増分摂動法を導入した一次元複合非線形有限要素法の動的解析への適用(FERT-PD)

NII-Electronic Library Service 【論 　 文】 UDC ：624

．

072 ：624

．

04 ；516

．

3 日本 建築 学 会 構 造 系 論 文報 告 集 第 408 号

・

1990 年 2 月

増

分

摂動

法 を

導

入

し た

一

次 元

複合非線 形有

限

要素

法

の

　　　　　　　　

動 的

_解

析

へ

_の

適 用

（

FERT

−

PD

）

正 会 員 正 会 員 正 会 員 正 会 員 石

上

森

西

田

谷

迫

村

修

宏

清

＝ ＊

一

_＊＊ 9 ＊＊ ＊ 貝

督

＊ ＊ ＊ ＊ 　§

1．

序 　重 層 鋼 骨 組の静 的 あるいは動 的 崩 壊 挙動を追 跡するた めの 数 値 解 析に おい て は

，

重 力と柱た わ みの連成 効果 〔

P −

△ _効果）に代 表さ れ る幾 何 非 線 形 性と履歴依 存性 を示す塑 性 域 応 力ひずみ 関係に よる材 料 非 線 形 性と を共 に考 慮に入れ る必 要がある

。

中 村

・

石 田ら は

，

そ れ ら二 つの_非線形性を考 慮し た

一

次 元 複 合 非 線形有限要素 法 を 開発し， 当 時の コ ンピュ

ー

_{タ を駆 使して}

_，

_{強地 震動 時}の 重 層ひずみ硬 化 平 面 骨 組の大変形 挙 動 を世 界で初めて解 析 し た結 果を1973年の世 界地 震 工 学会 議で発 表し た］｝

_。

その後

，

その_{解 析 法}によ る動的解析プロ グラ ム は_， 強風 に よ る動 的崩壊挙動の_解析2）

・

3｝ などにも使 用さ れて いる。

．

こ の

一

次 元 複 合 非 線形有限 要素 法は

，

要 素に付 随し て移 動 回転 する局所 座標系 （剛体運 動 座 標 ）の採 用と要 素の 直列 性に着 目し た伝達行列 法の導入に よっ て特 徴づけら れ_， 近 年， こ の数 値 解 析 プログ ラム を その特 徴にちな ん

で FERT （

Einite

　

Element

　method 　with _旦

igid・

body・

motion 　coordina しes　and 　

Transfer

　matrix しechniqlle ） と 呼んで い る4 ｝。

　 FERT を 動 的 解 析に用い る 場合の運 動 方 程 式の数 値 積 分に は

，

開発 当 初か ら

，

時 間刻み幅に対レて無 条 件に

安定 な 解 を 与える増分 型平 均 加 速 度 法を主とし て使用 し

て き た。 運 動 方 程 式の数 値 積 分法 と して は

，Runge・

kutta

法，　

Wilson一

θ法

，

　

Newmark 一

β法 な ど多 数の提 案

が な され

，

時 間 刻み幅に対す る安 定性や 誤差 評 価に関す る研 究 も数 多く発 表さ れている

。

しか し， その ほ と ん ど が 線 形 弾 性 応 答に関 する性 能 評 価に限ら れ て お り， 動 的 弾 塑 性 応 答に関する予 測 精度を的確に論 じたもの は見 当 た らな い

。

弾 塑 性 挙 動の予 測 解析の _{精 度}は

，

材 料の履 歴 追 跡精度に依 存する はずである。 し た がっ て

，

いずれの 　 ・ 京 都 工 芸 繊 維 大 学 　 教 授

・

工博 　＊ ＊ _{京 都 大 学　助教授}

・

_工博 ＊ ＊ ＊ _{京 都工芸 繊 維大 学　助 手}

・

_{工 修} ＊1＃ _{京 都工 芸繊 維大 学 　 大 学 院 生}

・

_{工 修} 　 　 〔1989 年 9月6日原稿 受理

．

19S9 年 12 月 4 日採 用 決 定 ） 数 値 積 分 法を使 用す る に し ても

，

弾 性応 答での適 正 な時 間 刻み幅 よりかなり小 さな刻み幅を用い る必要が あ り

，

時 間 刻み幅に対 す る応 答の収 束 性を確 認す る 必要が あ ろ う。 　骨組 構 造 物の静 的 解 析 法と し ては

，

最 近

，

石 田

・

森 迫 が

，

従 来

・

の

FERT

の 静 的 解 析 プロ グ ラム を母 体 とし

，

これに中 村

・

上谷ら が提 案した増 分 摂 動 法7 ）

『

10 ）を適 用 し て

，

FERT

−

P と呼ぶ高 精 度 数 値 解 析 法 プロ グラ ム の開 発に成 功し てい る5｝

・

6］

_。

増分摂 動 法を用いれば

，

材 料の 応力 ひずみ履 歴 経 路 を 除荷_開始点を求め ること まで含め て高精度に追 跡で き_， 各増分段階の_誤差率が指 定 限 界 値 内に収 まる よ うに増 分 長 を 自動 的に決 定で き る

。

これ に よっ て

，

材 料 線 要 素4圃 にお け る応 力ひずみ 関 係の 追 跡 精 度が格 段に向上 し_， FERT

−P

プロ グ ラム はこれ まで 解 析 が 困難 とされ ていた重 層

K

型 筋かい 付 鋼 骨組の繰 返 し挙動な どの高精度 予 測 を 可 能に し た

。

　本 論 文は

，

こ の増 分 摂 動法を動的解析に適 用する ため のアル ゴリ ズムを示し

，

そ れ に従っ て

FERT −P

を拡 張 し た動 的 応 答 解 析 プロ グ ラム FERT

−

PD を 提示する も の であ る。 複 合 非 線 形系の 運動 方 程 式 を時 間パ ラメ

ー

タ

ー

に関 して摂 動展開す るとい う方 法は

，

静 的 解 析に お け る増分摂 動 法の 直 接 的 拡 張であ り

，

ユ972年に上谷の ア イデアT〕_が 示さ れ た後， 1975年に 1自 由度 弾塑性 系の 初 速 外 乱に対 する動 的 安 定 限 界を求め る解析で中村

・

伝 田 ら が使 用し た例が ある11）。 とこ ろ が

，

静 的 問 題で も そ うで あっ た よ うに

，

発表当初 か ら

，

文 献7）

〜

9）で増分 摂 動 法の導 入が

，

複 合 非 線 形 解析の精 度向上と総 合 的な 計算 効 率を_高め る ことにな る と示唆して いるに もか か わ らず， これ まで ほと ん ど実 用 化が計ら れ な かっ た

