システムの特性方程式の根軌跡決定に関するパーソナルコンビュータの利用について * 藤塚幸中川孝之緒言すでにパーソナルコンビュータ (PA NAFACOM C l5e), XYプロッタ ( 渡辺測器 WX 4671 型 ) を利用し, 制御系の初等的な諸問題を取り扱うときに用いられるプログラ

(1)

システムの特性方程式の根軌跡決定に関する

パーソナルコンビュータの利用について

* 藤塚幸

中川孝之

緒

言

すでにパーソナルコンビュータ(PA NAFACOM C l5E) ， XYプロッタ (渡辺測器WX 4671型) を

利用し，制御系の初等的な諸問題を取り扱うときに用いられるプログラム (資料) を示した

:

l)ここ

では引きつづいて制御系の特性方程式の根軌跡を求めるプログラム，及びその演算例について述べる。

本報に用いた器械は， NEC製コンビュータ (PC -9801) ，ドッドマトリックスプリンタ (

PC-8821) ，及び渡辺測器製サーボプロット(DA-8400) である。

制御系の特性方程式の根が求まれば，過渡応答特性が明らかになるが，一般に制御系の特性方程式

が高次の方程式となる場合や，系のゲインの増減にともなう制御系の特性を考える場合には，ゲイン

Kの種々な値に対する高次方程式の根を，手数のかかる数値計算によって求めなければならない。も

しこの数値計算が，パーソナルコンビュータの助けによって行なうことが出来れば， 1950年頃，

W. R. Evans によって提唱された根軌跡法に適用して，図面上に根軌跡が求められる。この報告は，根

軌跡をパーソナルコンビュータで求められる例と，そのプログラムについて述べたものである。

1 . 特性方程式の根軌跡の求め方と慨要

1 . 1 特性方程式と根軌跡の一般的性質

一般に制御系は，図

1のように示されると，制

御系の入，出力のラプラス変換R(S)， C(S) の比は

C (S)

R (S)

G(S)

1 +G(S)H(S)

( 1)

となる。式( 1)のG(S)=K/S(T1 S+ 1 )(T2S+ 1) ， H (S)= ]とした例では 1+G (S)H(S)= 0が式( 1)

の特性方程式で，一般に S の高次方程式である。この式を S について降棄の式に書きあらためるため，

G(S)， H(S) をつぎのように変形する。

* 日本電気KK

G(S)=

K

H (S)= 1

S (T1 S+ 1 )(Tz S+ 1 )

K/TIT2

G(S)=

S (S+ l/Tl) (S+ 1/T2)

( 2 )

( 3)

(2)

富山大学工学部紀要第35巻

1984

G(S)=

ko

，

S (S-Pl)(S-P2)

，

K

1

1 KOI=一一一一.

Pl=ーで十一. P2=-=-1

T!T2 '

Tl

'

T2

そして，特性方程式 1+G(S)H (S)= 0 は，次のようになる。

S3ー( Pl+ P2) SL PIP2S + KoニO

以後，式(4)に示す関係から，伝達関数のゲイン Kの1/TIT2倍した Koを説明の都合上用いる。

次にコンビュータを利用し，プログラムを作るため，根軌跡に関する諸性質をかかげる。

①軌跡、はG(S)， H(S)の極から出発し，零点が軌跡の終点となる。

②軌跡、の漸近線の方向と横軸となす角度は(180 + N X 360 )/ (極の数一零点の数) となる。

③極，零点が横軸に配列された場合，一つおきに根軌跡が存在する領域である。

④漸近線が実軸を切る点は(LPi-LZi)/ ( n-m)である。

⑤軌軸は実軸に対称、である。

2

.

特性方程式の根の近似解法とプ

ロ

グラ

ム

の流れ図

(4)

( 5)

G(S)， H(S) の極点の数が少なし 2 - 3個の場合には，一般的に根を求める公式によれば良いが，

極数が5個以上になると一般的方法が無く，数値計算による近似的解法によらねばならない。すなわ

ち，三次式，および四次式ではそれぞれ Carda no の公式，およびFerrari の公式が用いられるが，五

(2)

次式以上では近似的に根を求める種々の方法によらねばならない。ここで，筆者らはこの数値計算を

Bairstow 法と Newton - Rapson 法と組み合せた方法を用いた。すなわち，方程式の次数が，偶数次

の場合は， Bairstow 法を，奇数次の場合は， New ton - Rapson 法により1個だけ近似根を求め，次

数を1個減じ，方程式の次数を低い偶数次の方程式とし， Bairtow 法によりその式に対する根を求め

ることにした。

次に特性方程式を定めるG(S)，日(S)の極，及び零点が定まっている場合と，定まっていない場合

とのプログラムは，作成上たいして違っていないが，それぞれの場合に対してプログラムの大要を述

べる。

2. 1 G(S) H(S)の極，およひ噂点が定まっている場合

特性方程式のG ( S )H ( S )をつぎの式とする。

K(S-ZI) (S一日) ……( S-Zm)

G(S)H(S)=

( S -PI) ( S -P2)

...・H・..

