両端 ピン支承 で,弱軸,強軸 とも

恒

写真1 ピ ソ 支 承 写真

2

1

1

実験用供試体 (短柱) を球面 ピソ支承 に取付 け,変位計等 を設置 した圧縮耐荷力試験状 況 を写真2に示す.

3

引張試験片 は,圧縮実験用供試体 と同一鋼材 か ら切 り出 したJIS5号片 を用 いた.その結 表1 材料試験結果

0'yu qyl OIL

E

J

1

7'hr勾箱 形断面性 のtl欄 錐Tjl1,Ll峻及 びrhJFJ'仙別･TTij:･の比較

異 は,衣1に示す過 り‑であ る.そltぞItのlLllCLt. 一1本‑rつrbtr験 を行 った平均値 であ る.

4. 残留応力度測定

2 5

残留応力度 は,試験用短柱供試体 で,切断法に よ り,州起 した.それぞれ桁拷後 に,鋼球 を打 ち込み,切 断 した後,鋼球 の距離 を コソタク トゲ一･} (I/1.()OO1111111や測定 し,井出 した ものであ る.切断後 の供試体 を写真

4

2

写真

3

･ 1 . 0 or/qy

｢ ＼ / ｢

1 80

0. . B J 竺 10 ･. ○ 〜

0. 5 4 0. 4 5

0. 5 0 ○. 班

1

.

0. 5 0 05 6 0. 5 3

^､

‑10

l ■'○

図

2

5. 初期 たわみ測定

初期たわみ測定 は,測定用 ジグを開発 し,柱 の初期たわみ (弱軸,強軸方向)及 び,仮 Q) 初期 たわみ をそれ ぞれ変位計 (

1 / 1 0 0 mm)

2

また供試体

H

3

4

表

2

Span

( mm) ( w i EP A m

) 蒜 p B m&X )

W c

maX Span W pmax W pmax l Vcmax A( 3 0 0 mm)

E( 7 0 0 mm) 1. 7( 1 / 9 6 ) 1. 3

/1 2 5 ) 0. 2( 1′ 3 5 0 0 B( 4 0 0 mm) 2, 3

0. 5

1 / 8 0 0) F( 8 0 0 mm) 2. 2

/ 7 4 ) 2. 0( 1 / 8 2 ) 0. 3

/ 2 6 6 6 ) C( 5 0 0 mm) 2. 0

1 / 8 2 ) 2. 3( 1 /

) 0. 4( 1 /1 2 5 0 ) G( 9 0 0 mm) 3. 2( 1

5

) 4. 2( 1 / 3 9 ) 0. 3

1 / 3 0 0 0 )

W m a× = . 8

nU

nU nU nU n U nU 5 5 nU 1 l

1

図

3

H)

永頗 諸富 ･小林 滑

W

mc L X= 3. 2

10 5 LP 1

■ ■

■ ■ ■

図4 板柳舶た17人分和附 く伐封休 日)

6. 本

験

荷重偏心が.発生 しない様,推泣極舶強敗 のl/3柑皮の仇はレベルにおいて,調整用 ゲー ジにより,それぞiLの他 が,それ ら

がI

5%

J r , u R

･

7.

実験結果及び考察

供試体Hは局部座屈 と全体座屈の達成座屈を生 して崩壌 し,供

試体

写真

4

本紙では,局部座屈 と全体座屈 の達成座屈 を生 じた供試体Hについて考察 してい く.第4 節の残留応力の図2を見 ると各断面内にそれぞれ残留応力の平均 を取 るとほは降伏応力 に対

し

0. 4 ‑0. 5

5

3,4

休 B

薄肉箱形断面柱 の相関座屈実験及 び固有値計算法 の比較 27 最初成形 し, ひずみ ゲージを貼 った後蓋を熔接 した結果 として生 じた ものである.

まず荷重‑ ひずみ曲線 について報告 してい く.

