半無限弾性体上の円板の動的コンプライアンス問題 : その1.軸対称鉛直振動

【研 究 論 文

1

UDC ：624

．

　

073 ：624

．

042

．

7 ：620

．

1 日本建 築学会 構 造 系 論 文報 告築 第 349 号

・

昭 和 60 年 3月

半

無 限

弾性 体

上

の

_円

板

の

_動

_的

コ

ン

プ

ラ

イ

ア

ン ス

問

題

その

1

_{．軸対 称鉛 直振 動}

正 会 員

　東

原

紘

道

＊ 　

1．

研 究の概 要

　

本研究は

，

半 無 限 弾 性 体の表 面にあっ て微 小 振幅の単 振 動 を す る 円板と半 無 限 弾 性 体の_相互作用を考察す るも の であ る。

　

半 無 限弾性 体に作 用する集 中 荷 重に関 するLamb の 研 究以来

，

この問 題は精 力 的に解 明さ れ て きた

。

これ ら の成 果を本研究の観 点か ら要 約すると次の よ うにな る

。

　 （

1

） 点 加 振 源に対する応 答1 ） 　（2）　円板の応 答2 ，

−

8）

・

11） 　（3） 選 点 法9 ｝

・

1°1

・

12） こ の う ち（2 ＞と（3 ）は いずれ も（1）の 応 用 とい う 性 格 を 有し てい る

。

（2）は（1）によっ て与え られ た解の合 成と して得ら れ る

。

これに は円板下面の応 力 分 布 形 を仮 定し た もの と_， そうでない もの と が あ る

。

は く離や 滑動を考 えない限り

，

円板の変 位と下 面の応 力は_{， 半}無限弾 性 体 の 力学に よっ て完 全に規定さ れ る もので あ る か ら

，

前 者 の解の適 合 性は限ら れて いる

。

応力 分布形の仮 定に は対 応す る静 的 問 題の解が使 用さ れ ることが_多い3）

−

5，

。

こ の 場 合に は振 動 数の増 大と ともに_結果の適合性が低下 す る こ と が予 想され る

。

　応 力 分 布 形 を仮 定し な くても

，

未 知 量の_{適 切}な変換に よっ て

，

斉 合 的な変 位

一

応 力の解が得られ る

。

接 触 面の 変 位 条 件お よび自 由表 面の 応 力 条件を 記述する 2個の線 形 積 分 変 換で定式 化 する

“

dual

　integral　equatien 法

”

は そ の代表的なものである。 こ のう ち第

2

の方 程 式を自 動 的に満 足 するよ うな変 数 変 換に よっ て

，

単 1の 積分方 程式 が得られ る

。

こ の方 法は剛体 円 板お よ び あ る 種の弾 性円板に対して適 用 され

，

いずれも第

2

種フ レ ドホ ルム 型積分方 程 式に帰 着させ て解い てい る6LS］

_。

　し か し こ の方 法で は第 1の方 程 式に円板の応 カ

ー

変 位 関 係が含 まれ る の で

，

円 板の 力学を同時に処理 す ること が 必要で あ る

。

こ の た め 円板が少し複 雑にな る と計算が 不 可 能に なる

。

_例えば液 体を含む タン ク の よ う な 軸 対 称 構 造 物の解析に は適し ていない

。

　 これに対 して本研究の方 法は

，

以 下に示す ように

，

円 t _{埼玉大学　助 教 授}

・

_工博 　（昭 和58年5月21日原 稿 受理 日

，

昭 和59年9月18日改 訂原 稿 受 理 　 日

，

討 論期 限 昭 和60年6月 末 日 ） 板の運動 法 則を まっ た く捨 象し た ま ま

，

専ら半 無 限 弾 性 体の運 動 法 則だけか ら

，

接触面の_{応 カ}

ー

_{変位 関係}を定式 化 する。 この た め本研究の結果は， 円板の力学的 諸特性 による_制約を

一

切受け ない

。

そ して あら た めて これを 円 板の運 動 方 程 式と 連立さ せ るこ とに よって相互 作 用は完 全に解か れ る。 構造 力学の豊富な離散化手法 を前提 すれ ば

，

こ の円板は複 離な軸対称構造 物の基 礎であっ て も差 し支え な く

，

む し ろこ こ に_研究の_本来の ねらい が ある

。

　（

3

＞の研 究は， 点 加 振 源に対す る解 を 基 本 解 として 利 用し， 適 当に設けた選 点につ い て重ね合せ る

。

変 位の 適 合 条 件を逆 算す る連 立1次 方 程 式を解け ば

，

選 点に お ける応 力が得ら れ るle｝ 。 　選 点 法は板の任 意の形状に対し て対応で き る し， 板が 剛体である こと も要し ない

。

し た がっ て実用性の高い計 算 手 法で ある。 ただ しこの方法で精度の高い解 を得る た めに は多 数の選点を要す る

。

こ の た め所 要 計 算 量が大き い

。

また選 点 法が避け ら れ ない 宿 命と して_， 基 本 解の特 異性の た めに_， 連 立1次 方 程 式の_{係数行 列}の主要項つ _ま り対 角 項お よ びそ の隣 接 項の_{計 算}の誤 差が増大 し やす い_。 　選点法は建前上は任 意 形 状の基 礎に対 応で き る

。

しか し所 要計算量 と精 度の面か ら す れ ば

，

矩 形 もし く は類似 の形状に対し て効 果 的で あっ ても

，

円 形板に対 して は選 点 法に よ る高 精 度の_解を得るの は 困難である

。

と こ ろが 本 研 究は変 位と応 力の直接的な解 析 的 関 係 を 与え る。 こ れ の離 散 化は簡単であ り ま た特 異 性の処 理が容 易であ る の で効 率の よい計算 がで きる

