ON PROJECTONS OF KNOTS, LINKS AND SPATIAL GRAPHS
（結び目，絡み目及び空間グラフの射影像について）
＜論文概要書＞
Content Studies of Mathematics Curriculum Area Sciences Major Graduate School of Education
Waseda University
Ryo Hanaki
序文
有限グラフをGとし，自然に位相空間と考えます．Gから3次元空間R3（ま たはS3）への埋め込みを，Gの空間埋め込み〔spatial embedding〕といい，そ の像を空間グラフ〔spatial graph〕といいます．特に，Gが一つの円周と同相 のとき，その像を結び目〔knot〕，Gがいくつかの円周と同相のとき，その像を 絡み目〔link〕といいます．f, f0をGの空間埋め込みとしたとき，fとf0が同値
〔equivalent〕であるとは，h(f(G)) = f0(G)（f とf0の像が重なる）となるR3
（またはS3）からR3（またはS3）への向きを保存する自己同相写像hが存在す るときをいいます．ここで，第２部及び第３部では向きを保存しない自己同相写 像も許します．fが自明〔trivial〕であるとは，fと同値なGからR3（または S3）の部分空間R2（またはS2）への空間埋め込みf0が存在するときをいいます．
第１部 結び目，絡み目及び空間グラフの準射影図
この部では，射影像〔projection〕とは，結び目，絡み目及び空間グラフを2 次元球面S2 へ自然に射影したときの像で，その多重点は辺の横断的な二重点の みであるものです（図1）．射影図〔diagram〕とは，それらすべての二重点に 上下の情報が入ったものです．射影図は，一意に結び目，絡み目及び空間グラフ を表しています．上下の情報が入っている二重点を交点〔crossing〕，上下の情 報が入っていない二重点を前交点〔pre-crossing〕と呼びます．
射影像だけを見て，もとの結び目，絡み目及び空間グラフが自明（非自明）で あるかどうかを判定することは，特別な場合を除いて，できません．それは，各 前交点に上下どちらの情報が入るかわからないためです（図1）．
図 1: 射影像とそれから得られる射影図
そこで，射影像に対して，どの前交点の，どのような上下の情報さえわかれ ば，その他の前交点の上下の情報に依らず，自明（非自明）であると判定できる かを考察します．ここで，一部の前交点には上下の情報が入っているものを準射 影図〔pesudo diagram〕と定義します（図2）．この研究を始める契機として は，DNA結び目の研究もあります．それは，DNA結び目の実際の写真を見たと き，二重点の上下がはっきりわかる部分とわからない部分が存在していたこと，
交差交換（交点の上下の入れ換え）の役割を果たす酵素（DNAトポイソメラー ゼ）の存在が知られていることです．
射影像に対して，最小で何個の，どの前交点に，どのような上下の情報がわかれ ばつまり，どの前交点をうまく交点に変えれば，自明（非自明）であると判定でき る準射影図が得られるかを考えます．その最小の交点数を自明化数〔trivializing number〕（非自明化数〔knotting number〕）と呼びます．図1の射影像から 図2の自明であると判定できる準射影図が得られ，自明化数1である射影像は存 在しないことがわかるので，図1の射影像の自明化数は2となります．
図 2: 自明であると判定できる準射影図 主に得られた結果は以下のとおりです．
定理1.1.6 結び目の射影像の自明化数は偶数である．
命題 1.1.7任意の非負偶数nに対して，自明化数がnである結び目の射影像が存 在する．
命題1.1.8 2以下の非自明化数をもつ結び目の射影像は存在しない．任意の3以 上の整数nに対して，非自明化数がnである結び目の射影像が存在する．
命題 1.1.9任意の非負偶数nと任意の3以上の整数lに対して，自明化数がnで 非自明化数がlである結び目の射影像が存在する．
定理 1.1.10P を絡み目の射影像とする．このとき，P の自明化数が2であるた めの必要十分条件は，P は図3(a)または(b)の射影像から自明な円周を加えるか P の部分弧を図3(c)のように置き換える操作を何回（0回も含む）かして得られ ることであることである．
(a) (b) (c)
図 3: P の自明化数が2である絡み目の射影像
定理 1.1.11P を結び目の射影像とすると，P の自明化数はP の前交点の個数マ イナス1以下である．また，P の自明化数がP の前交点の個数マイナス1である ための必要十分条件は，P は図4のような射影像であることである．
