ニュートン重力理論.pptx

3    ニュートン重力理論

1.  ニュートン重力理論の基本：　　　　　　

慣性系とガリレイ変換不変性

2.  ニュートン重力理論の定式化

3.  等価原理

4.  流体力学方程式とその基礎

3.1    ニュートン重力理論の基本

u ニュートンの第一法則＝力がかからなければ、　   等速直線運動を続ける。　　 u 等速直線運動に見える系を「慣性系」と呼ぶ。 ² 直線とはどんな空間の直線か?　　　　　　　 ⇒　ニュートン理論では、_{3次元ユークリッド空間} (平坦空間)の直線。つまり、力がかからなければ、 物体は空間の最短距離を進む、とも言える。 ² 等速とはどのような時間で測った速度か?　　　　　　 ⇒　絶対時間当たりに進んだ距離。 •  式で書くと、慣性系で運動方程式は 2 2 2 2 0, 2 0, 2 0 d x d y d z dt = dt = dt = x, y, z は、直交座標

慣性系の特徴

v  慣性系は無数にある •  まず慣性系を_{1つ選ぶ。}       それが _{(x, y, z) で表されるとする。} すると以下の変換で移ったものも全て慣性系： 1.  並進：  x’=x – d

2.  回転：  x’=cos_θ x – sin_θ y, y’=sin_θ x + cos_θ y 3.  他の等速運動系：  x’=x – v t

ただし

、

時間はどの慣性系で見ても一緒

　　　　　　　　⇒　絶対時間  

_t’=t

ガリレイ変換

'

'

'

'

x y z

x

x v t

y

y v t

z

z v t

t

t

= −

=

−

= −

=

v  ニュートン理論では“当時の実験事実”を鑑み      全ての慣性系で同じ物理法則が成り立つ 　　ことを原理として要求する ü  　言い換えれば、       ニュートン理論はガリレイ変換に対して不変 　　⇒　特定の慣性系は存在しない 等速運動する系から、 別の等速運動する系 への座標変換

3.2    万有引力の法則の定式化

m d 2_x dt2 =  F = −GMm r2  r r = −m  ∇Φ; Φ

_{( )}

x _{= −} GM r (r =|  x − x_I |) Φ

( )

x = − d

∫

3x ' G

ρ

 x '

( )

| x − x ' | ⇒ ΔΦ = 4

π

G

ρ

連続体の場合

密度

M

m

r

ρ

m

ポアソン方程式 重力ポテンシャル Δ _! 1 x − x '! ! " # # $ % & & = −4πδ (3) _{x −}! _{x '}!

(

)

注：デルタ関数

ポアソン方程式はガリレイ変換不変

x ' = x − v

x

t

y ' = y − v

y

t

z ' = z − v

z

t

Δ =

∂

2

∂x

2

+

∂

2

∂y

2

+

∂

2

∂z

2

=

∂

2

∂x '

2

+

∂

2

∂y '

2

+

∂

2

∂z '

2 この変換に対して が成り立つから。

理論の整合性が満たされている

。

注：重力ポテンシャルはスカラーだから 　　座標系に依存しない量

例：球状の静的な星の基本方程式

P(r-_Δr/2) P(r+_Δr/2) GM (r) r2 4πr 2 Δrρ(r) 一般の場合に成り立つ式 P(r − Δr / 2)4π(r − Δr / 2)2 − P(r + Δr / 2)4π(r + Δr / 2)2 = GM (r) r2 4πr 2 Δrρ(r) Δr → 0 : − dP dr 4πr 2 Δr = GM (r) r2 4πr 2 Δrρ(r) ⇒ dP dr = − GM (r) r2 ρ(r) ΔΦ = 4πGρ ⇔ 1 r2 d dr r 2 dΦ dr ' ( ) * + , = 4πGρ M (r) = 4π ρ

∫

(r)r2 dr ⇒ ∇P = −! ρ∇Φ!

m d 2_x! dt2 = −m ! ∇Φ " EOM m_I d 2_x! dt2 = −mg ! ∇Φ ⇔ m_I d 2_x! dt2 = q ! E = −q∇!

