4・3層別サYプ日ング 113 SSでは"が犬きいので，調査後の集計整理に栂芸品の時閣と経費を要す るが， PMSでーはこれが比較的簡単。である.特に混合試料としてしまうと さ'には測定を数回やればよいので，集計よりも混合試料のっくり方が問庖 になる. 推定式もこれらのことを考えて決めなければならぬ.たとえばSSにお
いてい=す~~仰という形式の式となるように制すれば，集計も
各サジプル単位の測定値を唯加え合せればよいので非常に容易である.P M Sにおいても同様なことがL、えるが，特に混合試料として測定する際に は上のような推定式を用いるように設計しなければならない.たとえば 1 !:_1町 β = T和
JPJ
という式になると，重みつき平均を考えなければな らないので，簡単に混合試料とすることができず，各層毎に別々に混合試 料をつくり， 711)有に測定しなければならない.すなわちいずれの場合も， 集計の簡単にできるようなサンプ9:/グ訟を設計すべきである.4
・
3
層別サンプリング(
s
t
r
a
t
i
f
i
e
ds
a
m
p
l
i
n
g
)
単純ラン〆ムサンプリングでは，母集団がいろいろ異質なものを含んで いて分散が大きいと，平均値の推定の精度は態くなり，精度a:あげるため には，サンフ・ノLの大きさを非常に大きくしなければならなくなる.もしこ の母集団を実際に，あるいは頭の中でいくつかの層に分けることができる 場合には，これを層別して，各層内からサエ/フ・)~を各々ラ y 〆ムにとる. このようにし、くつかの層にわけで，その各局から・ザンプルをとるサyプ日 ング法を層別サνプリYグという.このサンプリYグ法によれば，各層内 からランダムにサンプルをとればよいので，サン'7.9 ~ノグずることも容易 になる. また層別のやり方を， できるだけ各層内のパラ0/キ {級内分散 ， ，2，W}を小さく均一にし，層聞のパラツキ(級間分散112b}を 大 き し 不 均 ーになるように層別すれば (4・6)式以下に示すように，平均値の精度に It.""が入ってこないので同じサyフ・ル数の場合には，単純ラYダムサン プりyグの場合より，その総平均値の推定の精度1'1遥かによくなる.これ は工場のサンプリシグにおいても，非常に役立つ，よく用いられる方法で ある.Jl 4 軍サ 3〆プ 9~ グの種類と簡単な理蘭 層別サンプlIYグしたときに，母集団全体についての推定め式や精度
1
1
次のようになる.いま N コよりなる母集団 (μ，112) から， nコのサン プノLをとるのに，母集団を kコの層にわけで，その各層の大きさをN，
コ とし，この各層より各町コのサンフ・ルをランダムにとると， k k N =2jN，
，
時=2j町 母集団については，各種の母集団全体に対する割合を仇 =N，
/N，
第4 層の母平均的，母分散d九とすると， 114(
4
・1
)
k μ= 2jp，i的 4冒l (4・2) 1 ~ 1Ji.=
1
に記
1Z43 (4・3) 。 . μ aJ 均 m 2 1 ・S 2
.
‘
1 一 N 一 = 一 " 、 ' ， ， μ . 4 ・μ ， ， ‘ 、 白 一 0・ 柏 y h Z M+
d -e ・ 6 -p l h z h = 2 6 唱 N，i 11(2=
詰
72(
町 一 向)2 (4・3)式の第1項を級内分散 e宮，"'第2項を級間分散 I1bZという. ただし 2 、 ， J μ - 一 品 μ ( n r2
4
z t b b e-u
-6 4 叩 宮 ・' e Z Ed-2 1 6 6 n rz e
-却 宮 6 したカ2ョて ~動係数 C についても同様に とすると O. b
=
-=.
!
.
!
!
.