。

こ の ため本 研 究の結 果は

，

（

3

）の研究に対し ても独 自の意 義 を有 してい る。 　円形板の振 動は水 平 方 向 と鉛 直 方 向に大 別さ れ る

。

さ らにそ れ ぞ れ を 円 周方 向の フ

ー

リエ _{成 分}に分離し て扱う こと がで き る

。

本論 文で は その う ちで最 も簡 単な軸対称 （0次の フ

ー

リエ _成分）鉛直振 動で， かつ 接 触 面で のせ ん断応 力の _存在 し ない 場 合につ い て報 告する。 ほ かの ケ

ー

スへ の展 開は別の機会に譲る が

，

その大す じは以 下 の議 論の中で明ら かに な る

。

　

次 章で は まず理論 式 を展 開する

。

そ の結 果とし て接触 面の鉛 直 方向変位と垂 直応 力 を直 接に関係づ け る積 分変 換が 見出され る し か し こ の関 係 式は形式的な も の に留ま

一

₅₀

一

る。 な ぜなら その核 関 数は特 異 点 を有す る関 数の無 限 区 聞上の積 分である た め こ の ま までは利用が困難だ か らで ある

。

こ の壁 を乗 り越えるた め に既応の研

究

は

，

積 分変 換 を 施 した り6）

_，

_{関 数 展 開を利 用し て き た}ll） 。 こ れ に対 し て本 研 究はこ の核 関 数を 正面か ら計算す る。 その結果 得ら れ る方 程 式の積 分核は複素数値を と る対称 核で あ り

，

こ れ は有 限 区 間 上の積 分と して与え ら れ る。 この被 積 分 関 数は初 等 関 数と円柱 関 数の ほ か に新しい形の特殊 関 数を含む。 こ の関 数は円柱関 数に類似 し ているが しか もそれに還 元さ れ ない もの で あ る。 　式の誘 導に あ たっ ては，小林に よ る計算方 法 を顧 慮し， これ と本研究の結果を対 応づ け る よ うに努める

。

これは こ の _{方 法}が もっ と も洗錬さ れ た積分法で あ る と の認 識に も とつ く13｝

_。

_{こ の} 照合に よって本 研 究の結 果の特 別な場 合 とし て点 加 振 解が含 まれ ること が確 認さ れ る

。

　 本研究の結 果の_妥当 性は_， さ ら に第 4章に お い て

，

剛 体円板の応 答 問 題に適 用 する ことによっ て検 証さ れ る。 　

2

．

理 論 解 析16｝ 　円柱座標 （r_，θ_，2_）を， z ≧0が半 無 限 弾 性 体と なる よ う に と り， 弾 性 体の変位 をu， その地 表 面に おける値 を成分で _（u，v，w） と表 す

。

　 本研究の基 礎と な る関 係 式は妹 沢に よっ て与え ら れて い る14）

_。

妹 沢は 3組の特 殊 解 を与えて い る が

，

以 下では 地 表 面で のせ ん断 力 を0と す るの で

，

rot　u

＝

0を満た す 解およ び （rot　u）t

＝

＝

O

，

　

div

　u＝ ！Oを_満足 す る_解だ け_で記 述 すること がで き る。 地表面で のせ ん断力が 0である こ と を用い る と

，

　

　

　

・一

｛

｝

2ψ

譁

評

1

募

・

ゐ 伽

｝

・

　　 　　 COS （7兀θ｝

・

el

ω

t

……・

…



…………・

…



・

・

_{（1 ）}

　　　

。

一

湘 ・ 鰯

一

（κ 2 ＋_β2）占 嗣 　　 　　　 a2

kZ

＋β2　　　　r 　 　 　 　

・

sin （m θ）　eSωt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2）

　

　

　

・

一一

器箒

淵 ・・） 　 　 　 　 COS （m θ）et

ω

t

………・

・

………・

・

…・

・

…t・

（3）

　

　

　

・

一一

・

争

鵡

・

漁 ・ 　 　 　 　 COS （m θ＞etωt

…

　

……・

・

………・

・

・

・

…

　（4） 　 　 　 2　 　　　 　　　　 　　t こ こ に ・ ・地 麺 での 塑 応 加 』 、

卷

_。

・

ゲ

ー

 

at

・

＝k2一

αt， β 2

＝

_が

一

_bt

_，

　p は弾 性 体の密 度

，

λとμ は

Lame ’

の定 数， み は m 次の Bessel関 数で あ る。 さら に 　　 　　F （

h

）

＝

（ゲ＋βt）2

−

4dgh2

…・

…・

・

・

……・

…

（5 ） 　以 下で は変 位と して もっ ぱらw の み に着 目す る。 こ れ は地 表 面で のせ ん断 力を 0と し た限定に対 応す る も の で あ る

。

後 述の 方 法に よれ ばu と v を計算する ことは 困 難で な い

。

　着 目さ れ る w とσ の r _{方 向 の 変 化} はい ずれ も

Jm

（hr）で表 示さ れて い る

。

　

Fourier−

Besselの積 分 定 理に よっ て， 式（3 ）お よ び（4 ）は， 連続性に関する適 当な数 学的条 件を満足 す る任 意のw とσ を 表 現す ることがで き る。 し た がっ て これ らの

一

_方は 他方の定 積分 と して表 現す ること が で き る。 円 形基礎の場 合に は， r＞

R

に お い て σ

＝0

と な るの で

，

ω を σ の定積分 で表現 す る方が 簡 単な関 係が得 ら れ る

。

ここに

R

は 円 形基 礎の半 径で ある。 　以 下で は簡 略 化の た めに

，

式（

3

）と（

4

）の cos （m θ） e：wt の項の記載を省 略す る

。

　

Fqurier−Bessel

の _関係に よっ て式（4 ）よ り

　

　

　

雀

轟

一

邊

∬

・ 砺 （s）・

J

・〈

hs

）

ds

式（

3

）が

k

に_関す る重ね_合わ せ で あ ることに留 意 しつ っ

，

これを式（

3

）に代入 す ると

　　