、

それ は

，

当 時の計 算機 環 境か らみ て

，

骨 組の解 析に適用す る に は現実 的で は な い と の判 断に よ る もの であ ろ う。 し か し

，

昨今の コ ン ピュ

ー

タの急 速な発 展は

，

計 算 機 容 量

・

演 算 時 間などの制 約か ら

，

研 究 者 を 次 第に解 放し

，

解 析 法 を正 確で信 頼 性の高い もの と す る た めの 増分摂 動 法の

一

₆₇

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

導 入 を十 分 可 能な状 況に して い る。 ま た

，一

層 精 度の高 い解を求めた いとい う要 求や

，

不 安 定 域ある いは極 限 状 態の挙 動まで予測 したいとい う要 求が現れるな ど

，

数 値 解 析に対 する需 要は急 速に多 様 化 し高 度 化 する傾 向にあ る。 静 的 解 析にお ける FERT

−

P は

，

まさ に そ うし た視 座に たっ て 開 発 さ れた もの で あり

，

本 論で紹 介す る

FERT −PD

の開 発 も同 様な意 味を持つ。 　増 分 摂 動 法 を動 的 弾 塑 性 解 析に適 用す ると

，

静 的 解 析 で な さ れ た増 分 長の自 動 決 定 同 様

，

時間刻み幅を自動 決 定 すること が可 能とな る

。

また

，

こ れ まで の慣 用の数 値 積分法では原 理 的に不 可 能であっ た要 素の応 力ひずみ関 係の正確な追 跡を

，

除 荷 開 始 点の予 測 も含め て

，

行 うこ と が可 能と な るp 本 論 文で は

，

まず

，一

般の多 自 由 度 系 の運 動 方程式につ い て の増 分 摂 動 法に よ る解 技 法を示 し

，

次に門形平面鋼骨 組の地 震 時 挙 動 を解 析 例と して

，

今 回 開 発 したFERT

−

PD に よるもの と 増 分 型平均 加 速 度 法に よるものとを比 較 提 示 する。 よ り大 規 模な骨組

，

例え ば重層K型 筋か い付 鋼 骨 組の地 震 時 挙 動の解 析な ど につ い て は

，

その挙 動 自身に興 味の対 象 が移る た め， 別 の機 会に発 表す る予 定である。 　 §

2．

増分摂動法に よ る運動方 程 式の解 技 法 　 2

．

1　複 合 非線形系の運 動方 程 式 　時 間 的に_変動す る外力あ るいは強制変位が構造物に加 わ る時

，

離 散 化され た構 造 物の 時 刻

t

で のつ り合い式 は

，一

般に_， 次の よ うに書く ことが でき る， 　　 　

lf

，（

t

）｝十

lfn

〈　

t

）｝＋

1

五ω ｝

＝

1

ノ』ω｝

・

・

…一 …・

…・

・

（

1

） こ こ に

，

lf

，（

t

）

1

は慣 性 力ベ ク トル，　

lf

。（

t

）

1

は減 衰 力ベ ク トル_，

1fR

（t）

1

は

_復

元力ベ ク トル であ り，　

lfE

（

t

）｝は外力ベ ク トルである

。

節点 変位ベ _{ク ト}ル を

lu

（

t

）

1

で_表記し

，

粘 性 減 衰 を考 慮す ると

，

慣 性 力ベ _{ク トルお よび減 衰 力ベ ク} トル は

_，

　　 　

1

丿／〔t）｝

＝

［

M

］

IU

（t）ト

・

・

・

・

…

　

9・

・

・

・

…

　

9…

　

9・

一

・

・

・

・

・

・

・

…

　（2a） 　　 　

If

，（t）

i

＝ ［

C

］

1

商（t）｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

（2b ） と書ける

。

式 （2 ）において ［

M

］お よ び ［

C

］は

，

そ れ ぞ れ系 質 量 行 列， 系 減 衰 行 列である

。一

般に系質量行 列 ［M ］は応 答 解 析 時 間 を通 じ て不 変で あり

，

こ の こ と を利 用すれ ば後 述するよ うに数 値 計 算 効 率の上で非 常 に有利なもの と な る。 こ こ では

，

以 下 ［M ］

．

および ［

C

］ は応 答 解 析 時 間を通じて

一

定であ るもの とする

。

ドッ ト は時 間 tにつ い て の微 分を表す。

一

方

，

こ こ で対 象と す る ような複 合 非 線 形 構 造 物では

，

復 元 力脈（餅 は

，

線 形 系の よ うに

一

定 の 系 剛 性 行 列 ［

K

，

・

］を 用 い て ［

K

日

lu

（t）

1

の よ うに_書くことは で きず， 系剛性行 列 ［

K

］ は その 両 非 線 形 性に よっ て時々刻々変化す る もの と な る

。

塑 性 域での材 料 挙 動は履 歴に依存す るの で

，

材料法 則は

一

般 的に応 力 速度と ひずみ_{速 度}の_{関 係}と して記述 さ れ る

。

これを用い て導か れ る系の_複元力特性関係す な わ ち

一

般 化 力と

一

般 化 変 位の関 係 （系 剛性 関 係 式）も ま た

一

₆₈

一

速 度 量 関 係 式 となる。 　 　　

1

∫π（餌

；

［

K

コ

i

也｛

t

）

1

−・

・

……・

・

…………・

・

…・

…・

（2c ） こ こ で

，

_［κ］は静 的 複 合 非 線 形 解 析に用い ら れ た接 線剛 性 行 列5乏 同じであり， 時 間とと も に時々刻々変化す る。 　2

．

2　 状 態 変 数の摂 動 展 開 　t

＝

t。で の状 態が既 知で ある と し

，

これ を起 点と して 測っ た時 間 を τ （

＝t− t

。）で表す。 もし式 （］［）

，

（2 ） の _囮

，

1f

，

1

な どのすべ て の状 態変数の 変 勤が t

＝

toよ り 始まるある有 限 時 間 内に お い て 爵こ_{関 す}る解 析 的

一

価 関 数によっ て表され ると す れば

，

状態量 の_{変 化 を表 す}こ れら の関 数は t

＝

t。 （τ

＝

0）の状態に おいて r に関し て 次の よ うに摂 動 展 開で き る

。

　　　　　　　　　

tn

lu

（t）

1

＝

lu

（t。＋ τ）

1

・

＝

Σ

iu

〔殉 ｝r

処一 ・

………77

_（3a _） 　 　 　 四

＝

o

　　　　　　

if

，（

t

）

1

＝

lf

．

（t。＋・｝トΣ

1

∫留

1

τ 加

………

（

3h

）

　　　　　　　　　

m

＝

o

　　　

VE

（

t

）

i

＝

lfE

（

t

。＋・）ド Σ ｛∫曁〕｝τ皿

………

（3c ） 　 　 　

皿

旨

O こ こ に

lu

［°Jl

_，

_{げ 劉}

_，

₁

∫劉は時 刻

t＝t

。で の既 知 量

1u

（副， 協（t。）｝

，

脆 （te）｝を表す

。

　ま た

，

式 （2）中の _［M _］

，

_［C ］が_不変であ ることを用 いれば，

lf

，（

t

）｝

，

脆（甜 は式 （3a） を 微分 し て 式 （2a ） および _{（2b ）}に そ れ ぞ れ代入する こ と に よって

，

次 式 の ように表され る

。

　　　 ぷ

lfi

〔



t）｝

＝　

Σ

_皿

　

@m （

m

−

1

）［

M

］lu匸 冊｝｝τ

m

− i

　

竃Σm （m十

1

）［

M

］iu

〔

M＋

1

）

｝ τ

胴

・・

…

・…（

4

j 　

酉

1

　　　　

　

　

tU

　　　

l

ノ

｝

（

t

） ｝；Σ二肌［C］

lutml

｝

τ

M−

1

・・

・

…

　

一

・

・

・・・

・…　… （ 4b ） 　

　

　 　 　m＝

1

式 （

3b

） の復元 力 に関する_摂 動 係数げ

劉

，文献5 ＞ − 10 ） の静 的解析 にお け

る

摂動 方 程 式か ，次の ように 書

ｭ

こと ができ

る

。 　　　lf ”m，1 ＝ ［

K

（

m

］iufm ’1

＋

lfLm

）1，

（

  ，

2

， …・・ ・

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

°

’

°

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−

t

・

・

・・_・ ・ ・ …

　

’・（5 ） こ こ に，［ Ke ° 〕 ］は 時 刻

t

。 でのい ゆる 接 線

剛

性行列 古 あ る。 ま た，

1

∫ 劉は （

m

− ］ ） 以下の 係 数だけを用

い

て 計算 できる項_であ り ，式（

j

では 既

知

の 項

と

して取り 扱わ_れる 。 な

お

lfkU

｝−

iO

｝で あ る 　

2

，

3

　摂動運動 方程_式

運

動 方程式

（

1

）に式（ ，

c

）_，式（

4a

，

b

） および 式 （₅ ＞ を代 入して られ る 式 に おい て，τ の各 次 の 係 数 がそれぞ れ等 式 満 足

し

な ければ な ら ないとい う 条件 よ り， 動運 動 方 程 式 が 次 の よ に 導かれる。 O次摂動 運動_方程式：　　 　

2

［

M

］luCZI _｝

＋［C ］lut1

_）

{1

／ 劉 ＝

1

∫ 讐 ｝ ｝ … ………（6a｝ ノ次摂動運動方程

式

：　 　　（ ゴ＋

2Xj

＋1） ［M］

_l

h

＋

t

） 1十（ノ

＋

1

〕［C］

luu

＋1］

｝

　

