数式処理教育でのペアプロの効果
関西学院大学 理工学部 (・情報科学科) 西谷滋人(Shigeto R. Nishitani)
Department of Informatics Kwansei
Gakuin
University1
まえがき
覚える事が多いので，資料をみながらでないとなかなか使いこなすこと は難しいと思います．複雑な方程式を解いたり，テイラー展開をするのに便 利なので，基本的な事を覚えていれば，とても役に立っものだと思います．
(関学，数理，2年女)
冒頭の文句はまさに，数式処理ソフト
(Computer Algebra $System:CAS$) を修得しよう として挫折した多くの研究者に共通する感想だと思います．教える方としては「根本的 に誤解しているんですが」となります．それは，数式処理ソフトを使いこなしている人は，
「何も新しいことを覚えてない」し，
「資料を見ながらでいい」からです
[1]. 数式処理ソフトの操作感は，だいぶ前に議論を巻き起こした電卓に通じるものがあり ます．単純な計算を外注して，数学の中身に集中するために電卓は悪くありません．た だし，電卓は機能が限定されているので，操作が直観的で，本当に覚えることも資料を 見ることもありません．ところが，数式処理の場合には覚える必要はないけれど，資料 を見る必要はあります．それは数学の公式集を繰るのと同じ作業なんですが，数学の初 学者にはそれが分からないのかもしれません．数式処理ソフトのスキルを修得するには， 演習が一番です．そのためには，高校時代に数学を解くことにフロー感を感じるほど， 十分に演習を積んだ経験が必要です．しかし，今の多くの学生さんにはそのような体験 がなさそうです．そんな学生さんに演習を強要してもなかなか取り組んでくれません． 著者は，理工系の大学生へ数式処理ソフトのスキルを定着させる工夫を15年以上いく つもおこなって来たました [2,3].今回，もっとも良さそうな解がみつかったので，そ
の内容を紹介します．2
数式処理演習のカリキュラム
対象となる科目は数式処理演習で，理工学部の情報科学科3年生，半期，65名程度が 受講します．全員がコンピュータを使える環境です．学科のカリキュラムのなかではあ まり重要でないのですが，「数学の苦手意識を克服します」という宣伝文句につられて， 数学が苦手な学生が集っています． 授業の実施方法を簡単にまとめると次の通りです．前半 1. (好きな) ペァで． 2. チャート式を宿題に 3. グループワークを提出 4. ペア試験 (5/27) (6/3),
なんでも持ち込み可，ネットも
5.60点以下のグループは解体 後半 1.3 マンセルで指導． 2. 課題をレポート提出 3. 新たに加わった一人が提出． 4. 個人試験，フオルダーのみ持ち込み可．ネット不可． 5.80点以下は補講． ここでキーとなるのが，ペアによる作業です．これは，ソフトウェア工学の最先端技法 であるアジャイルソフトウェア開発のペアプログラミング (ペアプロと略します) から 引っ張って来ました [4].作業効率が格段にあがる魔法の手法とされています．まずは，
ペアプロの様子から紹介していきます．3
ペアプロの実践
ペアプロの実施の仕方は次のように説明しています． $\bullet$「ふたりで，共同作業しましょう」という結婚式のノリ．
$\bullet$ 一台のコンピュータで，モニタ，キーボード，マウスも交互に使って，プログラム を書いていく． $\bullet$5
分ほどで交代．疲れたら交代．分からんようになったら交代． $\bullet$「ドライバーとナビゲータ」，
「ぼけとつっこみ」の要領で作業を進める．
$\bullet$ プログラムの中身を考えるより次どうするかというのをナビるみたいな感じにな ると思います．ちょっとしたケアレスミスをなくし，忘れてしまった操作を思い出 し，意味不明のテキストを読み解く．どうしても分からんかったら，二人の合意 のもと，．．．西谷かTA に質問する．図1: ペアでの演習風景． 図2:3 マンセルの様子． 実際の授業光景は図 1 の通りで，頭を寄せ合っていくつかのグループができているのが 分かると思います．図2の手前の女子達が3 マンセルでの様子を示しています．数分経 つと，3人が一斉に立ち上がって，ポジションを回すという作業を授業中繰り返してい ました．他のペアがキーボードの受け渡しだけで済ましているので，ちょっとびっくり します． ペアプロの効用のいくつかを簡単に紹介します． 単純なミスのチェック: ペアプロを始めてすぐに役に立っのが，変数の意味，括弧の閉 じ忘れ，セミコロン忘れのチェック等の単純なミスの指摘です．これらは熟練者の コーディング作業でも無駄な時間の最大要因なんですが，書いている本人は気が つかない変数名や組み込み関数の大文字，小文字の違いと力$\searrow$ スペリングのミス とかは横にいる人には以外と見えやすくて，とても助けられます． チーム作業の最低マナー: 約束を守る，時間に遅れない，休まない，公平に分担する，相