　

醐 一

芸

∬∬

編

％

1

・） 　 　　　 　　

・

Jm

（

kr

）

Jm

（

ks

）

ds

　

dh ・

…・

一 ……

（6） こ こ で の ω煎 お よ び am は式（

3

）

，

（4）を各々

ll

につ い て重ね合わ せ た もの で

，

現実の 量で ある

。

式 （6 ）を次の よ うに書く。　 　 　　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　

引

　　

zv・（r）

−

ll

　

f

，　

“

°

scr．　（s）　w．（… ）ds

…………

（7 ）

　　

w ・

（r ・ ・）一 ゲ

∬

論

婦 _{呱 伽 ）}

dh …・

（

8

） 特に_{半 径}

R

の 円 形 基 礎の場 合に は

，

式 （7）は （

O

，

R

） 上の定 積 分であ る。 ま た式 （8）により明ら か に 　レ

Vr陽

（7

_，

8）＝

Wm

_（8 ；r）

・

『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（9） 地表面にお け る 鉛直 方 向 点 加 振 源の場 合に は式 （7）

，

（

8

）はm ＝ Oと な_り

　　

　

w・（r）

一

謡

階 ・・）

一 ………・

（1・）

’

　

　

　

　

　

一一

鵄

∬

龜

漁 ）dh

−

…・

・

（11 ＞ となっ て既 往の結 果に

一

致 する

。

本研究は式（

11

＞の定 積 分の計 算に関す る従 来の手 法を式 （8＞に まで拡 張 する こ

．

と を主た る内容と するもの である。 式 （8）を変 形し て pv・・（… s）

−

bt

｛

・・

一

・

∫

°

°

Jm（k・）・Jm （_・・｝　・・　

．

1

…

（12） 塩

一

∫

国

｛

蟲

＋・

｝

Jm

（κ・

臆

・）

d

κ

・

一 …・

…

（・

3

） 　 　 　 1 　 　 　 　こ こ に 　 C

＝

…………・

…・

…・

…・

…・

……・

（14） 　 　 　

2

（び

一

α2） 式 （

13

）の被 積 分 関 数の う ち中かっ この部分 は，

’k→

。。 の とき

，h

’

t の オ

ー

ダで減少す る

。

この事 情は独 立変数

k

を複 素数に_拡張し

y

も変らず， 駈 ←QQ の と き

Ihl

’

t の オ

ー

ダで

0

に近づ く。 　 以下で は軸 対称 解 （m

・

＝

O ）につ い て考察を進め る。 式 （

12

）の右 辺第

2

項の 定 積 分は第 1種 完 全 楕 円 積 分

K を用い て表 現さ れ るIS）：

f

。　 be 　

J

・（

k

・）・

J

・（

k

・）・

dh 一

畜

・

（

÷

）

・

……・

…・

……

（15） 次に式 （13） を計 算 する。 ・・一

［

ズ

1

憲

編

鳶）

F

照 ）論伽 ）ゐ（撚

　　　

＋ ・

∬

ゐ伽 ）

J

・（κs）

dk

］

　

　

　

・

i

［

∬

盖

編

κ）

J

。（

k

・）・

J

。（

ks

）

dh

　

　

　

・

∬

蔽

編

、）

謬

鵬 制 ゐ（・・

圃

　

　

　

・

∬｛

κ

轜

・・

1

醐 綢 …

…

・

16

・ こ こ 5こ

F1

_（ん）三 _（2_ん2

一

_δ2_）2

　　　　F

，（

k

）

＝4h2

　

v

麿

『

v

「

6

可

　　　　F

も（

iC

）

；

4丿

k2

　_v

_廡

「_v！

57

：：

T

， 

・

・

一・

・

・

・

・

・

…



（i7） 式 （16）では 被積 分 関 数の 2乗 根の枝を

，

le

→

。。 で正と な るよ うに選ん だもの で

，

既 往の研 究 と 同じ である

。

　式 （16 ）の うち有 限 区 間の積 分は容 易に数 値 計 算され る

。

問題 は （

b，

◎0 _〕上の_{積 分}である。 こ の積 分 路上に は

F

（

k

）＝

O

の_唯 1の 0 点が_{存 在}し_{て い}る 。こ れ を x と する。 こ の ときの積 分 路の_取り方につ い て は

Lamb

の研 究 以 来い ろ い ろ な解 釈が な され て お り

，

時計回 りに迂 回 す る 積 分 路を採 用 すべ き こと が明らか にされ ているIS）

_。

この 結論は実 軸 上の x 点が

，

複 素 平 面 上の 下 側か ら （ム （x）〈0 ｝の _{極 限}で あ ること

，

換 言すれ ば

，

定 常 振 動は正 の減 衰 振 動の _極限 と して得られ る との解 釈に よっ ても得 ら れ る

。

　次 式で 定 義され る H。を 小 林に 倣っ て

0

次の 変形

Hankel

関 数 と呼ぶ。

　　

　

飾  

一

｝

∬

… St”ede

・

…・

・

………

（

18

）

H

。の実数 部 分は

0

次の Bessel関 数J。 とな る。　H。の虚 数 部 分 を

N

。と書く。

H

。（

k

）＋

H

。←

h

＞

＝2

　

J

。　｛

h

）で あ るこ と を用い ると

，

　

　

　

∬

1

κ

轜

・・

｝

J

。　（κ・r）・

J

。・（

h

・）・

dh

　　　

一

き

・…＋ ・・ ｝

・

一 …・

……・

……・

……・

……・

…

（・9） こ こに

，

r

」

∬｛

κ

辮

_・・

llH

。　（

k

・）　

H

。　｛

h

・） 　　　十

Ho

　_（

一

　

hr

_）　

Ho

　_（

一

　

ISs

_）｝

dk …・

………

（

20

｝ 」・」

∬｛

κ

轜

_・・

｝

IH

。・｛

h

・）・

H

。　（

− h

・）

　　　

