U +上で,略解2でした様に,x 1をy 1 , . . . , y n で表すと,

略解

48. U _± = S ⁿ \ { (0, · · · , 0, ± 1) }

とおくと,

U ₊

上で,略解

2

でした様に,

x ₁

を

y ₁ , . . . , y _n

で表すと,

α =

∑ n

i=1

∂x 1

∂y _i dy _i

= 2

(1 + y ² ₁ + · · · + y _n ² ) ² { (1 − y ₁ ² + y ₂ ² + · · · + y ² _n )dy 1 − 2

∑ n

i=2

y 1 y i dy i }

となる.

U ₋

上でも同じ形の式になる.

略解

49. (1)

略解

38

と同様に

S ¹

の座標近傍系

{ (U 1 , ϕ 1 ), (U 2 , ϕ 2 ) }

を

ϕ i

が

π

の局所的な逆 となるようにとる.

ϕ _i

に対応する一次微分形式を

dx _i

とかく. 明らかに

^d(ϕ

²

^◦ _dx ^(ϕ

¹

⁾

⁻¹

⁾

1

= 1

と

なるから, すべての

p ∈ U ₁ ∩ U ₂

に対して

(dx ₁ ) _p = (dx ₂ ) _p

となり,

dx ₁

と

dx ₂

を張り合わせ て

S ¹

上の微分形式を作ることができる. これが

α

の条件を満たすことは明らかである. ま た, 一意性は

π

が全射であること,

R

の各点で接空間の同型を誘導することからわかる.

(2)

略

(3) df = dx

となる

C ^∞

関数

f : S ¹ → R

が存在したと仮定する. このとき

d(f ◦ π) = dx

となり, これは

f ◦ π(x) = x + c (c

は定数)となることを意味するが, あきらかにこのよう な

f

は存在しない. よって矛盾である.

略解

50. (1) ρ(p) = 1

かつ

ρ | M \ W = 0

となる

C ^∞

級関数

ρ

をとれば、ρXは恒等的に

0

で あり、このとき

α(ρX)

が恒等的に

0

になることは容易に分かる。さらに、

α(X)(p) = (ρ · α(X))(p) = α(ρX)(p) = 0

となるのでよい.

(2) V ∈ T _p M

に対して,

M

上のベクトル場

V e

で

V e _p = V

となるものをとる. (このよ うな

V e

を構成するには, 局所的には座標をとって

R ⁿ

にうつしてつくり, これを

M

全体 のベクトル場に拡張すればよい.)

α p (V ) := α( V e )(p)

とおく. この定義が

V e

のとり方に よらないことは次のようにして示せる.

V ˜ _p = 0

ならば

α( V e )(p) = 0

であることをいえ ば十分である.

p

のまわりの座標近傍

(x ₁ , . . . , x _n )

をとり, ベクトル場

_∂x ^∂

i

(の十分小さい

近傍への制限)の

M

全体への拡張を

X i

とかくと,

p

の十分小さい近傍

W 1

と

M

上の

C ^∞

級関数

f _i

で,

V e | W

1

= ( ∑ _n

i=1 f _i X _i ) | W

1 となるものが存在し,

f _i (p) = 0

となる. (1)から,

α( V e − ∑ n

i=1 f _i X _i )(p) = 0

となることがわかり,従って,

α( V e )(p) = α(

∑ n

i=1

f _i X _i )(p) =

∑ n

i=1

f _i (p)α(X _i )(p) = 0

となり,

α _p (V )

は

well-defined

である. 写像

T _p M 3 V 7→ α _p (V ) ∈ R

が線形であることは明 らかで,一次形式

M 3 p 7→ α _p ∈ T _p M ^∗

が微分可能であることは上で定義した

X _i

を使えば わかる. (α(X)) (p) =

α _p (X _p )

となることはつくり方から明らか.

略解

51. (1)

一般に,

C ^∞

級関数

f, g

とベクトル場

X, Y

に対して, [f X, gY

] = f g[X, Y ] +

f (Xg)Y − g(Y f )

が成り立つ. (これは左辺を微分作用素だと思って

C ^∞

級関数に作用さ

せて具体的に計算すればわかる. )この等式を使えば, (L

X α)(f Y + gZ ) = f(L _X α)(Y ) +

g(L _X α)(Z)

が成り立つことがわかるので、問題

50

より,

L _X α

が一次微分形式であること がわかる.

