解答例＋引用題 理系数学 過去問

2001 東京大学（理系）前期日程 問題

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１ 解答解説のページへ 半径 U の球面上に 点 $ % & ' がある。四面体 $%&' の各辺の長さは

2001 東京大学（理系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ 次の等式を満たす関数I[≦[≦Sがただつ定まるための実数DEの条件

を求めよ。またそのときのI[を決定せよ。

[ [ G\ \ \ [ E

G\ \ \ [ D

[ VLQ FRV VLQ FRV

_S

³

S I _S

³

S I

I

2001 東京大学（理系）前期日程 問題

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３ 解答解説のページへ 実数 W＞ に対し[\ 平面上の点2 3 4 W _W を頂点とする三角形 の面積をDWとし線分 23 24 と双曲線[\ とで囲まれた部分の面積をEWと する。このとき FW _DE_WWとおくと関数FWは W＞ においてつねに減少するこ

2001 東京大学（理系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ 複素数平面上の点D D D_Q を

Q Q Q D D D

L D

D Q

により定め

Q Q Q D_D

E _{Q とおく。ただしLは虚数単位である。}

点E E Eを通る円&の中心と半径を求めよ。

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５ 解答解説のページへ

容量 リットルの P 個のビーカー（ガラス容器）に水が入っている。P≧ で空

のビーカーはない。入っている水の総量はリットルである。また[リットルの水が

入っているビーカーがただつありその他のビーカーには [リットル未満の水しか

入っていない。

このとき水の入っているビーカーが 個になるまで次のDからFまでの操作を

順に繰り返し行う。

D 入っている水の量が最も少ないビーカーをつ選ぶ。

E さらに残りのビーカーの中から入っている水の量が最も少ないものを

つ選ぶ。

F 次に Dで選んだビーカーの水をEで選んだビーカーにすべて移し空にな

ったビーカーを取り除く。

この操作の過程で入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決

まらないときはそのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする。

[＜のとき最初に [ リットルの水の入っていたビーカーは操作の途中で空

になって取り除かれるかまたは最後まで残って水の量が増えていることを証明せ

よ。

[＞のとき最初に [ リットルの水の入っていたビーカーは最後まで [ リッ

2001 東京大学（理系）前期日程 問題

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６ 解答解説のページへ

コインを投げる試行の結果によって数直線上にある 点 $ % を次のように動か

す。

表が出た場合：点$ の座標が点% の座標より大きいときは $ と% を共に正の

方向に動かす。そうでないときは$のみ正の方向に動かす。

裏が出た場合：点% の座標が点$ の座標より大きいときは $ と% を共に正の

方向に動かす。そうでないときは%のみ正の方向に動かす。

最初点$ %は原点にあるものとし上記の試行をQ回繰り返して$と%を動か

していった結果$%の到達した点の座標をそれぞれDEとする。

Q 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数Q_{通りのうちD Eとなる場}

合の数を;_Qとおく。;_Qと;_Qの間の関係式を求めよ。

;Qを求めよ。

Q 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数Q_{通りについての D の値の平}

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１ 問題のページへ 球面の中心を2&'の中点を0$%の中点を1とすると

