U.D.C.d21.313.323
三相リラクタンスモータの非同期特性の解析
AnalysisofAsynchronousPerbrmanceof3-phaseReluctanceMotor
園部
武
雄*
Takeo Sonobe要
旨
三相リラクタンスモータの同期特性,非同期特性を直観横軸に座標をおく回転する座標系に変換すること
によって理論的iこ解析しその特異な性質を定量的に明らかにし,電子計算枚で数値計算を行なった結果と実測 値が小形の三相リラクタンスモータでほほぼ合うことを確かめた｡1･緒
ロ リラタメンスモークは自己起動する構造簡単で信摂性の高い同期 電動磯であるので,最近各種の電子枚器,紡績機械などに大量に使用 される傾跡こある｡その同期特性についてはTrickey氏(1),Crouse 氏(わ,Lawrenson氏(3),園山氏(4)などの研究がある｡非同期特性に ついては三相対称座標法と構造対称軸という座標変換によって解析 した加藤氏の文献(5)があるが,計算式が非常に複雑になり,加藤氏 自身も簡略式のみしか計算を行なってない｡さらにLin氏(6〕(T)は実回路的に計算を行なって等価回路を導いているがあまりにも複雑に
なり非同期特性の数値計算は行なわれていない｡ 本報告ではKron氏(8)(9)i･こよって始められたテンソル解析法を用 い,2軸のPrimiti､reMachineに変換し,トルク,電流を同期,非 同期について解析し,小形の供試故について数値計算を行ない実測 と計算がどの程度に一致するかを確かめようとするものである｡2.構造と動作原理
リラクタンスモータはリアクションモータ(反作用電動依)とも呼 ばれ,直流励磁を要しない,取り扱いが簡便な同期電動機として知 られている｡その構造は図1に示すようにかご形誘導電動機のロー タ上に極数に応じて凹極部をつけた構造となっており,ステ一夕側 は普通の誘導電動枚と同様に三相,単相の巻線が施されている｡ その動作原理は同期回転時は同期電動枚の電槙子に遅電流が流れ ると,電政子反作f削･こより界磁を強める作用をするので,直流励磁 はしなくとも界磁は助磁される｡したがって励磁巻線がなくても電 機子巻線が回転磁界を生ずれば,電流の無効分は界磁束を作り,こ れと電流の有効分との相互作風こより回転子は回転する｡回転子が 凸極形であれば,電機子と凸極との関係位置により,磁気抵抗が変 化し,電流と界磁束の間に相差を生ずる｡この相差は負荷に応じて 変化し,その負荷に必要なトルクを発生する｡非同期時は大部分の トルクはかご形巻線により普通の誘導機と同様の誘導トルクにより 回転する｡3･電圧電流方程式と変換
図2に概念的に示されるような三相リラクタンスモータの電圧電 流方程式を記すと(1)式のようになる(5)(8)｡ただし (1)各相の巻線仕様は同一とする｡ (2)各相の磁気回路も同一条件とする｡(3)起磁力は正弦波状に分布しており,基本波についてのみ考
えられている｡ * 日立製作所多賀工場 Ⅳ 打 ステータ巻右京 シャフト ロ￣タ凹軽部 ロータかご形巻裸 図1 三相リラクタンスモータの構造臨
q2出
7＼ 〔〃) ､＼､
月リ ′U S 一 l＼竹
囲2 三相リラクタンスモータの概念図 & & & & 】 見 ここで〔Z〕は-30-〔
ムヒート
クん 〔 ニ ‥……‥……‖‥.………(1)三相リ
ラク タ ン ス モ タの非同期特性の解析
dコ 々三 (Z 〔Z〕=C d2 鶴 凡＋〆｡ ＋♪エJαCOS2βα ＋舛〃αSin2βα ♪エd｡COS鮎cos郎 ＋♪エ叩Sin鮎sinβノラ ♪エd｡COSβαCOS郎 ＋♪エ甘｡Sinβ｡Sin郎 ♪んαCOS鮎cosβr ＋♪エ｡｡Sin占7αSinβr ♪脆｡COS鮎 凡十〆｡ ＋♪エJ｡COS2郎 ＋♪エ〃｡Sin2郎 わエ♂｡COSββCOSβr ＋♪エすαSinβ`∃Sinβr ♪几九｡COS郎 ♪〃官｡Sin鮎 ♪几範αSinβ｡う ♪エd｡COS鮎cos∂r＋クエ￠〃Sin鮎sinβr ♪肱｡COSβα ク蝿αSin♂｡
