地殻変動連続観測所の最適配置の決定

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550．34．044

地殻変動連続観測所の最適配置の決定

窪田道典＊

国立防災科学技術セソター

The Optimum A11ocation of Contimous Cmsta1 Deformation Observatories

By

二Mlichinori K11bota

Wαガo〃α1肋蜘κ乃Cθ〃2κ〃〃∫α3伽P閉8〃〃o〃，∫ψ〃

Abstract

The optimum allocation of observatories for continuous crustal deformation measurement is determined by means of zero−one integer programming．The objective function in this problem is the number of earthquakes detected by at least one observatory，and the constraint is the number of the observatories．The optimum allocation is obtained by maximizing the objecti▽e function subject to this constraint．This method is applied to Japan islands．

1．序論

地震のような，いつ襲ってくるか分からないものに挑戦しようとする，地震予知という研究分野においては，地震に対する戦略を考えることは必須である．つまり，予知・予測に関する分野では，最小の努力で最大の効果を上げるためには，どのように行動するのがよいかを定量的に決定するよう，常に考慮に入れていなげればならない．言い換えれぱ，戦略それ

白身が予知研究そのものである．

種々の戦略の中でも，計測セソサー配置の問題は最も基本的なものの一つである．つまり，限られた予算によって制限を受けた，限られた数のセソサーをどのように配置すれぼ最も効果が上がるか，その配置を決定することは基本的に重要なことである．この報告では，

地震予知におげる基本的戦略である，地殻変動連続観測所の最適配置の決定について論じ

る．

Shimazaki（1972）は，地殻変動連続観測所を新たに一個所設置する場合について，どこに置くのがよいかを論じている．しかし，複数個を同時に設置する場合については何も論じていない．ここでは，一般的に複数個の地殻変動連続観測所を，同時に設置する場合の最適

＊元第2研究部

一47一

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国立防災科学技術セソター研究報告第23号 1980年3月

配置について論じ，結果を日本列島に対して応用する．

広くこのような問題の解決のための考え方・手段を与えるものに，オペレーショソズ・リサーチ（作戦研究）がある．ここでは，オペレーショソズ・リサーチの手法を用いて，最適配置間題を解くことを考える．オペレーショソズ・リサーチの手法の一般的な手順は，次のようなものである．まず解こうとする現実問題を簡略化・モデル化し，数学的な定式化が可能な形にする．それから，最適化を行ない，解を求めるのである．

ここでは，オペレーショソズ・リサーチの手法の一つである数理計画法を用いて，最適化問題を解くことを考えるので，以下簡単に，数理計画法において，広く用いられている用語

の説明を与えておく．

決定変数：意思決定者（計画立案老）が，決定できる変数，あるいは制御できる変数を意

味する．

目的関数：決定変数と最適化規準（すなわち間題の目的）との関係を与える関数のことである．この関数を定式化するときに，簡略化，モデル化の考えが利用される．

制約条件：決定変数が，取り得る値を制限する数式のことである．一般に等式，あるいは

不等式によって表わされる．

これらの用語を使えぼ，最適化問題を解くことは，次のように表現できる．すなわち，制約条件の下で，目的関数の値を問題に応じて最大，あるいは最小にする決定変数の値を見つけることである．

2．最適配置問題の数学的定式化

定量的な調論をするためには，まず，何をもって最適とするかという最適化規準を，はっきり定める必要がある．ここでは，最適化規準を，少なくとも1個所の地殻変動連続観測所によって検知される地震の個数が，最大であることと定める．ただし，同じ地震は1r旦1しか数えない．このような最適化規準に従い，地殻変動連続観測所の最適配置を決定する問題

を，数理計画法によって定式化する．

最適化問題は，一般的に，次のように定式化される．

不等式制約条件，

9。（ 1……∬仰）く0づ＝1……舳（1）

及び等式制約条件．

んゴ（∬1…… 刑）＝Oノ＝1・…・・S （2）

を満たし，目的関数，

Z（ 1・・一椛）

を最大または最小にする（ 01，……， 0η）を見つけること．

ここで，此（后＝1，・・…・〃）は決定定数，〃は決定変数の数，州よ不等式制約条件の数，Sは

一48一

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等式制約条件の数である．g｛，勾，Zのうち一つでも非線型ならば，非線型計画法と言われ，

全てが線型ならぱ，線型計画法と言われる．決定定数伽（后＝1，・…・・，〃）が，整数値のみを

取るとき整数計画法，整数のうち，0と1の値のみをとるとき，0−1計画法と言われる．

地殻変動連続観測所の最適配置という問題における決定変数，制約条件，目的関数の具体

的意味は，次の通りである．

決定変数を，｛と表わし，これは，づという場所に設置するか，しないかを決める変数

であり，Oと1の値しかとらない． F0のときは設置しないことを意味し． F1のと

き，設置することを意味する．制約条件は，予算つまり地殻変動連続観測所の設置個所の数

である．数式で表わせば，

Σ F工

｛＝1

（3）

と表わせる．ここで工は，これから設置しようとする地殻変動連続観測所の総数であり，〃

は配置しようとする侯補地の総数である．

目的関数を作るには，数理計画法においてセデル化と呼ぱれている手続きが必要である．

まず，検知行列というものを定義する．セソサーを置く場所をノとし，地震の起こる場所をゴとする．検知行列の（づ，プ）成分は次のように定義する．もしづで起こる，あるマグニチュードの地震が，ノという場所のある検知限界をもったセソサーによって検知できるならぱ，（ゴ，プ）成分は1，もし検知できないならば，0とする．検知行列の行は，地震の起こる場所を示L，列はセンサーを置く場所を示す．このような検知行列を，ゴという行について見る時，その行の1の総数は，｛という場所で起こる地震を検知する場所が何個所あるかを示している．今，づという場所で起こる地震が，吻個所で検知されるとし，σを適当な

