近代ホモトピー論（ 1940 年代から 1960 年代まで）

近代ホモトピー論（ 1940 年代から 1960 年代まで）

土屋昭博 述 中井洋史 記

Contents

1

9

1

. . . . 9

2 Cofibration. . . . 11

3 Fibration. . . . 14

4

. . . . 17

2

19 5

. . . . 19

6 CW

. . . . 23

7

CW

Homotopy Extension Lifting Property . . . . 27

8

. . . . 30

9 Freudenthal

. . . . 34

3

Serre

37 10 Leray-Serre

. . . . 37

11 Serre

C

. . . . 46

12 Hopf

. . . . 52

4

53 13 π

. . . . 53

14

. . . . 54

15

. . . . 58

16

K(π, n)

. . . . 60

17 Postnikov

. . . . 61

5

63 18

. . . . 63

19 Rational space

. . . . 65

20 Differential graded algebra . . . . 67

21 Hirsch

minimal

D.G.A. . . . . 70

22

. . . . 77

6 Steenrod

Eilenberg-MacLane

79 23 Steenrod

A

. . . . 79

24 H

(K(Z

, n); Z

)

. . . . 82

25 Steenrod

P

. . . . 87

3

4 CONTENTS

7

89

26

. . . . 89

27

Steenrod

A

Milnor

. . . . 92

28

. . . . 94

29 Adams

. . . . 95

8

Pontryagin-Thom

99 30

. . . . 99

31

. . . . 101

32 MU

Pontryagin-Thom

. . . . 102

33 Thom

Thom

. . . . 105

34 π

(MU) ⊗ Q

. . . . 108

35 π

(MU)

. . . . 109

9

Quillen

113 36 M U

Novikov

. . . . 113

37 M U

. . . . 116

38 M U

Quillen

. . . . 118

CONTENTS 5

この小冊子は、私が

2008

4

7

1940

1960

として今や数学のみならず現代物理学を展開するための新たな言葉として重要になりつつある ホモトピー代数を学習または展開するための一助とする事です。

講義の内容や展開の仕方は、講義担当者の個人的考え方や趣味を反映したものになっていま す。その内容は半期の講義としては多岐にわたっており、厳密さを欠いたり舌足らずになって しまっている所が少なくありません。概念の動機付け・基本的結果・展開のあらすじ・重要な 計算や例などについては物語性を重要視して展開したので、ホモトピー論に興味を持っている 多くの学生や研究者に楽しんで頂けるのではないかと思います。

この小冊子は講義ノートであり、その内容はほぼ講義に忠実に従っています。また、同じ事 が何回も出てきます。これは講義担当者の講義スタイルであり、講義のライブ感を表すために そのまま残しました。また、いろいろな概念をきちんと数学的に定義せずに展開したり、証明 を概略で済ませたり省いたりしている箇所もありますが、この小冊子の目的はホモトピー論が どんなものであるか、何を扱って来たかを大まかに伝える事であり、詳細な定義や証明は適切 な文献を参照する事を勧めます。この小冊子のみで細部を詰めてホモトピー論を正確に学習す ることを試みるのは、労多くして益が少ないでしょう。

ホモトピー論の関手的な扱いをキーワードとして

Quillen

1970

Quillen

最後に、講義担当者の乱暴な講義を非常な努力を払ってこのような形に仕上げて頂いた中井 洋史さんには感謝いたします。また、講義ノートを読んでいくつかのコメントを頂いた加藤晃 史さん、橋本義武さん、南範彦さんにも感謝します。

2009

4

4

1

1

4

8

この講義録を作成するにあたり、東大の加藤晃史先生には自筆の講義ノートを提供して頂 き、私のノートで足りない箇所を補うのに活用させて頂きました。さらに、加藤先生にはこの 講義録に含まれる全ての図も作成して頂きました。また、阪市大の橋本義武先生