♪エdぼCOSββCOSβr 十♪エ叩Sinβ一jSin♂r 凡＋〆｡ ＋クエ加COS2♂;･･ ＋♪エ叩Sin2βr ♪脆｡COSβr ♪〟d｡COSβ`; ♪脆αCOSβr ♪〃｡｡Sinββ クル先｡Sinβ｢ 月d2＋♪エd2 Sinβr
l
Oし凡汁♪エqコ
これを回転子側に座標をおいた場合に変換するには(3)式(S)を 用いる｡ただし,βα=(1-5)山≠-r,β一戸(1-5)仙≠一汁旦
13' 2ニ丁βr=(ト5)(り才一r-す
この転置共役行列を〔C〕∫*とすれば 〔C〕〔C〕′*=1...……‥. …………･(4) であるので〔C〕ほUnitary行列であり,この変換による変換ほ絶対 変換であり電力不変となる｡よってテンソル解析法の手法(8)(9ノによ り変換を行なうと ∂〔C〕=J書c
d,ヴ21
cos♂α 弓 COSβ′∃ COSβr sinβαL旦
d→ 酌 LOlo
si｡郎LJ喜!巳0
SinβrJ喜
O 1 00!.J喜
0室.o
LJ書
d 甘 0 d2 酌d鞋糾♪(′〃＋号エd〃)!(1-5)以(′α＋号エ￠α)i;0
々ち一小5)〟(′〃＋喜んα)i糾♪(′丘＋号エマd)
〔g〕=〔C〕∼*〔Z〕〔C〕=0; O 1 0 d2 酌J■′書か帆d.
0 0!J書♪牝げ
､/書♪帆
と(1-5)叫′音吼
-(1一恥J吾北djJ音少耽α
≡]
凡已＋♪エ｡三 (2) ‥(3) ...(5) 電源にほ三相平衡電圧を加えたとすれば,二次側にほ電源は印加 されていないので〔g〕は次のようになる｡ 且= ∂ 〔E〕=C d2 甘2 ガム 且･ E♂2 包2 ヽ/21㌔sin(〃g小すt㌔sヰ什告)
= C d2 甘2 この変換を行なうと d ￠ 〔E′〕=〔C〕′*〔E〕=O d2 〃2J官抗sヰ才一号)
ノす-こsin(5(〃f＋r) Jす抗cos(5山よ＋r) 0 電流については一次側にはpだけ位相の遅れた平衡三相電流が流 れている場合,二次側にはS仙という角速度の電流が流れるので, ∂ 〔J〕=C d2 酌 ム ム ム ム2 ム2 ､′′2J｡′sin(仙仁一ダ) ∂ = C d2 酌､′ノすム′sin(叫一号)
､′′す〃血〔ト叶号)
Jすん2′sin(5仙才一〆)
Y′すム皇′sin(5山卜〆′)
使用している変換行列はUnitary行列であり(4)式が成り立つの で d す 〔′′〕=〔C〕▲1〔′〕 =〔C〕∫*〔′〕=O d: す ､/すム′sin(5仙g＋?＋r) Jすム′cos(5αf十p十r)Jすんヱ′sin(5α･才一〆)
Jすム2′cos(5山才一〆′)
902 昭和43年10月 日 立
評
論
第50巻 第10号 d ヴ d2 ヴ2 且7 且才 0 0 d す d2 ヴ2 凡＋ノ5ズd (1-S)ズ甘rJ書ノ5g叫
ー(1-5)方d l凡＋ノ5ズ｡-(ト5)J書方〟`∫
J音ノ5ズーVdl
o +私2＋ノ5ズJ2J書ノ5ズ的
(ト5)J喜∫一-′甘
∼/書ノ5方一-′甘
凡2十ノ5方92 過渡的な解を求めるときには前頁の方程式が必要であるが,一般 的な解を求めるときには複素記号を用いるのが有利であるので複素 記号で表現する｡ただし平衡三相電流が流れている場合ほ零相軸に は電流が流れないので零相軸を除き,計算の便利なように電圧,電 流を&,んなどで表わすと(10)式のようになる｡4.各特性の解析
(10)式により三相リラクタンスモータの各場合の特性を各場合に わけて解析していく｡ 4･1同期回転時の特性 同期回転時は5=0であるので(10)式により d ヴ&1■dl凡【範
包】ヴl一方dl凡 ム ム これを解き(7)式を代入することにより ム= ム= 月5Eオーズ〃E甘 凡2＋ズdズ｡ 凡Eヴ＋&EJ 凡2＋ズdズ｡ Jす抗(凡sinr一端cosr) 凡2＋ズdガタ イす抗(凡cosr＋ズ｡Sinr) 凡2＋品ズ｡ 線電流ムは 〔J〕=〔C〕〔′′〕‥‥ よりム=招(ム｡｡S鮎＋如nβ(.)