十 正』o（

− k7

）

Ho

（

ks

）

l

　

dh

…

　門

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（21 》 図 1で_示され る周

．

回積 分 路をA と すると

一

₅₂



一

一

R

一

に　

胴

b

−

aab 　 t R 図1 積 分 路

∫

1

κ

需

・・

｝

晒 凪 贓

　　　　 ．

xVli ＝

ii

　　　 　　　 　　 　

Ho

（

−

xr _）

Ho

_（

−

ZS _） 　

＝− 2

πL 　　　 　　　

F ’

（x） 積 分 路A の うち半 円 周 上の_積分は

R →

。。 に お い て

0

に な る

。

し たがっ て_，

　　　　　　

xVITaT 　

I

〔1］

．

■−

₂ π

i

　　　 　　　 　　 　　

Ho

（

−

xr ）

Ho

（

−

xs ） 　 　 　 　

F

’

（x）

　

　

　

一

・

∬

蹄 ・）H・・｛・s）丗 （

一

・・）H。（

一

・・）｝

dk

　　　 　　。　

kVFEi

　

　

　

−

fa

　 　 　 　

dkX

　　　 　　

IF

，（産）

12

十

IF2

（

h

）｝ t

　

　

　

［

．

瀏

齢繃

鼎

_｝

竺

魚鮪 魚掣

_、）｝

］

　

　

　

一

_・

∬

盖

需

κ）糠 ・〕

・

照 ・） 　　 　

一

Ho（

一

丿ヒγ）

Ho

（

一

丿

ts

）｝〔

th ・

・

一一・

…

　

髄

・

一・

・

・

・

…

　＜22）

1

〔：）_に っ いて は

，

式 （

18

）を用いると

，

・1−

∬

・

ぜ

・・

∬

1

産

需

・・

｝

　　　

・

（e‘勘w 十e

’

tte ）

dh ・

・

・

・

…

　一・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

…

　r…

　鹽

鹽

・

・

（23 ） 　こ こ に_ψ＝ rsin _鼠

一

Ssi1 _畠 以 下で は

k

につ いての_{積 分 （}

23

_）を実 行する。 　ψ ＞

0

の と きは積 分 路

A

を 用いる

。

　

　

　

バ

轜

・・

｝

・・

・

…

dh

　　　　　　 ．

xVIT ＝

Ei

　　　　　　　　

F ・

ω e

’

t’P　

”『

… ’

”… ’

……

_（

24

_） 　 　 　＝

− 2

π ‘ 半円周上の積 分は R

→

o。の とき

0

に な る。 し た がっ て

　

　

∬［

κ

癬

・・

1

（・・… e

−

・k・）

dle

−

一

_… κ

需

・

−

t…

一

・

∫

％

・… ・e

−

ikeldh

　　　　

bkVFii

　　

−

fa

　 　　 　　　 　　　 　　　

lF

，（

h

）（eCk ψ 十e

−

ike） 　 　　 　

lF1

（

h

）

ll

十

iF

，　（

h

）

li

　 　十　

i

　

F2

　（

k

）　（eikW

−

　e

−

tsv　）

l

　

dh

一

_輪

_需

、、・・ …

一

・

−

it・

ldh

……一

・・5 ・ 　ψ〈0の と き は 図 1で示 さ れ る 周 回積分 路 B を 用い るQ

　

　

バ

癬

・c

｝

・… 　

dh

− 一

… κ

舜

・…

…・

…・

………・

…・

…・

…

・・4・

’

半 円周 上の積 分は

R 帰

。。 の と き0になる。 し たがっ て

　

　

∬

｛

左

轜

・・

｝

（・th…

一

・・ ）dh

− 一

… κ

舜

・… ・・

∬

・・・… e

−

…“…

dh

　　　　

bkVETEiT

　　

−

∫

　 　　 　　　 　　　 　　　 協   　 　　 　

1F

，（た）

lt

十

IF2

（

h

）ド 　 　

・

（etke 十 e

−

tκe ）

− iF

，（

iCXethe

−

e

−

ikde ）

i

　

dh

・ ・

∬

。

宍

需

、、

1

・ ・tdi

−

・

−

tt・…

dk ・

……・

・

25

・

’

式 （25）と （

25

＞

’

を式 （

23

）に代 入 す る と

，

_．

　　　　　

xVFET 　 　　 　　　 　　　 ［

i1Ho

（xr _）

Ho

_（

−

xs _） 　

Ic2i

．

，

一

π 　 　 　 　

F ’

｛x） 　 　　十Ho（

−

xr ｝Ho（xs ）

i

十2Go （xr

，

xs ）］

　　

一

・

∬

隰 κ・凪 ←

le

・）＋

H

・←

kr

＞

H

・　（

h

・

M

　

dk

　　　　

b _κ

_儕

　　

一

fa

　 　　　

IF

，（た）

1

： 十

1

凡 （

k

）｝2

［

F

’（

讐

觚

告

（

淵瀞

（

　

κT）

H

°（

hs

）｝

］

d

・ ・ ・

∬

。

宍

編

、、・伽 繊

………

〔・・

）

こ こ に

，

α（・・… ）

一

素

∫

T

…

1

・・

．

・… e，

　　　　　　　

− hssine

，

ld

θ［

d

防

…・

…・

・

…

　

…・

…

（27）

．

_{式 （}22）

，

（26）を式 （19）に代入 すると

，

∬

｛

た

轜

・・

｝

J。・・…J。・｛・…

dh

−

一

π

欝

賺 の 掴 ・・ま（・ ・_，・s｝

1

一

_・

∬

融 ・）ゐ困 齔

　　

・ _κ

VEi

＝

ET

−

fa

　 　　 　　　 　　　 　

