電磁波の古典論
Maxwell
の方程式は
ここで磁界ＢＢおよび電界ＥＢＢ ＥＥＥをベクトルポテンシャルＡで表せば、
である。
(5)式を(2)式に代入すれば、
ここで、ベクトル解析の公式より
ここで
と置くことができることから
(8)
式はとなる。(9)式を(7)式に代入して、
を得る。(10)式は波動方程式であり、光速cは
と表されることから
(10)
式はとなる。
波動方程式
の解は
と表すことができる。
ここでｅｅはＡｅｅ Ａに平行な単位ベクトルであり、ＡＡ
q(t)
はである。
一般的には
である。
13.2 光子
電磁場のエネルギー密度
ここで前節で述べたように、磁束密度および電界はベクトルポテンシャルＡＡを用いて次のようにＡＡ あらわすことができる。
ベクトルポテンシャルＡＡは前節より、ＡＡ
これを用いてＢＢおよびＥＢＢ ＥＥＥを計算する。
エネルギー密度を上式を用いて表せば、
ハミルトニアンは電磁場のエネルギー密度を全空間に和たり積分することにより求められる。
積分でゼロにならないのは指数がゼロの項のみである。
即ち、
ところが k= -k
のときe
k1=e
k’1, e
k2=e
k’2と選んでおくと、
ここで、
であるから、
よって、いずれの場合にも、
となる。
したがって、ｋとｋ についての二重和はｋ＝ｋ に関する和だけになり、
ここで、
（１３）式を時間で微分して、
二乗して、
（１３）式を２乗して、
ω2をかけて、
(14)式と(15)式を加えると、
よって次式が導かれる。
前述したように電磁場のハミルトニアンは次式で表されるから、
これに上式を代入して
電磁場のハミルトニアンは最終的に次式で表される。
この式を調和振動子のエネルギー
と比較すれば、電電電電磁磁磁磁場場場場はははは 無無限無無限個限限個個 の個の一のの一一一次次 元次次元調元元調和調調和和 振和振動振振動子動動子の子子の 集のの集集集ままままりり とりりととと同同等同同等等等であることがわ かる。
（（（（
JJJJe e e ea an a a nsss n n s
のののの定定定定理理理理））））このように考えて、電磁場を調和振動子の集まりとみなすことにする。
Ｑｋｋｋｋ ｒはその一般化された座標であるフォノンのときと異なり、ｋの大きさに上限はないので、
Ｑｋｋｋｋ ｒは無限個あるから、電磁場の自由度は無限大である。
量子論へ移るには、エエネエエネネネルルルルギギーギギーＨーーＨＨＨを、座座標座座標標標とそそそそれれにれれに共にに共共共約約な約約な運なな運運運動動量動動量量量であらわさなければならない。
Ｑｋｋｋｋ ｒに共約な一般化された運動量は
である。
をハミルトニアンに代入し、座標Ｑｋｋｋｋ ｒと運動量Ｐｋｋｋｋｒで表せば次のようになる。
ここで量子論に移るためには、
という置き換えをする。
量子論的ハミルトニアンは、
このハミルトニアンの固有関数は
と の積で与えられ、エネルギー固有値は
で与えられる。添字
[n]
はnkr
の組を代表して一つの文字で表したものである。ここで困るのは右 辺の ( ) の内の1/2である。振動子は無限にあるから は発散する。 しかし、これは に 対する単なる付加定数であるし、後に(12)
式を出すときにみるような方法で消去することもでき るので、以下では省略する。そうすると、
一次元調和振動子において、生成、消滅演算子ａ*、ａは振動量子数を、１だけ増したり減らした りする作用をもつものである。
ここでは ｍ⇒ε x⇒Qkγ
p
x⇒P
kγ の置き換えを行えば、を得る。ここで、
の関係を用いて
a
*,a
を書き直すことを試みる。同様に
従って生成、消滅演算子は次のように表すことができる。
以上のように電磁場は光子の集まりであると考える立場をとるならば、全ての（ｋｋ，γ）に対すｋｋ るｎｋｋｋｋ ，γを並べた、
によって電磁場の状態を指定することができる。
が得られる。その他
Bose
粒子に関する生成消滅演算子の交換関係が満足される。従って、光子はBose粒子である。
A, E とB B B B
これらは物理量であるから、量子論では当然演算子となる。これらをakγ
, a
kγ*
で表す。を次式を用いて書き換えれば
最終的なA, E と