μ。
岬
11ι μ 02=
σ
官制+(，Y2b サY7・;J..からの母平均の不備推定は (4・4) 同 j子
=N
一 定 の と き ) 例 ) (4・6) ー1 nl ( た だ し 九 = 丈 員 削j ;一 蹴
(一般却=」一色上皇制
j 1< 'i 鴨ij=1 平均値の推定の分散(精度)112語It.ユ
_
:
:
.
N
も-
1
1
.
.
，
a!i ....1) 皿、ー一'一一一一--'..-.似 品 川 一1 n.j'. k A十 一 軍=
2jp，
'
i
.
.
，
1 ，=1115 (4・7) 4 ・ 3 暦'JJIJサンプ ~Y!/
台長(_
t
__:1::-i
v
2
，，，2
， ア1
町 Njj'・・ ~ p宮￡σ2，
1:"N
九
(J2i 持2
一一一=←~-;;- ~一一一一(町 jN.， <O.l のとき) (4.8) 6 叫i: 1.V'. n.，
噌 k _宮 ....-土ー写、ーニ_:!_ k?*
1
n<l (N.，，.1のとき) (4・9) 母集団の総計μ xを推定するには，X
は ち の 各Nj倍，
，，2X 主(，，2i1の会 N2.倍する. 川 = 子 = 一 定 ) ( 叫.
j
N，
く0.1 (4・10)Px
←
x=
会
Ni
，
.
;
i
=
き(
N
，吉川}
1=1'
-
1
¥叫‘ /-1 I6!-4
町2N.‘一向ん
x-4三
i
』 呪 工 了 一 石 (4・11) (4・12) (一般式) (N，)>1) 6上
町
ハ
- w
丘
町
N N ・ 8 2 4 K 2 6 骨 骨 (4・13) これら分散の式を見るとわかるように，平均値や総計の精度{主，級内の 分散だけによりきまり，級間の分散が入ヮてこない.すなわち級間にいく ら大きな差があっても，平均値の精度はかわらぬということは，層別サン プ)}yグの非常に重要な特徴である. 上にのベた式('i，すべて母集団全体について推定を行うときの式であ る.各層毎についての推定の式は ~2・ 3 のラ y 〆ムサシプ )}y グの式を用 L、ればよL、. 上にはL、ろいろな場合のときの式をのべたが，工業においては，一般に ndN.<o.1.N，
が大体一定という簡単な (4・9)式の場合が多い.更に多いのは，次にのベる比例サシプ)}yグ，すなわち町
IN
，SE.a一定と いう場合である. 4・3.1 各層からのザンプルのと U方 層別ザ/プリyグにおける層別のやり方It"技術的および統計的知識を 利用して，意識拘に層にわけるが，各層からサンプルをとるには，やはり 必ずラy〆ムサゾプリyグをしなければならない. (nijN，
<O.l)116 第4茸tサ ン プ9:1グの割高司と簡単な理趨 ところが，層別サンプリyグにおいては，各層からL、かなる大きさの向 ヨのサyフ・/1-苦?とるべきかとL、う問題がある.この間趨は目的により大き く2つに分けられる. そのサyプリyグの目的が. (1)母集団全体についての知織を得て， ~ ツト全体に対して処置をとりたいのか. (勾あるいは各層についての知識 を得て，各層に対して処置をとりたいのか，の2つに分けられる. l3J L かし各層の知治も得たいし，また全体についての矢日報も得たいという場合 もある.これらの目的により，各国からとるサyプルの数を決める態度も 相芸品異なヮてくる. 4・3.1・1 母集団全体についての知事置のみを問題とするとき 母平均 や，母集団の総計を推定するのになるべくサンフ・ノL数を少し経費をやず しかっ精度よく推定するために，いろいろの工夫が行われている. 1.比例サンプリング (sizeproportionate sampling) 各層の犬きさ
N.
