... 量子化された τ 函数の正則性

.

... 量子化された τ ^{函数の正則性}

黒木玄

(Gen Kuroki)

東北大学数学教室

日本数学会2012年3月26日〜29日 東京理科大学神楽坂キャンパス

2012/05/10 Version 4.4

http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/20120328QuantumTau.pdf

2012

3

28

何をやったか

[a_{i j}]_i,j∈I, 任意の対称化可能GCM

↓

Weyl群双有理作用を量子化 [K]math/0808.2604

(野海・山田[NY] math.QA/0012028 の 定理1.1の量子化)

↓

量子 τ 函数の導入とその正則性

(これが新結果, [NY]の定理1.2と1.3の量子化)

q = 1の場合は完全にできており, q差分版もかなりできている. 定式化は主にq差分版で説明する(以下 qはgenricと仮定).

( 正準 ) 量子化と q ^差分化

[NY] 可換Poisson代数C[n^∗₋] {f_i,{· · · {f_i,{f_i

| {z }

1−ai j

, f_j}} · · · }} =0, {A,B}はPoisson括弧 量子化↓ ↑古典極限

[K] 普遍展開環U(n₋) [fi,[· · ·[fi,[fi

| {z }

1−ai j

, fj]]· · ·]] = 0, [A,B] = AB−B A

q差分化↓ ↑ q→ 1

[K] 量子展開環U_q(n₋)

[f_i,[· · ·[f_i,[f_i, f_j]q(0)]q(1)· · ·]q(−ai j−1)]q(−ai j) = 0, q(k) = q^{2k+ai j}

i ,qi = q^di,[A,B]q = AB− qB A

設定

[a_{i j}]_i,j∈I — 対称化可能GCM.

W = ⟨s_i | i ∈ I⟩^{— Weyl群}

f_i — f ^変数,U_q(n₋) ^のChevalley生成元の像. α^∨_i ^— パラメーター変数, simple corootsに対応.

τi = exp(∂/∂α^∨_i ) — 量子 τ ^変数.

s˜_i — α^∨_i ^と τi のみを動かす自然なWeyl群作用 Weyl群双有理作用の量子化:

s_i(x) = f^α

∨ i

i ˜s_i(x)f^−α

∨ i

i .

設定 1/3: f ^変数 ( 従属変数 )

[a_{i j}]_i,j∈I は d_i で対称化可能なGCMとし,以下を仮定：

Ae = ⟨ f_i | i ∈ I⟩C(q)-alg は整域.

q-Serre 関係式:

[f_i,[· · ·[f_i,[f_i, f_j]_q(0)]_q(1)· · ·]_{q(−ai j−1)}]_{q(−ai j)} = 0, q(k) = q^{2k+ai j}

i , q_i = q^di, [A, B]_q = AB− qB A. Ae^{はOre条件を満たす.}

(有限型またはアフィン型ならば常に成立) 要するに Ae^はU_q(n₋) ^の商Ore整域であると仮定.

q = 1 ^{の場合の量子} f ^変数の例

D⁽¹⁾

4 : f₂ = ∂, fi = x−ai (i = 0,1,3,4), ∂:= d/dx.

B⁽¹⁾

3 : f₀ =(x−a)², f₁ = ∂, f₂ = x, f₃ = x−b.

A⁽¹⁾

3 : f₀ = ∂−a, f₁ = ∂, f₂ = x, f₃ = x− b.

G⁽¹⁾

2 : f₀ =(x− a)³, f₁ = ∂, f₂ = x.

A⁽¹⁾

2 : f₀ = ∂+x, f₁ = ∂, f₂ = x.

D⁽²⁾

5 : f₀ = (x−a)², f₁ =∂, f₂ = x². C⁽¹⁾

2 : f₀ = ∂− a, f₁ = ∂, f₂ = x². A⁽²⁾

2 : f₀ = x⁴, f₁ = ∂. q = 1では多項式係数の微分 A⁽¹⁾

1 : f₀ = ∂+x², f₁ = ∂. 作用素環の中で様々な例を作れる.

設定 2/3: パラメーター α

^と τ ^変数

パラメーター α^∨_i ⁽i ∈ I)は互いに可換.

量子 τ ^変数τi := exp(∂/∂α^∨_i ) (差分作用素), τiα^∨_jτ⁻¹_i = α^∨_j +δi j, τiτj = τjτi.