(S-Pn)

(6)

このときは，極，零点は実軸上に決定される場合で，極，零点の位置の値を配列p( I )( I= 1， 2 ，

" n)， Z ( L) ( L= 1， 2 ， ……， m) として表し， nを極の数，および、mを零点の数とする。

次に特性方程式を式(5)のように， S に関する n次方程式とし， S n項の係数を配列A(n+ 1 -N)(N=

n， nーし ……1， 0) であらわすと，特性方程式はつぎのように書かれる。ここで， N は次数をあ

らわす。

A(l)sn+ A(2 )sn-l+ A(3)sn-2十……+A(n)S+ A(n+ 1 )= 0

( 7)

たとえば， G(S)H(S)= K (S-Zl)(S-Z2)/ (S一日)(S一日)(S一日) の場合 ( 3つの極と， 2 つの

零点を有する) 式(7)の係数， A(l)， A(2 )……， A(n+ 1 ) は次式の通りP( l )， P( 2 )'" …， Z( l)， Z (2)で

あらわされる。

(3)

藤塚・中川いシステムの特性方程式の根軌跡決定について

A(2)=-P(l)-P(2)-P(3)+

_K

A(3)=P(l)・ P(2)+P(2)・ P(3)+P(3)・P(l)-

_K{

Z(l)+ Z(2)}

A (4)=-P(l)・P(2)・P(3)+

_K.

Z(l)・Z(2)

(8)

一

般に伝達関数の分母，分子の関数形が種々の形であたえられるので，係数A(l)， A (2)， A(3)…

A(n)， A(n十 1 ) は，伝達関数形が定まる毎に異る。すなわち，これらの関係式(8 )はその都度計算し直

す必要がある。言いかえると，プログラムの行番号と，各係数A(n+l-N)の関数形の訂正をしなけ

G(S)H(S)

行番号

E

ヨ

o105o

"

' SOSA413S1

(S-Pl)(S-?2)(S-?3)

ヨ20 A(2).-PC1)・P(2)-P(3)

530

A(3)=P(l)髭P(2)+P(2)・P(3)+P(3)・P(1) 540 A(4 )..-p(1)・P(2)叫'(3)+民

500

•

K(S帽Zl)(S-Z2l

吉10同"0:A(1)"1_{520 A(2)・-P(1}

_)-p(

_2)-P(3)保

(S-Pl){s・?2)(S':'P3}

530 A(3)=PC1)・P(2)令P(2)・P(3)+PC3)・P(1)・K鋤(Z(1>+Z(2)) 540 A(4)=-PC1).PC2)・P(3)+I(・Z(1)個Z(2)

刻。，

吉10 "，竃OIA(1)・1

E

520 A(2)

.

-

P(1)

・P

(2)

・P

(

3)-P

(

4 _'

530 A(3)

・

P(1

)

・

P(2

)

・

P(

2

)・P(3)+P(3)

・f'

(

1)

+P

C4

)

個 (

P(

1 )+P(

2)+P( 3))

(S-Pl)(S-P2)(S-?3)(S-P4}

₅₄₀

_{A(4)・-P(1)縄P(2)・P(3)-P(4)働CP(1)・P(2)・f'(2)・P(3)+PC3).p(1))}

宮古o A(5).PC1)・P(2)・P(3)・P(4)+民

S3O100". ・0IA(1)"1

520 P9-p(ll・P(2)+P(2)・P(3)+P(3)・P(ll

E

ヨ羽

A(2)

・-

PU)

・

P

(

2)

・P

(3)

-PC

4

)-P

(

:U

{S-Pl)(S-?2)(S-P3){S-p4HS-P5}

540 _{ヨヨo A(4'・-PU)・P(2)・P(3)・P(4)・p9・P( ・(P9+}

A(3).P9+P(4)偶(P(1)+P(2)+P(3))令PSfSB 3・(P(1)+P(2)+P(3)+P(4))_P(

₄

_)・(

_P

_U)

₊

_P(2)+P(3

_U

560 A(5)-PU)・P(2).P(3)・P(4)・P(1)・P(2)・P(3)・P(5)+P(S)・P(U・p9 570 A(6)・-P(1)・P(2)・P(3)・P(4)・P(5).叫

表-1

ればならない。表一1は，あらかじめG(S )H(S)の関数形の代表的なものに対して，その計算し

た結果を一覧表にまとめたものである。

次に，この方法によるパーソナルコンビュータ用のプログラムがプログラム

l で，このプログラ

ム作成用の流れ図は図

2である。ここで， Xyプロッタ上に画いた根軌跡およびディスプレー上に

画いた根軌跡のプリンタへフ。プリントした例(プログラムはプログラム

2参照 )を3

.