IF

、  　 　 ｛

F

重　（

h

）

12

十

1F2

（

k

｝ト 2

・

_J

_』（

_hr

_{）ゐ （左8）}

_{− F2}

_（左）

・

・

_G

ま（

hr

，ん8）｝

dk

∬

。

鬟

需

、）・

r

（孀 ）

d

・

…・

…………・

（・8） こ こ に

，

　

Gr

（

h

・

，

ks

）−

EIG

・（

le

・

，

les

）＋ゐ 嗣 照 ・） 　 　 　 十

No

（

kr

｝

Jo

（

ks

）｝

・

・

・

・

…

　

tt・

・

tt・

・

・

・

・

・

…

　（29） 　 式 （28）を式 （16＞に代 入する

。

為

イ

議

編

κ）

Hr

（

k

・，・・〕・・

　

　

　

・

∬

1

罐

編

、）ド

蜘

・ま障 ・〕齔

　　　　　

xVli ＝

ZiT

　　　

−

nF 、ω

H

撫 … ）

鹽

”』

’

… … … ”幽

（30） こζ に

，

　

H

才〔

h7・

，

ks

）

＝G

訳

hr

，

les

）十‘」』（

ler

）

J

』（

hs

｝

　　　　　　

−

SIGo

〔

h

・ ，

k

・｝＋J・（κ・）・

N

・（

h

・） 　　 　　　 　　 十

No

　｛

hr

）　

Je

（_£8）

1

_十

iJo

　（

hr

）

Je

（

hs

）

　　　　　　　………一 ………

∴

…

（31） 　以 上の_結果をま と め る と次の よ うになる ： w・（・）

一

去

∬

s ・・（・陥 ・・）・・

…………一

（・・） こ こに，

　

w・　（r ；・）

一

ゲ

｛

為

一

舞

κ

（

s7

）

ト

・

…・

………・

・

…

_{（33 ）} 　 得ら れ た結 果の式 （32）

，

（

33

） が小 林の与え る結 果の

燃

張に なっ て い る こ と は次の よ うに確 められ る

。

大きさ P の集 中 荷 重の場 合に は式 （32）に お い て

　

　　

・・ 〔・）

鯉

・ であ る か ら

．

　

　　

w・（rl

− −

2

鳬

晰 ・・〉

　

　

　

　

　

　

一

_器

〔

÷

一

［・・］

司

　　 　　　 　s＝ O_{の と き}

，

_式 （27 ）_より

　　　

G

。（

hr

；

O

）＝

N

。（

hr

） 　 ∴　

H

訓鳶7

，

0）

＝iHo

←

kr

）

　

∴ _［

1

・・］s

−

・

一

誓

こ こ に vl は小 林が与え る定積 分で あ る13 ］

_。

_{し た が} っ て

　

　

　

w・｛・｝

一

器

÷

（

1

一

麦

・・

）

……・

・

・

・

_…

…・

（・4） とな り

，

小 林の結 果 と

一

致す る。 す な わ ち点 加 振 源に対 す る応 答は

，

鵬 （r ；O）によっ て与え ら れる。 　

3．

．

結 果の考 察 　 前 章の計 算の結 果の中 心は式 （32）である

。

これ は鉛 直 方 向に軸 対 称の単 振 動 をする半

無

限弾 性 体の境 界

＝

自

．

_{由表 面}に おける_変位と応 力を積分変換の_形で _直接に_結び

・

つ け る もの で あ るd 式の

’

形状か ら応 力分布形状を任意に 与 え う るこ と が 明 ら かであ る

。

そ れに応 じて その応 力 分 布と斉 合 的な変 位が

一

意に

．

定ま

．

る

。

し か し逆は成 立た な 　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　 　　　 　

一

53

−

．

い

。

式 （

32

）のr の定 義 域 （

0，

・。_{） 全 体}で ωeは独立で はあり えず

，

そ のうちの適 当な部 分の r につ い て w。を 指 定 すれ ば

，

そ れ と斉 合 する応 力σ。が式 （32）によっ て定 まっ て し まい

，

その σ。か らや はり式 〔

32

）によっ て爾 余の w。が決 定さ れ る。 　そこで

一

意な解を定め るの に_{必 要}かつ _{十 分}な よ うに_変 位w を指定す る に は ど の範囲 の r に対し て行えばよい か が問題で あ る

。

この問 題 は式 （32 ）を

，

未 知 数 σ。に 対する積分方 程 式と見た場 合の_， 解の_{存在 問 題}に ほ か な ら ない

。

数 学 的に は必らずしもその ように限 定され なく て も よいが

，

実 際の対 象 を考 慮して

，

ω。を指 定する領 域 も0≦r≦R で あ る と す る。 こ のと き式 （32）は第1 種フ レ ドホル ム型 積 分 方 程 式で あ る。 こ の方 程 式の解の 存 在 性は積 分 核に対し て き わ め て敏感で ある1η

。

　 前 章の結 果 を無 次 元 化 すると次の よ うになる ： 既

籍

ξ） −

X

’ ・

・

｛

仍

警

η）

ト

臨 ・・d・

…………

… ） 蝋 ・剛 ま

（

ξ… ζ

・

号）

一

髪

 

　　

　　　