φ

m_{I ≠ mg} m_{I = mg} 電磁気学を思い起こせば、　　　　　でよいはず。 しかし、実験事実は、　　　　　。

3.3    等価原理：慣性質量と重力質量

左辺と右辺の質量は、本来意味が異なる。 　左辺は慣性質量  ⇒  加速のし難さを表す量 　右辺は重力質量  ⇒  重力場に対する反応を表す量 不思議と思うべき 一般には、 運動方程式 静電場中のEOM

エトベスの実験

遠心力 重力

遠心力は

慣性質量

に比例

重力は

重力質量

に比例

全ての物体で

慣性質量

/

重力質量

の比が等しければ

、

棒は捩れない

。

棒

異なる

2

物質

　　

A

と

B

捩れ具合を 測って調べる

具体的数式

•  捩れ方向のつりあい

•  捩れ度

•  現在の最も正確な実験結果

m

_IA

a

A

_{= m}

_gA

g, m

_IB

a

B

_{= m}

_gB

g

η

≡ 2

a

A

− a

B

a

A

_{+ a}

B

= 2

m

_gA

/ m

_IA

_{− m}

_gB

/ m

_IB

m

_gA

/ m

_IA

_{+ m}

_gB

/ m

_IB

_η

_{≈ 2 ×10}

−13

重力質量と慣性質量は高精度で等しい

Wagner et al. (2012) ＃　ちなみにエトベスの最初の実験結果は10-7_程度

地球と月は同じように落ちるか

_?

Lunar laser ranging test

「強い等価原理」の検証実験

月も地球も太陽の周りを回っている(遠心力=重力)。

太陽重力との反応の仕方が月と地球で異なったら、

m

_I

v

2

r

=

GM

_⊙

m

_g

r

2

⇒ v

2

=

GM

⊙

r

m

_g

m

_I

簡単のため、地球も月も太陽の重力のみで軌道が

決まっているとする

•  力の釣り合い：遠心力=重力 ⇒　公転軌道速度は、重力質量と慣性質量の比による

#  遠心力は

、

運動方程式を回転系で書いたときに

　現れる慣性力

。

(コリオリ力も同じ

。

)

例えば、月の方が太陽重力に敏感に反応したら

月は太陽方向にシフトするであろう

⇒　円軌道が楕円軌道に変化する

。

実際は地球に引き付けられるからもっと複雑だが、 いずれにせよ軌道は変化するはず。

Lunar laser ranging

McDonald Obs. 月面の 反射板 反射板の位置 (アポロなど で設置) 距離精度：数cmの範囲で 月の軌道は不変；加速度 にして_1.5×10-13_の精度

実験結果から得られた結論

v   慣性質量と重力質量は  “何故だか分からない”が おそらく等しい。 v 自己重力が重要な役割を果たす天体の場合です ら、同様に成り立つ。　　　　　　 ⇒　等しいという事実を原理として採用する　　 v 　一般相対論ではこれを等価原理と呼び、　理論の 骨幹とする  (これは後述)

3.4    流体力学方程式とその基礎

•  多くの星は流体力学で記述される。

•  完全流体を仮定して良い場合が多い。　　　　　 (粘性は考える必要がない場合が多い。)

流体力学の基本方程式⓪

0.  オイラー微分とラグランジュ微分

∂Q ∂t = limΔt→0 Q t + Δt,

₍

x!

₎

_{− Q t,}

_{( )}

x! Δt dQ dt = limΔt→0 Q t + Δt,

₍

x +! vΔt!

₎

− Q t,

( )

x! Δt = ∂Q ∂t + ! v ⋅∇!

(

)

Q d!v dt = ∂v! ∂t + ! v ⋅∇!

(

)

v! オイラー微分：ある固定点での時間微分 ラグランジュ微分：流体と一緒に動く系で見た時間微分 時間  t

x

Q t, !x

_{( )}

Q t + Δt,

₍

x!

₎

_{Q t + Δt,}

₍

_{x +}! _vΔt!

₎

d dt _V

∫

ρ dV = − ρ ! v ⋅n dS! S

!∫

⇒ ∂ρ ∂t dV V

∫

= − ∇ ⋅!