,

,

その他にも多くの研究者や院生の方々にミスプリント等に関する助言を頂きました。お忙しい 中御助力頂いた皆様方に対して、ここに厚く御礼申し上げます。

私の力不足で講義の臨場感や明快さを残せなかったのではとの懸念は残りますが、位相幾何 学が大発展を遂げた

1960

最後に、改めてこの講義録の作成機会を与えて頂いた土屋先生と南先生に感謝致します。

2009

4

6 CONTENTS IPMU lectures in Komaba（シラバス）

講義題名： ホモトピー論（

1970

日時：

2008

4

7

10:30

12:00 (4

8

)

002

担当者： 土屋昭博（

IPMU

内容： 近年ホモトピー論は位相幾何学者の手を離れ現代数学の随所でその力を発揮し始め ています。更には、数理物理学の分野でもその考え方が利用され始めています。しかし、その 考え方の習得はトポロジーにどっぷり浸かった人達以外には必ずしも容易ではありません。

この講義では、上記の発展を横目で見ながら、

1940

1960

1970

Quillen

model category

model category

Quillen

advanced Homological algebra

うになりました。

講義担当者はこれらについては入門者であり，力不足のため講義することが出来ませんが，

気になっていることは講義中お話しするつもりです。講義を受講するにあたっては、ホモロジー 論、コホモロジー論の初歩的な部分およびホモロジー代数の感覚があることが望ましいです。

講義予定：

(1)

Hurewicz

, Hopf

, Freudenthal

(2) Eilenberg-Maclane

Postnikov system (3) Steenrod

(4)

(5)

(6)

(7)

Quillen

(8)

参考書：

(1) J.P.May, A Concise Course in Algebraic Topology

The University of Chicago Press

http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf

CONTENTS 7 (2) Douglas Ravenel, Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres, The

second edition, AMS Chelsea Series

http://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/mu.html

(3) Mark Hovey, Model Category, AMS Mathematical Surveys and Monographs (4) Gelfand and Manin, Methods of Homological Algebra, Springer

(5)

,

,

2008

3

Chapter 1

ホモトピー論の基礎概念

1 代数的位相幾何学の基本的な考え方（この講義の目的と予定）

代数的位相幾何学では、ホモトピー群や一般コホモロジー群を関手

（空間のホモトピー圏）

⁺³

と捉えて、様々な空間を代数の世界で調べる。そのために様々な代数のテクニックが用いられる。

代数的位相幾何の特徴

•

•

•

特に、代数的位相幾何学から誕生したホモロジー代数は

（ホモロジー代数）

=

Advanced linear algebra

だと考えられ、

1950

60

Serre, Grothendieck,

近年、代数的位相幾何学、とりわけホモトピー論的な考え方は応用範囲を更に拡げ、現代数 学の随所で利用されるだけでなく超弦理論を中心とした数理物理学の研究などにも利用され始 めており、数学と物理の相互作用を記述するための重要な概念となりつつある。

ホモトピー論的な考え方の応用範囲を従来以上に拡げるためには、ホモロジー代数の概念を

「ホモトピー代数（＝

non-linear

へと拡張する必要がある。ホモトピー代数の形を整え発展させる事は現代数学の重要な課題であ り（詳細は南氏の記事

[22]

1960

D.Quillen

(1968-1969

)

•

Lecture Note in Math. [24]

9

10 CHAPTER 1.

•

Ann. of Math. [25]

Quillen

Model category

て見通しよく整備された。

（モデル圏）

局所化

+3

モデル圏ではどのような空間達を考えているかにあまり依らない（汎用性が高い）ので、以下 のようなメリットがある：

•

,

,

,

...