NII-Electronic Library Service 　　 　　 　　　 　　　

・

・

・

・

…

　

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

「

（

6b

） 前 増 分 段 階の 解と して既 に求まっ て い る t＝ t 。で の変 位

，

速 度

，

復 元 力を

lu

＊

1

，

1

が

i

、

げ劃と書く。 い ま

，

　t

＝

t。に おい て衝 撃 力の作 用が な け れ ば

，

現 増 分 段 階 応 答 の_初期 条件は_次式で_与えられ る。 　 　 　

lutOl

＝

IU

写

1

・

・

・

…

　

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7a ）

　　　

iucu

｝

＝

｛也＊ 卜

・

・

ttt

・

t…

　

−s・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−・

・

…

　

（7b ）

　　　

膿IH 淵

………・

・

……・

・

…・

・

……・

・

…・

…・

…

（

7c

） も し

，t＝t

。の 瞬 間の力

SU

　

if

・

△

tl

の衝撃力が作 用する 場合に は_， 式 （7b ） を 次 式の よ うに_書き換え ね ばな ら ない

。

　　 　｝u〔i ！

＝

＝

1

物＊_｝→

一

_［M ］

一

’

lf

・

△ t｝

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



tt・

…

（7b

’

）

0

次 摂 動 運 動 方 程 式

、

（

6a

）に_含まれ る_未知 数は

lu

【：〕 ｝だ け である か ら

，

こ の式を賦1｝関し て解け ば次の ように

lU

［：｝ ｝が求ま る

。

　

　　

1

…

1

粤

L （卿 ・］

1

・・1膿 ID

・

・

…・

……

（・・） さ ら に， 式 （

6b

）の摂 動 運 動 方 程 式を次 数の低い方か ら順 次 用い る ことに より

，

｝秘朔

，

1

洲

，……

を次の よ うに

・

_求めること が で き る

。

　

　

　

闕

一

（ゴ

蕩

羊

1

）（

lf

／ ・il

−

lf

_／，）

1

−

（

j

＋1）［・］

1

・・…

1

）

　

　

　

　

　

「

調撰

、

r

（

lfk

／ ’

1

一

鵬

一

［・

w

　　　 　　　

−

（

j

＋1）［C ］

iuw

＋1 ，

D

　（

j

＝

1，2

，

……

） 　 　 　 　

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

（8b ） この演算の主要部分は_， 質 量 行 列の逆 行 列とベク トル と の_積で ある

。一

般に_質量 行 列は正則で あり

，

応 答 解 析 時 間を通 じて

一

定で あ るの で

，

最 初の ステッフで

一

度 逆 行 列 を求め る だ けで よい

。一・

方

，

多 自 由 度 弾 塑 性 構 造 物の 動的解析で通常よ く用い ら れる増 分 型の加 速 度 法 系 数 値 積分法で は

，

剛性の変化に伴っ て

，

各ステップで係 数 行 列の_異な る 連 立方程式_牽解く こ と が必 要で あ る。 　2

．

4　 時間刻み幅の決 定 　 増 分 摂 動 法は

，

従 来の数 値 解 析 法と異な り

，

増 分 長を あら か じ め指 定する必要は な く

，

各ス テップで の パ ラメ タ

ー

増 分 値が自動的に決 定 さ れ る とい う特 徴を有 して い る。 こ の特 徴は動 的 解 析に おいて も 同様に保 持さ れ

，

時 間 刻み幅の決 定 方 法は文 献 7）

〜

10）に示され た静 的 解 析の そ れ と 全 く 同 じ で ある

。FERT −

PD で採 用し た決 定 要 因を以 下に列記し て お く

。

（1 ）打ち 切 り誤 差に よ る限 界 ：ある変 数 α｛τ｝の増 分 値をm 次の_摂動次数 まで_求めて得ちれ る近 似 解に含ま れ る相 対 誤 差 e は次 式の よ う に 近似的に評 価され る。 　 　 　 れ 　　　e

＝

1

α〔励 τm／Σ］α‘め r’

1

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　（

9

）

　　　　　　　　 ゲ

＝

1 打ち切 り誤差 e を あ ら か じ め指定し た許 容 限 界 値 el［mit 以 下 と す る た めに は

，

現ス テップの時 間 刻み幅を次の τ に関す る高次方程式の正の_最小 根 以 下に設 定 する必 要が あ る

。

　　 　θ臓 ，

＝

1

α 剛 τ

皿

／Σ ♂ τ γ

1

…・

…・

・

……一 ・

・

_（10） 　 　 　 『

＝

1 この こと は， 増分摂 動 法に基づ く解 析 法で は

，

時 間 積 分 に起 因す る誤 差の レ ベ ル が 解 析 者の要 求 する範 囲 内に収 まるよ うに各 増 分 段 階の時 間 刻み幅を自動 的に決定でき ること を示し てい る。

一

方

，

微分方程 式の数 値 解 法と し て よ く知られ た オ イ ラ

ー

法 系の解法は あ ら か じめ設 定し た時間刻み 幅に_関す る 誤差 評価を行うに と ど まっ て い る

。

　（Z） 状 態 変 数の 解 析 的

一

価 性に よる限 界 ：式 （

3

）

一

_{（5 ＞}の摂 動 展 開 式が適 用で き る の は_， すべ て の_状態 変 数の変 動が τ に関する解 析 的

一

価 関 数に よっ て表現 さ れ る範囲の応 答に限 られ る

。

し た がっ て

，

応 答の解 析 性が_失わ れ る_時刻に おいて_{現 段階}の_増分解析は_本来打ち 切 ら れ な け れ ば な ら ない

。

これ は時間刻み幅 決 定の た め の

一

っ の条件で あ り

，FERT −P

お よび

FERT −

PD で 考 慮した こ の種の打ち 切 り要因は以下の もの であ る

。

　なお_， 現 在

FERT −P

お よ び

FERT −PD

で は区 分線 形 化さ れ た応 力ひずみ関 係を用い て い る

。

　 a_{＞ 材 料 線 要 素}の降 伏

一

弾 性 域ある い は除 荷 域にあ

』

る材 料 線 要 素の代 表ひずみ が

，

降 伏ひずみに達 すると 剛 性 係 数は不連続に変化 す る

。

代表ひずみ の 摂 動 係 数を ♂， 応力 正 側 あるい は負 側の 降 伏 ひずみ を εy と す る と

，

次 式を満た す τ は時間刻み幅の候 補 値であ る

。

　 　 　ε（τ）

＝

Σ ε1のτ』 ε_ゼ

・

・

…・

…・

・

………

（11） 　 　 　 r

＝

O 　

b

） 材 料 線 要 素の除 荷

一

塑 性 域にあ る材 料 線 要 素の 代 表ひずみ の摂 動 係 数が次 式の条 件を満た し た な ら

「

ば

，

その時 点か ら除 荷 過 程が始 まり弾 性 則が適 用さ れる

。

し たがっ て

，

次 式 を満た す τは時 間 刻み幅の候 補 値で ある。 　　　 E（τ）

＝

Σコ　rεエnr

γ

一

1

＝

0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

…

　（12 ＞ 　 　 　 rul 材料 線 要 素の除 荷は

，

他の材料 線要素が降伏し て， 剛性 が不運続に変化す ることに伴っ て発 生する場 合 も ある。 こ の 種の除荷の発生につ いて は

，

各 増 分 段 階で構 成 則に 関し て ひずみ進 行 方 向に矛 盾 がないかど うかを検 査 し

，

対 応する線 要 素に対し矛 盾のない構 成 則が選 択 適 用さ れ るQ 　c_{） 区分 線 形 化 さ}れた応 力ひずみ関 係の ひずみ硬 化 係 数 変 更 点

一

塑 性 域にある材 料 線 要 素と代 表ひずみが

_，

ひずみ硬 化 係 数 変 更 点に達する と剛 性 係 数は不 連 続に変 化す る

。

こ の場 合の時 間 刻み幅の計 算 式は_， 式 （11 ）の 右辺の _εy を硬 化 係 数 変 更 点ひずみ値で置き換え るこ と に よっ て得られ る