に比例して，一定の抜取比αでサyプリyグずる方法で，従来われわ れが多く行っていた方法である.工場においては，後にのべるように多く の場合比例サyプJ)yグをすると精度がもっともよくなる. 叫1 向 n，
nk n 一 一一=一ー=・・・=一一=・・・=一 -=_._-~ß N1 N，
N. Nk N 一ー すなわちサyフツLの全数を"とすると 叫4
=
4
F
… 仇=
aNt したがって (1'4) (4・5)式より軍=土色怠旬
開 ‘ 雷1.1=1=
二
L 2 2
附 " '1f， " j (叫=
N/k=
N
一定} (4・14)(
4
・1
1>) (4・16) 層別比例サyプリyグでIt. 上式から判るように，平均値の推定は.N，
治 L一定でなくとも，得たデータすべてを層に関係なく加えれば心、ので~F 常に簡単になる.同機にこのサyプリYグならすべてのサyフ・/1-を一緒に して重量を測定して平均値をとヮたり，あるいは混合して，混合試料とし てもよい.分散は117 4・3婦別サンプリング (4・17) p ・ 町 一 叫 山 一
M
i -hk
2
叫 (4'18)卑(~--去)
:
:
s
p，
U2，
(l-a)=-17-Z
仇U，
2(Npt=N‘)>1)寸~
p，
uz，
=与
(njN=
aく0.1) (4・19) 卑f
z
z
ん = 附 く0.1j Ni.=
子 = 万 一 定 )(4'20) た だ し 仇 一 定 ， す な わ ち 九 一 定 な ら ば ん = 号L
(4・!lO)式のような条件が犬体成立する場合が工場では多いが， このと きにはR
を正しく知る必要はない.ラν
〆ムサシフ・!)yグのときの平均 値の精度 u2~(n) は. (4・3)式よりん同=千=士~ V，u
2
， 寸 ~p，(μ， -u)ヨ =L子生
ん
ω{
伊 …R 6宮晶=
寸
'
-
;
;
;
;
;
0 すなわち突用i杓に("1.層別のやり方がまずくて.JJt=μすなわちe九=0
のときに，はじめてランダムサンダ!)yグの精度に等しくなるが，一般に は，ラシダムサシフ・!)yグの方が精度は悪い.層別ヵ'iJド常にうまく行わ れ，各層内において均ーと見なせると舎に1"1.u!w=
0すなわちU!j;(P)=0
となり，サシグルの平均値がそのまL母平均となる.ある母集団につ いては.U2 1"1'一定であるから， d岬が小となるように，したがって層内を できるだけ均一になるように屑則すれば， dbが大となり. ¥，、L、かえると 層間の差をできるだけ犬きくするように，サンプリyグ法を設計すれば， 全体の平均値の精度はよくなる.害保のサyフ.Vyグ 御2無意議の中に層 別サyプリyグの形になっていることも多いから，一応検討して見るとよ 石炭がluトン績で 10車入荷したので. 1貨車荷下しするごと 1) 例118 114. サンプ ~J〆グの種類と簡単は瑚論 に，ランダムにスコップ5杯ずつサンプルをとり，これを混合して
，
i結 合試料とすると，このサンプルから得られる次分の{直の精度はどのよう になるか. これは各貨車を層とし， 10に層別し，各麿の大きさは同じであるので， 各層からサンプルをランダムに同数ずっとった一一ー層別比例サンプリン グー一場合である. ζの場合N
P
i
'
>
1，n/N<O.
，lN.
=一定， 町 = 一 定 したがって (4・20)式となる. 6ョー=ー一一ラ:σコ 合 nk * - J - -" もし貨車内のインクリメシト問のパラツキq2色 が ほ ぼ 等 し い と す れ ば， (このような乙とが近似的に成立することは工場においてよくある) O'l~=
0'2'2=
……=
0'102 = σ九=~仇σ九 とすると， ~ q2.=
"112ω しかるに， (4・20)式より _2 _2 . . . ，.W ，.. (/"z ==ーて7一 =一一一ー 71/ C 鴨 この伊jでは， 11=
5， k=
1011=罰k=
50 _2 ct .，...w q-濠=
ーー一一一ー - 1i0 すなわち貨車聞にm
当の遠いがあっても，混合試併の精度には影響な し 貨 車 内 の イ シ ク リ メ シ ト 聞 の パ ラ ツ キ ポ 仰 の み に よ P精度は決定さ れる. 備 考 これは次のようにしてももとめられる.第i暦 か ら 重 さ 均 の インクリメシトをとり， その各層毎の混合試料の1
五 分 一 平 均 値 ー を % とすると， 会混合試:fS1の灰分ー総平均値一言は，lVを金サンプル蛍と すると，比例サンプリングであれば，-.