対称性から中心2は△$%0上にある。

まず $0 %0 VLQq より△$%0 は正三角形

となる。

U

2%

2$ 20 2&&0 _U

また 01 VLQq より

21 _U

△21$に対して

_U

U

_{U U}

U

よって _{U より}

U

［解 説］

第 問は三角比の空間図形への応用問題です。正四面体ではないものの対称性か

らどの切断面を考えればよいのかは自然に決まります。

$

%

& ' 1

0 2

$

1

% 0

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２ 問題のページへ まず D_S

³

SVLQ[\I\G\ D_S

³

SVLQ[FRV\FRV[VLQ\I\G\

_³

S

_³

S

S

FRV FRV VLQ

VLQ

D [ \I \ G\ [ \I \ G\

また E_S

³

SFRV[\I\G\ E_S

³

SFRV[FRV\VLQ[VLQ\I\G\

_³

S

_³

S

S

FRV VLQ VLQ

FRV

E [ \I \ G\ [ \I \ G\

ここで $ _S

³

SFRV\I\G\……①

³

S

S

VLQ

\ \ G\

% I ……②とおくと

[ [ G\ \ \ [ E G\ \ \ [ D

[ VLQ FRV VLQ FRV

_S

³

S I _S

³

S I

I

D$VLQ[%FRV[E$FRV[%VLQ[VLQ[FRV[ D$E%VLQ[D%$EFRV[………③

①③より _S

³

S

^

_{VLQ FRV FRV}

`

D$ E% \ \ D% $E \ G\

$

_S

³

S

^

D$E%VLQ\D%$EFRV\

`

G\

_S ˜D%$E˜S

$ D%$E E$D% ………④

②③より _S

³

S

^

_{VLQ VLQ FRV}

`

D$ E% \ D% $E \ \ G\

%

_S

³

S

^

D$E%FRV\D%$EVLQ\

`

G\

_S ˜D$E%˜S

% D$E% D$E% ………⑤

④⑤をまとめると ¸

¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § %$ E

DE D ………⑥

さて I[がただ つ定まるのは ¸

¹ · ¨ © § %

$ _{がただ つ定まることと同値なので⑥}

から

_¸ ¹ · ¨ © § E D D

E _{が存在する。}

_{E D z DzrE}

このとき ¸

¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § E DE D D

E E

DE D % $ ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © §

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③よりI[

_ED_{D E}E_D

VLQ[

_ED_DE_ED

FRV[

_DEVLQ[FRV[

［解 説］

いわゆる置き換え型の積分方程式で超頻出題です。計算の難易もちょうどよく

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３ 問題のページへ W＞に対し 3 4 W _W より

W _W W W W W W D

またEW ˜

³

W_[G[ ˜W˜_W

>

ORJ[

@

W ORJW

よって

ORJ WW W W D W E W F ORJ ORJ ORJ ORJ ˜ c

W W W

W W

WW W W W

W W

F

ここで _{IW W}ORJ_WWORJ_{Wとおくと}

W W W W W W W W W W

W ORJ ORJ

_˜

c

I

さらに _{JW W}ORJ_{WWとおくと}

W W W W W W W

W ORJ ORJ _˜

c

J

W＞のとき JcW＞よりJW＞J

よってIcW＞となり IW＞I

したがってFcW＜となるので FWはW＞においてつねに減少する。

［解 説］

関数の増減についての基本問題です。新しい関数をどんどん設定し微分していけ

ばそのうち題意と同値な式にたどりつくというタイプです。

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４ 問題のページへ

DQ DQDQより

Q Q Q Q DD D D Q Q _E

E ………①

まずE D_D L

なので①より

L L

E E _L L 点E E Eを通る円&の中心を[\Lとおくと

L

\L [ L \L [ L \L [

[ \

L L \ [ L \ [

よって _{[\ [\………②}

\ [ \ [ ………③

②より[\ ③より[\ なので[ \

となり円 & の

中心は点 半径は L である。

すべての点E_Qが円&の周上にあることを数学的帰納法を用いて示す。

L Q のとき 点Eは明らかに円&の周上にある。 LL Q Nのとき 点E_Nが円&の周上にあると仮定する。

N E ………④

このとき①より

N

N _E

E なので

N

N _E

E

④に代入して

N E N N E E N N E E N N E

E EN EN

ここで 点 を結ぶ線分を に内分する点を] に外分する点を

] とすると点ENは点] ]を直径の両端とする円周上にある。

˜ ˜ ] ˜ ˜ ]