。

　

d

）外 力 関 数 またはその導 関 数の不 連 続 点

一

変 動 外 力が記 録 地 震 波な どの よ うに離 散 化デ

ー

タ とし て与え ら

一

₆₉

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

デ

ー

タ の入 力

・

初 期 状 態の設 定

一

定 外 力 （定 荷 瓰 ）に対 する静 的 解 折 匚静 的 掻 動 方 程 式の

一

_{次 係 数}の み討算 】

一

定 外 力 　（定 荷 趣 ） を 考 慮 し た 系 剛 性 行 列 ［K5 ｝の作 成 系 質 量 行 列 ［M81

，

系 馘 衰 行 列 ［Cg〕の作 成 系 質 鼠 行 列の逆 行 列 匚Ms ユ

ー

L_の 計 算 勁 的 解 折の初 期 状 態の設 定 式 ⊂8｝によ る 系 座 標 変 位の3次 以 上の摂 動 係 数1∪3〔_{吶 の} 計 算 部 材座 標

，

要素（基準

，

局 所〉座 標のカ お よ び変位

，

各 例 料 線 要 素 中 央ひず み

，

母 材 要 粟の 4隅のひ ず み

，

要 案 剛 体 回 転 角 の 3次 以 上の摂 動 係 数の計 算 親 定 した 次 数 まで摂 動 係 数 を 計 算 し た か ？ 　　no yes

　　　　　　　　A

要 素 摂 動 方 程 式のlp卿 ₁

，

　　　　　　　　ハ

部 材摂 動 方程 式のlp誕面1_および

　　　　　　　（

系摂動方程 武の 伊 3

‘

口

）】の計算 時 間刻み幅τの打ち切り値τGrの _計算 すべて の_{状 態 皿}の ステ

ッ

プ_{増 分 量}の_{計 算}と 伏 態 皿の更 新

エ

ネル ギ

ー

_{皿 モ}の他の_出力 情報の 計算 と出 力 　終 了 予 竃 計 算 値に_遼し た か ？ 　 　 no ye5 言_{†算 終 了} 次ステ7 ブの準 備 計 算

：

　τ

。

r打 ち 切り要 因に伴う処 置 　 要 素 拡 大 回 転 行 列 ［T

く

o 勹 等の計 算 要 素 係 数 行 列 ［K ｛o_勹お よ び_［Ko （o_勹 部 材係 数 行列［K

。

【o， ］

，

系 係 数 行 列匚K3 ゆ ｝の作 成 L次お よび2次 摂 動 係 数の 計 算

，

各材 料 線 要素 中央ひずみ の_{1 次 摂動 係} 数によ る 履 歴 経 路 上の 矛 盾チ

ェ

ック （矛盾が あ れば線要 素の剛 性の変廼 〉

見

o yB5 図

一

1FERT

−

PD の概 略 流 れ 図 れている場 合に は

，

その記 録 時 刻 が増分ス テップの打ち 切 り点と な る。 　 （

3

） 要 素の _自動 細 分 割に伴う 限界 ：従来の

FERT

同 様

，

ひずみの進 行に伴っ て 要素の 自動 分 割 を 行っ てお り4｝

・

5）

_，

_{被分割要素で あ る 母要素}の 4_隅の ひずみ が指 定 値に達 する と き の τ も時間 刻み幅の候補値で あ る

。

こ の場 合の時 間 刻み幅の計 算式 も

，

式 （11）と類 似の もの と な る

。

　現 増 分 段 階の時 間 刻み幅 τer は

，

以 上 （

1

）

〜

（

3

）の 決 定 要因か ら計 算さ れ る候 補 値の最 小値と し て与え ら れ る

。

　 §

3．

弾 塑 性 骨 組の動 的 応 答 解 析 法

FERT −PD

一

₇₀

一

　

系の

一

般 化変位 （系 座標変 位）の 摂 動 係 数

llUs

［M ） ｝が 慣 性 力お よ び減 衰 力に関する項 を含んだ式 （8 ）か ら求 めら れ る こ と以 外は_， 文 献5＞に示 し た静 的解析 プロ グ ラム

FERT −P

とほとんど 同じ である

。

　図

一

1に

FERT −PD

の概 略 流れ図を示す

。

　 FERT に お け る系 座 標は_， 伝 達 行 列 法の導入 に よっ て

，

通 常の有 限 要 素 法の よ うに要 素 節 点 すべ て に設 ける 必 要はなく

，

部材節点の み に設 け

．

る ことも可 能である

。

　

な お_， 系 質 量 行 列は_{， §4}の解 析

_例

で は い わゆる整 合 質 量 行 列 を採 用し て い る。 これは

，

各 部 材に沿っ て分 布 する質量の初 期弾 性域で の運動エ _ネルギ

ー

と部 材 変 位 関 数を も とに計 算さ れ た部 材座標に関す る 運動エ _ネルギ

ー

と が整 合す る よ う作 成さ れ た

一

般 化 部 材 質 量 行 列か ら構 築さ れ る。 ま た

，

系減 衰行列は初期系剛 性 行 列に比 例す る との仮 定に基づい て作 成して いる。 　§

4．

門形平 面鋼 骨組の地震 時挙動の解 析 　増 分 摂 動法を用い た

FERT −PD

の骨 組の動 的 挙 動 め 予 測 精 度 を 検 討 す る 例 題 と して

，

定 鉛 直 荷 重 下で水平地 震 動を受け る 門形 平 面鋼骨組を解析し た

。

比較対象と し た解 析 法は

，

増 分 型平均 加 速 度 法 を用い た

FERT −D

で あ る

。

　な お

，

数 値 計 算はすべて京 都 大 学 大 型 計 算 機セ ンタ

ー

FACOM

−

_VP 　200 _{あ る} い は 400に よっ て 行っ た。

FERT −PD

お よ び

FERT −

D と もほ ぼ同

一

の設 計 思想 で作 成さ れ たプロ グラムであ り

，

ベ ク トル化 率を 上 げ る た め の 工夫は

，

特 別に は行っ て いない。 参考の た め記し た計算 時 間 は

，

コ ン パ イラ時 聞を除い た もの で

，

FERT

−

PD の コ ン パ イラ時 間は約 16秒

，

　 FERT

−

D で は約

9

秒であっ た。 　4

．

1　 解 析 骨 組モデル 　図

一

2に解 析 対 象 とし た門 形 鋼 骨 組 を示 す

。

また， 材 料 法 則は

，

こ こ で は文 献5）

，

6） 同 様

，

図

一

3に示す柴 田11） の区分線形 化 応 力ひずみ関 係を用い た。 ヤング係

数は 2100　tonf_／cmE

_，

_{降 伏}応 力 は 2

，

4　tonf_／crn2 と し た。

さ らに高 精 度の挙 動予測が要 求され る場 合には， た と え ば中村

・

鎌 形

・

小 坂の非 定 常 履 歴 構 成 則13 ）のよ う な曲 線 型の応 力ひずみ関 係を用い る ことも可 能である

。

増 分 摂 動 法は

，

その よ うな非 線 形 応 力ひずみ関 係の利 用に際し

，

な お

一

層その有 用 性を発 揮 する8｝

_。

_{各 部 材は基 本 要 素 長} 35cm で最 大10個の要 素に分 割さ れ る もの と し_， 断 面 は文 献5）

，

6）同 様

，

五十 嵐

・

井 上

・

小 川14）

．

15）_{の 4点モ} デル を採 用 した

。

系 質 量 行 列は鉛 直 荷 重

P

が梁に等 分 布 し て い るもの と して _§3に述べ た_手法で_算定 した

。

ま た， 系 減 衰 行 列は初 期 弾 性 時の 1次モ

ー

ドの減衰定 数を 1

−

％ とし て算 定した

。

鉛 直荷 重

P

が異な る3個の モ デ ル の初 期 弾 性 時 固 有 周 期 を表

一

1に示す

。

系座標 変位は

，

左 右の柱 頭 節 点の水 平 変 位

，

鉛 直 変 位お よび回転の

6

成 分であ る。

NII-Electronic Library Service 　　　　　　　　 ・ 驪 ・_C

・

1・4

・

・2・t・ 柱 断 面 2次モ

ー

メン ト 　 　 　IC

”