置換として，σ（1），σ（2）一・・σ（吻）という場所で検知されるとする．われわれの最適化規

準は，少なくとも1個所のセソサーで検地される地震の個数を最大にすることである．しか

も，その時同じ地震は1回しか数えない．従って，われわれの求めたい目的関数の一つの項

（第6項に対応）は，次の性質をもっていなければならない．すなわち，目的関数の第ゴ項を力とすると．

力（ 1，・，…… 椛）＝力（。（・），血（・），…… 。（帆包））

一パニニニ㍍㌃1のとき）（・）

となる関数であることが必要である．

このようた関数は，の補数を使うと，陽な形で表現することができる．の補数を元と

表わし，次のような性質をもつ．

＝1のとき，ヵ＝O，＝0のとき，ヵ＝1，つまり

勿＝1一

一49一

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国立防災科学技術セソター研究報告第23号

1980年3月

である．

この元を用いると，力は

力（。（1），。（・），……、（吻））＝1

一カσ（1）・元……元。（吻）（5）

と表わせる．

証明）少たくとも一つの。（ゴ）が1のとき，勿田（ゴ）は0となるから，右辺は 1となり，左辺＝1であるから正し

い．

全ての、（ゴ）がOのとき，勿。（ゴ）は

全て1となるから，右辺は0とた

り，このとき左辺もOであるから正しい．

従ってどのような場合でも左辺＝

右辺．（証明終り）

づという地震の起こる場所の重みを吻とする．例えぱ，ψは1年問に起こる，あるマ

グニチュードの範囲の地震の総数などであ

る．このα。と力（ゴ）を使えぼ，目的関数z

（ 3）は次のように表わされる．

表1

Tab1e1

表 1

E／S 1 2 3 4 5

Z（ゴ）＝Σ：α沽（巧）

簡単な例の場合の検知行列地震生起場所とセソサー配置場所の数はそれぞれ5個所．行は地震生起

場所，列はセソサー配置場所を示

す．もし，づという場所に生起Lた地震が，ノという場所におかれたセ

ソサーによって検知されるならぼ，

行列の（ケ，ノ）成分は1，検知されなけれぼOである．

Detection matrix for a simple examp1e．Both the numbe or the earthquake occurring Places and that of the a1location places for sensors are fiマe．The columns represent the earthquake occurr−

ing Places，and the rows repres・

ent the allocation places for sens−

ors．If the earthquakes occurri ng inゴp1ace can be detected by the Sensor set in／P1aCe，（づ，ノ）elem・

ent of the matrix is one，other−

WiSe Zer0．

2 1 0 1 0 0

3 0 1 0 1 0

（6）

ここで，刎は地震生起場所の総数である．このZ（ゴ）＝Z（ 1，・，一

を，制約条件の下で最大にする（ 01， O・，・・， O刎）を求めるならぱ，

える．

仰）

それが最適配置を与

3．簡単な例

変数の少ない簡単な例を使って具体的に説明する．

いま，検知行列Dは表1のように与えられているとする．行は地震発生場所を示し，列はセソサー配置場所を示す．上記の理論によって，各力を求める，

カ（ 1）＝1イ。・カ。（7α）

力（ 1）：1一勿。・勿。・元、，（71）

力（ 1）＝1一勿。・カ。，（7。）

一50一

(5)

五（ 1）＝1イ。・カ。，（7也）

ム（ 1）＝1一勿。・カ。（71）

と表わされる．重みを，α1＝1，α・＝2，α・＝3，

α4＝4，α1＝5とすると，目的関数Zは，

表2簡単な例の場の全組み合わせとその

時の目的関数の値．（元1，島，カ3，気，

島＝1，1，1，0，0）及び，（軌，島，元3，

瓦，元5＝（1，1，O，1，O）の時，目的関

数は最大である．

Tab1e2 A11the combinations and the va・

8

Z＝Σ砧 1・…fth・・bj・・ti・・fm・ti・・f・・

包＝工 the simple example．The allocか ti…（勿1，元。，勿。，軌，勿。）＝（1，1，1，O，O）

＝（1i榊十2（1一卵・．元・） a。岬，勿、，勿帥勿、，元、）一（・，・ρ，1，・）

十3（1一元2・勿5）十4（1一勿3・ヵ4） give the maximum value to the

objective function．

十5（1一カ。・勿。）（8）

表 2

となる．

工 2 昌 4Z5Z 制約条件は，セソサーの設置総数を，2個 1 1 1 0 0 14

とすると 1 1 0 1 0 14

1 0 ユ 1 0 11

・十・十。十・十・＝2 （91） 0 。。。 0 1。

すなわち． 1 1 0 0 1 11

1 0 1 0 ユ 13

元1＋π。十元。十勿。十勿。＝3 （9・）

0 1 1 0 1 11

この制約条件の下で，目的関数Zを最大にす 1 0 0 1 1 10 る（カ、，￠、，勿、，カ、，元、を）求めれぱよい． 0 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 9

（9日）を満たす全ての瓦の組み合わせは，。C2

＝10通りある．各組合わせに対して，目的関数Zを求めた結果を表2に示す．

従って，最大のZを与える組合わせは，

（カ。，π。，元。，元。，勿。）＝（1，1，1，0，0）

すなわち（ 1， 2， 3， 4， 5＝（0，0，O，1，1）

及び

（カ1，カ。，カ。，孔，カ。）＝（1，1，0，1，O）

すなわち（ユ， 2， 3， 4， 5）：（0，0，1，O，1）

となる．

従って，3区と5区，あるいは4区と5区にセソサーを置くのが最適である．

4．日本列島への応用

上記の理論を，目本列島における地殻変動連続観測所の最適配置問題に応用してみる．余り繁雑になるのを避げるためと，最初は大まかな知識を得るのが良いという考えから，日本列島全体を，2o×2oメッシュで区分けした．地殻変動連続観測所の設置侯補場所のメッシュ総数は23個，地震生起場所のメッシユ総数は35個とし（図1），各メッシュに番号付けをした．1区から23区までは，セソサーを置く侯補地名と地震の起こる場所名とは共通であ少，