図 4: P の自明化数がP の前交点の個数マイナス1である結び目の射影像 定理 1.1.12P を絡み目の射影像とする．P の自明化数がP の前交点の個数であ るための必要十分条件は，P の各成分が自己交差である前交点をもたないことで ある．
定理 1.1.13 非自明化数と前交点の個数が同じである射影像は，図5の3つの射 影像のどれか1つに自明な円周を加えたものに限る．
(a) (b) (c)
図 5: 非自明化数と前交点の個数が同じである射影像
第２部 二重手錠グラフの射影像
GからR2への連続写像ϕがGの射影〔projection〕であるとは，ϕの多重点 が有限個の頂点以外の横断的な二重点のみのときをいいます．このとき，射影の 像を射影像といい，Gb = ϕ(G)で表します．ϕが空間埋め込みfの射影であると は，fと同値なϕ =π◦f0となる空間埋め込みf0が存在するときをいいます．こ こでπはR3からR2への自然な射影です．このとき，fはϕから得られるといい ます．射影ϕが自明〔trivial〕であるとは，ϕから得られる空間埋め込みが自明 なものだけのときをいいます．
Gの非自明な空間埋め込みの集合EがGの初等集合〔elementary set〕であ るとは，Gの任意の非自明な射影はEの少なくとも一つの元の射影となっていて，
Eの真部分集合はこの性質をもたないときをいいます．一般に，EはGから一意 的に決まりません．Gの初等集合の元の数の最小値をGの初等数〔elementary number〕といい，elm(G)で表します．
先行研究として，Gが一つの円周と同相のとき，初等集合は三葉結び目の元だ けで構成される集合で，elm(G) = 1であること，Gが二つの非交和な円周と同 相のとき，初等集合は三葉結び目と自明な結び目の分離和，ホップ絡み目の元で
構成される集合で，elm(G) = 2であることがK. Taniyamaにより示されていま す．また，Gがθ曲線のとき，図6で描かれた元で構成される集合は初等集合で，
elm(G) = 3であることが，S. Kinoshita，J. MikasaとY. Huh，G. T. Jin，S. Oh により独立に示されており，Gが手錠グラフのとき，図7で描かれた元で構成さ れる集合は初等集合で，elm(G) = ∞であることがK. Taniyama，C. Yoshioka により示されています．
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図 6: θ曲線とその初等集合
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図 7: 手錠グラフとその初等集合
図8で描かれた4個の頂点と6本の辺をもつグラフを二重手錠グラフ〔double- handcuff graph〕と呼び，Hで表します．このグラフは，手錠グラフに1本の辺 を加えたグラフとも，θ曲線に1本の辺を加えたグラフともみることができます．
定理 2.1.1E を図8で描かれた二重手錠グラフの非自明な空間埋め込みの集合と
すると，E は二重手錠グラフの初等集合であり，elm(H) = 7である．
グラフGの空間埋め込みfが強概自明〔strongly almost trivial〕であると は，fが非自明で，Gの任意の真部分グラフG0に対してfˆ|G0 が自明となるfの 射影fˆが存在するときをいいます．系として，強概自明に関する結果を得ました．
系 2.3.2二重手錠グラフHは強概自明な空間埋め込みをもたない．
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E =
図 8: 二重手錠グラフとその初等集合
第３部 グラフの強概自明な埋め込みについて
強概自明な空間埋め込みをもつグラフともたないグラフが存在することがY.
Huh，S. Ohによりわかっています．この部では，主な結果として次を得ました．
定理 3.1.5n-花束は強概自明な空間埋め込みをもつ．ここで，n-花束〔bouquet〕
とは1個の頂点とそれを結ぶn本のループでできたグラフである．
命題 3.1.6Gを切断辺をもたず，2つの非交和な円周と同相でない非連結グラフ
とすると，Gは強概自明な空間埋め込みをもたない．
定理 3.1.7GF を林から次数が0または1のすべての頂点にループをつけること で得られるグラフとすると，GF は強概自明な空間埋め込みをもつ．
定理 3.1.8Gをちょうど1本の切断辺eをもつグラフで，Gは手錠グラフとは同 相ではなく，G−eの各連結成分が少なくとも1つのサイクルをもつものとする と，Gは強概自明な空間埋め込みをもたない．
そして，系として次を得ました．
系 3.1.9グラフが強概自明な空間埋め込みをもつ（もたない）という性質はマイ
ナーに遺伝しない．