方をリスペクト (尊敬)
する．
「遅刻しない」という行動の理由が，単位をかざして
先生が怒るからなの力$\searrow$ チーム作業の最低マナーとしてなのかでは大いに違いが あります．そのあたりの感覚を身につける基本となります． 集中 (キツクオフ): 仕事を一人でするのはつらいものです．また，きっかけがないと 後回しにして，気がっけばネットサーフィンです．相方がいると仕事をはじめる きっかけとなり，さらに継続して作業に集中する助けとなります．さらにペアで やっていると他のペアとの競走のような意識が出て来て，自分たち (だけで) 早 く解くよう努力する傾向があります． 気づき: 先生が提示してしまうと単なる暗記になる手順を，共有することによって発 見の疑似体験ができるのではという期待もあります．実際に，「わかった$!_{\lrcorner}$ とか 「へ$—$
」 とかの感想が教室のあちこちから聞こえてきます． フロー状態 (ペアでの):フロー感というのはひとりの時にのみ感じて，ペアプロをやっ
ているときはなかなか感じません．ところが，ドライブの最中に無理に声にだし て考えていることを説明すると，ナビがえらく納得してくれる場合があり，やけ に心が通じた気になります．フロー感は自慰行為みたいなところがあるのですが， ペアプロにはさらに交わりを深めるなにかもあるようです． かっこづけ (他人の目): じろじろ見られていると緊張しません?人様に見られても恥ず かしくない仕事をするものです．一人でやっているとどうしても「まあ，いいか」 となるところで，もうひと頑張りできます．わかりやすい形にする手間をかけよ うか．．後で (自分で) 見ても理解しやすいコードを書くコツです． この中で，特に重要なキックオフとコミュニケーションについては別の節で考察を深め ます．4
ペア試験
このようなペアに対して，今年は初めて試験もペアで受けるということをさせてみま した．実際の問題は付録にある通りで，これに微積分，線形代数のテキストの抜き刷り をつけています．例年の試験よりも相当レベルをあげたっもりです． 実際のペア試験の結果は図3の通りです．60点を下回るペアが相当いるだろうと予想 していたのですが，予想に反してよく頑張っていると思います．6割以上のペアが合格 ラインを超えており，実際にペアの解散となったのは数ペアでした． では，この試験を採点した後に行ったアンケート記述の一部をご覧ください． $\bullet$ 眠くならない．普段のテストでは個人なので，あきらめても自由だけど，ペアだ とがんばらないといけない気持ちが強かった． $\bullet$ 二人で話し合いながらできるので，楽しかった!! $\bullet$ 詰まってもお互い意見を言い合い，まとめる事で解けた問題があった．$0$ 20 40 60 80 試験点数 図3: ペア試験の得点分布． $\bullet$ 解散後，全く知らない人との取り組みになってしまうとあまり話せなくなってし まう可能性があったので真剣でした． 試験のときに寝ている学生をよく目にします．しかし，今回のペア試験では寝ている 学生は皆無でした．もちろんちゃんと実働しているペアは話し合っているので，寝るこ とはありません．点数の低かったペアですら，探し物をしたり，相談したりしていまし た．コンピュータを使った試験でよく見かける関係のないwebサーフィンをしている学 生もいませんでした． ここらは予想した通り何んですが，驚くのは「楽しかった」という感想です．
5
考察
さて，何が楽しいのでしょうか? 試験の感想で「楽しかった」 というは初めて見ま した．たぶん，彼女らも初めてだったでしょう．他の学生さんたちもいつもより頑張っ たという感想に満ちています．この理由について二つのキーコンセプトを紹介します．5.1
キツクオフあるいは集中
まずはごく常識的に説明可能な，私たち大人になった世代にも分かりやすいキックオ フあるいは集中について紹介します．試験の最中に寝なかった理由となります．次の文 章はrJoel
on
software」 というプログラマーが書いたエッセイからの抜粋です[5]. ひとたびフロー状態になると，それを維持するのは難しくない．私の一 日の多くはこんな感じだ: 1. 仕事にとりかかる． 2. email をチェックしたり，Web を見たり，その他のことをする．3. 仕事に取りかかる前にランチを取った方がいいと判断する． 4. ランチから戻る． 5. email をチェックしたり，Web を見たり，その他のことをする． 6. いい加減始めた方がいいと心を決める． 7. email をチェックしたり，Web を見たり，そのほかのことをする． 8. 本当に始めなきやいけないと，再び決心する． 9. くそエディタを立ち上げる． 10. ノンストップでコードを書いていると，いつのまにか午後7:30になっ ている． ただ始めること．たぶんこれが生産性の鍵なのだ．ペアプロが機能する理由 は，ペアプロ作業を相方と予定することで，お互いに始めることを強いるか らに違いない (原文より訳出). キックオフの効果だけでなく，ペアによる作業は，ネットサーフィンやメールチェッ クなんかを強制的に排除します．これだけでも，集中があがります．でも，それだけで は楽しくはないでしょうね．「楽しい」という感覚は彼らの育った環境に根ざしていると いう最近の分析を紹介します．