すると円の中心は]] _半径は

_{]] となり円&に一致する。}

LLLよりすべての点E_Qは円&の周上にある。

［解 説］

複素数平面上における円を題材とした問題です。それに加えて漸化式がスパイスと

してよく効いています。

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５ 問題のページへ

最初に [ リットルの水が入っているビーカーを;とし最後に 個のビーカー

が残ったときそのうちの つが;で水の量が [ [リットルのままであると

仮定する。

この仮定のもとでビーカーが 個残ったときビーカーを; ; ;とする。

こ こ で ;の 水 の 量 は [リ ッ ト ル で あ り ; ; の 水 の 量 を そ れ ぞ れ

[

[ [≧[リットルとおくと [ [ [ となる。

すると [＜より[[＞となりしかも[≧[から[＞ [＞であ

りこのとき最後の操作を行う。

L [＞[＞[のとき

; の水を;に入れ ;の水の量は[リットルより大となる。

LL [＞[ [のとき

; は取り除かれるかまたは;の水を;に入れ ;の水の量は [ リットルよ

り大となる。

LLL[≧[＞[のとき ;は取り除かれる。

以上よりビーカー;は操作の途中で空になって取り除かれるかまたは最後ま

で残って水の量が増えている。

と同様にしてP のとき 個のビーカーの水の量を[ [＞[≧[≧[ とし題意の操作を行った後 [[≧[＞[となるとする。

このとき[ [ [ [≦[より [≧[

[ [ [ [ [ [

[ ≦ ˜

すると [[[≧[˜[ [

ところが[＞より[[[＞となるので [[≧[となる場合はあり

えない。よって残った個のビーカーで水量が最大なのは;である。

同様にしてP≧ のとき 個以上のビーカーが残っており水量が次の関係を

満たすときを考える。

[ [ [N [N

[

[ ＞ ≧ ≧≧ ≧ N≧

このとき題意の操作を行った後 [N [N≧[＞となるとする。

すると [N≧[N [N＞から[N＞すなわち[L＞≦L≦Nより

[[ [ [N [N＞ N [N N [N

≧

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よって題意の操作をくり返したとき残ったビーカーの水量の最大なのはつ

ねに;である。

以上より 個のビーカーが残っているとき;の水量は最大となり題意の操作

を行ってビーカーが 個になったときビーカー;は [ リットルの水が入ったま

まで残る。

［解 説］

考えたとおりに書いた冗長な解ですがあえてシェイプアップをしていません。し

2001 東京大学（理系）前期日程 解答解説

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６ 問題のページへ

最初 点$ %はともに原点にあるのでQ回の試行の後 点$ %の距離は

以下である。すなわち D EまたはD Erとなる。

ここでQ 回の試行の後 D Eであるとき Q回目に投げたコインが表裏の

いずれでもDzEとなる。またQ 回の試行の後 D EであるときQ回目に

投げたコインが裏のときD EとなりQ 回の試行の後 D Eであるとき Q

回目に投げたコインが表のときD Eとなる。

条件よりQ 回の試行の後D Eとなる場合の数が;_Q DzEとなる場合の数が

Q

Q_;

より ;Q Q ;Qとなる。

回目の試行の後$%の位置はD E より; となる。

より

Q

Q Q Q ; ; ˜ ˜

Q Q Q

Q Q ; ; ˜ ˜

よって Q Q

Q

; ˜

Q回の試行の後 D Eとなる確率をS_Qとすると _QQ Q

Q ;

S

すると D E D Eとなる確率は$と%の動きが対等なのでそれぞれ

Q Q S S

_となる。

ここでQ 回コインを投げたときの D の平均を(Qとおくと Q回目に表が出

た場合はつねに $ を動かし Q回目に裏が出た場合は Q回目にD Eであ

れば$を動かしD EまたはD Eであれば動かさないので

^

Q

Q

Q Q

`

Q Q

Q ( S ( S S (

(

(Q

(Q SQ

(Q SQ

(Q

^

`

Q (Q Q

ここで ( uu なのでQ≧において

^

`

^ `

¦

Q N Q

N Q Q ( Q

Q （この値はQ のときも満たす）

［解 説］

コインの表裏がどんな出方をしても $ %の距離の差はつねに以下です。この