( )

ρv! dV V

∫

⇒ ∂ρ ∂t + ! ∇ ⋅

( )

ρv! = 0 ⇒ dV ∂ρ ∂t + dV ! ∇ ⋅

( )

ρv!

∫

∫

= 0 ⇒ d dt M = dV

∫

ρ = 0

流体力学の基本方程式①

1.



連続の式（質量保存則）：

n

v

任意の領域に対して成立するので M = ρ dV V

∫

! P = ρv dV! V

∫

連続の式

P:

圧力

P

P

質量保存 ρ は密度, v は速度

流体力学の基本方程式②

2.  オイラーの式（運動方程式）：

d dt ! P dV V

∫

= − P ⋅n dS! S

"∫

− ρ∇Φ dV! V

∫

d dt ! P dV V

∫

= d dt ρ ! v dV V

∫

= ρ d!v dt dV V

∫

= ρ ∂ ! v ∂t + ! v ⋅∇!

(

)

v! ' ( ) * + ,dV V

∫

Note : d dt

(

ρdV

)

= 0 -. / 0 1 2 ∴ ρ ∂ ! v ∂t + ! v ⋅∇!

(

)

v! ' ( ) * + ,dV V

∫

= − ∇P dV! V

∫

− ρ∇Φ dV! V

∫

⇒ ρ ∂ ! v ∂t + ρ ! v ⋅∇!

(

)

v = −! ∇P −! ρ∇Φ! 任意の領域に対して成立するので オイラーの式 ここで ラグランジュ微分

流体力学の基本方程式③

3.  エネルギー方程式（エネルギー保存則）：

d_{ε = −Pd} 1 ρ " # $ % & ' ⇒ ρ dε dt = P ρ d_ρ dt = −P ! ∇ ⋅v! ⇒ ρ ∂ε ∂t + ρ ! v ⋅∇!

(

)

ε = −P∇ ⋅! v! e ≡ε + v 2 2 ρ ∂e ∂t + ρ ! v ⋅∇!

(

)

e + ∇ ⋅ P!

( )

v! = −ρv ⋅! ∇Φ! ⇒ ∂

( )

ρe ∂t + ! ∇ ⋅._/

(

ρe + P

)

v!0_{1 = −}ρv ⋅! ∇Φ! 熱力学第一法則  (ラグランジュ微分で書かれている) オイラー方程式を用いる

ε

は単位質量 当たりの 内部エネルギー

dV

∫

∂

( )

_∂tρe + dV

∫

∇ ⋅! %_&

(

ρe + P

)

v!'_{( = − dV}

∫

ρv ⋅! ∇Φ! ⇓ ⇓ ⇓ d dt

∫

dVρe + 0 = − dV

∫

ρ d!x dt ⋅ ! ∇Φ ⇓ ⇓ d dt

(

U +T

)

= − d dt W ∴ dE dt = 0, E = U + T +W U = dV ρε, T = dV 1 2 ρv 2 , W = dV 1 2 ρΦ

∫

∫

∫

エネルギー保存則

エネルギー方程式を体積積分すると導出される：

これは非自明 内部エネルギー　　運動エネルギー　　　重力ポテンシャルエネルギー エネルギー保存則

ビリアル定理

オイラーの式に  

_{x をかけて体積積分する：}

dV

∫

ρx! d!v dt = − dV ! x ⋅ ∇P − dV!

∫

ρx!∇Φ!

∫

! x d!v dt = ! x d 2_x! dt2 = d dt ! x d!x dt & ' ( ) * + − v!2 = 1 2 d2x!2 dt2 − ! v2 ⇒

∫

dVρx! d!v dt = 1 2 d2 dt2 ρ ! x2 dV

∫

− 2

∫

ρv2 dV Here, dV!x ⋅ ! ∇P = −

∫

_∫

dVP_{∇ ⋅}! x! _{= −3 P dV ≡ −3Π}

_∫

dV

∫

ρx!∇Φ = W! / 0 1 21 ∴ 1 2 d2 dt2 ρ ! x2 dV

∫

= 2T + 3Π +W これは非自明 定常な系なら 左辺はゼロ

非自明部分の説明 ΔΦ = 4πGρ ⇒ Φ x

( )

= −G ρ_!