一51一

(6)

46o

44o

4プ

40o

38o

36o

34o

32。

30。

12801300 1320 1340 1360 1380 1400 1420 1440 146o

901．

4o

1 ●o

4 24

o

●●◎

o

6 ◎O

θ

2526

●

o ◎◎

7 8 2728

o

_● ●

10

1 2930 O◎

○

o

^○

o

^○ _o ◎

113 ¹ ¹ ¹⁷ ³¹

○

ooユ多。、 ^o ^o

^◎ ^O ^◎

20 21 ^．22 32 33 34

284・・ ●◎

図1

Fig．1

日本列島を2ox2oメッシュに区切った図．数字はメッシュの番号を示す．1〜23区は地震生起場所及び地殻変動連続観測所配置場所であ

り，24〜35区は地震生起場所である．

2o×2o mesh map of the Japanese islands．The numerals in the

map show the mesh numbers．The numbers1〜23show the

earthquake occuring Place and also the allocation p1aces for the continuous crustal deformation observatories．The numbers24〜

35show only the earthquake occurring places．

24区から35区までは，地震の起こる場所である．図1には番号と地図上の位置の対応関係も示してある．

本来ならぼ，各メッシュ毎にサイスミシティの予測を行なわなけれぱならないけれども，

その問題は，また一つの大きな問題であるから，敢えて考えないことにする．ここでは，単純に一，過去に起こった地震の傾向が，将来にも引き続いて現われると考えて，計算を進めた．別の言い方をするたらば，過去のある時点に観測所を設置する場合，どのような配置が最適であったかを計算するということである．ここではマグニチュードが7の地震に対して計算を行なった．従って，計算結果は，マグニチュードが7の地域に対する最適配置である．地震のデータは，気象庁のカタログ（気象庁，1958；1966；1968）から取った．使った

一52一

(7)

地震のマグニチュードの範囲は，6．6から 7．5，深さは，60km以浅，期問は，1926年

から1967年までとした．これらを全てマグニチュード7の地震と仮定し，各メッシュの中央の場所（奇数緯度，奇数経度）で起こると

した．各メッシュ毎に上記の条件を満足する地震の数を数え上げて，それを各地震生起場所に対する重み，とした．実際の計算においては，重み砺の値は整数とするために1OO倍

している．各α也の値は，表3に示す通りで

ある．

マグニチュードが7に対応する断層モデルのバラメータとして小向・石井（1978）の Tab1e1に出ている値を採用した．震央は，

断層の中心を通る鉛直上にあるとし，断層の走向は，全て南北方向でdip ang1eが45。の dip−s1ip型とした．このような断層によって

表3

Tab1e3

表 3

づ

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

α｛

0 0 100 500 250 50 300 75 250 200

日本列島への応用の場合の地震生起

場所に対する重み吻の値．マグニ

チュード6．6〜7．5の地震に対する値．番号は図1を参照のこと．

Weights伽of the earthquake

occurring Places in the apP1icat−

ion to the Japanese islands．These values correspond to the earth quakes of NIagnitudes 6．6〜7．5・

Refer to Fig．1for the numbers in this table．

ク 11

ユ2

13 14 15 16 17 18 19 20

伽

1425 0 0 300 150 100 500 0 0 200

づ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

α｛

500 100 200 100 1100 300 875 150 725 50

左 31 32 33 34 35

α｛

O O O 0 100

生じる歪及び傾斜を計算するのには，Mansinha and Smy1ie（1971）の式及び山崎（1975）

の式を用いた．それぞれのセソサー設置場所と地震生起場所との相対的位置関係に応じて，

セソサー設置場所に生ずる歪と傾斜を計算する．そのうち一つの成分でも，大きさが1×

10−8（セソサーの検知限界）を超える場合には，検知可能であるとして検知行列を作った．

表4はこの検知行列を示す．行は地震生起場所，列はセソサー配置場所を示す．

検知行列が求まれば，上記理論に従って，目的関数は直ちに定式化される．その結果は次のようになる，

Z＝850（1一あ。・元。・勿。）十1450（1一元。）

十1250（1一元。・元。）十250（1イ。・勿。。）

十200（1一勿。・勿。。・5。。）

十1425（1イ。。・￠u）

十300（1一カ1。・勿1。・勿1。）

十150（1一勿1。・勿1。・勿ユ。）

十100（1一勿1。・勿ユ。・勿1。）

十500（1一勿1。・元ユ。）

十200（1イ。。・勿。。・カ。1）

十500（1イ。。・勿。。・元。。）

一53一

(8)