10890・m4 P ／2

．

L

珈

＿

亅

図

一2

解 析 対象モ デ ル骨組

1

＝

ご O

頃

門

」

σ〆σ 　　y 　1100

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

，

一

　

　

　

　

　

　

　

一

一

7

−

」

一















_一

　

　

　

　

F

　　　　

l

　 　 　 　 1

　

　

　卩

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

一

　　　　　　10

．

　

　

　

　「

　

〜

　

一

Il厂 τ

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

’

−F−一

，

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　尸

　

　

　

　

　

　

　

　

「

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　　

．

　

　

　

　

　

　

　

’

　 　 　 　 　











_’

r









．























_＿

　

　

　

　

　

Fl1 　　

鈩

　

　

　

　

卩

．

　

　

　

　

卩

　　　　1

　

　

−

　　　200

皿

　

■

1 〜 1 1

_匚

_〆

_匚

　　　　

・

　 　 　 y

　

　

　

　

「

　

　

　

　

」

一

幽

’ 1 ’

　

_r

　

　

’

　

　

　

　

幽

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

＿

　

_」

　

　

　

　

　

rI

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

「

　　

’

　　　　　　　

「

，

　　 r　　　　　　　

，

’

一



_一

一

_一

一 L

．

図

一

3 区 分線形化さ れ た応 力ひずみ関 係 　図

一

4 は_， 3個の モ デル にそ れ ぞ れ定鉛 直荷重

P

の作 用 下で水 平 力 F を

一

方 向に比 例 載 荷 さ せ た と きの水_平 力 F と構 造回転 角 θ、T （左 右 柱の頂 部水 平 変位の _{平 均} を骨組 高さ で除し た もの ｝との 関係を示し ている。 柱 軸 力 比による

F 一

θ，，曲 線の違い が明 瞭に観 察さ れ る。 解 析は FERT

−

P5）

・

6｝を用い て行っ た

。

代 表 座 標 変位 制 御 法 を採用し

，

摂 動 係 数は 3次 まで計算 し た

。

打ち 切 り誤

、

差 限 界 を 力

F

とすべ て の系 座 標 変 位お よ び 前 増 分ス テッ プで最 大ひずみ速度を経 験し た材 料 線 要 素の ひずみ に_対して そ れ ぞ れ 適用 し

．

，

式 （10）の enrpitは すべ て

1．

0

％ と し た

。

計算時 間は

1− 2

秒であっ た。 　入力 地震動には

，

エル

・

セ ン トロ_{地 震}の NS 成 分 記 録 10_{秒 間}を最 大 加 速 度

500gal

に増 幅 して用い た。 地 震 動 の記録間 隔は

o，

02

秒で あ り

，

その間は直 線 補 間した

。

　4

．

2　弾性応答解析 　 初 期 降 伏 応 力 値 を十 分に大 きい値に設 定す ることに よ り弾 性 範 囲 内で応 答 する よ うに し た

P ＝

50tonfモ デル を

FERT −PD

と

FERT −

D で解 析し

，

そ の結果 を比 較 し た。 FERT

−

D の時 間 刻み 幅△ tは 1次 固 有 周 期の ほ ぼ

1

／

50，

且／

loo，

ユ／

200

と な る よ う地 震 波の記 録 間 隔の 1／2 （す な わ ち △t＝ o

．

01

秒）

，

1／4 （_△ t

＝

o

．

oo5_{秒 ）}お よ び1／8 （△

t＝

0

．

0025秒）の 3 ケ

ー

ス を採 用 し た。 FERT

−

PD の 時 間 刻み幅 決 定 要 因は， 応 答が弾性 範囲 内にある の で打 ち切り誤 差 限 界お よ び地 震 波 記 録 時 刻で ある。 打ち切り誤 差 限 界は左 柱 節 点の 3 変位成分および 前ス テップで最 大ひずみ速 度 を経 験 し た材 料 線 要 素のひ 表

一

1　 解析 対象モ デル_骨組の_{初期 弾 性 時}の固 有 周 期 鯛潮師性時固有眉　 期　（

朋

の 　P 〔ヒ。昼r⊃ 柱 軸 力 比 L 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6次

■

2de1150D

、

且 0

．

15750

．

田21o

．

031370

．

019‘30

．

OI5臣 0

．

0匡3597

8 衄 B 匚210Do

、

2O

．

6518o 」縄‘． ，

．

o 釦 0

．

027500

．

021皿 O

．

OL巳50 80櫨813200D

、

4o

．

93580

．

2鵬2o

．

os3衝 0

．

0躙 o

．

o踟50o 』1肌9 O

す

　 　

　

　

　

　

．

O

酌

¢ δ ご

」

，

ON O

門

P＝ 5dtonf （柱軸 力比0

．

！）

r

一

一

一

一

曳

29

迦

_趣

駕

，

）

，

、 噛

丶

＼

＼

　　　　　　　

’

9_）＼ 夷

む

＼

　