•

functorial

この講義では、これらの

Quillen

Quillen

• 1940

1960

•

•

位相不変量（すなわち空間の圏から代数的な圏への関手）として、主にホモロジー群とホモ トピー群を扱う。ホモロジー群（ここでは特異ホモロジー群を扱う）は定義するのが難しく計 算は容易であるが、一方ホモトピー群は定義するのは易しいが計算が大変難しい。双方の長所 を活かしながらホモロジー群とホモトピー群の相互の関係を調べることによって、空間の性質 をより詳しく調べることが出来る。

1950

J.P.Serre, H.Cartan

• Fibration

path

,

• Eilenberg-MacLane

K(π, n)

Key Person

• Serre

class C

• Postnikov

これらの道具立ては、いずれも

Leray-Serre

Eilenberg-MacLane

大まかに言って、第

2

1940

3

1950

第

3

4

1950

5

また、この講義では以下の話題には触れない。

2. COFIBRATION. 11

• Morse

(Bott

)

•

•

Grassmann

, Borel-Hirzebruch

• Atiyah-Singer

2 Cofibration.

ホモトピー論の人達が好きな位相空間には以下のようなものがある：

(1)

J.P.May [14], Chap.5

(2) Cofibration

; CW

•

X ⊃ A

Homotopy extension property

•

X

X = S

X

X

X

(3) Fibration

•

•

•

Homotopy lifting property

 



空間を和に分ける（

colimit

CW

limit

Postnikov

この章と次の章では、ホモトピー論の基本的概念である

cofibration

である

fibration

CW

path

ホモトピー論における関手的取り扱いをスムーズにおこなうための基本的な道具立てとなる。

Remark 2.1 Quillen

講義では

Quillen

学の範疇を越えて、現在ではホモトピー論的な考え方を現代数学の随所で使うための枠組みを 与えている。

Definition 2.2 (

homotopy extension property

)

i : A → X

cofibration

f |

= h

f : X → Y

h : A × I → Y

h : X × I → Y

A

^//

i

²²

A × I

h

{{xxx xxx xxx

i×id

²²

Y

X

f

~ ~ ~ ~ ~ ~ >>

~ ~

// X × I

∃h

cc

(2.3)