表4

Table4

＼、〕 3

／ 1 0 2 1 0 3 0 1 4 0 1 5 0．．．．1．

O 0 7 0 0 ε O， O．

r ．0． 0、

，o O． Q

■I oI．．o．、

12 0 ，o 13 0 0．

吟 o o 15 0 0 1ξ O O η o o 1冨 o o

lr O O．

コo O O，

21 o 0

2〜 O 0 23 0 0 糾 o o 劣 o o・

2ζ o 0 27 0 0 コ冨 O 0

2『 0 0

30 0 0 31 o o タ o o 幼 o ・o

舛 o 0 35 0 0

日本列島への応用の場合の検知行列．

行は地震生起場所，列は地殻変動連続観涯、u所配置場所を示す．もし，

クという場所に生起した地震が，クという場所に置かれた観測所によ

って検知されるならぱ，行列の（ケ，プ）成分は1，検知されなげれぼ，Oである．

Detection matrix in the application to the Japanese islands・The columns represent the earthquake occurring places，and the rows represent the allocation places for the continuous ctustal deformation observatories．If the earthquake occurring inづ place can be detected by the observatory （set） in／Place，（づ，プ）

element of the matrix is one，otherwise zero．

。。6η・rω・1い・1ド516．ηI8一『2。

o （ n 〔 o o o o

Ot OOOOOO

r r ．C 〇一〇〇、O 0

1 1 0 0 0 0 0 0

1．．「．．．．、．q」 Q．．P．、．．I，q 、一．．、O．．．．．q

o H 1， o o ．．． o ， o ．o

O O （： 1．．1．．O O．．．P

O．（、 0 1．．皿、「、一．．P． ρ一．．P

O． O 1q P ，O＝．．■．コ．一、一j一．．．C O O． O ， O， 0 1 1 1，

O O、．O．O ρ．、．．．O．．1．．1．．

o o o P o o o o

O o O o P ．O．、O o．

o o o o，P．、o．o．．．．、o．

OOOOCOOO

o o o o o o o o

○ い O O P．O O O O 0 0 0 0．．O O O

o o o ．o o 9、．．．一q p

O O ρ ．ρ一〇．．．．O．．、．．．9 ρ．

O O O n一．O O ．O O

．O O．．O O，O O ，C ．O o ．o ．o．q ．o． o、、．o．．．0 1 ．1．、ρ 、世．、O．O．0 ．O O 0 1 ．1）、O ．O．．．．．O ．C O O r， O ρ． O．．O、．、C O l： O r 1， O O ．C O O O O 1 O，O O

O｛lO〔jnO01

0 0 n o o o． o o

o o n o c o o o

o 〔 o o o o 9 ρ、

o o o o o o o o

OOOOO000 0000000U

n．O O n O 〔一〇〇

〇 q． O．O O O O O

O0000（「OO

o o o o o o o o

．．j〕．．．P．．、．．、P．一．．．P、、．．q一．、．．一P．．．．一9． P．

O O ．一〇〇．O．．P．．．O O．

O q．．．．．．Q．、、止、O．．．O．O．．．、．O ．、O．．

o．一．．．o ．．．、q．，．．q一、．．、P o、、．．P、．．o．

．O． O． O、．．O ．．O O．．O ．O．

．．O．、O．．．O ，O ．O、．O． O ．P．．

．ρ1、．．O．．．ρ．．．O．．一ρ．．O．．．q −q．

．r コ．o o ．o．．o．．o、．、Q．

1 r l O． O．O．．．0． P

．、O ．r．．1．．． O．、O ．q．．q．

O0111000

0、．O O l ．r． 1．、ρ P P．、一．、O、．P．．．O ！．．10 0．

p O O O O 0 1 一、1、

．P ．、O O．．O．．．O、一〇一．1 ．1 ．P q ．O．．ρ．、．、一．．q O．ρ 1

0 ．o o o o q o o

．P ，o o o o n o o

．．O．．．、．q ．P．．9 ρ O O ．O，

o．．．．q．、、．q．．．一．．o．9．o o o

． P．．．．o ．o．．．．o ．、．o o． P ．o，

．、q一．．．．．q ．．．O．、、、．O．．．．．．q． q一．O P．

Q P 0 0 0 0 0．．．O

O． 0 0 0 0 0 0I O

OOOOO「・OO

OOnOOnOO

O 0 0 n n r O O O n O． O．O ｛＝ O O

OrlOO0000

00〔）OOOOO

O O n C O O O O

z l 2ユ 25

C O O O O O O O o o ，o． ρ．．

o． o o、．o、、

．．o、． o．．．o．．．一．．q＿＿

．、o．o．．o、．o．I．

O．、 O．、．．．O．＿．9．．＿

o．．．I．P一．．．．．．．o ．、9．．＿

O．．．O、．．O、．．一、q，

o ，o．．．．9 ．q一．一 ρ．、．．9．．P．、．．9．、．．

0 ．q、．．．O．．一．五．．

O ，C． q．．．9．一I q．．q．、．9．．．9．一、

0． O．9 9

0．．．ρ 0 0

，9．o．、o．一q．．

．q．o． q．．．PI．

．ユ．．．．．、o．．，、〇一P．．止

．1 ！．．q．．．．一．9．．．．．

1 ．1一、1 ．．O一．．

0 1 1．．ρ、

O．〇一、．q．．．、1一．、．一

〇．P．．．o．．、P、．

、．q．．．．q、．．．．P」．．．9、．．

o．1．．、1P，o．一．、．し＿

○皿．．o．．o．．．o．一．

o． o， o g o ．o ．一〇〇 0 ．O． O ．O．．．

o ．o o o，

o 0 1 0．

o o o o．

o o o o O O 0 1

一54一

(9)

ユ280 1300 132o ユ340 1360 138o ユ400 ！42o ユ44o ユ46o 46。

44o

42o

40o

38o

36o

34o

32o

30o

U

I_o

4o

1 2

●

3

o

4 5●24● ●

●

■

o

6 2も26

7 8 9 28

_●●．

一

9

10 11

29 30

●

■●●

●

●ユ4

●1 17

● ●31

1

ユ2 ¹³ ¹⁵ ^■1 ^●●^●^●

o

ノ

_■ ^○

18 19

●O

²¹ ²² ³² ³³ ³⁴

／ ■

○

七13

³⁵

図2 目本周辺で発生した地震の震央分布（1926年〜1967年）．ただし，6．6 くK＜7．5，深さ乃く60kmのもの（気象庁のデータによる）．

Fig．2 Epicenters of earthquakes（6．6く〃≦：7．5，乃≦：60km）in and around Japan during1926−1967．（JMA，ユ958．1966．1968）。