＼

nemo 限界 　6 　 0

，

　　　　　　　　　0

．

05　　　　　　　　　0

．

10　　　　　　　　　0

＿

15　　　　　　　　　0

．

20 　　　　　　　 構造回転 角 θ_s τ（raの 図

一

4　

一

方 向 静 的 載 荷 時の水 平 力F と構 造回転 角θs

。

の関 係 ずみに適 用 し

，

eUn：it

＝

1

．

0 ％ と し た。 図

一

5に左 側 柱 頂 部の水 平 変 位の時 刻歴 を示す。 FERT

−

D の 3ヶ

一

ス お よ び FERT

−

PD の結 果に差は見ら れ ない。　

FERT −

PD

の ス テ ッ プ数は2073

，

計算 時間は約 47秒であっ た

。

一

_方

_，

_FERT

−

_{D で は}

_，

_{時 間 刻 み 幅 を 地 震 波記 録 間 隔の}

1

／4と し た場 合 にほ ぼ同 数のステッ プ数

2000

と な る が

，

その計算 時 間は約

6

秒で あっ た

。

　4

．

3　 弾 塑 性 応 答 解 析 　 材 料 線 要 素が図

一

3の応 力ひずみ関 係に従 う もの とし て弾 塑 性 応 答 解 析を行っ た。 通 常の増 分 型 平 均 加 速 度 法 では

，

あ ら か じ め時 間 刻み_幅を設 定す る 必要が ある た め

，

8

言2 ；

一

耗 d 聟

羇

．

　早

ONo 図

一

5 c）

熱

弾 性 応 答における左 側 柱 頂 部 水 平 変 位の時刻 歴

一

₇₁

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

図

一3

の材 料 定 数 変 更 点を 正確にと らえ ることは でき な い

。

その ため

，

通 常は変更 点 前後に適 当にひずみ幅 を 設 けて応 答ひずみが その幅 内に入っ た 場合に の み材 料 定 数 を変 更 する か

，

ま たはそれ に類し た技 法が便宜的に用い ら れ る。 この 場合

，

異な る時 間 刻み幅につい て の解 析 を い くつ か実行 し

，

その応 答 解の収 束 性を調べ る ことに よっ て解の精 度 を検 証する必 要が ある

。

こ こ で用い た

FERT −D

で は各 増 分 段 階の時 間 刻み幅 を最 初， 弾 性応 答で収 束 性を確認 し た地 震 波 記 録 間 隔の 1／2 （△

t＝

0．

01

秒 ）に_{設 定}し て お き， 材 料定 数変更ひずみ幅 を飛 び越し た と き は時 間 刻み幅 を1／2に し て再 計 算 を 行い

，

増分後の ひずみ値が材 料 定 数 変 更 域に入るまで時間刻み 幅を］／2ずつ 小さ くする方 法をとっ た

。

材 料 定 数 変 更ひ ずみ幅 を， 初 期 降 伏ひずみ の ±1％および±O

．

ユ％ とし た 2 ケ

ー

ス に つ い て そ れ ぞ れ 解 析 を行っ た

。一

方

，

FERT

−

PD は

，

除 荷の予 測 も含めて材 料 定 数 変 更点 を 正確に と ら え る よう時 間 刻み幅を自動 的に計 算す る の で

，

その よ う な幅を設け る 必要は ない

。

　図

一

6（a_）

〜

_（c_）に

P

； 50tonf

，100

　tonf

，200

　tonf _の

場 合の左 側 柱 頂 部 水 平変位の時 刻 歴を示す。 図 中

，

実 線 が FERT

−PD

に よる_結果

，

破線お よ び

一

点 鎖線が材料 定 数 変 更ひずみ 幅をそ れ ぞ れ ±1％

，

±0

．

1％ と した

FERT −D

による解 析 結 果 を 示 して いる。 いずれの場 合 も

FERT −D

の 変 更ひずみ幅±O

．

1％の結 果が

，

±1％ の結果よ り格 段に FERT

−

PD で得ら れ た曲 線に近づい て い る

。FERT −D

の変 更ひずみ幅±1％に よる曲 線は

，

図

一

6（

b

）の P

＝

100tonf の場合には

，

ほ ぼ他の _曲線と 同様な様 相を 示 し

，

近 似 値 を与 え てい る といえる が

，

同 図 （a_）では

，5

秒後に生じ た塑 性 変 形 誤 差が ほ と んど 以 後の 挙 動に も残 留して い る

。

また

，

同 図 （c）で は

，

他の 変 位 結果 が 55cm 付 近 ま で 達 する の に 対 し

，

FERT −D

の変 更ひずみ幅±1％の結 果は

，

5秒 以 後ほ と んど 塑 性 変 形の蓄 積が生 じず

，

10秒 時の 変 位は 25 c皿 程 度に しか至っ て いない

。

　

図

一7

は，

P ＝

200　tonf の と きの右 側柱 頂部 要素の最 右縁材料線要 素の応 力ひずみ関 係を示し てい る

。

図 （a_） は FERT

−

PD に よ る結 果 で あ り

，

図 （

b

）

，

（c_）は

FERT −D

で材 料 定数変更ひずみ幅 を それ ぞ れ ±

1

％

，

±0

．

1％ と し た と きの結 果 を 示 し て いる。 図 （

b

）の FERT

−D

の変 更ひずみ幅±1％の _結果 はひずみ のオ

ー

ダ

ー

は他の結 果とそれほど変わ ら ない が_， 明らか に

，

材 料 定 数 変 更 幅を設け たこ と に よ る誤 差が_見られ る。

　

図

一

8 （a_）

〜

_（c_）は

FERT −PD

に よっ て解析さ れ た

3

個の モ デル の_復元 力

R 一

構 造 回転 角 θST 関係 を 示 す

。

図 （c_）

P ＝200

　tonfの曲線は

，

図

一

4の_{静的倒壊限界 （}

一

方 向静 的 載荷時の

F 一

θ， ，曲 線が θST軸を 切 る点 ） 近 傍 まで θsr値が進 行し， 骨組の耐 力

．

が低 下しているこ と を 示 して いる。

一

₇₂

一

： 　

ヨ

　 　 　 　 　 　 　 　 　

コ

ロ 　 　 　 　 　 　 　 　 　

　

む

ほ

_コ

〔

5

）

∫ 週 偲 降 耗 眤 阻 釦 琶 網

_．

ON

・

ON 騨 ；

−

Ko

・

_興

　早

9 掣 O

尸

o

，

O

尸

1 　 　 　 　 　 　 　

．

ON1 5

〕

∫ 坦 偲 降 艇 畢 田 鉗 軍 網

_．

ロ

門

_ー

O 町 OOl D

腿

監

・

誘礁

（a_）P

＝

50tonf ％） 【％） （b）　P

＝

100tonf sec ） 　 　

_一

IO

．

》

：》

8

　 　 　 （c）　P； 200tonf 図

一6

　弾 塑 性応 答にお ける左 側 柱 頂 部 水 平 変位の時 刻 歴

NII-Electronic Library Service 司 σ 〔tohflcm2）

＿

＿

＿

一

一

一

一

一厂

　

　

　

　

　

　

　一

一

｝ ・

輻 「

一

一 r，

9 「

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一 P一

」 幽









_‘







_叩

_{『 一}

_一

_L

β ε

．

01 O

．

　O

．

005　0

．

戸 邑

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_一

_〜

_r

甼

N1

＿

＿

＿

一

一

一

一

r

1一 一

一 暫

．

一

同

　　

1 （a）　FERT

−

PD OOl 同 σ 〔tonflcm2 _｝

一 ・

＿ 一

一

『 ■

＿ 一

」

雨

　「

國

一一

一

ド

冒

一

．

ε

．

01

』

0

．

　D

．

OO50

．

「

7

幽

_一

_{一 一}

_，

d

_■

＿

＿

一

一

一

一

層

’

曹

『 一

＿

一

．

鹽

，

n

，

〔b）FERT

−

D （材料定数変 更 　 　 ひずみ幅 を初 期 降 伏ひず 　 　 みの±1

．

0％ とし たもの） 而 σ ｛tDnf 〆

















cm2

_一





_一

_＿

_｝

_一

1−」

一

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

一

一

『 ．

一

i

「

−　　　　一

一 幽

．

｝

FN

．

_＿一

_一

鈩

¶

_{■ ■}









一

一

一 ＿

．

冖

ε 01 0

．

　 0

．

OO§　 0

．

0

一

：

一

β

「

_一

_{−『鼬一 一}

_一

_、

d1

　

　

　

　

　

　

＿

一

一

．

　

　

　

　

−P

＿一

曹

一

，

一

_〒

』

一 〜 ・

而

　　　　　　

1 （c_）FERT

−

D _{（材料 定数変更} 　 　ひずみ幅を初 期 降 伏ひず 　 　みの 土0

．

1％ と し た も の） 図

一

7　弾 塑 性 応 答にお け る右 側 柱 頂 部 要 素の最 右 縁 材 料 線 要素の 応力ひずみ履 歴 （P

＝

200　tonf_）

　

図

一6，．

7

は

，FERT −D

の材料線 要素の応力 ひずみ関 係 追 跡 精 度 を 上 げ た 解 析結果が

FERT −PD

に よ る結果 に近づ くこ と を示 して い る

。

こ の ことは

，

FERT

−

PD が高い_信頼 性 を もつ こと

，

さ らに は応 力ひずみ関 係 追 跡 精度 を上 げれ ばFERT

−

D で もか な り良い予 測 結 果が得 られ る ことを 示し て い る

。一

方

，

FERT

−

D の材 料 線 要 素の応 力ひずみ関 係 追 跡 精 度の わずか な誤 差が， 系全体 の応 答 解析 結 果に大き な影響 を及 ぼ す場 合が ある ことも 観 察された。 動的弾塑性応 答の 予 測 を行う 際に

．

は

，

設 定 し た履 歴モデル の追 跡 精 度の誤 差 管 理を十 分に_行う必 要 が あり

，

特に

，

倒 壊 近 傍の_挙動予 測を行う場 合に は_注意 深い取り扱いが必 要で_あろ う。 　

P

　

＝

・

　200tonf の 場 合の

FERT −PD ．

のス テッ プ数は 3219，

，

計 算 時 間は 約54 秒で あっ た

。一

方

，FERT −D

で材 料 定 数 変 更ひずみ幅を ±1％ と し た 場合は

_，

1567 ス テップ

，

約 6秒の計 算 時

藺

であ り

，

±

0．1

秒と し た場 合は 3011

．

ス テッ

』

プ

，

約 8秒の計 算 時 間で あっ た

。

±0

，

1 ％ と し た 場 合の ス テップ数 と

FERT −PD

の ス テッ プ数 が ほ ぼ同じ で あ ること は，

FERT −PD

の時 間刻み幅が 材 料 線 要 素の応 力ひずみ関 係 を 精 度 良く追 跡す る た めの 打ち 切 り条件に よっ て ほとん どの場 合 決 定されてい るこ と を示して い る