1項にかかげる。

2. 2

入，出力比をあらわすSの関係式(分数式)から極，零点を求めなければならない場合

入出力の比が一般にSの分数式であらわされ，その分母，分子が Sについてn， m次式で表わされるの

が普通で、ある。この場合，これらの極，および零点の中には虚数部の値をもっ根があるのでSに関す

るn次式の根を求め，実根および複素根を決定し， S

-

Plane 上にその位置を表示することになる。

ここで 2.

1項の場合も含めて取り扱うとすれば， G ( S ) H( S )の分母，分子をn，m次式に書きかえ，

次にのべる方法で根軌跡が求めることになる。したがって，この方法はより一般的方法と言うことが

できる。

特性方程式の G ( S )

H

( S )を次式とする。

K(qlSm十q2Sm-l + ・・' + qmS+ q，叶1 )

G(S) H(S)=

_{dlSn+ d2Sn-l十…十dnS + dr什l}

(9)

(4)

l REP. ):A�•(A'rD�"A)

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571l FOR 1•: TO 01

� Jr L•C MC 1..: 'TtEN 59!

5a' PRINT e:., 'JII='' :1;'." tGOTO 600

59t N:J..-;- •:... ·�· :1: "•" :GOTD 650 60C NErr I 61t F'DI\ J•l ,.0 l 62t' 1r I 0� l>EN 640 63t' P'RJN'i e:., "P'2'": 1: '•' .. o PRJtr. •:... •pz·: 1: •• · 65C F'OR I •: lD 01 :GO'TO £5C •NEXO I 67t 1� L•O � J•• llE:W 69:

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(5)

藤塚・中)11 :システムの特性方程式の根軌跡決定について

(6)

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(7)

藤塚・中川いシステムの特性方程式の根軌跡、決定について

この場合，入力する値は分母，分子の各項の係数dl，d2……dn，dn+l， ql， ql，……qm， qm+l 等の値とする。

プログラムの流れ図を作るとき，まず入力として分母，分子の各項の係数をあたえるための行番号

と命令をプログラムに付加する。 ( プログラム

2参照)

N 分数の次数

L 分子の次数

D (

1 )(I=1 ，2，…N，N+ 1) 分母の各項の係数値 D( 1 ) =dl，D( 2 ) =d2・…

Q(

1 ) 0=1 ，2 ，…L，L+ 1 ) 分子の各項の係数値 Q(1)=ql，Q(2)=q2・…・・

とし， G( S)H(S)の分子をあらわす方程式を零として根を求めると，この根は零点である。他方極

点はG( S)H(S)の分子を零とした式の根または次式の特性方程式(10) においてK=O とした方程

式の根である。式(10)は，

m<

nで， m= n - 2とすれば

dlSn+d2Sn-l+ (<13- Kql)Sn-3十(d4一両2)Sn-3寸…+ (dn-Kqn-2)S+ (dn-l-Kqn-l) = 0

(10)

となる。

この式仰において，種々なKの値に対する根は， n個の根で根軌跡上にある。すなわち， Kの種々

の値に対する式(10)の n個の根を求め，この位置をS - plane 上にプロットして根軌跡が求められる。

この場合のプログラムの流れ図については，入力のあたえた，および零点，極の計算部を除いた演算

部がほとんど同一で、あるがら省略する。そしてこの場合のプログラムをディスプレー用のものをプロ

グラム

3に示し，これらの計算例は，次の3. 2項で説明する。

3. コンビュータによる作図例

3. 1

G(S)H(S)の極，

および零点が確定している場合

G (S)H(S)の関数形が定まっている場合には，表1を用いて特性方程式の一般式(7)のSに関する

多項式の各項の係数A (l)， A (2)‘ A( 3)……が定まる。これらの関係はプログラムー2 に示す行

番号510-530で示される演算式としてあたえる。もし， G (S )H (S )の関数形が異る場合は，表にし

たがい行番号に応じた新しい演算式に書き改めなければならない。

たとえば， G(S)H(S)=K/ (S -Pl)(S-P2)(S-P3)(S-P4) において，零点がなし極が 4個あ

るとき， Xyプロッタ上の根軌跡は図- 3で示される。もし， K/S(S-P2)(S一日) なる場合には，

それぞれに対応するA(l)， A(2)…なる係数は表から簡単に算定きれる。すなわち，この場合表に示さ

れた式においてPl=Oとして取り扱えば良いからである。このようにして制御理論に示された種々の

伝達関数の根軌跡は容易に求められる。

次に，

2個の零点と 3個の極を有する場合のディスプレー上の図形をプリンターで記録した図形

の例を示す。

(図 - 4 参照)

また， G(S)H(S)=1/S(S 2+ 2 n�S+ 1 ) の例では，極が虚数部を有するので，この場合は， 2.