・

・

（

？

）

…

ξ・ ・≧・

……・

・

………

（・6｝ こ こ にξ

＝

r／

R

， η

＝

s／

R

， ζ

＝

δ

R ＝

無 次 元 振 動 数

，

・

− 1−

・’・

−

S

（

bi−

・ a’）・（

b

；

−

a’）

一

ポ・ ・ ソ ン比 讌 次 元 量 蹄 は式 （30 ）か ら容易に求め ら れ る

。

また a／

b

は レ を用い て表さ れ るの で

，

上 式を次の よ うに書くこ と もで き る。

w9

（ξ

，

・）

一

ζ・訓 嬬 の

一

呈

≒

z

咽

……

（・

6

） ’ 実 際に は 4個の パ ラメ

ー

タ 義μ，

R

，ωが任 意に指 定され う る が， 計算の本 質 的 部 分は

2

個の無 次 元パ ラ メ

ー

タ ζ と ・ だ けで き ま … たが・ て ・≦

嚇

お よび・≦ζ の_{適 当}な組に_対し て 曜 の_数値をファ イル し て お けば， 任 意の条件に対して_計算す ること ができ る。 y

＝0．

25，

ζ

＝

5

．

0の場合の 曜 の形 状を等高 線の形で図 2に示す

。

R 00 図2 積分核 l） R　「

一

₅₄

一

畔 の実 数 部 分も虚数 部 分もξと ηに関し て対 称で あ るの で

，

領 域の _半分につ いてのみ を 示 してあ る

。

図の _（1） は 曜 の実 数 部 分で あ る。 直線 ξ

＝

η上の点は すぺ て特 異点であ り

，

ξが ηに近づ く と き

，

孵 は対 数 的に発散 す る。 こ の 特 異 性は専ら式（

33

）の右 辺第

2

項であ る楕円 積 分に _由来す る。 式（32 ）の数値積 分に際しては この特異 性の処理 が結果 の精度 を決 定づ け る

。

対 数 的な発 散は特 異 性の う ちでは 言 わ ば 最 も穏や か な もの で， 数 値 積分の 区 間分割 を十分に小さくする と_，そ れ で精 度は向上 する。 む し ろ対 数 的 発 散の穏やか さの方が問 題で ある

。

特 異 性 が ξ

＝

ηの近 傍に十 分に集 中し て お らず

，

関 数 値が比 較 的にだらだらと 上昇す るの で

，

特 異 点か ら若 干 離れ た領 域の寄 与に も十 分 注 意を払わ な け れ ば な ら ない。 　 曜 の実 数 部 分の う ち 躍 に由 来 する項は全 領 域で連 続であり穏やか に し か変 化し な い

。

滑 の実 数 部は

，

（O

．

4

，

0

）付 近に明 瞭な極 大 点 を 有 する ほ か

，

い くつ か の鞍 点 もし くは極 値 点 を 有し ている。 他 方で上 述の楕 円積 分 項 は

，

特異点 ξ＝ _ηを尾 根と し て ， そこか ら遠 ざか るにつ れ て単調なスロ

ー

プ を描いて変化す る

。

両 者の合成 が 図 2であっ て_， 複 雑な関 係 を窺わ せ て い る

。

上 述の （0

．

4， 0）付 近の極 大 点は維 持さ れ て い る

。

また （0

．

81

，

0

，

44） 付 近に明 瞭な鞍 点が生 じて いる。 　図の（

2

）は 曜 の虚 数 部 分で あ る。 これ は実 数 部 分 と異なり全領域で正 則で あ る

。

　

4．

剛 体 円板の例に よ る検証 　式 （

32

）を 用いると， 半 無 限 弾 性体上の 円柱 状 構 造物 の軸 対 称 振 動 を解くこと がで き る

。

こ こ で構 造 物は弾性 体の よ うに_変形す る物体で よ く， 剛体で あ るこ と は要求 さ れ ない

。

具 体 的に は， 構 造 物に対す る地 盤 反 力σ を さ しあたり未 知の ま まで用い て

，

構 造 物の みの運 動方程 式を作れ ばよ い。 こ の運 動 方 程 式と式 （32）を運 立さ せ る と， 問 題の完 全 な定 式 化が得ら れる

。

もち ろんこ こ で は構 造 物と地 盤の接 触 面の剥 離は考えて いない

。

　こ の連立 方 程式の解 析 解は とて も望 め ない の で

，

離 散 化によっ て数 値 解を求め る 必要が あ る。 数 値 解 析と し て は

，

式 （

32

）を 個 別に離 散 化し てコ ン プライアン ス行 列 を 計 算する の が 自 然で ある

。

こ の 計 算は結 局の とこ ろ式 （32 ）を 未 知 量 σ に対する第 1種フ レ ド ホ ル ム型 積 分 方 程 式とし て離 散 化によっ て解くこと と同 等であ る。 とこ ろが

一

般に第 1種フ レ ドホ ル ム型 方 程 式は解 析 的 性 質が 厄 介で あり_， ま た その離 散 化には大き な誤 差が生 じ や す い

。

省み ると

Robertson

らの研 究の 実 用 的 意 義は

，

解 くべ き積 分 方 程 式が_第2種フ レ ドホ ル ム型であっ た点に

’

由来す る。 これ は逐 次 近似法に よっ て比較 的容易に高い 精度の_解が得ら れ る か ら で あ る

。

逆に言えば

，

本論文で は 基 礎 が 剛体であ る とい う制 約を解 除 した関 係を 定 式 化 し た が

，

そ れ は数値 計算上は第 1 種とい う面 倒な方 程 式 の導入 とい う対 価 を 支 払わ な け ればな ら ない わ け であ

る。 　こ の計 算は

_，

しか し な が ら

，

現在の コ ン ピュ

ー

タの 能 力を もって す れ ば さ ほ ど困 難で は ない 。 以 下では

，

従 来 か ら解か れ てい る剛体基礎に対し て離散化を行 う。 こ れ によっ て離 散 化の精度 を考察す る と共に

，

式（32 ）を基 礎

．

_{と す る} 本 論 文の アプロ

ー

チの_{妥 当性}を 示 す よ うに_努め る

。

こ の離 散 化の中 間で算 定さ れ るコンブライアン ス行 列 その もの は_， 基 礎が剛 体でない場 合にも同

一

の

，

普 遍 的な もの で あ る の で_， 直ちに_{弾性基 礎}その_他に_{適 用}で き る ことは言うまで も ない

。

　 （1｝ 離 散 化の実 行 　 式 （

32

）の _（r

_，

s_）

．

の _各々 の_変数の_{領 域}を適 当に分 割 す る

。

後述す る よ う にこ の_{分 割}は不等間 隔でな さ れ る。 式

　　　　　　　