。

今 回の門 形 骨 組は系 座 標 数が 6であり， FERT

−

D の 各ステップで解か れ るべ き連 立 方 程 式の元 数は小さ く

，

座 屈 等の不 安 定 現象も含まれ な い もの であ る

。

骨 組 規 模 が 大 き くなる と

，

系 座 標 数は 増加し

，

FERT −D

における_{連 立 方 程 式 の 元 数}は大 き くな る

。一

方

，FERT −

PD で は

，

要 素 数の増 加に よっ て

，

材 料 線 要素の応 力ひずみ関 係 を追 跡す る た めの高 次 方 程 式の数 が 増 大 する

。

もちろ ん

，FERT −D

で も応 力ひずみ関 係 追 跡 精 度 をある程 度 満足 させ る ために は

，FERT −PD

o 孚 ［Pi50ton

匸

8 冨　δ 門 只 1尺 琿　d

_雫

_唱

．

05 0よ05 講造回転 角 θ_ST〔md ｝ FERT

−

P o サ

　　

t （a） P

；

50　tonf

・

to皿F1 D 0 ［P

＝

200t 。nq ¢ 　

守

巳

o

．

量 6 の R1R 魅 　6

　　

N 0

．

20

一

b

．

10

一

〇

．

050

．

　 　 　 0

．

05 樹造回 転 角 es τ〔・・d ｝ 6 門 FERT

−

PD 嚠 o マ 　　 （b） P

＝

100t。nf 

_．

_（c_＞ 図

一

8　弾 塑 性 応答に お け る復元力R と構 造 回転 角θs，の関 係 P

＝

200tonf

，

一

₇₃

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

と ほ ぼ同

一

の ステッ プ数が 必要で あ る

。

所 要 計 算 時 間は

，

これ らの_要因の兼 合い で決まり

，

本 解 析 例にお け る計算 時 間比が そ の ま ま他の骨 組の解 析に当ては ま る わ けで は ない

。

ま た， FERT

−

_{PD で は}

_，

_{時 間 刻み幅を決定す る} 際 用い る式 （11）

，

（

12

）な ど の方程 式を合理的に選 択し， 真に必要な もの の み に限 定 す れば

，

計 算時閭の大 幅な短 縮が可 能で あ り

，

現在そのプログ ラム化 を展 開 中で ある

．

　§

5．

結　び

　

増分摂 動 法の導入によっ て弾 塑 性 骨 組の静 的挙動を高 精度に予 測で きるよ うに改 良した

一

次 元 複 合 非 線 形 有 限 要 素法

FERT −P

を 動 的 解 析に適 用 する た め に

，

本論文 では

，

まず

，

運 動 方 程 式の増 分 摂 動 法による解 技法を提 示し た。 この解 技 法 をFERT

−

_{P に適 用し}

_，

_{弾 塑 性 骨 組} の高精 度 動的応答解 析プロ グ ラム

FERT −PD

を作 成し た。 門 形平面 鋼 骨 組の地 震 時 挙 動 解 析 を行い

，

本 解 技 法 および

FERT −PD

の_有効 性 を既 往の増 分 型 平 均 加速度 法 を用い た

FERT −D

との比 較におい て検 証し た。 　 増分摂 動 法に よ る運 動 方 程 式の解 技 法は次の ような特 徴を もつ ： 　（1） 増 分 摂 動 法は各 増 分 段 階での計算 誤 差が あ ら か じ め設 定さ れ た範囲内に収ま る よ うに時 間 刻み幅 を 自ら 決定す る解 法で あ る

。

　 （

2

） 従 来の数値解法で は原 理 的に不可能で あ る弾塑 性履 歴 経 路の正 確な追 跡 を 行うことがで き る

。

　 （3 ） 主要演算は_， 質量行 列の逆 行 列と摂 動 係数ベ _ク トル と の積で あ る

。一

般に

，

質量行列は 正則であ り

，

応 答解析 時間を通じて

一

_定であ るの で

，

_最初の ステッ プで

一

_{度逆行列 を求め る だ けで よい} 。 　ま た

，

増 分 摂 動法に よ る弾塑性 骨 組の動的応 答 解析プ ロ グラム

FERT −PD

の 開発 結 果

，

な らびに

FERT −PD

に よ る 門 形鋼骨組の地 震 応 答 解 析 結果 と増分型 平 均 加 速 度 法 を用い た

FERT −D

に よ る応 答 解 析 結 果 との比 較か ら

，

次の結 論を得た ： 　 ［1］

FERT −PD

の動 的 弾 塑 性 挙 動の予測 精 度お よ び解 析 法 と して の安 定 性は極 めて高 く， その解 析 結 果は 他の数 値 解 法の予 測 精 度を評 価 する基 準とし て用い る こ と がで き る

。

　 ［2］　 増 分 型 平 均 加 速 度 法 を用い たFERT

−

D でも

，

材 料 線 要 素の応 力ひずみ関 係 追 跡精 度 を上 げる特 別の工 夫 を講じ れ ば

，

相 当 良 好な応 答予測が ある程 度可能であ る

。

しか し， こ の方 法では理 論 的に除 去 不 可 能な誤 差要 因 （例 え ば

，

材 料 線 要 素の除 荷 開始 点 予 測に伴う誤 差な ど）が な お存 在する ため

，

いか なる問題に対しても良 好 な予 測 精 度が保 証される とは限 ら ない

。

　 ［

3

］ 例題で示し た門 形鋼骨組の地 震 応 答解析で は， 応力ひずみ関 係の追 跡精 度のわずか な 誤差が

，

系 全 体の 応答 予 測結果に_大き な影 響を及ぼ す 場合がある こ と が観 察さ れ た

。

他の解 析 手 法 を用いる場 合に も

，

構 成 則が材

一

₇₄

一

料， 要 素 あるいは部 材な どのいかなる レ ベル で与え ら れ てい よ うとも

，

設 定し た履 歴モ デル にかかわる誤 差 を 許 容 限 度 内に納め

，

要 求に応 じ た 追跡 精 度を確 保する必 要 がある と思わ れ る。 特に， 倒壊近 傍の挙 動な ど を予 測す る場 合に は

，

こ の点に注 恵し な ければな ら ない であ ろ う。

　

文献 5）で発表 した弾 塑 性 骨 組の静 的 解析プロ グラム

FERT −P

お よ び本 論 文で示 した動 的 解 析 プロ グラム

FERT −PD

は_， あら か じめ 設 定さ れ た 応力ひずみモ デ ル を精 度 良く追 跡 し得る数値解析法であ る

。

も ち ろ ん実 際の_材料の応 力ひずみ関 係は そ う し たモデル の履 歴経 路 を厳 密に たどるわ けでは な く

，

た と えば

，

降伏応 力や勾 配 な ど も バ ラツキの ある量で ある

。

しか し

，

その よ う な バ ラツキが_系全体の挙 動に与える影 響を評 価す るに して も

，

数 値解析法その もの に起 因 する誤 差をで き る限り除 去 す るこ とに よっ て初めて意 味の ある評 価が可 能と な る。

FERT −P

お よ び FERT

−

_{PD は}

_，

_{解 析 対象モ デル} が設 定され れば

，

解 析 者の望む精 度で その モ デル の_挙動 予測を与え る ことの で き る数値解析法であ り

，

その意 味 で極め て信 頼 性の高い_{解 析}法であ る といえ る

。

　 謝 　辞 　 末筆な が ら

，

貴重な御 意 見， 御 批 判 を賜わりま し た京 都 大 学教授 中村 恒 善 博 士に深 甚の謝 意を表しま す。 参 考 文 献

1＞　Tanabashi

，

　R

．

，

Nakamura

，

　Tsutteyoshi

，

　and　Ishida

，

　S

．

　 　；Gravity　Effect　o［L　the　Catastrophic　Dynamic　Response

　 　of　S_ヒrain

−

Hardening　Multi

・

story　Frames

，

　Proc

．

　of　s　th

　 　WCEE （1973）

，

　VQI

．

2

，

　_pp

．

2140

−

2151

，

1974

．

2）石崎覆 雄

，

中村恒 善

，

石田修三

，

奥平正義 ：強 風に よ る

　 　 弾 塑 性 高 層 骨 組の動 的 崩 壊の解 析

，

構 造 物の耐風 性に関 　 　 す る第4回シンポ ジウム_{論 文 集}

，

_pp

．

101

−

108

，

1976

．

3）Morisako

，

　K

．

，

Ishida

，

　S

．

，

Nakamura

．

　Tsuneyoshi　and

　 　Ishizaki

，

　H

．

；Dynamic　Collpase　of　Framesunder 　Wlnd 　 　Disturbances

，

　