図5は,三側 のそのゲージが貼 ってあ る部分が凹部 に徐々 に曲げを生 じ

P/ P, ‑0. 7 5

6

5

P/ P

‑0. 7 5

0 ･ 0 0･ 5 1･0 1･5 ( E / E l )2･0

図

5

H

D･0 0･ 5 1･0 1･5 t E / E

)2 ･0

図

6

H

図

7

P/ P

‑0. 7 5

,P/ P

‑0. 7 5

その傾向は,溝側全体 のゲージの荷重‑ ひずみ曲線 に共通 した除荷現象であ る. ･

す なわ ち図5の点 が

P/ P, ‑0. 7 5

P/ P, ‑ 0. 7 5

一方,図8は荷重一枚変位曲線であ るが,図5の点す なわち局部座屈 を起 こした場所 に設 置 されていた変位計 で測定 された. この図か らも

P/ P

‑0. 7 5

次 に図

9

28 _{永藤毒宮 ･小林 清}

o･o o･5 1･0 1･5 (

^{/ Ey )} 2･ 0

図

7

H

SD

図

8

A

V ++2 lop

図9 荷重一柱たわみ曲線 された ものである.

前 と同様 に終局段階の一歩手前すなわち

P

P, ‑0. 7 5

3

供試体

D〜G

薄 肉箱形断面柱 の相関座屈実験及 び固有値計算法の比較 29 が生 じてい る)であった.

供試体A〜Cはスパ ン長が短 くて短柱供試体 としてみなされて主 に柱 としての耐荷力 では な く板 としての局部座屈強度が測定 された.

今 回の達成座屈実験 についての理論的解法の際に筆者達 は,残留応力を考慮 し有限帯板法 を用いた.その時使用す る固有値計算法の比較 を種々に行 った.

後 の章で詳 しくはのべ るが使用 して比較 の結果 は,‑ ウスホルダー

QR

その理論 を使用 して導かれた座屈値 は,理論値 とほぼ一致 してい るが,初期 たわみの項 を 考慮で きない とい う欠点 をもってい るので現在新たにそれを考慮 した形で開発 中である.

図10‑11の残留たわみ図か ら正弦 の全体座屈波形 を全体的に示 し中央部 に部局座屈波形性 WncLX=

9. 2

図

1 0

H

図

1

H

3

供 試 体 座屈荷(t)重 座 屈 性 状 供 試 体 座屈荷(t)重 座 屈 性 状 A (30cm) 54.0 局部座屈 E (70cm) 54.8 局部から全体座屈を誘発 B (40cm) 50.8 局部座屈 F (80cm) 55.5 局部から全体座屈を誘発 C (50cm) .52.5 局部座屈 G (90cm) 49.6 局部から全体座屈を誘発

3 0

表

3

A〜H

A〜H

2

8.

過去数年の相関座屈実験 についてま とめると,図

1 2

1 4

仏) 〜( C)

全体座屈 と局部座屈 の達成座屈強度 は,非達成座屈強度 に対 して一般的に座屈強度 の低下 を もた らしてい る. またその低下の割合 は,柱 の細長比 の増大 と板 の幅厚比 の増大 とともに 大 きくなってい る事 が観察 され る.

図

1 4

(C)

1 5

(D)

表

4

MODEL

( A) 1 / 1 0 0 0 1 / 6 1 0. 4 6 1 9. 7 2 6. 0 4 6. 6( 4 8. 9 )

1 / 9 5 0 1 / 7 0 0. 4 0 3 8. 5 3 6. 2 4 2. 5( 4 6. 5 )

(C) 1 / 9 7 0 1 / 4 7 0. 4 6 6 5. 9 4 0. 7 4 5. 0( 5 3. 8 )

( D) 1 / 1 2 5 0 1 / 4 7 0. 4 9 4 8. 2 3 6. 2 4 8. 2( 5 2. 6 )

薄肉箱形断面柱 の相関座屈実験及 び固有値計算法 の比較 31

9. 各種固有値計算法の比較

土木におけ る一般固有値問題 は,広 く座屈及 び振動問題で使用 されている.一般的に計算 される行列の次数が大 きくなるにつれ演算時間が膨大な量 となる.本研究 は,固有値問題 に おいて下記の2点にわたって研究がなされた.

(1) 一般固有値問題 [K](￠)‑PlG]くさ)か ら標準固有値問題 [M](少〉‑くす)‑の変換

( 2 )

QR

QL

まず一般固有値問題から標準固有値問題への変換を行 う.普通の座屈問題 においては,剛 性マ トリックスと幾何剛性 マ トリックスを合計 して,全体の剛性 マ トリックスを作 り,境界 条件を与 えた後 は,一般固有値問題 となる.一般固有値問題 は,以下の様に コレスキー分解 を適用 して,標準固有値問題への変換をはか り計算 された.