( )

y x − y! ∫ d3_y d3xρx ⋅! ∇Φ! ∫ = −G ∫∫ d3x d3y ρ

( )

x ρ

( )

y x!⋅ ! x − y! ! x − y! 3 = 1 2

(

original + x ↔ y

(

)

)

= −1 2G d 3_{x d}3_y ρ

( )

x ρ

( )

y ∫∫

₍

x −! y!

₎

⋅ ! x − y! ! x − y!3 = −1 2G d 3_x ρ

( )

x ∫ d3_y ρ

( )

y ! x − !y ∫ = 1 2 d 3_x ∫ ρ

( )

x Φ x

( )

= W d3_x ρ d!x dt ⋅ ! ∇Φ ∫ = −G d3x d3y ρ

( )

x ρ

( )

y d!x dt ∫∫ ⋅ ! x − y! ! x − y!3 = −1 2G d 3_{x d}3_y ρ

( )

x ρ

( )

y d !x − ! y

(

)

dt ∫∫ ⋅ ! x − y! ! x − y!3 = −1 2G d 3_{x d}3_y ρ

( )

x ρ

( )

y d dt ∫∫ ! 1 x − y! Here, d dt d 3_x ρ

( )

x ! " #$ = 0 = −1 2G d dt d 3_{x d}3_y ρ

( )

x ρ

( )

y ∫∫ ! 1 x − y! = dW dt

定常な星に成り立つ関係

1 2 d2 dt2 ρ ! x2 dV

∫

= 2T + 3Π +W = 0 ⇒ E = U + T +W = U − 3Π − T

Assume ideal fluid: P = Γ −1

₍

₎

ρε

Π = 3 P dV = 3

∫

(

Γ −1

)

U ⇒ E = 4 − 3Γ

(

)

U −T U > 0, T ≥ 0 ⇒ if T = 0, E ≤ 0 only for Γ ≥ 4 3 常温で 単原子理想気体なら Γ=5/3 ２原子分子なら Γ=7/5 束縛系と存在できるのは、限られた状態方程式のときのみ 自然界では_、Γ〜4/3となる場合が数多くあり、不安定現象 　　　が起こるゆえに、現象が多様になる。

星の安定性：簡単のため球対称を仮定

dv dt = − 1 ρ ∂P ∂r − ∂Φ ∂r = 1 ρ ∂P ∂r − GM (r) r2 : v ≡ dr dt M (r) = 4π ρ

( )

r ' r '2 dr ' 0 r

∫

ideal fluid + adiabatic: P = Γ −1

₍

₎

ρε & dε = −Pdρ−1

⇒ P = KρΓ : Γ = adiabatic constant M ~ _ρR3 _{⇒ GM / r}2 ~ GM1/3_ρ2/3 ∂P / ∂r

(

)

/ _{ρ ~ −Kρ}Γ−1 _{/ R ~ −KM} −1/3 ρΓ−2/3 ⇒ dv dt ~ KM −1/3 ρΓ−2/3 − GM1/3ρ2/3 次元解析

ln

ρ

ln F GM1/3_ρ2/3 平衡状態 KM −1/3 ρΓ−2/3 (Γ > 4 / 3) KM−1/3 ρΓ−2/3 (Γ < 4 / 3) Γ > 4/3 の場合安定

Γ=4/3の星の特徴

dv dt = − 1 ρ ∂P ∂r − ∂Φ ∂r = 1 ρ ∂P ∂r − GM (r) r2 = 0 ⇒ ( ~ KM −1/3ρΓ−2/3) − (~ GM1/3ρ2/3) = 0 For Γ = 4 3 [~KM −1/3 − (~ GM1/3)]ρ2/3 = 0 ⇒ M ~ K G & ' ( ) * + 3/2 M = 2.7477K G & ' ( ) * + 3/2 正確には

質量が決まってしまう

_(K

の値で決まる

_)。

最も重要な重力の性質の１つ

。