12 CHAPTER 1.

Remark 2.4 i : A → X

cofibration

(1) i

(2) i(A) ⊂ X

与えられた空間

A

A

space under A

A \ T

Definition 2.5 (

A \ T

) T

, A ∈ T

A

A \ T

i : A −→ X

f

A

j

ÂÂ @

@ @

@ @

@ @

i

~~~~ ~~ ~~ ~

X

^// Y

圏

T

ホモトープな

f, g : X → Y

f : X → Y

A \ T

ホモトープな

f, g : (A →

X) → (A →

Y )

f : (A →

X) → (A →

Y )

[14] Chap.6, section 5

Proposition 2.6 i : A → X, j : A → Y

cofibration

f : (A →

X) ^// (A →

Y )

A \ T

f

A \ T

⇐⇒ f

T

2

Proposition 2.7 ([14], Chap.6)

i, j

cofibration

A

^//

i

²²

B

j

²² X

^// Y

d, f

⇐⇒ (f, d) : (A →

X) → (B →

Y )

2

2. COFIBRATION. 13

cofibration

Prop. 2.11

その際に重要な役割を果たすのが次に定義する写像柱である。

Example 2.8 (“universal”

)

i : A → X

M

= X ⊔ A × I/(i(a) ∼ (a, 0))

を

i

mapping cylinder

F

1.1

Figure 1.1:

このとき、次が成り立つ：

Proposition 2.9

i : A → X

cofibration

h : X × I → M

A

^//

i

²²

A × I

{{www www ww

i×id

²²

M

X

>>

} } } } } }

} }

// X × I

h

cc

2 Remark 2.10 (

)

cofibration

universal

“universal”

このとき、次の結果が得られる。

Proposition 2.11

f : X → Y

j : X → M

, r : M

→ Y

(1) f = r ◦ j

(2) j

cofibration

14 CHAPTER 1.

(3) r

X

^//

j

B B B B B ÃÃ B B

B Y

M

≅

OO

r

OO

Proof.

j

r

( j : A → M

⇐⇒ j(a) = (a, 1)

r : M

→ X ⇐⇒ r(a, t) = i(a), r(x) = x

写像

j

cofibration

r

X × I

I

ホモトピー同値写像である。

2

すなわち、任意の連続写像

f

cofibration

j

functorial

Remark 2.12 CW

fibration

CW

cofibration

fibration

fibration

path

ΩX = {ℓ : ([0, 1], {0, 1}) → (X, ∗)}

は一般に

CW

Postnikov

fibration

cofibration

3 Fibration.

fibration

cofibration

fibration

fibration

次のホモトピー持ち上げ性質はホモトピー拡張性質（

Def. 2.2

Definition 3.1 (Fibration)

p : E → B

homotopy lifting property

h ◦ i

= p ◦ f

˜ h : Y × I → E

f = ˜ h ◦ i

h = p ◦ ˜ h

Y × { 0 }

^//

i0

²²

E

p

²² Y × I

h

//

∃h˜

;; w

w w w w

B

(3.2)

ホモトピー持ち上げ性質が、全ての位相空間

Y

p : E → B

Hurewicz fibration,

CW

Y

Serre fibration

fibration

locally trivial

fibration

3. FIBRATION. 15 Definition 3.3

p : E → B

fibration

B

{ U

}

F

U

p

(U

)

^//

p

²²

U

× F

p1

²² U

U

Proposition 3.4

p : E → B

B

p

fibration

Proof.

U

× F → U

体に拡げて」いけば

O.K.

[32] Chap.1

2

cofibration

Propo- sition 2.11

fibration

Proposition 3.5 X

I = [0, 1]

X

= Map(I → X)

と定義し（位相はコンパクト開位相で入れる）、また写像

p : X

→ X

p(ℓ) = ℓ(0)

p : X

→ X

fibration

Proof.

Y

^//

i0

²²

X

p

²² Y × I

^// X

このとき、

h

lift

˜ h : Y × I → X

˜ h(y, t) = f (y)

p ◦ ˜ h ≅ h

H : (Y × I) × I → X ⇐⇒ H(y, t, s) = h(y, st)

で定義すれば良い。

2

Proposition 3.6 (Induced fibration) p : E → B

fibration, g : A → B

A ×

E

pullback

