大学院 計量経済分析 Masumi Kawade Site matrix fukushu
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(2) 経済学のための数学. . 行列. なお、注意すべき点は. . . が必ずしもいえないことである。また、行列は. ¢ ¢ ¢. . という規則を持っている。そのほかに、. . . . . 結合則 分配則. という演算ルールがある。 なお、データの計算ではデータベクトルの二乗和は. . ¾ ¼. . ¼ ¼ . . で書くことができる。また、直行するベクトルを とすると、. である。. 共分散行列の計算 分散を計算してみよう、期待値についてある確率変数の線形 結合の期待値は. ¼ ¼ ½½ . . ¼ ¼ . . ということを利用すれば、. ¼. . ¼ ¼¼ ¼ ¼℄ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼℄ ¼ ¼ ℄ ¼ ¼ ℄ ¼ と置くことにする。このとき、線形結合の方法を複 . . . . . . . . になる½ 。なお、 数準備するようなベクトルを行列化することで、. . ¼½ . ¼. . . を作り、その分散及び共分散行列を. . ¼. . 求めることもできる。 ½ 線形結合だけが異なる共分散は. . である。 ¼. ¼. ¼. . .
(3) 経済学のための数学. . . 行列. 逆行列 商. 行列でも. . . となる行列を逆行列と呼ぶ。このとき、 とかく。また、逆行列を持つ行 列を非特異行列
(4) または正則行列とよぶ。逆行列を持た ない行列は特異行列または非正則行列と呼ぶ。 なお、行列の積の逆行列は . . . . . . . . です。 行列の積の行列式は. . . である。. ¾º¾. 転置. 行列 の
(5) 行 列の要素を と書くとき、行と列を入れ替えた行列を転置行列 とよぶ。転置行列を とかく。なお、本によっては と表記するこ ともある。 . ¾º¿. . . トレース. . 対角要素の和をトレースといい、. . . . . . で得ることができる。また、. . . . という関係式が得られる。. ¾ 英語の意味から考えれば、特異というのは逆行列のような鏡のような行列を持たないたった一. つの 孤独な 行列という風な意味だろう。. . .
(6) 経済学のための数学. . . 行列. ランク. ランクはその行列の独立なベクトルの数を示すものである。行列のランクは. . . ¼. . ¼. . 簡易的に とも書く。 . でしめす。なお、 は独立なベクトルの数。後に、独立なベクトルの数ということ は固有根の数ということになる。. ¿ 基本な行列 計量経済分析で用いることになる 次形式を中心に紹介してゆく。. . 次形式. 計量経済学や統計学で分散を議論することが多いが、その分散を評価するのに も行列が利用できる。. ¼. ¼. ¼. . . . . . . は に関する 次関数を表現できている。 は として、対称行列として 表すこともできる 。そのため、 次形式で用いられる行列は対称行列として考え ても差し支えない。 ¼. . 正定号行列. このとき、. が 以外では ような行列. を正定号行列 という。特に、対称行列ならば対称正定号行列 という。なお、正定号行列はその逆行列も正定号行 列である。なお、どちらでもとりうる場合には不定号行列という。 ¼. . ¼. 非負定号行列. の行列について、行フルランク行列で あれば、半正定号行列にな. るなどが知られている 。. 行列はベクトルで構成されている。したがって、構成するベクトルの性質を見ることで、行列. の性質を理解することができる。 ¼ ならば、交代行列。なお対称行列と反対称行列
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(9) の和によ りもとの行列が表現可能。 . . .
(10) 経済学のための数学. . 行列. なお、分散を計算してみよう、期待値についてある確率変数の線形結合の期待 値は. . ¼. . ¼. ということを利用すれば、. ¼. . ¼. ¼. ¼. ¼. . ℄ ℄ ℄ ℄ ¼. ¼. ¼. ¼. . ¼. ¼. ¼. . ¼. ¼. . ¼. . ¼. . になる 。なお、 と置くことにする。このとき、線形結合の方法を複 数変えてベクトル化することで、. . ¼. . . . . . ¼. を作り、その分散及び共分散行列を. . . ¼. 求めることもできる。. ¿º½º¿. 定号行列の順序. 定号行列の順序は. ¼. ¼. . ¼. . ¼. . . . という関係がわかっている。また、. ¼. ¼. . . . . . ¼. ¼. ¼. ¼. . . . . . . が正定号行列. が非負定号行列. . ということがわかる。. 線形結合だけが異なる共分散は. . である。 ¼. ¼. ¼. . .