十100（1イ。。・元。。）

十200（1一勿。。）

十100（1一勿。・勿。）

十150（1イ。）

十725（1一元11）

十100（1一勿。。）

制約条件は，設置しようとする地殻変動連続観測所の数を，Lとすると，

F23

Σ：ゴ＝L j＝1 勾を使って書き直すと

23 Σ易＝23−L

ゴ＝1

（10）

（11）

（！1 ）

一55一

(10)

国立防災科学技術セソター研究報告

L＝1から工＝7まで，Lを変えた時の最適配置の計算緒果を表5に示す．

ここでは・30ム通りの全ての組み合わせに

対して，目的関数を計算する方法をとった

（陽的全組み合わせ列挙法）．その時，目的関数が最大となる組み合わせを求めることに

よって，最適配置が決定される．

例えぱ・ム＝4すなわち，4個所に配置する時の最適配置は，5区，6区，8区，11 区，あるいは，4区，6区，8区，11区とな

る．大まかな地名で言えぱ，北海道中部または東部，東北北部，東北中東都，東北南西あるいは関東北東部に地殻変動連続観測所を設

置するのが最適である．

議論

この報告では最適化基準として，少なくとも1個所の地殻変動連続観測所に検知される地震の数（同じ地震はただ1回だけ数える）

が最大という基準を採用した．この基準をA

という記号で表わそう．

しかし，別の基準を採用してもよいし，複数の基準を幾つか，組み合わせたものを採用してもかまわない．どのような最適化基準を選ぶかは，意思決定者に大きく依存するもの

である．

第23号

表5

Tab1e5

表 5 L 1 2 3 4 5

7

区名 11

6︐6︐5︐

4，

5︐

4，

5︐

4，

5︐4︐5︐4︐5︐4︐5︐

4，

5︐4︐5︐4︐

1980年3月

日本列島への応用の場合の地殻変動連続測所の最適配置．Lは地殻変動連続観測所の総数．区の番号に対応する地図上の位置は図1に示されて

いる．

The optimum anocations of the continuous crustal deformation observatories in the apPlication to the Japanese islands．1二denotes the number of the continuous crustal deformation observatories．

The p1aces in the map correspon−

ding to the numbers in the table are shown in Fig．1．

11

8︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐6︐9︐

11

8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐8︐

11 11

11，

1L

11，

21 21

16，

15，

14，

15，

14，

13，

21 21

21，

17，

16，

23 23 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

Aという基準の他に，次のような最適化基準が考えられる．

B）少なくとも，同時に，2個所の地殻変動連続観測所で検知される地震の数を最大にす

る．

C）少なくとも，同時に，3個所の地殻変動連続観測所で検知される地震の数を最大にす

る．

D）検知可能面積を最大にする．

E）少なくとも1個所の地殻変動連続観測所で検知される地震の個数が最大で，しかも，

一56一

(11)

そのうち2個所で検知される地震の個数を最大にする．AとBとの組み合わせ．

その他，BとD，CとDとの組み合わせも考えられる．

ここで採用した基準Aは，定式化が容易であり，0−1型変数は各地殻変動連続観測所の設置侯補地に対して，1個で済むという計算上の利点をもっている．日本列島への応用に際しては，決定変数の数は23個であった．検知した異常の信頼性を高めることに重点を置こうとするならば，B一基準，あるいは，C一基準などを採用するのが良いだろう．

もう一つ最適配置の決定に大きく影響を与えるものとして，各地震発生地域に与える重みの問題がある．これは結局，各地域におけるSeiSmiCityの予測という重大かつ困難な問題に帰着する．SeiSmiCityの予測に関しては様々な議論がある．統計学的及び確率論的な方法

（Kagan＆Knopoff，1977），活断層などによる地質学的方法（松田，1976；Anderson，1979），

プレートテフトニクスによる方法（Mo1nar，1979），ウィナーフィルター㌃こよる方法（石川

と宮武，1978）などがある．その中で，ウィナーフィルターを使って，将来のseismicity の予測を行うことは，有望な方法であろう．あるいは種々の方法で予測を行ない，それぞれの予測に一対して最適配置を計算し最終的な配置を決定するというやり方もあるだろう．この報告では，過去にどのように配置するのかが最適であったかを計算せざるを得なかった

しかし，ここで得られた結果でも，大体の傾向は示していると思われる．

実際の計算では日本列島に対して，2。×2りツシュという粗い区分けをしたけれども，もう少し細かく，1。×1。メッシュ程度に区分けする方が良いだろう．その時には，メッシュの総数（すなわち決定変数の数）は約60個になる．ここで使用した計算プログラムでは，一つの組み合わせに対して約1msecの計算時問が必要である（ACOS−600）．仮に，5個所地殻変動連続観測所を設置しようという時には，組み合わせの総数は，

6005z6．5×106 となる．従って計算時問は，

6．5×106×10−3＝6．5×103sec㌶2hr

これは十分計算可能な時問である．しかし，もし10個所設置しようとする時には，組み合わ

せの総数は

60C1oz6×1010，

計算時問は，

6×1010×10−3＝6×107sec z3years

となり，これは事実上不可能なほど，長い時問である．こうような場合，陽的全組み合わせ

列挙法は実際上使えなくなる．

整数計画法は現在発展中の分野であり，このような整数型最適化問題を効率良く解くアルゴリズムも，幾つか考え出されてきているけれども，大規模な間題（変数の数が1000個程度）を解くのはまだ難しい段階である．現在のところ，0−1計画法の問題を解くのに最も効

一57一

(12)