5.2
ワンピースFONE
PIECEg (ワンピース，以下ワンピ) というマンガをご存知でしょうか? め ちゃくちゃ流行ってます．1997年より『週刊少年ジャンプ』 (集英社) に連載を開始して，現在単行本が
64
巻までいたってます
[6]. 先日 12 月 3 日付けの日経新聞の「何でも ランキング」でも，書店員が選んだ「最終回を読みたい連載中の漫画」で5
位に入って いました．たぶん若者たちの支持はもっと高いと思います．ちょっと教室でアンケート をとれば，好きだという学生は男女区別無く半数以上います．マンガだけでなくアニメ，映画，大手小売業とのコラボ等で相当に露出しています．また，海外にも展開しており，
中国では人気No.1
で，上海の新聞で連載が開始されたそうです
[7]. 私も何度となく読んだり，テレビで見たりしたのですが，この面白さが分かりません でした．これを鈴木はガンダム世代とワンピ世代の世代間ギャップとして分析していま す [8]. ガンダム世代のキーワードは「組織」です．これは，ガンダムの中に出てくる有名な 台詞をまとめればすぐに納得がいきます．「戦場」を「会社ビジネス」に置き換えてい ます． $\bullet$ 会社がやられちまえば，病気だ怪我だって言えるかよお $\bullet$ 訪問薄いそ．何やってんの ! $\bullet$ 相手が会社なら人間じゃないんだ !$\bullet$ 悲しいけど，これビジネスなのよね $\bullet$ 寒い時代だと思わんか
?
$\bullet$ 行きまーす ! これに対して，新しいワンピ世代のキーワードは「自由と仲間」だそうです．世界の 勝利者とは「一番自由で居られる者」であり，最も大切なものは違う職場で違う夢を追 いながらも心の奥で共感し合える「家族のような仲間たち」だそうです． これが今の若者を読み解くキーワードとなっているようで，昨年の秋以降「ワンピ」 を取り上げたビジネス書が溢れています[8,9,10,11,12,13,14].
最も初期に目を付け たのは平居謙氏のようで[9], その後も2冊おなじ出版社から出ています [10,14]. 一方， 「もしONEPIECE
フアンの女子大生が起業したら」[15] というちょっとアレもの の題名の書籍が早い時期に出ていますが，こちらはワンピからの引用・分析はほとんど ないようです． 鈴木はこのようなワンピ世代の「強い仲間意識」は人生観，行動規範の形成期を過ごした時代の背景の違いが，世代間の価値観の違いを生み出していると分析しています
[8]. 今の 40 代から 50 代が組織論としての「ガンダム」にはまったのと同じように，ワンピ は今の時代を若者が生き抜くための心のよりどころのような象徴として捉えているよう です．さらに，mixi, twitter, facebook等の流行もこのような「仲間とのつながりを大切 にする」世代を中心に広まってきました．6
個別試験の結果と分析
このように今の学生たちはペアでの作業を非常に楽しんでいます．授業では，ペア試 験のあとに最終試験として個別試験を課しました．レベルは，昨年度までと比べるため に同じ程度にしてあります．したがって，ペア試験に比べて圧倒的に簡単なはずなんで すが，昨年度までと比べた結果は図7の通りです．今年よりも昨年の方が平均は高くなっ ています．昨年度は中間試験も同じレベルの問題を個別に受けさせました．内容として は中間期末で同じ形態，レペルだったので，学習効率が高く，最終試験では多くの学 生が高い点をとりました．残念ながら，ペア作業は学生の個別のスキルを格段にあげる ものではなさそうです． 個別試験で80点未満であった学生を集めて，内省的日記を書かせてみました．そこ からは次の指導の種が読み取れます． 持ち込み用フォルダー作りの失敗 もっとも多かったのは，「持ち込み用フォルダーをま じめに作らなかった」学生です．挟み込んだだけでは何処に書いてあるか分かりません． 自分でタグ付けをしたり，自分の手で解いた出力を挟み込んだり，どこになにが書いて あるかの全体像を把握していないといざという時に検索できず，探しているうちに時間 切れになります．プリントはweb にあげているのですが，それを打ち出して安心してし まう学生はとても残念でした．持ち込み用フォルダーづくりには，単なる参考資料作り$0$ 20 40 60 試験点数 80 図4: 個別試験の得点分布． だけでなく，ポートフォリオ作成として捉え，場所による記憶づくり，整理，見直し等 の修得の意図があるのですが，そこまで至った学生がいたかは不明です． ペア実践の失敗 $\bullet$ 分かった気でいたが，一人では何もできない事が分かった． $\bullet$ 交代しながらやれと言っている意味が分かった． $\bullet$ 自分のケアレスミスの処理はペアの子がよく見つけてくれた．自分はその指摘を よく覚えるべきだった．
