最大・最小問題を解くいくつかの方法

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(1)最大・最小問題を解くいくつかの方法教科・領域教育学専攻. 自然系コ」ス M 1 0 1 7 2 A 佐古拓也. 1 研究の背景と動機. かった．そして，その複数個の定理を用いて，最大・最小問題を解き，様々な具体的な現象を考察してみようと. 最大・最小の問題は昔から数学者の興味をひいた．そのひとつの原因は，個々の問題に特別の工夫を要したところである．微分法以後は，少なくとも最大・最小を求. める必要条件は機械的に得られることになったこともあり，多くの数学者の研究の対象となっていったのであ. る．微分法の応用として扱われる1変数関数の最大・最小問題は，導関数のとる値の正，負によって，関数の増減を調べれば解くことができる．一方，2変数，3変数な. 考えたことが本研究を始めるきっかけとなった．. 本論文は，最大・最小についての幾通りかの方法を研. 究したものである．r関数の微分による方法」，r変分法」を用い，様々な最大・最小問題を考察している．本. 論文ではこれらの2つの方法を並列関係と位置づけている．どちらが良い方法というのではなく，問題によっ. ていろいろな方法を使いこなすことが大切だと考えているからである．. どの多変数関数においては，関数の増減という状態がど. のようなことなのかを考えることは難しい．すなわち1 変数関数の場合と同じ手段では多変数関数の最大・最小問題は解くことができない．このような場合にどのようにして問題を解いたらよいのだろうか．. 2 研究の特徴高等学校までの最大・最小間題は解く一つの方法とし. ては1変数による微分法だけであった．本論文では，1. 「同じ長さの曲線で囲まれる平面図形のなかで，面積が最大となるものは何か」という問題に代表される等局間題は，古代ギリシャで体系的に研究されていた．二千年前にも等周問題について研究されていたが最近では，いろいろな種類の最大・最小問題の研究が多くされている．その結果，これらの問題に対する新しい一連の解法（ダイナミックプログラミング，最大値原理など）が発表されている．この論文で考えている変分法が重要なのは，それがいろいろな実際間題を解くことができるからというだけでなく，化学，物理，生物，経済学など様々な. 分野で変分法が使われている点にある．. 変数関数以外の方法についても述べ，最大・最小間題を解く幾通りかの方法を述べている．しかしながら，多く. の変分間題における解の存在を証明することは難しいことが分かっている．1変数関数，多変数関数の最大・最小問題を解く手段として通常よく使われるのは，連続関数の最大・最小定理とよばれる最大・最小の存在定理なのだが，筆者白身，高等学校向きの副教材としてとりあげられる最大・最小間題の例題に取り組んでいるときは，最大・最小の存在定理のことはあまり意識せずに，問. 題を解いていることが多い．そこで最大・最小値定理の最大・最小間題における役割を改めて考えるため，比較. 高等学校の，数学の授業において様々な関数の最大・. 最小を求めるためには1変数の微分法を用いて問題を解き，解を求めた．しかしながら，数学の研究を進めてい. くにつれて，複雑な多変数関数の時には，どのようにして最大・最小値を求めればよいか，分からなかった．その時に，多変数関数の最大・最小問題を解くための方法を，解析の教科書で見つけ，興味をもった．そこでは，い. くつかの定理は1変数関数の定理と似ていることも分. 一324」. 的容易な問題である，周の長さが一定の3角形のなかか. ら面積が最大となるものを見つける問題を定理の具体例として考察している．この問題は昔から考えられて，重要な問題と位置づけられている．また，筆者自身が興味をもった物理現象について考察している．それは懸垂. 線に関する問題である．懸垂線とは2つの支持物に張られた電線のたるみなどを表す曲線である．また，構造的に安定しているので，建築においても多く用いられてい.