これらへのWeyl群の自然な作用 (α^∨_i = simple coroot):

s˜_i(α^∨_j) = α^∨_i − a_jiα^∨_i ,

˜

s_i(τi) = τ⁻_i ¹∏

k,i

τ^−a_k ^ki, ˜s_i(τj) = τj (i , j).

A := A ⊗e C(q)[q^±α

∨ i

i , τi | i ∈ I].

設定 3/3: Weyl 群双有理作用の量子化

A = ⟨ f

, q

∨ i

i

, τ

| i ∈ I ⟩

. A

^Ore

^.

A

Q( A )

Weyl

: s

(x) : =  

 f

∨ i

i

s ˜

(x) f

∨ i

i

( f

, 0) ,

˜ s

(x) ( f

= 0) .

well-defined

前論文

[K] math/0808.2604

.

量子 Weyl 群双有理作用の具体形

s_i(f_j) =

−ai j

∑

ν=0

q^{(ν+ai j)(α}

∨ i−ν) i

[α^∨_i ν

]

qi

(ad_q f_i)^ν(f_j)f^−ν

i (i , j)

= q^{ai jα}

∨ i

i f_j + q^{(1+ai j)(α}

∨ i−1)

i [α^∨_i ]_qi[f_i, f_j]_q^{ai j}

i

f⁻¹

i +· · · s_i(τi) = f_iτ⁻_i ¹∏

k,i

τ^−a_k ^ki, s_i(α^∨_j) = α^∨_j − a_jiα^∨_i ,

s_i(f_i) = f_i, s_i(τj) = τj (i , j), [x]_q = q^x − q^−x

q − q⁻¹ , [x

k ]

q

= [x]_q[x−1]_q· · ·[x− k+1]_q [k]_q[k −1]_q · · ·[1]_q .

fractional calculus との関係

一般に q , 1 であっても, A₂ 型の f₁, f₂ について f^α

1 f^α+β

2 f^β

1 = f^β

2 f^α+β

1 f^α

2

が成立している(Verma関係式).

q = 1, f₁ = ∂ = d/dx, f₂ = xと特殊化すると

∂^αx^α+β∂^β = x^β∂^α+βx^α.

非整数回微分の一般化をWeyl群双有理作用の量子化 の枠組みは含んでいる.

設定 ( 再掲 )

[a_{i j}]_i,j∈I — 対称化可能GCM.

W = ⟨s_i | i ∈ I⟩^{— Weyl群}

f_i — f ^変数,U_q(n₋) ^のChevalley生成元の像. α^∨_i ^— パラメーター変数, simple corootsに対応.

τi = exp(∂/∂α^∨_i ) — 量子 τ ^変数.

s˜_i — α^∨_i ^と τi のみを動かす自然なWeyl群作用 Weyl群双有理作用の量子化:

s_i(x) = f^α

∨ i

i ˜s_i(x)f^−α

∨ i

i .

量子 τ ^{函数の定義}

量子τ^函数 = ^{Weyl群作用(量子}τ^{変数の単項式)}. W := ⟨s_i | i ∈ I⟩^, Weyl group.

P := ⊕

i∈IZΛi, weight lattice.

P₊ := ⊕

i∈IZ≧0Λi = {dominant integral weights}^. τ^ν := ∏

i∈Iτ^ν_i^{i (}ν = ∑

i∈IνiΛi).

W P₊ = {w(µ) | w ∈ W, µ ∈ P₊}, Tits cone.

w(µ) ∈ W P₊ ^{に対して量子} τ ^函数 τw(µ) を τw(µ) = w(τ^µ)

によって定める. τw(µ) はw(µ) ^{のみによる}.

定義からただちにわかること

以下

w ∈ W , µ ∈ P

. f

, q

∨ i

i たちのある非可換有理式

ϕ

, τ

= ϕ

τ

^.

この

ϕ

[NY]

math.QA/0012028 で

τ ^-cocycle

.

しかし

,

ϕ

τ

,

ϕ

cocycle condition

.

非自明なこと : τ ^{函数の正則性}

野海・山田

[NY]

「

τ ^-cocycle

f

(

τ

⁾

.

ゆえに, 量子

τ

,

.