.
言 =(即UIXl+n2w2九十・…'+1I10W10苦lO)/JV V(l;)=(ll:~l_yl1\+( n~川内十十
=~(竺;十}ん
4・3 層別サνプ日ング しかる?亡内=久的=wで一定とすると
V
(Z)=
(
~.~也、
¥
W
J
τ '
2 o"z， しかるに q!ii"，_=
一
τi
，いま tJA
l
'
=
t1'UJ2で-jj!とすると."
‘
Y(2j)=
(
予
Y
与
ι=
ザ=ヂ(
王戸一=上w -"
l
]
119 例 2]一定時聞に大体一定数ずつ生産される製品がある.との製品 の1日の平均重量を知Pたいので，サンプリング法をきめるためにこの 工程から一定間隔で1日に100::1のサンプルをとP一一系統的サンプリ ングーーその重量をおのおの測定した.全体のヂ戸タから分散をもとめ ランダムサンプ9ングの式を用いて，サンプル20の平均値の精度をもと めた・またとのデータを時間順に5::1毎に1ヲの屠からのサンプルと考 え， 20の暦から各1::1ずつランダムサシプルをとったと考えると1)，た とえば時間願に5::1毎に1::1ずつ計20::1のサンプルを5組っくりその各 平均値のバラツキを実際にもとめて見た・との実験並びに計算の結果は 表4・1の通りである. 会体のデータより各サンプル聞の標準偏差をもとめると1.83gである. したがって全体から20コのサンプルをランダムにとったものとし，そ の平均値をもとめれば，その平均値の標準偏差は， 8量勾=1.83g!V20
，;.干0.409g 島コおきにとった各20::1のサンプルの5組の各平均値の標準偏差S;;t は0.146gである. 8正10/RU = 0.409/0.146勾 2.8 すなわち一定間隔で系統的に20コのサンプルをとると，その平均値の パヲツキは，完全なランダムサンプJ}~グのときよりもはるかに小さ〈 なっている. ζれ は *2・2・2でのべたように系統的サンプリングが，一種の層別サ ンプリングの効果を発揮している場合である.たとえば，連続5::1ずつ 1)各層かちの5:11主系統的サシプリシグ仁なョているが.これを，yダムサシプルであるl
:
-
r
る.120 第4宣告サYプ
o
:
;
グの種事国k簡単な理・ 表 4・1ある製品のZ重量(単位g)(ヂータは測定販] 群番号￨.