率が良いとされているのは，Imp1icit Enumeration法陰的列挙法と代理制約とを組み合わせた方法であろう（Ba1as，1965；Ba1as，1967；G1over，1965；GeoHrion，1969）．代理制約

というのは，幾つかの制約条件を組み合わせて作った，一つの条件である．適当な正の重みをそれぞれの制約条件に掛けて加えると一つの新しい制約条件が得られる．この中で最も苛酷な（最も満たされにくい）条件を作りあげ，それを新たに制約条件に付け加えてImplicit Enumeration法を適用すれぱ，計算効率が改善されることが，実験的にも分かっている．

この方法を用いれば，変数の数が100程度なら，可能な時問範囲内で計算は終了するだろう．

計算の便宜のためマグニチュード7の地震を対象に計算を行なったが，実用的には，ある規模以上たとえぱマグニチュード7以上の地震を全て対象にすべきであろう．また，余震をも含めた統計になっているので大きな地震の発生した場所にウェイトを置いたことになっている．これらの諸点を考慮した計算は将来の課題である．

謝辞

この問題を勧めて下すった浜田和郎博士，原稿を読んで助言をいただいた藤縄幸雄博士，

及びプログラムの一部を借用させていただきました石田瑞穂博士に感謝致します．

参考文献

1） Anderson J．G．（ユ979）：Estimating the seismicity from geological structure for seismic−

risk studies．B〃〃．∫あ8伽o1．S06．λ榊．，69，135−158．

2） Balas，E．（ユ965）：An additire algorithm for solving1inear programs with zero−one variables，0ヵ〃∫．R鮒，13，517−546．

3） Balas，E．（1967）：Descrete programming by the filter method．0加3．肋∫．，5，915−957．

4） Geoffrion，A．M．（1969）：An improved imp1icit enumeration apProach for integer prog ramming．0伽∫．肋3．，17，437−454．

5） Glover，F．（1965）：A mu1tiphase−dual algorithm for the zero−one ingeter programming problem．0ヵ狐肋5．，6，879−919．

6）石川有三，宮武隆（1978）：ウィルナーフィルターの適用による地殻変動・地震活動データの予測の試み．地震，31，73■86．

7） Kagan，Y．and L．Knopoff（1977）：Earthquake risk Prediction as a stochastic process．P〃∫・

1，α7左乃．jP1α〃θf．1〃チ2れ， 14，97−108．

8）気象庁（1958）：目本付近の主要地震の表（1929〜1959）．地震月報別冊1．

9）気象庁（1966）：日本付近の主要地震の表（1957〜1962）．地震月報別冊2．

10）気象庁（1968）：日本付近の主要地震の表（1963〜1967）．地震月報別冊3．

11）小向洋一郎，石井紘（1978）1東北大学における地震地殻変動の検知能力に一ついて；（n）地殻変動．

地震，31，445−455．

12） Mansinha，L．and Smi1ie，D．E．（1971）：The displacement fields of inclined faults．肋肌

∫2ク3刎o1．∫oc．ノ1〃一．，61． 1433−1440．

13）松田時彦（1976）活断層と地震予知．地震予知研究シソポジウム，194−202．

14） Molnar，P．（1979）：Earthquake recurrence intervals and tectonics．肋〃．∫ぬ刎o1．∫06．

一58一

(13)

14勿花．，69，115−133．

15）Shimazaki，K．（1972）：Where should we set up a new crusta1deformation obserbatory in Japan？＝rθαo〃o力危ツ5北3．，15，255−261．

16）山崎謙介（1975）：傾いた断層による地表での永久歪みと傾斜．地震，第2輯，28，215−217．

（1979年12月20目原稿受理）

一59一

(14)

付録

陽的全組み合わせ列挙法による最適配置決定のFORTRANプログラム，及び検知行列を求めるFORTRANプログラム．

付録1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

3〜

35 34 35 36

3ア

38 39 40 41

4〜

43 45 46 47 48

｛9

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

6Ω

61 62 63

CC CC

600o

100

101 10

300 310

〜oo

11n 1000

5n

50n 6100 9999 2 1 4 3 5

SYSTEMATlC ExHAUSτlVE ENuHl≡R＾1 10N FOR COM｝u1 ＾τ10N Nu 目ER SYSENu 9！18・197g H．k

〔1叶NS10N lX（100）。llX（100，

1．1＝〜3

1ZO＝999999

n0 9999 II31 7

LO＝1I

、・一jR一τE（6 6000） LO FOPMAT（1H1 ！！！5）

1＝N−LO

、」1＝N−1

L1＝L＋1 n0 100 1，1 L lX（1）＝1 一）0 101 18L1 N lX（一）＝O

GC T0 1000 CONTlNUE D0 110 K11 〜1 110＝1X（k）．10川X（㍑1〕

一F（110．N■≡．10） GO T0 110 rX（K） 0

−X（K 1）昌1

II＝（K・Ll≡．2） GO T0 1000 1炸IX（k・1）

一F（1＾．EQ・O， GO T0 1000

〔1k・1

00 200 J＝2 k1

−B＝IX（k■J，

一F（18．1≡O・1） GO T0 200 JA2J・1

00 3CO J151 JA

工IJ＝K■Jり1 1X（JJ）＝O o0 310 J2；1 JA lX（J〜）＝1

〔≡0 T0 1000

CONTlNuE GO T0 1000

〔ONTINuE OO −0 9999 rONTINuE

lZ・：X（4）りX（5）パ850・lX（3）・100川450りX（ω 1250りX（7）川X（8，

りx（9）りX（10） 250・〜OO・1x（11））・14Z5りX（1O）・lX（11，

十1x（14）・！X（15）・（！OO・！X（13）・150りX（16））

÷1X｛16）凸1x（17）凸（100 ！X（15）・．・500）

りX（20）・lX（21）・（〜OO・lX（19） 500・lX（22））

100 lX（〜1川X（22）・300凸1X（23川5川X（8川〜川μ川

一F（iZlGT・1ZO） GO τ0 10

1ZO冒1Z

−Z1＝8550・1ZO o0 500 k＝1 N

I1＝（1X（k）．EO．O） GO τ（j 50 11X（k）：O

GO T0500

一＝x（k）；k C0蜴丁1NuE

〕R17E16・6100）（1Z 1。（いX（K）パ・1．N））

FORH＾T（1トlO 〜015）

GO T0 10

CONT−NUE

STnP END

一60一

(15)