, q = 1

Kac-Moody

translation fucntor

τ

論理的な包含関係

T^λ

λ+µ(M(w◦ µ))

= M(w ◦(λ+µ)) for all λ ∈ P₊

⇒ ^量子 τw(µ) の正則性

⇓

ソリトンの佐藤理論 ⇓⇓ ^古典極限

⇓ ⇓

Jacobi-Trudi型公式 ⇒ ^古典 τw(µ) の正則性

⇓⇓ ^特殊化

⇓

Painlev ´e方程式の多項式解 YV, 岡本,梅村, . . .

量子 τ ^{函数の自明な計算例}

i, jのとき τ_Λj = τj,

τsj(Λj) = s_j(τj)= f^α

∨ j

j τ^sj(Λj)f^−α

∨ j

j = f^α

∨ j

j f^−(α

∨

j−1)

j τ^sj(Λj) = f_jτ^sj(Λj), τsisj(Λj) = s_is_j(τj)= f^α

∨ i

i f_jτ^sisj(Λj)f^−α

∨ i

i = f^α

∨ i

i f_jf^−α

∨ i−ai j

i τ^sjsi(Λi)

= ( q^{ai jα}

∨ i

i f_jf^{−ai j}

i +q^{(1+ai j)(α}

∨

i−1)

i [α^∨_i ]_qi[f_i, f_j]_qai j i

f^{−ai j−1}

i +· · ·)

τ^sjsi(Λi). たとえば a_{i j} = −1,d_i =1のとき

τsisj(Λj) = s_is_j(τj) = (

q^−α∨i f_jf_i+[α^∨_j]q[f_i, f_j]q⁻¹

)τ^sjsi(Λi)

= (

[1−α^∨_i]qf_jf_i +[α^∨_i ]qf_if_j)

τ^sjsi(Λi). ここまでは量子τ函数の正則性は自明.

量子 τ ^{函数の非自明な計算例}

q = 1, A₃型:[f₁, f₂] =[f₂, f₃] = 1,[f₁, f₃]= 0.

w_ν := s_iν· · ·s_i2s_i1, (i₁,i₂, . . . ,i₆) := (1,2,3,1,2,1).

βν :=w⁻¹

ν−1(α^∨_i

ν)= s_i1· · ·s_iν−1(α^∨_i

ν).

β1 =α^∨₁,β2 =α^∨₁ +α^∨₂,β3 =α^∨₁ +α^∨₂ +α^∨₃,β4 =α^∨₂,β5 =α^∨₂ +α^∨₃,β6 =α^∨₃,

τw_ν(Λ1) = w˜_ν(X_ν)τ^wν(Λ1) を満たすX_νは以下のように計算される:

X1 = f^−β1

1 f^β1+1

1 = f1, X2 = f^−β2

2 X1f^β2+1

2 =(

f1+ ^β_f²

2

)f2 = f1f2+β2, X3 = f^−β3

3 X2f^β3+1

3 =(

f1

(f2+ ^β_f³

3

)+β2

)f3 = f1f2f3+β3f1+β2f3, X4 = f^−β4

1 X3f^β4

1 = f1

(f2− ^β_f1⁴)

f3+β3f1+β2f3 = f1f2f3+β3f1+(β2−β4)f3, X5 = f^−β5

2 X4f^β5

2 =(

f1+ ^β_f2⁵) f2

(f3−^β_f⁵₂) +β3

(f1+ ^β_f⁵₂)

+(β2−β4)(

f3− ^β_f⁵₂)

= f1f2f3+(β3−β5)f1+(β2−β4+β5)f3+(−β| {z }2+β4−β5+β3 キャンセルして消える

)^β_f⁵

2, X6 = f1f2f3+β6f1+(β3−β6)f3.

一般の量子 τ ^函数

量子 τ 函数の定義から次の表示がすぐに導かれる: τw(µ) = w(˜ A⁻¹B)τ^w(µ).

ただし, 簡約表示w = s_iN · · ·s_i2s_i1 に対して A = f^β1

i1 · · · f^βN

iN , B = f^{β1+⟨β1,µ⟩}

i1 · · · f^{βN+⟨βN,µ⟩}

iN ,

βν = s_i1 · · · s_iν−1(α^∨_i

ν) ∈ ⊕

i∈I

Z≧0α^∨_i .

量子 τw(µ) の正則性 ⇐⇒ A⁻¹B が f_i に関する多項式.