(2) る．これらの最大・最小問題を統一的に取り扱う方法で. とする．∫（μ）がリ＝眈のとき，最大値または最小値を. ある変分法を学び，変分問題やその他の具体的問題に対. とるならば眈は. 応することを考察した．また，その問題が最大値または巧（”，ψ，〃’）一見ψ1（π，μ，μ’）. 最小値をとるための必要条件であるオイラーの微分方イ∼（・，リ，リ’）一リ”巧・リ・（・，リ，リ’）：0 （1）. 程式を導出し，その方程式を解くことによって問題の解を求めている．さらに，未知関数が複数個になったとき. をみたす．（1）をオイラーの微分方程式という。π，V，V’. にも，オイラーの微分方程式に対応する式を導出し，そ. の02級関数θと実数Zが与えられており，条件. れを解くことによって解を求めている． ∫（1）一. v・（ψ），州）・・一・. （2）. のもとで，汎関数∫（リ）の値を最大または最小となる関. 3 論文の構成. 数リを求める．これを等局間題という、（2）を付帯条. 1章r序論」では，なぜ筆者がr最大・最小間題」を. 件という．オイラーの微分方程式を用いることによっ. 考えているかといういきさつを述べている．最大・最小. て，∫（μ）の値を最大または最小をとる関数ψを求める. 問題は重要な問題とされ，多くの数学者が深く関わり研. ことができる、また，束縛条件が課せられた変分問題を. 究されてきた問題である．もちろん今も研究され続けて. 考え，そのオイラーの微分方程式を求めている．しかし. いる分野である、数学史から，筆者の論文に記載されて. オイラーの微分方程式は必要条件であって，十分条件で. いる内容に関連するような数学者を紹介し，最大・最小. はない．また，オイラーの微分方程式が明示的に解ける. 問題が長い間，数学者の興味深い問題であることを述べ. 場合としてF＝F（リ，リ’）の場合を考察している．オイ. ている．. ラーの微分方程式の応用として，次に示す具体的な問題. 2章「準備」では，基本的な定義について述べ，論文. を考える．r長さが工，線密度が1である糸の両端を. を読むにあたり必要事項を述べている．. ”リ平面上の点λ（α1，α2），B（b1，62）で固定した時，糸の. 3章r関数の微分による方法」では，1変数関数にお. 位置を求める．ここで糸の位置を表す曲線を関数μ（π）. ける微分法をもとにして，多変数関数における最大・最. α1くπ＜bユで表し十分滑らかとする．」このような例. 小問題に関する定義や定理について述べる．また，多く. を考え，4章で考えた定理を用い，問題を考察している．. の最大・最小間題について解の存在を保証する重要な原. 5章「未知関数が複数ある場合の変分法」では，未知. 理についても述べている、また，1変数関数，多変数関数について，最大・最小を求めるための定理を用いて，具. 関数が複数個のときに，オイラーの微分方程式に対応した式を導いている．さらに具体例を考察している．まず，. 体的な問題を考察している．そして，陰関数定理をもと. 未知関数が2個に増えた場合を考えている．その場合. に，条件付最大・最小問題に対して，最大値や最小値の. の束縛条件が課せられた変分問題を考え，そのオイラー. 存在が分かるときに使われるラグランジュ乗数法につい. の微分方程式に対応した式を求めている．具体的には，. て述べている．さらに，具体例を考察している．. F，Gは，f，”，μ，”’，リ’（α≦f≦あ，α＜あ）の02級関数と. 4章「変分法」では，積分で定義される汎関数の値を. し，∫（π，リ），J（”，〃）とおいて，議論している．最後に，半. 最大または最小とする問題を考え，ある関数リ。で汎関. 径がrの球について，球面上の与えられた2点を結ぶ. 数の値が最大・最小であるための必要条件である，オイ. 曲線のうち最短となるものはどのような曲線であるか. ラーの微分方程式を導出する．さらに具体的な問題を扱う．. をオイラーの微分方程式に対応した式を解くことによって考察している．. Fはπ，μ，μ’（α≦π≦b，α＜わ）の与えられた02級関数とし，. 1（1）一. 主任指導教員藤原司. 辯j（ψ），州）・π. 指導教員藤原司一3251.

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