各 サ ン プ ル の デ ー タ 1x
1 1l 1 104.9 101.2 103.8 101.6 104.3 101.36 1.1 2 102.3 103.0 102.6 102.6 102.9 102.68 0.7 3 104.0 105.3 103.9 103.9 104.0 104.22 1.4 4 100.2 103.1 101.7 101.7 103.0 101.94 2.9 5 102.6 102.0 101.9 105.5 103.0 103.18 3.6 6 101.6 100.0 103.3 101.2 99.7 101.34 3.6 7 102.1 101.9 102.4 101.7 103.7 102.36 2.0 8 1∞
.0 100.8 98.9 99.0 103.4 100.60 4.5 9 104.8 103.2 102.9 103.6 102.2 103.34 2.6 10 103.0 102.6 100.4 103.0 103.4 102.48 3.0 11 102.8 101.6 101.6 101.9 102.5 102.08 1.2 12 101.5 103.7 103.9 101.3 103.6 102.80 2.6 13 102.4 103.3 104.0 103.9 103.8 103.48 1.6 14 106.7 105.6 104.5 105.5 105.3 105.52 2.2 15 106.9 106.2 106.3 105.7 105.6 106.14 1.3 16 102.7 102.8 102.5 100.0 100.7 101.74 2.8 17 102.5 102.9 103.2 103.8 1ω.8 103.44 2.3 18 106.3 103.8 104.0 104.0 104.0 104.42 2.5 10 103.9 103.7 103.7 104.6 103.5 103.88 1.1 20 105.5 101.2 102.8 103.4 101.9 102.96 4.3 「￨
凶
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6.712卿0ω 71却捌協5
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制
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凶却榔鵬6白
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R A V A U a 唖 A V=
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SI(=0.15 1)益体のデ-!1l9度数喪吾作成L計算せるもの 62・3・1表2・3と同1:1:.X 4・3層別サンプリング 121 をとって，乙の5:lずつの母集団を一つの暦と考えると，会母集団を20 に層別して，その各層から各1:lずつのサンプルをとりその平均依をも とめたような形になっている1).乙の場合各暦の中からのサンプリング は一定問簡におとなっているので完全なランダムサンア9:--グとはいえ ない場合もあるので，完全な層別サンプリングの形にはならないζとも あるが，一種の層別サンプリングの効果を発揮するのである.したがっ てじの各層間に大きな級間分散をもつようなとき，たとえば工稗が管現 欣態になし大波や傾向をもっているようなときには級間分散が大量〈 なるので，系統的サンプFングを行うと金〈ランダムなサンプ 9:--グを 行ったときより平均値の精度はよ〈なる. ζの例でも，データを願に5 2ずつ苦手にとって管理図{図 4・1) を番〈と R管理図は管理歎態にあ るが， 主管理図では限界外にI.Uている点が5点もあり，級間分散(君事 104 6.0
n三5一一」一ーー」一一ー _....J_...~_....*
"
.
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1
岨 苓 103;15一一一一一一-一一--一一一一ー一一一一
u
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.
ω
R 4.0 2.0 R 2.365 若干番与。
図4・1 ある製品の重量の管理図 1) この倒で広実{主各署警毎tご別の層である.l22 鱒4寧 サYプ9:.<T'の糧事聞と簡単な温. 間分数}の大きいととを示している.級内分散は R管縄国は管理状司自 にあるから各暦とも大体同じと罷めてよいようである.
n
，~ " (4・
20) 式を用v
'
-Ci}iJG==0.47とな!I8a，
o =0.41にか、. 注 意 1) ζのようなζとは，管理狭量E
にない工程からの製品ιぬ ツ トの平均値を知るためのすνプ!I;:/グのときによ〈おこる現象である. 2) 化学製品や，石炭，鉱石のようなものの製品の槍れ，たとえば石 炭や鉱石め総選中に，流れの量に応じて一定間隔で1イシタ9メントず つサシプルをとり， ζれを混合して，混合就科として分析したときには， その平均値の精度は各イシグ9メシト聞のパ?ツキよPヲシダムザシプ ルであるとして，推定した平均値の精度よりも遁かによ〈なっていると とが多い.したがって各イシクリメシトより標準備義をもとめ，ヲシグ ムザンプルとして所要精度に必要なイシ夕日メシト数をもとめると，混 A T E l -. ， a 特 性 健il~
国司開園・ーー -時間夫 I~笠附 I ii)屠 例 サ シ プ ' シFの幼果 関4・2 系統的.，.;:/プ!I;:/グ4・3層別サ3〆プ，:-'グ 123 合飲料の精度は必要以上によ〈なっているととがある.いいかえるとイ ンクPメント数を取りすぎているζとがあるから注怠. 3) 系統的サンプリングは，以上のベたように，層別サンプリ
ν
グの 効果を発揮しているが，場合によってはH
・5にのベる刷次サンプリン グの形となっているζとも多い.たとえば図 4・2(i) のように，大波 守傾向のあるときは，むしろ副次サンプリングに近いと考えた方がよい・ 2.ネイマン (Neymann)ザンプリング この方法('1.各層へのサy プノLの大き左側tの都芸品を，各層内の級内標準偏差11，
に比例して依き取 る方法である.すなわちk層ある場合には， または 侃J
/
N1国 内 ， 的/N2OCI1s.…
…
fik/NIc閣 内N.