(2)Y

を

M

上のベクトル場とする.

lim t → 0

(ϕ ^∗ _t α) _p − α _p

t (Y _p ) = lim

t → 0

(ϕ ^∗ _t α)(Y )(p) − α(Y )(p) t

= lim

t → 0

(ϕ ^∗ _t (α(ϕ _{t ∗} Y ))(p) − ϕ ^∗ _t (αY )(p) + ϕ ^∗ _t (αY )(p) − α(Y )(p) t

= lim

t → 0 ϕ ^∗ _t

( α(ϕ _{t ∗} Y )(p) − αY (p) t

) + lim

t → 0

ϕ ^∗ _t (αY )(p) − αY (p) t

= − α([X, Y ])(p) + X(α(Y ))(p)

となる. ここで, 二つめの変形には

(ϕ ^∗ _t α)(Y ) = ϕ ^∗ _t (α(ϕ _{t ∗} Y )) (これは容易に確かめられる)

を,五つめの変形には

(t, p) 7→ α(ϕ _t∗ Y )(p)

が

(t, p)

の

C ^∞

級関数であること,

L _X (Y ) = [X, Y ]

と

L _X (αY ) = X(αY )(授業でしめした命題)

を使った. すべての

M

上のベクトル場

Y

に対

してこの等式が成り立つので,

(L _X α)(Y ) = X(α(Y )) − α([X, Y ])

が成り立つ.

略解

52.

左辺を逐次積分で表すと

∫

D

(

− ∂f

∂y + ∂g

∂x )

dxdy = −

∫ b a

dx

∫ d c

dy ∂f

∂y +

∫ d c

dy

∫ b a

dx ∂g

∂x

となる。部分積分を実行すると

−

∫ b a

dx(f (x, d) − f(x, c)) +

∫ d c

dy(g(b, y) − g(a, y))

である。これは右辺に他ならない。

略解

53. (1)

仮定から,

f = ^∂Φ _∂x , g = ^∂Φ _∂y

となる.

c(t) = (c ₁ (t), c ₂ (t))

とかくと,

∫

c

α =

∫ ₁

0

( ∂Φ

∂x (c(t)) dc ₁

dt (t) + ∂Φ

∂y (c(t)) dc ₂ dt (t)

) dt

=

∫ 1 0

d(Φ ◦ c) dt (t)dt

= Φ ◦ c(1) − Φ ◦ c(0) = Φ(Q) − Φ(P )

(2) U

が

(弧状)

連結と仮定して示せばよい.

U

の点

P ₀

を一つ固定する.

P ∈ U

に対して,

c(0) = P 0

かつ

c(1) = P

なる区分的に

C ^∞

級な曲線

c : [0, 1] → U

をとり, Φ(P

) := ∫

c α

と 定める. 仮定から, これは

well-defined

である. Φが

C ^∞

級で

dΦ = α

となることをいうた めには,任意の

P ∈ U

に対して,

Q lim → P

| Φ(Q) − (Φ(P √ ) + f (P )(q ₁ − p ₁ ) + g(P )(q ₂ − p ₂ )) |

(q ₁ − p ₁ ) ² + (q ₂ − p ₂ ) ² = 0

となることをいえばよい. (P

= (p ₁ , p ₂ ), Q = (q ₁ , q ₂ )) > 0

とする.

δ > 0

を十分小さく とって,

B _δ (P ) ⊆ U、Q ∈ B _δ (P )

ならば,

| f(Q) − f(P ) | <

かつ

| g(Q) − g (P ) | <

となる ようにする. このとき

c : [0, 1] → U

を

c(t) = P + t(Q − P )

と定めると,

| Φ(Q) − (Φ(P ) + f (P )(q ₁ − p ₁ ) + g(P )(q ₂ − p ₂ )) |

= |

∫

c

α − (f(P )(q ₁ − p ₁ ) + g(P )(q ₂ − p ₂ )) |

≤

∫ 1 0

( | f (P + t(Q − P )) − f(P ) || q 1 − p 1 | + | g(P + t(Q − P )) − g(P ) || q 2 − p 2 | )dt

≤ 2 √

(q ₁ − p ₁ ) ² + (q ₂ − p ₂ ) ²

となり,上の主張が成り立つことがわかる.