=招((ム｡｡S(似トr)＋如n((かr)
実効値ではムeff=壁
J￣宮 トルクはシンクロナスワットで表わすと昔･r=山〔J〕-*〔C〕〔′〕
▼ん * Tん ⇒ d ヴ d 甘 -_方d ズ〃 0 …..‥(11) ..(12) ‥.(13) ‥(14) ‥(15) ‥(16)÷【=ムム(チけ一方d)
ニ亘理.i蜘二竪_
2 (月s巳＋方d方々)2 ＋凡(ズd＋ズ｡)cos2r)(品一方ヴ) ‥(17) テンソル解析法の場合には(α/P)･rは枚械損を含んだ出力である ので機械損を凡才(ワッりとすれば,出力=号･r一肌･…=…‥‥…･…‥……･…‥=･……(18)
(17)式は文献でTrickey(1)が計算したものと同一となる｡ 4.2 非同期時特性 非同期回転時は凸極形の誘導電動機ということになり(10)式を ム,んム2,ム2について解くと, ム ムヨ
‥(10)卜凡＋ノ恥(告＋ノズ￠2)＋号S叫(告＋メガd2)Ed
々パー5)トキ＋ノ端2)
一言ノ叫(告＋叫E甘
=A十ノβ ‥ ‥(19)卜二竺艶♂十号ノ叫(告げヴ2)Ed
良二挫_丁ノ恥(告＋ノ方d2)＋言5叫(告＋ノ範2)ガマ
=C十ノ∂.. ただし,ここで々は々=卜糾ノ恥(告＋ノ方d2)＋号5叫
×i(凡十凧)(告＋侃)＋言訳〃ヴ2‡
＋(1-5ヤd(告＋ノ方〟2ト音ノ叫
×iズす(告＋ノ範2)一言ノ叫
んヨ=告山方d2
一心′号ノ方一-一灯ム
告＋ノズ〃2
‥.(20) ……(21) ...(22) =C′＋ノβ′ ‥ …….…(23) 線電流ムは同時期と同様にしてム=J書(ムcosβα＋如n叫
=J号〔んcos((1-5)(叫)＋如n((ト5)(〃トr)〕…(24)
で表わされる｡しかるにん,ムほ(9)式より明らかなように5山と いう角速度で表わされる正弦波であるので,ムは三角関数の公式に よってSin(リ′とsin†(1-25)(り′＋2riの和に分解される｡その結 果をガイ,Eヴを代入して実効値で示すと仙fの成分では富〔i(糾ノ5叫告げ甘2)＋言5叫(告＋メガd2)
＋卜糾郎d)(告･叫＋言5叫(告＋ノ端2)
-ノ(1-5)iズ甘(宮城2)一号〆〟〃2i(告＋叫
-ノ…中d(告げdヱト号ノ叫(告＋ノ芯2)〕
‥….(25) (25-1)αfの成分では富〔‡(糾ノ5叫告蛸2)＋号5叫(告＋仏2)
-i(糾ノ恥(告･沸2)＋号5叫(告＋ノち2)
ー32-三
相リ
ラク タ非
同 期 特 性
解 析
＋ノ(ト5)igd(吾川イ2)一言ノ叫(告＋ノ方々2)
-ノ(1-S)i方ヴ(告十ノふ2)--…-ノ叫(告＋鵜)〕
‥.‥(26) ここで普通の誘導電動機の場合は ぎd=方｡,凡ざ:=凡已,∫J三=方々ご,方ユタJ=方▲lノダ となり(1-25)r′Jgの項は0となり電源電圧と同一の周波数の電流 のみ流二きtるが,凸転機の場合は0≦5<レ2では(リオの成分と同一方 向に1′′′2≦S≦1でiま反対方向に(1-25:)(〟の角速度の電流が流れ るという違いがあり,これが加速特性の谷や音,振動の原因になる と思われる｡ この場合の機械的上_+_i力はシンクロナスワットで蓑わすと同期回転 時と同様にして 浬--r=(り[J〕∠*〔G〕〔J〕 P d ヴ ♂2 すヱ ムーノβ C-ノβ ▲4㌧一ノβ′ C′-ノ∂′ d 留 d2 ヴ: O l_Y｡ -_方J O O OIJ喜∫+-′ヴ
lJ言g･l′d
O A＋ノβ 】c＋ノ∂ (!｡′＋ノβ′
C′＋ノか′=(AC＋月β)げ･7一方d)＋(AC′＋β叫′言∬一-′･7