2項で取り扱った方法によらねばならない。その演算は図- 5 の通りである。

3. 2

G(S)H(S)の極，及び零点の計算を要する場合

G(S)H(S)は，一般に式( 6 )のょっに示され，その形が表 - 1 の中の何れかである場合についても，

この表を用いると，一般式(7)のSに関する n次式の各項の係数A(n+ 1-N) がA(l)， A(2)， …の式よ

り定められる。この事は，プログラムー 2 に示す行番号510- 530番の各演算方程式が定まる事

に一致している。 1 例として，極がーし一2， -3， - 4 ，および零点の無い場合の根軌をXyプ

ロッタ上に画いた根軌跡を図一 3に示す。この場合のプログラムはプログラム一 1 による。なお，デ

ィスプレー上における根軌跡はプログラムー2 を用いて得られる。 Xyプロッタ上に根軌跡を求める

プログラムの説明の大要はつぎの通りである。

(8)

1984

G(S} .t-I(S}:::

(S-Pll (S-P21 (S-P31 (S-Pl�).

富山大学工学部紀要第35巻

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図

4

(9)

藤塚・中日いシステムの特性方程式の根軌跡決定について

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3 行番号10-140においてS - p lane 上

に座標軸，および目盛を記録し，G (S )

H(S)の関数形を所定の位置に記録さ

せる命令文， 210-5 40 根軌跡上のそれ

ぞ、れKの値をそのときの根の位置近傍

にプリントきせ 570-760 S -plau e

上に極，零点をフ可コットさせる命令文，

そして 780-940 漸近線を点線で表

示する命令文である。

次にサブプログラムは2000-3090の

命令文で，その大要を図- 2 を用いて

説明する。 2010-205 0まで式(8)のA(l)

…・なるSの多項式の係数を計算し，

2180-2220多項式は奇数次か，或は

偶数次かによってN ewton-Ra phson

の方法 (2220-235 0の命令) ，或は，

Ba irstowの方法 (2360-265 0の命令)

(10)

富山大学工学部紀要第35巻

1984

で根を求めるようにしてある。すなわち，すでにのべたように多項式の次数が奇数次なら， N ewton

Raphs onの方法でl根を求め，方程式を 1 次低い偶数次の多項式とし，偶数次の根を Bairstow の方

法により根を求めるようにしている。

この計算例ではプログラムー 3 を使用してディスプレー上に画カ通れれたものをプリンターによ

って記録したものである。なお，図 - 6は伝達関数の分子がSについて 3 次式，分母がSについて 7

次式で，それらの項式の各項の係数が指定されている場合の例である。

4. 制御系の質の改善への利用

線形制御系において，入力に対して出力が収束するか否か (系は安定か否か) は，特性方程式に対

して，ラウス，フルウィツの方法で明確にされるが，安定度については Bode 線上ゲイン余有，位相

余有を考慮して安定度が予測される。さらに，これらの余有度によって制御系の設計変更が試みられ

ることは良〈知らきれている事である。ここで設計に際して，すでにのべたパーソナルコンビュータ

のw.

R. Evans の根軌跡への利用により，種々のゲーンに対する特性方程式の根をS-plane 上に表示

(制御系の根軌跡がブラウン管，又はXYプロッタ上に図示) させ試みる方法と，インデシアル応答

に及ぼすS-plane 上の根の位置と減衰係数との間にある性質から定められる限界曲線を考えて安定

性を考慮、して設計変更を試みる方法が考えられる。すなわち，極点，及び零点の付加，または位置の

変更に対して，根軌跡の形状の変化をディスプレー上に容易に示すことができることと，根軌跡上のゲ

ーンの値まで画かせる得るため，制御系の質の改善に大いに利用できることがわかる。

5. 総

括

これらの事は特性方程式に対し，ゲーンの変化にともなう特性方程式の根の位置を数値計算ちよっ

て決定し，

W. R. Evans の提唱した根軌跡を求めたものである。本来のEvansの考え方は特性式を満

足する各種の複素量をVe cto r とし，各種のVe cto r の偏角に注目して探索的に根軌跡を求める方法

で，この件については更に研究をする必要がある。

参考文献

(1)

中川外4名

:富山大学工学部記要， 34， p 36，昭和5 7年3月

(11)