[K]くさ)‑P[G]くさ〉

上式を解 くには, コレスキー分解により[L]を下三角形マ トリックスとす ると [G]‑[L][L]T として,また くさ)‑[LT]l(少)とおいて

[K]‑[LT]1くす)‑P[L]くす〉と な る.両 辺 に [L]1をかけると

[L]‑1[K][LT]llくす)‑P[L]1[L](+)

‑P(少)となる.

ここで[M]‑[L]‑1[K][L']1とす ると [L]1[K]

[ L

]

‑P(少)となる.

ここで[M]‑[L]‑1[K][LT]1とす ると [M](少〉‑P(少)とな り, この順序 で固有値 サブルーチンを作成 し一般固有値問題か ら標 準固有値問題への変換 がなされる.

上述 をふまえて図

1 7

‑1.0

‑1 . 0

･カ.7 ‑0.7 71‑0.4 ‑0.4FT

‑0.1 ‑0.1

図16仮定残留応力分布形状

‑1

.

図17 フローチャ‑ ト

32 _{永藤幕宮 ･小林 清} 体(功を用いた.

この場合注意す る事 は,あ くまで固有値1個を計算するのに必要なランタイムの比較であ る.座屈値を求める際の収束への反復数 は考慮 されてお らない.

また仮定された残留応力度分布 は,部材長方形断面 の長辺部分の分布であ り短辺部 は,そ れ より粗い分布形状 を仮定 した.

次 に比較 された各種固有値計算法の概要を以下に示す.

‑ ウスホル5''‑ ･ギブソス法

実対称行列

A

C

ヤ コビ法

実対称行列

A

VT AV‑D

任意に選ばれた基本直交変換を繰 り返す ことにより,対角行列

D

累積法

すべての固有値 を求める必要がない場合 に有効であ り,絶対値が最大の固有値 と固有ベク トルか ら順次,それぞれの値が求められる方法

AS u ｡ ≒ ∑α

e

･､ウスホルダー

QL

QR法 を変形 した もので,一般 に,絶対値 の小 さな順 に (1, 1)要素 か ら並ぶ様 にな

･､ウスホルダー

QR

実対称行列Aを,ユニタ リ行列

Q

Rの積 に分解 LA( S ) =Q( S

S

次 に

A

1

‑R( S 十 1 ) Q( S +

)

S +

)

A( S + 1 )

は,上三角行列 に収束 しその対角要素を固有値 として求め る方法である.一般 に,絶対値 の大 きな順 に (1, 1)要素か ら並ぶ ようになる.

表5にそれぞれの結果についてもとめた.

表か ら‑ ウスホルダーQR法が座屈固有値計算において優秀である事が,観察された.

表5 演算時間比較表

各種固有値計算法

CPU RUN TⅠ ME FⅠ LELⅠ NES

‑ウスホルダーギブソス法 3′45.08′′ 884 ヤコビ法 183′30.24′'

7 1 9

‑ウスホルダー

QL

薄肉箱形断面柱の相関座屈実験及び固有値計算法の比較 33

1 0.

(1) 全体座屈 と局部座屈 との達成座屈問題 の理論適用 データ‑を提出 した.

( 2 )

(3)本研究室で開発 した全方向回転可能 ピン支承 は,有効的に稼働 した.

(4) 局部座屈 は,供試体 の長手方向に幾っか発生す るが,多 くは中央部分 に

2‑ 3

(5) 局部座屈発生 ご直 ちに全体座屈 につ なが らず, 5‑11%の後局部座屈強度 を有 してお り, またその傾向は幅厚比 の大 きい供試体 ほど顕著 に観察 された.

( 6 )

(7) 座屈固有値計算 において,‑ ウスホルダー

QR

参 考 文 献

1) 小松定夫,北田俊行 :初期不整を有する圧縮板の極限強度特性に関する研究,土木学会論文報 告集,第270号 昭和53年2月 Pl〜P14

2)永藤詩宮 :各種固有値計算法の演算時間の優劣について,長野工業高等専門学校電子計算機セ ンター年報 第4号 平成2年3月 P17‑P20