-(CA′＋ββ′)寸′書∬+叫(Aβ-βC)(g`け範)
川β′-βC′)J書方⊥l′〝一しA′β-β･′C)J書∬--すdト･(27)
このうち虚数部は振動トルクを表わL実数部が平均トルクを表わす ので首7こy=(A…β)(エ7でd)＋(AC･′＋皿りJか〃ダ
ー(CA′十β月′)J一言方ユ∫J
‥･･･(28) となる｡ 4.3 ロータ拘束時の電流 4.2の特別な場合とLてロータ拘束時は(19),(20)式にニーゴいて5=1 とおくことにより んt5=い= んゴ=1)= gd(凡才2＋ノ方〟2)i(糾ノ∬州汁ノ∬d三)＋言方一､才dコ‡
E〃(凡2＋ノ方々2)i(糾ノガ〃)(凡2＋ノgヴ=)十号∬ユ∫ヴ:‡
こゴtよりム(∫=l)=J喜んしぎ=1)COS鮎十J喜んしぶ=1-Sin♂α
=招((叶舛cosr一汁りd)s如′i
=〟十ノ∂…し29) =C＋ガ…(30) …(31) よっで電流の大きさは∫三し5=1)=号†(αCOS汁dsinr)2＋(∂cosr-CSin州
喜〔
〟空＋が＋ぐ2＋dコ)2＋
(αd-∂c)2sin＼?二＋∂)〕
表1 供試 械 の 主 要 目 定 格 出 力 定 格 電 圧 笥 波 教 相 棒 スチータ ロ ー タ スチータ スチータ 巻 毎 相 エンドリ 数 教 コ7積厚 コ ア環厚 巻線方法 結線方法 線 径 の 巻 数 ソプ断面積 巻線 2 WVH2 n OOO340mmOmm如結舶一柑1m 525 66称形0･662 ハ′一 対星 エンドリング平均径 ロ ー タ ス キ ュ ー 絶 縁 階 級 _斤ぷ ズd 方￠ .方∬d ∬∬￠ 月d2 月q2 ズd2 方ヴ2 46mm スチータ1スI A種 22.8凸 250.4n lO7.5r} 156.3n 60.5rユ 17.7n 12.9n 173.6∫1 68.1血 主三 砕 石ミ 100 80 60 40 20 0 <U O .4 3 2 (王庶 押 1.0 ･亡⊂ ナ岩 エゴ (∈U･址さ ヘム二 】.0 0.8 0.6 0.4 0.2 10 電流実測 電流計算 ＼＼
力率.汁昇 脱出トルク実測 6.75 脱出トルク計算一 6.65 2 3 4 トレタ(kg･Cm) 二220V,50Hz) 図3 供試磯の同期特性 トルクプ三測ノトルク計算
芯rな計妥 750 き了転数(rpr口) (220V,50Hz) 因4 供試磯の非同期特性 1,500 となり,ロータとステ一夕巻線の位置が変わるとロータ拘束電流が 脈動することがわかる｡その最大またほ最小となる点が1回転に電 気角の2倍,すなわち2極でほ2個,4極では4個表わされること を示しており三相リラクタンスモータの特長となっている｡5.計
算
例
以上,誘導した理論式を実測値と比較するため日立製の50W三相 リラクタンスモータを使用し,その特性解析を行なった｡供試練の 仕様は表1に示すとおりである｡定数計算と特性計算に分けて計算 し,電子計算機を使用した｡定数計算は文献(11)などを参考として行 なわれたが,紙面の都合上割愛してその計算結果のみを表lに示す｡ 5.1同期時特性 同期回転時の特性を(16),(17),(18)式により計算した結果を図3 に示す｡図3のように,ほぼ実測と計算が一致しており設計計算に 使用可能なことがわかる｡ 5.2 非同期時特性 非同期時特性は誘導電動機と同様なトルクが発生するが,これを(25),(26),(28)式で計算しそれを図示したのが囲4である｡電流ト