次に多いのは，ペアで片方に頼り切っていた場合です．自分が解いているの力
$\searrow$ 相方が 解いているのか．．．次のタイプミスともつながるのですが，打ち込まれてしまったコー ドからは，コードの途中でなされた微調整が伝わりません．自分でキーボードで打ちこ んだ経験があると，気づきやすいのですが，横から見ているだけではダメです．助手席 に乗っているだけでは，車を運転できないのと同じであることに気づいてほしいところ です． タイピングがひどい次にあがったのはタイプミスですが，これにはいくつかのレベル
があります．もっとも多いのは，
「
1,1,
I(
数字のイチ，小文字のエル，大文字のアイ)
」 の区別がついてないことです．これはテキストに使っている変数名等の付け方の工夫だ けでは限界があり，フォントの改善「1,1,I
」である程度対応できます．しかしそれ以 上に product とかmatrix inverse などの英単語のスペルミスが問題です．単なるタイプ 試験で英単語と日本語を比べればよくわかりますが，日本語の入力ではミスが少ないの に，英語だとミスが頻発する学生がいます．このような学生は英語をチャンク，あるい は音韻として認識していません．英語の勉強もかねていることを認識してくれるといい のですが．．．一度に2
つ以上のことを教えないという原則に照らして修正が必要かもし れません．『自信のなさ』『焦り』 最後にあがってきたのが「自信のなさ」「焦り」です．これはと ても気になります．普通「真っ白」になるのは，覚えていたはずのものを忘れてしまった 状態です．フォルダーの持ち込みを認めているのですから忘れようがないはずです．も しかするとペアに依存してしまって，一人では何もできない状況になっているのでしょ うか．ペア実践を深めれば，仮想的に友だちの助言を受けながら考えを進めていくこと もできるのですが，ここまで到達したグループがあったかどうかも不明です． さらにこのアンケートで残念だったのは，時代の風潮かもしれませんが，自己分析は 素直で鋭いのですが，まとめると「がんばります」になっている学生が多いことです． 何を頑張るの力$\searrow$ どのようなミスを次は繰り返さないように記憶にとどめるべきなのか 等は忘れてしまって，「次に頑張ります」では決して内省にならないのが残念です．
7
まとめ
大学で数学を教えていて，学習の動機をいかに保つかはつねに悩みの種です．あとで 役に立っからといくら説いても，単位のために勉強し，学期が終わればすべて忘れよう と待ち構えているように見えます．役に立っと言うのは，定着のための動機としては本 当に弱いものです．学習深化のサイクルとなる動機$arrow$ スキル $arrow$ 習慣$arrow\ldots$ のなかで，スキル以外は学生の自発的な能力であると考えがちです．つまり，大学に入るまでの勉 強によって身につけている技能みたいなものと．しかし，ゆとり世代にはそんな期待も 抱けず，この10数年間は教える内容を絞り込んで戦線を縮小していくしかない状況で した．しかし，ペアプロの実践を通して分かったことは，少なくとも動機と言うのは状 況によって強制的に作り出すことが可能だと言うことです．あるいは受講生が今コント ロールできる技能であると．こうなると教えるレベルも含めて戦線を拡大していけそう です．まずは，ペアでの取り組みがさらに習慣へと結びついていく方策を実践したいと 考えています．これには，個別試験の平均でペアの成績をつけるという試みを他の授業 で実験中です．これは，能力が高い学生と低い学生の双方にとって学習する，あるいは させる強い動機となる可能性があります．グループでのレポート等の取り組みですと， どうしてもフリーライダーを排除することができません．さきほど紹介した通り，仲間 のためなら頑張ると主張するワンピース世代の「がんばり」を試してみようと思います．
参考文献
[1]西谷滋人，
「数式処理ソフト
MAPLEによる数学教育」，
「現代数理入門」宮西正宜，
茨木俊秀編著，関西学院大学出版会，2009, pp.211-231. [2]西谷滋人，rMaple
を利用した応用数学教育」, コンピュータ&エデュケーション， Vol.13(2002),33-39.