（32）中の w は選 点 法で離 散化し

，

σ〔s）は各区間内で S の 1次 式と して_変化する もの と す る。 重要なの は σ の 扱いであっ て， これを も選 点 法で処理 す る と誤差が大き く な り使い もの にな らな い

。

ω にっ い て は この よ うに 最 も粗い方 法で後述の よ う な精 度が得ら れ る

。

　い ま分 割 点 を

O＝

r、く r2＜

・

・

〈 rN

＝R

と書 く

。

す ると 上述 の離散化に対す るコ ン プライア ン ス行 列は NXN の 複素 行列で あっ て

，

そ の （ノ

，

h

） 要 素は次 式で与えら れるe

’

去

礁

・

淳完

臨

，

・）

ds

＋

∬

＋

1 ・

無景

呶   ・＞

d

・

1

…・

・

…… …・

・

（

37

） 産 が ノ

ー1．

ゴ

，

ノ＋1のい ずれ かに_等し け れ ば 上の積 分の う ちの 1つ もし く は2つ の中の被積分関 数 W。が特異 点を もつ の で特 別の処理を要す る』そ れ以 外の _{区 間}で は

．

関数 W。（r」

，

s）もs にっ い て 1次 式と して変 化す る と見な す。 この と き は式（37 ）の_積分 を予め実行してお けば

，

分割格 子点での Weの値 か ら直ちに各要 素が_{計 算}され る

。

　特 異点 を端 点と す る区 間で は関 数 既 が対 数 的に発 散 す る

。

しか し

0

く δ《1の と き 　 　

「

　 ti1＋の

f

。 　 　 　 　 　sσ、（3）鴎（r

，

s）

ds

　 　 　 s

一

の ≒2（ト のム

．

。恥（の

＿＿．

．

＿ ＿ ＿＿＿ ．

．

＿＿＿

（

38

） 　 　 　 π ・

一

・ δ

∬

厨

、

転

＋

1

、

　　　

Vi

　

F2SkT

−

1 　 　 　 　十 δ　

log

　 　

．

十 　 　 　 x2

　

　

・

_（

蹶

一

1 　

1

十

2

δ

X2

十

1

）

一 ………・

…一 …… …

_（… と計 算 され る。 こ こ に

X

， 》

1

とする。

A

は δ の み で定

．

_{ま るの で}

_，1

度 計 算してお け ば普 遍 定 数の ように扱え る

。

コ ン プラ イ アン ス_行列の _第

j

_行は線 分 ｛（rhs ｝；0≦s≦

Rl

．

に_沿っ て式 （3のを積分す るこ とで評 価さ れ る。 こ の うち s≧rl．1お よ びs≦r」

．

、部 分は式 （

37

）に よって計 算 され る

。

特 異点 を 含む微小区間

・

．

rJ（1＋ δ）≧s≧ r」（1

一

δ）の寄 与分 は式（

38

）で与え ら れ る。 これ はコ ンプライア ン ス行 列の対 角 項に上乗せ さ れ る。 残っ た区 間 γ川 ＞ sr 」 （工十δ）お よ び r」

−

1〈s〈r丿（1

一

δ）に おい ては

Wo

の 変 動 が大きいの で_， こ の 区_間を さ らに数分 割し な けれ ば な ら ない

。

ただし変 動が大きい の は

W

。の う ちで も式（

32

）の 第 2項の楕 円 積 分 項 だけで ある

。

こ の た め第 1 項の

le

は 2つ の区間rJ_．、≧S≧rJ お _よび r_」≧s≧rJ

．

1 におい て それぞ れ 1次 式で近似す ること が で き る。 し た がっ て

，

所 要 計 算 量の比 較 的に大きい

Ie

は正 方 形（0

，

R

）×（O

，

R ）中

．

・_{右 半分}の

蜘

・姻 の_{格 子 点 （}r、

，

・、）＿ ． ＿ ・ 対し てのみ計算し て お けば足 り る。 　他方で細 分 割 を要す る楕円関 数 項の 引き数は s と r の 比であっ て 1次元 配列で あ るか ら， 準備計算も デ

ー

タ の収 納 も容 易である

。

　 以上によっ て コ ン ブライアン ス行 列が計 算され る

。

特 に剛 体 基 礎に対する応 力 圄

一

（σ1，σ：

．

…

，aN ） T は 　　 　

1

σ｝三 _μ捌σ

r

　　　

l

σ｝

’

_＝

L ［W ］

一

匚

・

（

1

，

1

，

…

，

1

〕 T に よっ て求ま る

。

こ こ に ［W ］は コ ン プライア ンス行 列

，

w は振 幅である

。

　（2 ）剛 体 円板の応 答 　剛 体の円形 基 礎に作 用する軸 対 称 外 力の合 力 を

Pettut

と す る と ＋ ・・

∬

・ ・（s）

ds

　

　　

一

_脚

_窯

7

等

7’

1

（

2

恥 ＋r・） 　　 　　

・

σ，＋ ■十（r」 ＋i→

−

2rJ ）σ；｝

…

　

一

一

・

・

・

…

　

t−・

・

・

・

・

…

　

一・

（40） い ま

，

　 　 　 （μzvR ）／P

＝

fi

十

．

if2……・

・

………昌

………・

…

（41♪ と お く と

，

　

fi

＋

if

， 　 　 　 　

．

R

　

　韻

等

η

1

（・r・

・

1＋・r・）・

1

・

・＋（… 1＋・r’）・；

l

　 　 　 　

t−・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

…

　（42） この_{関 係 式}を用い て従 来の_{研 究 と}の照 合 を 行 う。 　 式 （

41

）の

fi

お よ び 五は無 次 元 振 動 数

b

・

R

の閧 数で あ る

。

図

3

に計 算 結果を 示す

。

た だ し b

・

R→ 0_の と き

A

→ 1_{と な る ように}

，

4_／（1

−

_{v｝倍して規 格 化されてい る}

。

図 は半径を10分 割し た計 算 結果であ る。 こ れ を50分 割 して も，

f

］

で 0

．

4

．

_％

_，

_fz

_{で 0}

_．

_3％ 程 度の_差し か生じ な い

6

　