J．

　Strut

．

　Div

．

，

Proc

．

　ofASCE

，

　Vol

．

107

，

　 　No

．

ST12

，

　 pp

．

2365

−

2380

，

1981

．

4） 石 田 修三 ：_{鋼 構 造 骨 組}の_弾塑性 応答解 析 法

，

建築構 造 力 　 　 学の最 近の発 展

，

4章4

，

4

_，

pp

．

469

−

493

_，

日本 建 築 学 会

，

　 　1987

．

5） 石田修三

，

森迫清貴 1増分 摂動 法を導入 し た

一

次元 複 合 　 　非 線 形 有 限 要 素 法 （FERT

−

P）

，

日本 建 築 学 会構造系論 　 　文 報 告 集

，

第397号

，

pp

．

73

−

82

，

1989

．

3；日本 建築学 会 　 　大 会学 術講 演梗 概 集

，

B

，

　_pp

．

937

−

938

，

1988

，

10

．

6） Ishida

，

　S

．

　and　Morisako

，

　K

．

：Plastic　Design

．

of　Eartlb

−

　 　quake

−

Resistant　K

−

braced　Multi

−

stoly　Steel　Frames

，

　　

Proc．

　ef　9　th　WCEE _（1988_）Vol

，

4

，

　pp

．

267

−

272

，

1989

．

4

．

7）上谷宏二 ：有 限変形を考 慮し た連続 体の弾 塑 性 解析

，

京

　 都 大学 修 士 論 文

，

1972

．

8）　Yokoo

，

　Y

．

，

　Nakamura

，

　Tsuneyoshi　and　UeLani

，

　K

．

：

’

　 The　incremental　_perturbation　method 　for　large　displace

．

　 ment 　anaiysis 　of　e 且astic

−

plastic　structures

_，

　lnt

．

　J

．

　Num

．

　 Meth

．

　Engng

．

　_pp

．

503

−

525

，

1976

．

NII-Electronic Library Service 　　 組 構 造 解析 法 要 覧

，

第8章

，

pp

．

159

−

184

，

培風 館

，

1976

．

10＞ 中村恒善

，

上谷宏二 ；_弾塑性解析 法の_{現 状}

，

建築構造力 　 　 学の最 近の発 展

，

4章4

．

ユ

，

pp

．

367

−

403

_，

日本 建 築 学 会

，

　 　 1987

．

11） 横尾義貫

，

中 村 恒 善

，

伝田光孝：増分摂 動 法に よ る弾塑 　　性 構 造 物の動 的 安 定 限 界の解 析

．

日_本建 築 学 会 大 会 学 術 　 　 講 演 梗 概 集

，

pp

．

693

−

694

，

1975

．

12） 柴田 道 生 ：鉄骨筋 違付 架構 の履歴 性状に関す る研 究

，

京 　 　 都大 学 学 位 論 文

，

pp

．

41

−

42

，

1983

，

13） 14） 15＞ 中村恒 善

，

鎌 形修

一，

小 坂郁夫 1非 定 常履 歴 単 軸 構 成 法 則とそ の部 材 解 析へ の適 用 　そ の 1応 カ

ー

歪 経 路の パ タ

ー

ン分 類と構 成 法 則

，

日本建築 学 会 論 文 報 告 集

，

第 300号

，

　pp

，

26

−

33

．

　1981

．

五 十 嵐 定 義

，

井 上

一

朗

，

小 川 厚 治 ；鋼 構 造 平 面 骨 組の弾 塑 性 解 析 法に関す る研 究

，

日本建 築 学会近畿支部 研 究 報 告集

，

第14号

，

pp

、

157

−

160

_，

昭 和49_年6月 小 川 厚 治 ；鋼 構 造 骨 組の耐 震設 計 用 動 力 学モ デル に関す る研 究

，

大 阪 大学 学 位 論 文

、

1979

．

SYNOPSIS

UDC ：624

．

072 ：624

．

　04 ：516

．

3

　　 　　　　 　　

APPLICATION

　

OF

　

INCREMENTAL

　

PERTURBATION

　

METHOD

　

TO

　　　　　

ONE

　

DIMENSIONAL

　

COMBINED

　

NONLINEAR

　

FEM

　

DYNAMICS

（

FERT −

PD

）

by　Dr

．

　SHUZO 　ISHmA

，

　Professor

，

　Kyoto　Institute　o正Tech

−

　 nology

，

　

Dr．

　KOUJI 　UETANi

，

　Associate　P匸ofessor

，

　Kyoto 　 Univels1ty

，

　KIYOTAKA 　MORlSAKO

，

ResearchAsso

・

　 ciate

，

　 Kyoto　Institute　of　Technology　and TOKU

　 MSHlMURA

，

　

Graduate

　Student

，

　Kyoto　I皿stitute 　Qf 　Tech

−

　 nology

，

　Members　of　A

．

1

、

J．

　 One

　

dimensional

　combined 　

geomet

【ically　and 　materially 　nonlinear 　

finite

　element 　method （

FERT

）

has

　recently

been

　refi皿ed　to　

be

　

FERT −

P　utilizing 　the　incremental　perturb

．

ation　method （

Refs．

5， 6）

．

　In　this　study ，　a　general

me 出odology 　and 　an　associated 　computer 　system 　are　

developed

　

for

　the

．

　

dynamic

　analysis 　of　nonlinear 　plane

frames

．

　

Adynamic

　version 　of　incremental　perturbatiQn　method 　

is

　

developed

　to　give　a　powerful　tool　forthesolution 　of

dynamic

　equations

，

　

It

　

is

　observed 　that　the　propQsed 　method 　

for

　so且ving 　

dynamic

　equations 　

based

　on　the　in

，

cremental 　pertttrbation　method 　

has

　

following

　advantages ：

　

（

1

）

　This

　method 　enables 　to　assign 止 e　

proper

　time　increment　automatically 　so　that　the　calculation 　errors 　in

’

each 　

incremental

　step 　would 　

fall

　within 　prescribed　toleTance　

limits

．

　

（2 ）

　The

　e｝astic

−

plastic　

hysteresis

　path　of　each 　element 　can 　exactLy 　

be

　traced　

by

　this　method

，

　while 　

it

　

is

　

in−

herently

　not 　_possible　

by

　any　oLher　usual 　method

．

　

（3 ）

　

The

　most 　significant 　_part　of 　compuler 　operations 　is　the　_product　of 　

inverse

　mass 　matrix 　and 　_perturbation coefficient 　veetor

．

　

It

　should 　

be

　noted 　that　the　mass 　matrix 　is　usually 　regular 　and　constant 　so　that　the　

inverse

　op

・

eratio 皿need 　not 　

be

　repeated

．

　 The

　above 　mentioned 　tool　

for

　

dynamic

　analysis 　

is

　

implemented

　to　

FERT ・

P

　with 　slight 　modification 　to　

develop

an　accurate 　and 　effective 　

dynamical

　ana ｝_ysis　system 　FERT

・

PD

．

　

Through

　earthquake 　response 　analyses 　of　portal

frames，

　the　computer 　system 　FERT

−

PD　is　verified 　against 　FERT

−

D　which 　is　the　

dynamic

　version 　of　the　

FERT ．

The

　numerical 　

integration

　method 　used　in　the　

FERT −D

　is　the　

incremen

しal　averaged 　acceleration 　method

．

　It　can

be

　concluded 　thatしhe　FERT

−

PD 　represents 　a　reliable

_，

　

highly

　accurate 　and　efficient 　computer 　system 　for　the

dynamic　analysis 　of　combi 【1ed　nonhnear 　

framed

　structures

．

一 75 一