[3]西谷滋人，廣岡愛未，
「パターンとペアプロの数式処理ソフト学習への適用」，
rRIMS
研究集会『数式処理と教育』報告書」清水克彦，高遠節夫編，京都大学数理解析 研究所講究録(ISSN 1880-2818) $1735(2011/4)$, pp.127-139.[4]
ローリーウィリアムズ，ロバート ケスラー，
「ペアプログラミングーエンジニアと
しての指南書」，(ピアソンエデュケーション，2003).[5] Joel Spolsky
著，青木靖訳
「Joelon software」 (オーム社，2005) p.132.[6] http:$//ja$
.
wikipedia.$org/wiki/ONE_{-}PIECE$.
[7] http: //www.yawaran.net/playground/onepiecel.shtml. [8]
鈴木貴博，
『「ワンピース世代」の反乱，
「ガンダム世代」の憂奮』，(朝日新聞出版，
2011/6/7), pp.14-16.
[9]平居謙，
「『ワンピース』
に学ぶ仕事術」，
(
データ．ハウス，
2010/11/5).
[10]平居謙，
「『ワンピース』
に生きる力を学ぼう $!$」，
(
データ．ハウス，
2011/4/22).
[11]徳永秦，
「漫画ワンピースは、
これからの時代のビジネスバイブルだ!」，
(
イーセ
ミ出版，2011/7/15). [12]安田雪，
「ルフィの仲間力『
ONE
PIECE
』流、周りの人を味方に変える法」，
(
アス
コム，2011/9/20). [13]海賊行動学研究会，
「超読解ワンピースが教えてくれた人生で大切なこと一自分の
$‘$ 宝” を守るために必要なもの」，(経済界，2011/08). [14]平居謙，
「『ワンピース』
に学ぶ勝利の交際術」，データ．ハウス，
2011/10/20).
[15]佐藤公信，
「もし
ONE PIECE ファンの女子大生が起業したら」，(イーグルパ ブリシング 2010/10/23).v.ll.l 2011/06/03実施
情報科学科
数式処理演習
試験問題
以下の問題を Mapleを用いて自力で解き，出力して提出せよ．
80
点以上が合格．何番
をやっているかが分かるようにせよ． 1. (a) 次の関数を積分せよ．(10点) $siri^{4}x\cos^{2}x$ (b) 資料を参考にして，次の関数の極値を求めよ．(15点) $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-2xy$2. (a) 行列 $A=\{\begin{array}{lll}1 -1 0-1 2 10 1 1\end{array}\}$
の固有値と固有ベクトルを求めよ．また，各固有
ベクトルが互いに直交していることを確かめよ．(10点)
(b)
資料を参考にして，つぎの連立
1
次方程式を解き，一般解を
「特殊解と同伴な 同次連立1次方程式の基本解の1次結合の和」の形で表せ．(15点)$\{\begin{array}{l}x +2y +3z +2u = 2-x -2y -3z -2u = -2-x -y -3z -2u = -12x +4y +6z +2u = 2\end{array}$
3.
$a$ を定数とし，$x$の2次関数 $y=2x^{2}-4(a+1)x+10a+1$ のグラフを $G$ とする． グラフ $G$の頂点の座標を $a$ を用いて表わすと$(a+$
，イウ
$a^{2}+$
(1) である． (a) グラフ $G$が$x$軸と接するのは， のときである．(25点)(b) 関数 (1) の $-1\leqq x\leqq 3$ における最小値を $m$ とする． $m=$ イゥ
$a^{2}+$
(2) となるのは， ケコ のときである．また $a<$ ケコ のとき$<a$
のとき である．したがって，
$m= \frac{7}{9}$ となるのは， $\leqq a\leqq$ (3) $m=$ シス$a+$
(4) $m=$ ソタ$a+$
(5) $a=\div$ , $\frac{\text{トナ}}{\fbox{}}$ (6) のときである． 下記のヒントを参照して Mapleで解け．
(25
点
)
(2009年度大学入試センター本試験 数学I
数学 A,第 2 問).
$>restart$; $f;=unapply(2*x^{\text{へ}}2-4*(a+1)*x+10*a+1, (x, a))$; plot$([f(x, -3), f(x, -2),f(x,2),f(x,3)],x=-2$
.
$.4$,linestyle$=$[$solid$, dot, dash,dashdot],color$=black$);