p

i

A ×

E

^//

p1

²²

E

p

²²

A

^// B

A ×

E = { (a, e) ∈ A × E : g(a) = p(e) }

である。このとき、写像

p

: A ×

E → A

fibration

2

16 CHAPTER 1.

Figure 1.2:

写像

f : X → Y

fibration Y

→ Y

induced fibration N

= X ×

Y

= ©

(x, ℓ) ∈ X × Y

: f(x) = ℓ(0) ª

F

1.2

写像

p

: N

→ X

Proposition 3.7

f : X → Y

ρ : N

→ Y , ν : X → N

(1) f = ρ ◦ ν (2) ρ

fibration (3) ν

X

^//

≅

²² ²²

Y

N

>>

} } } } } } }

Proof.

ρ

ν

( ρ : N

→ Y ⇔ ρ(x, ℓ) = ℓ(1) ν : X → N

⇔ ν(x) = (x, c

)

ここで

c

t ∈ I

f (x) ∈ Y

ρ

fibration

また写像

ν

path

[14]

せよ）。

2

すなわち、任意の連続写像

f

fibration

Remark 3.8 (

) 1950

位相空間と連続写像からなる圏を「弱ホモトピー同値が同値関係になるように局所化した圏」

を位相空間のホモトピー圏として考えると、色々な意味で都合が良いという事である（

Gabriel

and Zisman [5]

位相空間の間の連続写像

f : X → Y

CW

4.

17

•

X

CW

ΓX

f : ΓX → X

functorial

• CW

f : X → Y

J.H.C.Whitehead

これらの事実を用いて、位相空間のつくる圏を弱ホモトピー同値達で局所化した圏が構成される。

Quillen

Serre

C

て公理を抽出し、

fibration, cofibration,

弱同値は（弱ホモトピー同値と同様に）一般には同値関係ではないが、

fibration, cofibration

cofibration

fibration

この講義では

Quillen

Hovey [10]

を読むと良いだろう。

4 モデル圏に関する南範彦氏からの補足

一つの圏に異なるモデル圏の構造を入れることが可能な場合がある。位相空間の圏には、例え ば次の２つの異なるモデル圏の構造が入る。

Example 4.1 (Storm)

• (fibration) Hurewicz fibration

Def. 3.1

• (cofibration) Hurewicz cofibration

Def. 2.2

• (

)

Example 4.2 (Quillen)

• (fibration) Serre fibration

Def. 3.1

• (cofibration) Serre cofibration

Def. 2.2

• (

)

f : X → Y

i > = 0

X

x

π

(f ) : π

(X, x

) → π

(Y, f(x

))

i > = 1

,

i = 0

通常の位相空間のホモトピー圏は、空間の圏に

Quillen

Example 4.3 (Joyal, Beke)

A

Grothendieck

(1)

filtered colimit

finite limit

(2)

G ∈ A

Hom

(G, − ) : A ^// Sets

は忠実となる

18 CHAPTER 1.

Grothendieck

injective model structure

• (cofibration)

• (

) quasi isomorphism

• (fibration) cofibration

Right Lifting Property

A ^//

各次数でcofibration かつ弱同値

²²

E

fibration

²²

X ^//

∃

>>

B

fibration

も成立しない。ただし、各次数で射入的かつ上に

bounded

fibrant

射入的モデル構造に関する

fibrant replacement

Grothendieck

造も存在する。

Example 4.4 (Quillen, Spaltenstein, Hovey)

射影的モデル構造（

projective model structure

• (fibration)

• (

) quasi isomorphism

• (cofibration) fibration

Left Lifting Property

A ^//

cofibration

²²

E

各次数でfibration かつ弱同値

²² X ^//

∃

>>

B

cofibration

しも成立しない。ただし、各次数で射影的かつ下に

bounded

cofibrant

射影的モデル構造に関する

cofibrant replacement

環上の加群の圏上のチェイン複体の圏における射入的モデル構造と射影的モデル構造は、同 値なホモトピー圏を与える（このようなモデル圏の関係は「

Quillen

quasi isomorphism

,

Chapter 2

ホモトピー群

この章ではホモトピー群の定義とホモトピー完全列の構成について述べ、

•

(X, A)

• fibration p : E → B

の２つを考える。以下、

X

pointed topological space

5 ホモトピー群の定義とホモトピー完全列

Definition 5.1

X

π

(X, ∗ )