Luco

らの 計 算 結 果は図で の

．

み与え られ てお り9 ）

，

精 密な照合はで き ないが

，

図の_{精 度}の_{範 囲 内で}は_， 上記の 計 算 結 果と よ く

一

致し ている。

』

　次に 図4 は無 次元応 力 振幅 （

Ra

）／（μ ω）の絶 対 値の 分 布を示す。 こ こ に d は複 素 振幅で あ り

，

図

．

5で見る よ

一

₅₅

一

L 0 Normalize 己　Comp 工i旦nじe 図3 動 的コ ンプライアン スの値 1／2 o 　 　 　 1 図 5　 応 力の位 相 遅れ R 図4 応 力 振 幅の_分布 r うに

，

そ の偏 角は

一

定で な く r に依 存 して_変化す る。 図はレ

＝

O

．

　25_，

bR ＝

1の場合を示す

。

応 力は外 周部に 集 中して い る。 これに対 応し て r／

R

≦o

．

8程 度の 内 部 では

，

5程 度の粗い分割で も， 結 果は ほと ん ど損な わ れ な い。 これ と対照的に r／R≧O

．

8で は応力振 幅が急 激 に変 化す る の で比較的 密な分 割を施 す 必 要が ある

。

図4 の実線は （

0．82

， 1

，

0）の 区 間を

9

等分 割し た場 合の結 果であ り

，

破 線は同じ区間を

3

等分割し た場 合の結 果で あ る

。

両 者の結 果は

，

破線の_場合の_外側2点において 顕 著な違い を示す。 し か し そ れ以外の内 側の点で は ほ と ん ど差が生じな い。 ま た外側

2

点の誤 差 も

，

分 布 形状を平 滑 化 する形で穏や かに現れて い る

。

この た め図

3

の

fi

と

fi

は比較 的 粗い 分割に よっ て も精度 よ く計算さ れ る

。

　 図5は応 力の振 動の位 相の

，

変 位の振 動か らの遅れ の 分 布で あ る

。

や は り尸

0．

25

と し

，b・

R

は図 中に示 す と お りで あ る

。

振 動エ ネルギ

ー

の 地下へ の_{逸 散}量 は

，

こ の位 相の_遅れ角の sin に比 例す る。 位 相のお く れは 中 心に近づ く ほ ど増 大し

，

ま た無次元振動 数の増大に 伴っ て単 調に増 大す る。 　

5．

結 　 　論 　半無限弾性体 上で軸対称 鉛直振 動 をす る円 板の鉛 直 方 向 変 位と接 触 面の垂 直 応力 との関係を

，

積分変換に よっ て定 式 化し た

。

こ の定 式 化は次の よ うな特 微を有し て い る。 　（1） 鉛 直方向変位と接 触 面の応 力 分 布の関 係が直接 かつ 明 示的に与え ら れ る

。

　 （

2

＞円板の運 動 方程式と独 立に誘 導さ れ た た め， 対 象とする円 板の 力学 的 性 質に制 約が ない。 特に円板は剛 体である必要が な く

，

任意に変形 して よい し

，

そ の上に 軸 対 称 な 上 部 構 造が存 在 して も よい。 　 （3） 有 限 区 間上の定 積 分 表 示に よっ て明 示 的に与え た ため

，

高 精 度の_計算が容 易である。 特に特異点の処理 が 厳 密に できる。 こ の理 論 を検 証 するために

，

従 来か ら 解の与え ら れて い る剛 体 円 板に適 用し

，

既 往の研 究 と 同

一

の結 果 を得た

。

　謝　辞 　 本 研 究の数 値 計 算に際し て は

，

研 究 当 時の埼 玉 大 学々 生

，

現 東 京 電 力 株 式 会 社 勤 務の石 井 敏 雅 君の協 力を得た。 ま た審 査 員にか ら与え ら れ た詳 細な意 見は_{本 論 文}の_向上 に資す る ところが 大き かっ た

。

こ こ に記 して謝意 を表し たい

。

参考 文 献

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一

₅₇

一

SYNOPSIS

UDC:624.073:624.042.7:62e.1

･

A

FORMULATION

OF

DYNAMIC

COMPLIANCE

OF

A

CIRCULAR

DISC

Part

1.

Axisymmetric

vertical mode

byDr.HIROMICHI HIGASHIHARA, MembeT of A,I.J.

.

Vertical

simple

harmonic

oscillation of a circular

disc

on an elastic

half-space

isinvestigatedtheoretically,

The

theory isthen examined numerically.

This problem,

dynamic

compliance of a circular

disc,

has

not _yet

been

solved

in

_general

form

; rigorous

fermulation

isonly

known

incase of arigid

disc.

In

this _paper an extensien ef this theory ispresented,

TEe

new theory is

derived

from

an investigation of the elastic rnedium alone.

As

a cQnsequence, theresult obtained

is

valid against any

deformable

discs

such as elastic plates.

The theory

brings

eventually a

basic

relation

between

the vertical displacement of the

disc

and the normal stress at the contact surface. Itis a linear

integral

transfermation,

_Its

_integral

_kernel,

which

is

obtained explicitly

for

the

first

time inthe presentpaper,

is

expressed as a

definite

integralof some

higher

functions

which are easily calculated numerically. By solving simultaneeusly thebasic equation _presented

here

and the

equation of metion of the

disc,

one can readily take _the

_dynamical

_interaction

_between

the

disc

and theelastie medium

into

account.

The

presenttheory is exarnined numerically, too,

by

applying tothe case ef a rigid

disc

whose result

is

known.

In

spite of the _quite

different

formulation,

the _presenttheorysurely _givesidenticalsolutions.