(11) 経済学のための数学. . . 行列. 二次形式行列の微分. 二次形式を変数ベクトル で微分する方法は. ¼. . ¼. . . である。また、かかっている各要素 で微分する方法は. ¼. . である。これを行列に拡張すると、. . . . . ¼. ¼. と行列を作ることができる。行列式の微分はまず、要素の微分から見ると. . . とおける。 は行列 分値は. !" . . !". . .
(12). の余因子である。ところで対数をとった場合の行列での微. . . . . . . . . である事がわかる。 なお、最小二乗法で条件に使うデータ行列の転置の積 と考えれば、. ¼. ¼. ¼. . . . ¼. ¼. . の性質を見てみよう。 . なので、正定符号行列であることがわかる。. ¿º¾. 三角行列と対角行列. 行列の中でも三角行列 # "$! # % は諸計算に便利な行列である。その 主対角要素の上側および下側がすべてゼロである行列は、それぞれ下側三角行列 !& # "$! # %）および上側三角行列 '' # "$! # %）と呼ば れる。特に、対角要素以外すべてが となる行列は対角行列
(13) と呼ばれる。対角行列は三角行列の性質を持つ以上に簡便な計算が可能になる。. . 三角行列の行列式と積. 三角行列の行列式は対角成分の積で表される。よって、どの対角成分も零でな ければ、三角行列は逆行列を持ち、三角行列を保つ。上 下 三角行列同士の積は 上 下 三角行列になる。. . .
(14) 経済学のための数学. ¿º¾º¾. . 行列. 対角行列の積. 対角行列の積はそれぞれの同位置の対角要素の積に一致する。. . べき等行列
(15).
(16) . 同じ行列をかけても元の同じ行列になるのをべき等行列を言う。( をべき等行 列とすると、. . . . . . . になる。 べき等行列の中でも、. . . . . . .
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(19) . は、平均からの差を計算する行列. . . . . ¼. . . . . ) ) ) . . . . . ) . である。また、対称行列 したがって、対称べき等行列 であり、あるベクトルを 掛けることで、平均からの差を作り、分散を. . . . . ) ) . ). ¼. . . ) )
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(25) . . . ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. . のように計算することができる。言葉で言えば、平均からの乖離を求めるこの行 列で、何度も平均からの乖離をとっても次からは平均が になるから同じになる。 なお、データ行列から作られる行列である. . . ¼. . . ¼. . .
(26) 経済学のための数学. . 行列. も、べき等行列となる。また、対称行列でもある 。したがって、対称べき等行列 である。確認としては . . . . . ¼. . ¼. . ¼. . ¼. . ¼. . ¼. ¼. . . . ¼. ¼. ¼. . . ¼. ¼. . であり、 ¼ . . . . . は被説明変数、は最小二乗法の残差ベクトル. . などがいえる。. ¿º¿º½. 対称とべき等行列のランク. 行列のランクは非ゼロの固有値の数ことがわかっている。このことは固有根が 重解であっても独立なベクトルが存在していることを示している 。フルランクの 対称べき等行列は単位行列以外にない事もわかっている。このことが一般的な対 称べき等行列がランク落ちすることを示している。. ¿º¿º¾. べき等行列かつ対称. ランクがトレースに一致する。. ¿º¿º¿. 対称べき等行列のと定号行列. 対称べき等行列は非負定号行列である。. 行列演算の簡易化 固有値を用いた操作 固有値は基本的なとき方があるが 、固有値の特性などを用いた便利な分解方法 を学ぶ。なお、固有値は一般に複素数であるので、一般的なレベルでの理解も行う。. 転置で証明終わり。 対称行列でなくとも、重根であれば重根となっている同一の固有値ベクトルを直行化すること. で、固有ベクトルを導き出せる。 アベルの定理
(27) により、 次以上の場合、代数的には解けないため、数値解析 でとくことになる。. . .