I1.1) 町 =fi"'"T一一」ー ~N
tl1i， (4・21) これは2
円=fiという条件で σらを最小にするには刊をいかにkれ ばよいかと L、うことからもとめたものである.このとき平均値の推定値は k1"
ま ha
=
~ p，-':_ ~向i=
~pát(
4
・22) .=1.
n
i'圃1 t国l 内=
-!-(~P，l1j)2-i- ~ Ptl1~. 卑士ω的)2
(4.23) このサンプリシグ法!i..分散の大きい層からは抜取比を大きくするので あるから，常識的にも考えられる結果である.の(ネイマン)は勾(比o
l])よりも小さくなり，平均値の精度はよいが，平均値をもとめるには， 各膚の重みつき平均値を用いなけすUまならぬので，混合試料などをとると きには，全試料を混合するわけには行かすぎ，各層毎に混合試料をつくり， これを分析して，その重みつき平均値をもとめなければならぬので厄介で ある. ネfマyサyフ'I}yグにおいて 11iか一定のときは，通常の比例サyプ1)"i
I~厳密仁川 JE吋であ川淵一主的 1 が多いので
124 114* サンプ9::1グの種調聞と簡単な哩治 !I:;グとなり，工業においては犬体内があまり違わぬ場合が多いので， 比例サyプ'!I:;グを行う場合が多い. 3・糧費密着
.
f
に入れた割当法一一デ主ング (Deming)サンプリング 更に経費を考慮にいれて， たとえば，第4層での1測定芸品りの経費を匂 とすると，総経費 a=~ 内向を一定として . 11暑を最小にするためには サyプルを次のように制導ればよい. 問/N1閣制/〆
Cl• 均:/N:盟
国
内
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〆
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t/.ー- (J { N.II. ¥ 同 = 一 一‘
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‘一=
--1:一一一一!
で
ー
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戸
1
(4・24) %言 N的〆石 ~N内〆cikV%f このときの平均値の推定およびその精度は.(4・4-5) および (4・0-9) 式であらわされる. ζれをデミYグサyプ 9:;グと L、う. らiI:"ー定ならば， ネ イ マyザ yプ9:;グと同じになる. 工場におい・て ('tCiはほとんど一定の場合つが多いので，デミyグサ :;7'!I:;グを用いる ことは少なく，匂及び11-がほぼ一定の場合が多いので，その kき 勾 を 最小に歩る比例サンプ9:;グ法が多く用いられる. 4・8，'・2 各層に関する知様も問題にするとき 各層に時ずる平均値 をすべて同じ精度で知りたいときには，各層ごとに~2のラy〆ムサyプ ，9 :;グでのベたようにeらを級内分散とすると， 匂=
11，./)/"という蜘 係より必要なサyプル数を決めるべきである. 各層の平糊臥相当品よい精度で得たいし，また全体の平均値の精度もよ くしたいという場制ζl't.前にのベた方法でもとめた，各層へのサyプル の割l
畠数と，各層毎にラγダムサyプ!I:;グの式でもとめた割j拳数とを考 慮して，両者の中間的な値で妥協すべきであろう.たとえば層の大きさ ~V. が小さいために，第 4 層からとるサン 7・I~ 数引が，比例サ y プ 9:; グで は向=3になり，層についてのパラツキから考えると向 =20と出たとする と，たとえば10くらいにとることもある.妥協していくらに決めるかは， そのサν
プ!I:;グの目的と披術自曜蜘句始時とからきめられるべきもので4・4集落サンプリング 125 一般にはいえぬ・たとえば〆N.， J.;