A , B ^の正体 (1)

以下 Ae = U_q(n₋) ^(または Ae = U(n₋)) と仮定する.

⟨α^∨_i , ρ⟩ = 1(i ∈ I), λ = ∑

λiΛi ∈ P₊ とする.

α^∨_i ^にλi +1 ^{を代入する操作を} X 7→ X_λ と書く.

f_i たちの積の順序の反転を X 7→ X^′ と書く. すると A^′

λ = F^λ

w◦λ, B^′

λ = F^λ+µ

w◦(λ+µ). ここで w ◦ λ = w(λ +ρ) −ρ (shifted action),

F^λ

w◦λ = f^⟨α

∨

iN,si1···s_iN−1◦λ⟩+1

iN · · · f^⟨α

∨

i1,si1◦λ⟩+1 i2

f^⟨α

∨ i1,λ⟩+1

i1 .

τw(µ) の正則性 ⇐⇒ F^λ+µ

w◦(λ+µ) ∈ U(n₋)F^λ

w◦λ (∀λ ∈ P₊).

A , B ^の正体 (2)

(∗⁾ F^λ+µ

w◦(λ+µ) ∈ U(n₋)F^λ

w◦λ を示したい.

Verma module を M(λ) = U_q(n₋)v_λ と書く. このとき F^λ

w◦λv_λ = f^⟨α

∨

iN,si1···s_iN−1◦λ⟩+1

iN · · · f^⟨α

∨

i1,si1◦λ⟩+1 i2

f^⟨α

∨ i1,λ⟩+1 i1

v_λ

は M(λ)の weightw ◦ λ ^のsingular vector になる:

M(w ◦ λ) = U(n₋)F^λ

w◦λv_λ.

もしも M(w◦λ) ⊂ M(λ) とM(w◦(λ+µ)) ⊂ M(λ+µ) を関係付けることができれば (∗^{)を示せるだろう。}

translation functor

q = 1 ^と仮定.

µ に対応する可積分表現を L(µ) = U(n₋)u_µ ^と書く.

Kac-Moody 代数の表現としての直和分解

M ⊗ L(µ) = ⊕

ν

pr_ν(M ⊗ L(µ)), M ∈ ObOλ

を用いて,T^λ

λ+µ(M) ∈ ObOλ+µ を次のように定める:

T^λ

λ+µ(M) = pr_λ+µ(M ⊗ L(µ)) ⊂ M ⊗ L(µ). このようにして translation functor T^λ

λ+µ が定められる.

このとき,次が成立している:

T^λ

λ+µ(M(w ◦ λ)) = M(w ◦ (λ +µ))

量子 τ ^{函数の正則性の証明法}

同一視 v_w◦(λ+µ) = F^λ+µ

w◦(λ+µ)v_λ+µ,v_λ+µ = v_λ ⊗u_µ によって M(w ◦(λ+µ)) ⊂ M(λ +µ) ⊂ M(λ) ⊗ L(µ).

M(w ◦ λ)⊗ L(µ) ⊃ T^λ

λ+µ(M(w ◦ λ)) = M(w ◦ (λ +µ)) より F^λ+µ

w◦(λ+µ)(v_λ ⊗u_µ) ∈ M(w ◦ λ) ⊗ L(µ). そして F^λ+µ

w◦(λ+µ)(v_λ ⊗u_µ) = (F^λ+µ

w◦(λ+µ)v_λ) ⊗u_µ +· · · . ゆえに F^λ+µ

w◦(λ+µ)v_λ ∈ M(w ◦λ) = U(n₋)F^λ

w◦λv_λ.

これで q = 1 での量子τ 函数の正則性が証明された.

q ^{差分版の量子} τ ^{函数の正則性}

q はgeneric と仮定したので, U_q(g) ^のVerma moduleの構造は q = 1 の場合と同じ.

よって q 差分版の量子 τ^{函数の正則性は} U_q(g) ^の表現のtranslation functor の存在と 公式 T^λ

λ+µ(M(w ◦ λ)) = M(w◦ (λ +µ)) ^{に帰着される.}

少なくとも有限型ではOK(Josephの本(1995)).

問題 : Jacobi-Trudi 型公式の量子化 ?

古典の場合はソリトンの佐藤理論の枠組みを用いて古 典 τ函数が「行列式表示」を持つことを用いてその正 則性(多項式性)が証明される.