904 口∼卜印43ご了ミ10月 (三 り怒讃音更
卜■
0占
計算 ＼ ノ￣たこ■ロり 90 180 270 ロータ川転角度 =空 360 +止 r220V,50Hz) 図5 供試鞍のロータ位置変化時の拘束電流 ルクともほぼ実測と一致することがわかるこただし1,000rpnl前後 に計算で現われるトルクの凹部ほ実測では出てこないので,ニの点 定数の計算が悪いのか,そのほかの影響によるのか検討する必安が ある｡ 5･3 ロータ拘束時の電流 供試機のロータを拘束して静かに1回転Lたときの電流の変化を 図5に示す｡また(32)式により計算した結果を点線で示す｡図5の ように凸極の誘導瞭ではロータ拘束時の電流が極数と同じ値だけ最 大値と削､値が出てその間はほぼ正弦波状に変化するここの原田ほ 励磁リアクタンスがロータの位置により変わるの1こおもな原閃で, このため三相リラクタンスモータでは普通の誘導穫よりも大きなロ ータ拘束電流の流れる場合がある｡ d･結 口 以上テンソル解析法により三相リラクタンスモータの理論的な性 質が明らかとなり,同期特性についてほ従来からの論文と同一の結 果を得た｡非同期特性についてはその性質を定量的に明らかにし, 数値計算による結果と実測値が小形の供試機についてほぼ一致する ことを確かめた｡非同期時の振動トルクについては数式的にほ明ら かとなったがさらに実際の場合と比較を行なって見る必要がある｡ 非同期時特性の計算で1,000rpm前後で実測と合わない点について は定数の計算が悪いのかそれともほかの影響によるものか,さらに 研究を続ける予定である｡ 1 2 3 4 5 参 鳶 文 献 P･H･Trickey= T･A･Ⅰ･E.E.d5,191(1946) C･H･Crouse= T･A･Ⅰ･E.E.70,957(1951) P･J･Lawrenson:Proc.Ⅰ.E.E.=,1435(1964) 開山 産地:日立評論 42,1314(昭35112) 加藤:電工論 第4巻,第5号 2別 川7す27-91 一計一 67891011 一子∠ゝ 白和 第50港 第10号 ChトYung Lin:T.A.Ⅰ.E.E. Chi-Yung Lin:1'.A.Ⅰ.E E. 宮入:エネルキ￣一変換1二学(下)G.Kron:Tensors for Circuit
加=蕗:電__L論 第4巻,第4号 大宮二 電丁論 第5巻,第2一旨チ 70,1971(1951) 7l,1し1952) 215､248(1965) (1958) 224(日召27-6) 57 り1月19-2) 付 録 本論文に使用された記号と単位は下記による E〟,E/′,E√ g-/,E.′: E心E｡2: √‥ム,J∴ ん,ん: んご.ん2: J｡二 ん′.′,エ叫: んノご,上｡2: 几す′〝,此〝: ♪ P 凡 凡′ご,ガ｡2 【一次側巻楳の各相の電圧(Ⅴ) 2軸iこ変換さjtた場合の一次側の荷札横軸電圧(Ⅴ) 二次直軸,構軸巻線の電圧(Ⅴ) 一次側巻線の各相の相電流(A) 2軸iこ変換された場合の一一次側の而軌供軸電流(A) 二次直軌 横軸巻線に流れる電流(A) 一一次側一相の漏えいりアクタンス(H) ,一一相の直軸リアクタンス,横軸リアクタンス(H) i子壬軌横軸二次巻線のリアクタンス(H) 一相の一次側と二次側の両軌 横軸相互リアクタンフ1 (H) 微 分 演 算 戸 極 数 一次側一相の抵抗(n) 両軸,横軸二次巻線の抵抗(王1) 5:す べ り 才:秒 抗:相電圧(実効値)(Ⅴ)