付録2 （1）

1 z 3 4 5 6 7 呂 9

1U 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

〜8

〜9

30 31 32 33 34 35 36

3ア

38 39 40 い 4z43 44 45 4647 48 49 50 51 52 53 54 55 56

rC

5〔Or

510・r

3∩05

6n〇一

6101−r

695 1

10 11 1Z

MrECT1ON1仙THX［lP1P〕 11〃111川

r（川一10）CO〃L〕／rL．Fl．バ1，o〜。1・1）。〕S。〉パ。r．S。〔？。S〜バC・SC2．SC3 rO｝判ON／Cnl■・rTIL／ピ11 ピ1〜 1〜1 と122 l1三1 l132

F−1． Er3SlO㌧ SP（1CO 〜） F（「｛．ジ〜） 1じト（1i、≡二、 1ピO）

1｝1…NSlOF三 1G（1〔O 1 1〔〕！G⊂（10n）

：j正一（5．5000）］パ1パ F ■pいA1（215 「12．5）

叶（5．5100）（Sr（1．1）。Sl （1。〜）。！；1。㍉）

叩川＾T（10FS．2）

口E＾D（5．5100）（E（1．1〕。Fい。〜〕。1＝1．F，）

1lE＾D（5・3005）DFG．rL．F．1。〕㌦llS rO川＾T（5rlO．｛）

SE＝1．OF−08

ρ＾1＝3．1｛159〜6535897g い＝PA1／180．O

TH＝DEいρ S＝SIN TH）

r＝rOS（1H）

〔1，30．O／S F 〃〜．O

〔2＝D1−r〕

「，■R−Tl≡（6 6000）

FOρNA1（11〔。8X．3HDEG。㍑。2・FL。㍑・〜ilFl 。8X。〜1州r．8X。〃D2。舳。21川n．

8X 2HuS）

、！PlTE（6 610U） rlEG FL F！・1 1 D2 〕D uS FO州Aτ（5X．7FlO．4）

1，lR−TE（6 6950）

川洲＾T（1HO．5X．1HX．9x．11；Y．9と。31い．j11．1〜X・Hl11〜。12X．311し121・

12X．3HU22．1〜x・3川三1．VX。 ∪3？）

C2＝C 〜 S2＝S＾2 S〔≡S！C

SC2＝SC 2

SC3＝SC2凸SC n0 100 K＝1 ｛1 D0 200 J＝1 N TH1＝E（k．1）凸P TH〜＝SP（J．1）岬 F−1＝E（K 〜）凸P F12＝SP（J。〜）岬 X＝（TH2■rH1） R

YA＝COS（Tl12） COS｛H〜）＾COS（F11−F1〜）パピ（n2）凸S川（TH7）

AA；＾COS（Y＾）

Y1…ABS（R士＾＾）

IF（F11・Fl〜）10．1r．12

Y；一Y1÷ 30．O C／S Y＝30．いC／S Y；Y1 30．O＾C／S C＾1．L SτlLTF ＾u31＝一．RS（〕31）

＾U32＝＾同S（〕32）

＾U11；＾RS（U11）

＾U〜2；ARS（U2Z）

τF（Au5r．GE．SE）G（T12り

一F（AU3；三．GE．SE） G（』 Tl〕 2i」

け（＾u11．GE．SE）G∩τo2ヂ＝

lF〔AU2〜．GE．SF）GO T1一〕21〕

61

(16)