(28) 経済学のための数学 . . 行列. 固有値分解. 行列の操作は基本的に容易さを追求する。行列を用いる際に鍵となる方法があ る。正方行列 について、固有値による表現を行うことを固有値分解
(29) とよぶ。なお、固有値分解では対角化されたものの演算は通常 の行列の演算に比べ非常に労力が少なくてすむ。 固有値とは固有ベクトルと対を成しており、ある行列 について、. となる。 と を固有ベクトル及び固有値という。このとき、固有ベクトルは定数 倍で伸縮可能である。この固有ベクトルで作った行列を 、固有値を対角要素と するベクトルを とすると、 は ¼. に分解できる。ただし、固有ベクトル同士はそれぞれが直交しているので、転置 行列との積は. ¼. ½½ . . . . . . . となるが、固有ベクトル が伸縮可能なことを考えると、 の長さがちょうど に . なるものを使うこともできる。その結果、. . . ¼. とおくことができる。この固有値分解を利用すれば、. . . ¼. ¼. . ¼. . ¼. . となり、固有値で作った行列が. . ½ . . . . . . . . で対角行列であるため、計算が容易になる。 行列式と固有値 行列式の値は固有値の積に等しい。したがって、固有値が と なる場合行列式は となる。なお、行列式の演算ルールを用いると、 . . ¼. ¼. ¼. ¼. . です。このことは先に示したように、固有値を軸の長さとする直行するベクトル で構成する空間の面積を示しています。. . . .
(30) 経済学のための数学. . 行列 ¼. 転置行列と固有値 と は、同じ固有値を持つ。ただし、 に異なる固有ベクトルを持つ。. エルミート行列と固有値. ¼. と. は、 一般. エルミート行列の固有値はすべて実数である. 固有値とトレースおよび行列式の関係 固有値の和はその行列のトレースに一致 する。. 定号行列の固有値 正定号行列の固有値はすべてが正値を取る。非負定号行列の 固有値はすべてが 以上を取る。 べき等行列の固有値. . べき等行列の固有値は か である。. 特異値分解. 一般の 行 列の行列 という。. . の分解を行うことを特異値分解
(31) ! . 行列の対角化. 行列を対角化することは迂回行為ではあるものの計算を簡易にする便法である。 また、固有値分解を利用することでそれを可能にする。. . 正定号行列の固有値分解表記 スペクトル分解. このとき、任意の正方行列 ( が正定号行列ならば、 と表現でき、 ½ ½ で表現できる。したがって、 ¾ ¾ と表現でき、 ½ ½ できる。 なお、非負定号行列であれば、 ½ のように、乗数が負となる場合の表現がで きないが非負であれば表現可能である。 ¼. ¼. ¼. . . ¼. . . 二次形式の標準化. 固有値分解を使って、対称行列の二次形式で示された関数を標準形½¼に変数変換 できる。元の二次形式は. ¼. . 交差項の存在しない形式にすること。. . .
(32) 経済学のための数学. . 行列. であるが、固有値分解したものは. . . ¼. で、対角行列 となる。このとき、 となる新しい変数 を使ってすれば、. . ¼. ¼. . ¼. であり、加えてもとの関係式の両辺に から掛ける事で、. をこの 式に右. を掛けた. ¼. ¼. ¼. ¼. . ¼. となり、標準化された 次形式となる。標準化した二次形式から、. ½¾ ½¾ ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ¼. ½¾. ½¾. . . のように行列の平方根を作ることができる。. エルミート行列の対角化. . エルミート行列は、ユニタリ行列により対角化できる. 三角化 . 対角化が困難な場合には三角化で対応する。連立方程式などは三角化により演 算が簡単になる。. 正方行列の三角化 正方行列はユニタリ行列によって、上三角行列化させること ができる。なお、対角要素は固有値である。. . "#. 分解 は下三角行列 と上三角行列 に分解して、. 正方行列. . . 表すことができる。なお、下三角行列の対角要素はすべて である。注意すべき 点は、*+ 分解は一意に定まらない。この中で、特に. . . ¼. のように分解することをコレスキー分解 $% &. . . と呼ぶ。. .
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