X

∗

n

I

(n > = 1)

I

= {(t

, . . . , t

) ∈ R

: 0 < = t

< = 1 }

で、さらに

∂I

f

, f

: (I

, ∂I

) → (X, ∗ )

F : (I

, ∂I

) × I ^// (X, ∗)

が存在して

F |

= f

F |

= f

F

f

f

f

f

f

∼ f

n

π

(X, ∗) = {(I

, ∂I

) → (X, ∗)} /(

)

n > = 1

• [f ] · [g] = [f ∗ g]

F

2.1

• [f ]

= [f

]

19

20 CHAPTER 2.

Figure 2.1:

Figure 2.2:

で定義することにより

π

(X, ∗ )

n > = 2

F

2.2

連続写像

f : X → Y

π

(f ) : π

(X, ∗ ) → π

(Y, ∗ )

n = 0

n = 1

n > = 2

空間のホモトピー群は、次の相対ホモトピー群へと拡張出来る。

Definition 5.2 (

)

J

J

= (∂I

× I) ∪ (I

× { 0 } )

(I

, ∂I

, J

)

F

2.3

基点付き位相空間の包含関係

∗ ∈ A ⊂ X

(X, A, ∗ )

π

(X, A, ∗ ) = { (I

, ∂I

, J

) → (X, A, ∗ ) } /(

)

π

(X, A, ∗ )

n = 1

n = 2

n > = 3

5.

21

Figure 2.3:

対

(X, A, ∗ )

i

: π

(A, ∗ ) → π

(X, ∗ )

j

: π

(X, ∗ ) → π

(X, A, ∗ )

∂

: π

(X, A, ∗ ) → π

(A, ∗ )

(I

, ∂I

, J

) ^// (X, A, ∗ )

(I

× { 1 } , ∂I

× { 1 } ) ^// (A, ∗ )

F

2.4

Figure 2.4:

Proposition 5.3

(X, A, ∗ )

· · · ^// π

(A, ∗ )

^// π

(X, ∗ )

^// π

(X, A, ∗ )

∂n

sshhhhhh hhhhhh hhhhhh hh

π

(A, ∗ )

in−1

// · · · ·

^// π

(X, A, ∗ )

∂1

sshhhhhh hhhhhh hhhhhh hhh

π

(A, ∗ )

i0

// π

(X, ∗ )

22 CHAPTER 2.

j

, ∂

, i

2

次に、与えられた

fibration p : E → B

Proposition 5.4 p : E → B

F = p

( ∗ )

· · · ^// π

(F, ∗ )

^// π

(E, ∗ )

^// π

(B, ∗ )

∂n

tthhhhh hhhhh hhhhh hhhhh

π

(F, ∗)

n−1

// · · · ·

^// π

(B, ∗)

∂1

tthhhhh hhhhh hhhhh hhhhh h

π

(F, ∗ )

i0

// π

(E, ∗ )

j0

// π

(B, ∗ )

Proof.

π

(B) (n > = 1)

B

π

(E, F, ∗ ) → π

(B, ∗ )

F

2.5

Figure 2.5:

ホモトピー類

[f ] ∈ π

(B, ∗)

f : (I

, ∂I

) → (B, ∗)

g : J

→ E

x ∈ J

g(x) = ∗

J

_{Ä _}

^//

²²

E

²²

I

^//

∃f˜

>>

B f

f ˜

f ˜ (∂I

) ⊂ F

f ˜ : (I

, ∂I

, J

) ^// (E, F, ∗ )

π

(E, F, ∗ ) −→ π

(B, ∗ ) [ ˜ f ] 7−→ [f ]

を与える。この対応が単射であることも示すことが出来る。

2

6. CW

23 Definition 5.5 (Hurewicz

) H

(X, A; Z )

singular ho- mology

Hurewicz

H

: π

(X, A, ∗ ) ^// H

(X, A; Z )

n = 0

π

(X, ∗ )

H

(X; Z) = Z | ⊕ · · · ⊕ {z Z }

（

X

は

X

H

: π

(X, ∗) ^// H

(X; Z)

は自然な写像として定義される。（空間対

(X, A)

n > = 1

H

(I

, ∂I

; Z) ∼ = Z

I

= I |

× I

× · · · × {z I

}

n

と考えることで各閉区間

I

I

orientation

[I

]

[f ] ∈ π

(X, A, ∗ )

f : (I

, ∂I

) ^// (X, A)

H

(I

, ∂I

; Z ) ∼ = Z ^// H

(X, A; Z )

[I

]

H

([f ])

Remark 5.6 Hurewicz

Thm. 10.1

H

(X, A; Z )

6 CW 複体とその性質

ここでは

CW

D

= { x ∈ R

: | x |

< = 1 } (n = 0, 1, . . .)

∂D

= { x ∈ R

: | x |

= 1 } = S

Int(D) = D

\ ∂D

(n = 0, 1, . . .)

CW

C

closure finite

,

W

weak topology

,

cell complex

（胞複体）」をそれぞれ意味している。

CW

n

D