付録一（2）

5ア

58 59 60 61 62 65 64 65 66 67 68 69

7（〕

71

7〜

73 74 75 76 77 78 79 80 81

8〜

83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 95 94 95 96 97 98 99

100

101

102 103 104

105

106 107 108 109 110

r11

112 113

11ム

115

116

2〕

700〔

20つ

611つ

ぺr

620〔

15η

10■I一！

650η

30つ

101

11つ

13 i

12 ）

15

21 151

1い

2no〔

100＾

IDM（J K〕＝0

GO T0200

−DH（J k），1

■RlTE（6 7000）X Y U11 u12 U21 U22 U11 U32 FO舳＾T（2FlO．4．6E15．7）

CONT1NUE

．lR−TE（6 6110） k FORトrAT（1HO 13）

D0 150 −91 N

一・＝（1DN（1 K）・EO．1） GO τΩ 40

GO T0150

〕R−T1≡（6 6200） 1 FOPH＾τ（〜HO 1010）

CONT！NUE OONT川11E

、。RITE（6．6500）（（1洲（J．k，。J81・N）パ■1。舳 FORN＾T（1HO 2314）

L＝5

・ 1＝〜凸M 1

〔0 300 I冒1 刈1

−GC（I）50

rONτ1NuE lG 1）＝L・N

〔0101J＝1・N

lG（1・J）＝1

CONT−NUE

〔0 110 J言1 到 1G｛1 一 N）；O

〔ONT川uE

■1gN州

［0 1〜0 K昌1 H 甘1；2 K

〔0 130 ！；1 N1

−G（k1 1）昌O

−GrK1＋1 ！）呂0

CO〜1INUE rONTlNUE

［0 140 K＝1 M lG1＝O

k2＝〜

ro0 151 J＝1 N

lF（1州（Jパ）．EO．1）GO T1．115

00TO Zl

rONT−Nu…

1G（k2．J）＝・1

−G れ1．J）＝1 1G1＝1洲（Jパ）十1Gl rONT−NuE

−F（IG1・LE．O〕 Go T0 140

−GC（k2）＝一G111

f，jk＝N K

lG（K2 NK）＝1

−C（K2 1 NK）＝一一G1

〔ONT−NuE

■、」R−TE（6．2000）（lGC（k）。（lG（K．J） J；1州1）パ＝1 州）

FORM＾T（1HO 2014）

P1川CH lOOO・（lGC（k）。（lG（K．J） J；1・N1〕。K＝1 μ1）

FORMAT（2014）

sτoP FND

一62一

(17)

付録一（1）

1 2 1 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2C Z1 22 2324 25 2627 28

〜9

30 31 32

∬ 34 35 36 37 38 40 41

4〜

43 44 45 46 47 48 49 50 51 5Z 53 54 55 56

SURROuTINl… STll−TF

〔OMHO）CO舳L〃FL・〜。O1．D〜川D．US．X．Y。〔。S，C2．S2．SC．SC2．SC−

CO州O）COHTIL！1！11川1〜。l121川22．U01．1』3〜

nlMENS1ONXS（4）・OS（｛）・i 1lO（4）・u12D（｛）川〜1D（い。〕220（4）。U31D（い。

1 u3Z0（4）・UllS｛4）・1，112S（4）・1，121S（4）・1」22S｛4）。〕31S（4）。U32S（4）

RE＾L K

ρ＾，12＝3．14159265358979 12・O XS（1）5FL

xS（2）5，FL XS 3）＝FL シS（4）・一rL nS｛1）■Dl OS 〜）＝Dl OS｛3）昌D2 0S〔4） D2 n0 300 一ヨ1 4 賞＾＝XS（！）

n＝DS（1）

Y＾9D．c

Z炸0・S

XX＾＝X・XA W＾昌Y・YA xヌ＾28XX＾■＾2

w＾〜〒wA 〜

Z＾〜EZ＾■■2

P2＝XX＾2 YY＾2＋Z＾2 R昌SORτ（R2〕

R！昌R岬〜

RR呂いS RR昨Y

RR〜訓R 2 RD昌RRR■D

ξb 皇・帥㌧2

RXA8R◆XX＾

RRD3R◆R0 頁NRD＝R−RO RZ＾8R◆Z＾

H3SORτ RR2 ROZ）

k；SORτ（XXA2◆RR2）

PZ＾2昌RZA岬Z＾

RX＾28RX＾岬XA 岬D2・RR ．RRO

舳帥〜8岬RO岬舳D

CC昌（（肘Z＾） R州）） 2＋（ヌX＾凸W＾）H〜

B1；（R州） RR凸S州O C〕！H

R2＝ Z＾）パパ＾！R （RR亡S＋Rn C）！H）

E1昌W＾．（いZ＾） R州・xXA〜〃）パC ε2訓X＾○（（H◆Z＾〕・（R州）一YYA・（R1・82））イCC

M＝ X＾州いC） 2◆（RO いS・（k・RR ）凸（R−K）い〜

【剛Ooい（XX＾2パR0・S・R〃一（k−RR凸C）・（k！P−1．O））！k 1 ・RD■K凸S◆｛k・RR凸C）（R．K））！A＾

F2…XXA州0 い（いいS （RD州いS2・（RR・k・C〕・（R・k）・S 1 ■（k・RR凸いいn＾■RR・R・S）！R）パ

1 ぐCパ（k−RR・C）．（R・K）／RD■kバ））！＾＾

R8，（RR■R）凸 2◆（XX＾ RO〕凸凸〜

61＝RR州D R・XXA2！R）ノ日目

一63一

(18)

国立防災科学技術セソター研究報告第23号

1980年3月

付録一（2）

57

5昌

59

6●

61

6〜

65 64 65 66 67 68 6970 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

…31 8〜

83 舳85 86 87 98 89 90 91

9〜

93 94 95 96

97 300 98

100

99 101 10〜

103 104 105 106 107 108 109 110

111

1

〜

3 1

〜

3 C C

C C

C

C C

口・Xx＾・（RいR凸C−RO・（Rp・YY〃R州凸S））18B

〕11D（1）・3．O・xxμ（YYA亡S・（1．O！RZ＾2−2．0！R2）

・C・〈1．01R1A 2．0・ZA！P2）◆｛1．O！RZA・SlR岬D）！C）1R

Lll〜D（1〕・3．O・（S・（2．C〃一1．O！RZA）パYA・川＾・S．州，．9！RZ＾2・2・O川2）

一Cパ1．O／1司Z＾・〜．0．Z＾1P2川1．O！RZ＾一SlR・貢b1 7C）川 U21D（1）昌3．O・S凸（（ll・RZ一．XX＾2）1（R・RZA2）

．2．O YYA〜（XX＾（P Rxβ） R2）！ P3 RX＾2〕）

・3．O・い（2．0パYAリA・（メXい（R州XA）州〜）パR3・RX＾．2）

ぐ2．Ω凸E1−3．O 1）．C吋1／C u22D（1）昌3．O ∀YパS （・XxA！（R RZA2）

2．O・（2．0州2州XA−W＾〜凸1R・RXA））！（R3・RX＾Z））

．3．0・い（一〜．O・Z＾・（R2州M−YY＾〜凸（R RX＾））パR3」岬X＾2）

十2．0凸E〜・｛．O 2）州．O 〜／C

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RETURN

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地殻変動連続観測所の最適配置の決定