その証明の副産物として古典 τ 函数の「Jacobi-Trudi 型公式」が得られる.

量子の場合は完全に異なる方法で量子 τ^{函数の正則性} が証明されたので,副産物として「Jacobi-Trudi型公 式」は得られない.

問題: τ ^函数のJacobi-Trudi型公式の量子化?

論理的な包含関係 ( 再掲 )

T^λ

λ+µ(M(w◦ µ))

= M(w ◦(λ+µ)) for all λ ∈ P₊

⇒ ^量子 τw(µ) の正則性

⇓

ソリトンの佐藤理論 ⇓⇓ ^古典極限

⇓ ⇓

Jacobi-Trudi型公式 ⇒ ^古典 τw(µ) の正則性

⇓⇓ ^特殊化

⇓

Painlev ´e方程式の多項式解 YV, 岡本,梅村, . . .

量子 q -Hirota-Miwa 方程式 (1)

GCMは A⁽¹⁾

n−1 型であるとする(n≧ 3).

f_i+n = f_i, f²

i f_i±1−(q+ q⁻¹)f_if_i±1f_i+ f_i±1f²

i = 0.

α^∨_i+n= α^∨_i , δ^∨ := ∑n−1

i=0 α^∨_i , τi+n =τi.

We = ⟨si, π | i ∈ I⟩, π(xi) = xi+1 (x = f, α^∨, τ), Ti := si−1· · ·s₁πsn−1si (i = 1, . . . ,n), TiTj =TjTi. T^ν = ∏

iT^νi

i , ν = ∑

iνiεi ∈ L :=⊕

iZεi. α^∨_i (ν) := T^ν(α^∨_i ) = α^∨_i +(νi+1 −νi)δ^∨.

τi(ν) := τT^ν(Λi) = T^ν(τi)は量子q-Hirota-Miwa方程式を満たす:

[α^∨_i+1(ν)]_qτi(ν+εi)τi(ν+εi+1 +εi+2) +[α^∨_i (ν)]qτi(ν+εi+2)τi(ν+εi+εi+1)

=[α^∨_i (ν)+α^∨_i+1(ν)]_qτi(ν+εi+1)τi(ν+εi +εi+2) 注意:勝手に積の順番を入れ替えてはいけない!

量子 q -Hirota-Miwa 方程式 (2)

量子Hirota-Miwa方程式は次の両辺にT^νを作用させた結果:

[α^∨_i+1]_qτis_is_i+1(τi+1)+[α^∨_i ]_qs_i+1s_i(τi)τi+1 = [α^∨_i +α^∨_i+1]_qs_i(τi)s_i+1(τi+1) この公式の証明はWeyl群作用の定義を使った簡単な計算.

s_i(τi) = f_iτi−1τi+1

τi

, s_i+1(τi+1) = f_i+1τiτi+2

τi+1

, s_is_i+1(τi+1) = (

[1−α^∨_i]_qf_i+1f_i+[α^∨_i]_qf_if_i+1)τi−1τi+2

τi

, si+1si(τi) = (

[1−α^∨_i+1]qfifi+1 +[α^∨_i+1]qfi+1fi

) τi−1τi+2

τi+1

. 計算の途中でτiα^∨_i = (α^∨_i +1)τi を使う.

τi s_is_i+1(τi+1) =(−[α^∨_i ]qf_i+1f_i +[α^∨_i +1]qf_if_i+1)τi−1τi+2, si+1si(τi)τi+1 = ([1−α^∨_i+1]qfifi+1+[α^∨_i+1]qfi+1fi)τi−1τi+2.

最後に

懸案だったτ函数の量子化ができたことによって, 野海正俊著『パンルヴェ方程式 対称性からの入門』の 結果の量子化が相当にできた感じになっている.

しかしJacobi-Trudi型明示公式の量子化はまだ.

量子群を用いてq差分版量子化もかなりできている. 長谷川浩司,math/0703036. q差分版Weyl群双有理作用の

量子dilogを用いた量子化. 問題: この場合の量子τ函数?

量子Weyl群双有理作用の理論は非整数ベキ f^α

∨ i

i を使うの

でfractional calculus (middle convolution)と関係している. 今月の始めに聞いた名古屋創氏の最近の仕事.

量子Painlev ´e方程式II〜VIへのfractional calculusの応用.

問題: 共形場理論における量子τ函数?