資料置き場 hustat2017 20171027hand

統計学 第 5 週 確率変数

高木 真吾 北海道大学

e-mail: [email protected]

October 27, 2017

２変数確率変数

2

例示

. . . 4

確率変数に関する条件付き確率（本日の練習問題１）

. . . 5

２変数確率変数の平均・分散など

. . . 7

確認

. . . 8

確認問題：平均・分散・標準偏差

. . . 9

相関と共分散

. . . 10

共分散・相関係数の性質

. . . 11

確認問題：相関と共分散（本日の練習問題２：_{Table 9}）

. . . 12

確率変数同士の独立性

. . . 13

独立と相関

. . . 14

まとめ

16

. . . 17

演習問題（本日の課題は，問題 _{8, 9.}）

. . . 18

２変数確率変数 _{2 / 18}

多変数確率変数

■ ここまで，実現値として，ひとつの値が観測される確率変数について考えてきた．

■ ここから，実現値として２つ以上の値が同時に観測される多次元確率変数について考える．

◆ その定義と性質１∼ １０を確認する

■ ここでは２変数の場合について詳述し，「確率変数同士の独立性」の概念を導く

■ 一般論については簡単に触れるだけにとどめる．

統計学第

₅

_{– 3 / 18}

導入例：取り出される球のうち，赤と青の数

■ 例）壺の中に７個のボールが入っている

◆ 内訳：赤２球，青３球，白２球

■ 無作為に３個同時にとりだすとき，赤球の数を_X，青球の数を_Y

◆ 必然的に白球の数は_{3 − X − Y}

■ このとき，_Xは_0,1,2，_Y は_0,1,2,3の値をとりうる

■ その実現パターンは以下の通り

Table 1:

Pr[X = x, Y = y]

X / Y 0 1 2 3 Pr[X = •]

2 2/35 3/35 0 0 

1 2/35 12/35 6/35 0  0 0 3/35 6/35 1/35  Pr[Y = •] 4/35 18/35 12/35 1/35 1

■ 同時確率分布（表）：二つの確率変数_X，_Y がどのように実現するか上の表．

■ 周辺確率分布（表）：他方の出方とは関係なく，一方の確率変数がどのような実現の仕方をするか

◆ _Y に注目：_Xの出方を無視し，_{Pr[Y = 0]}は0 + 2/35 + 2/35 = 4/35と求められる．これらは表の 下段．

◆ _Xについても，表の左欄にまとめられている．

◆ 一般に，起きうる値が_X：_{xi}ⁿ_i=1，_Y：_{yj}^m_j=1のとき，同時確率が_{Pr[X = xi, Y = yj]}などと与え られるとき，それぞれの周辺確率は

Pr[X = xi] =

m

X

j=1

Pr[X = xi, Y = yj], Pr[Y = yj] =

n

X

i=1

Pr[X = xi, Y = yj]

Table 2: X

Pr[X = x]

X 0 1 2 ^合計

Pr[X = •]  1

Table 3: Y

Pr[Y = y]

Y 0 1 2 3 ^合計

Pr[Y = •] 4/35 18/35 12/35 1/35 1

統計学第

₅

_{– 4 / 18}

確率変数に関する条件付き確率（本日の練習問題１）

■ 起きうる値が_X：_{xi}

n

i=1^，Y：{yj} m

j=1^{のとき，同時確率がPr[X = xi, Y = yj]}などと与えられていると する．

■ 二つの事象_A，_Bについて，事象_Aが与えられた下での，事象_Bの条件付き確率 Pr[B|A] =^{Pr[A ∩ B]}

Pr[A]

■ 事象_A：_Xが_xiとなる事象，_B：_Y が_yjとなる事象，_Xが_xiであるという条件の下で，_Y が_yjとなる という条件付き確率

a

：

Pr[Y = yj|X = xi] = ^{Pr[X = xi, Y = yj]}

Pr[X = xi] · · · ¹

■ 乗法公式：

Pr[X = xi, Y = yj] = Pr[Y = yj|X = xi] × Pr[X = xi] = Pr[X = xi|Y = yj] × Pr[Y = yi]

· · · ²

■ 条件付き期待値：E_{[Y |X]}（_Xが与えられた下での_Y の条件付き期待値）

◆ _Xがある特定の値_xiを取るという条件の下での条件付き期待値は，条件付き確率を用いて，

E_{[Y |X = xi] =}

m

X

j=1

yj· Pr[Y = yj|X = xi] · · · ³

と定義され，E_{[Y |X = xi]}は_xiという水準に依存している．

◆ ₍発展）一般に，E_{[Y |X]}は（_Y については和を取ることで消しているので）確率変数_Xの水準に依 存する関数であり，それ自身が確率変数となっている．

◆ ₍発展）確率変数 E_{[Y |X]}の確率分布は，_Xが_{{x1, x2}, . . . , xn}の値を取りうることを考えると， E_{[Y |X]} E_{[Y |X = x1]} E_{[Y |X = x2] · · ·} E_{[Y |X = xn]}

(X) (x1) (x2) · · · (xn) 確率 _{Pr[X = x1] Pr[X = x2] · · · Pr[X = xn]}

■ 練習問題１：下の地震に関するマグニチュード_Xと最大震度_Y の同時分布表を用いて，震度が４と知ら された場合のマグニチュードについての条件付分布と条件付期待値，およびマグニチュードが８と知らさ れた場合の震度に関する条件付分布と条件付期待値を求めてください．

Table 4:

X

Y

X/Y 3 4 5 6 7 total

6 0.125 0.200 0.175 0.500 7 0.050 0.200 0.100 0.350 8 0.075 0.050 0.025 0.150 total 0.125 0.250 0.450 0.150 0.025 1.000

axiに関して条件付き確率が定義されるなら， Pm

j=1^{Pr[Y = yj|X = xi] = 1}が成立することは容易に確認できる． Xm

j=1

Pr[Y = yj|X = xi] = Xm j=1

Pr[X = xi, Y = yj] Pr[X = xi] ⁼

1 Pr[X = xi]

Xm j=1

Pr[X = xi, Y = yj] = ¹

Pr[X = xi]^{·Pr[X = xi] = 1.}

統計学第

₅

_{– 5 / 18}

条件付分布および条件付期待値に関する計算例

■ 震度５_{(Y = 5)}と知らされた場合のマグニチュード_(X)に関する条件付分布と条件付期待マグニチュード

◆ 条件付分布表の作成

Table 5:

X

_{Y = 5}

X 6 7 8 total

Pr[X = •|Y = 5] 7/18 8/18 3/18 1

Pr[ X = 6 | Y = 5 ] =Pr[X = 6, Y = 5] Pr[Y = 5] ⁼

0.175 0.450 ⁼

7

18, Pr[ X = 7 | Y = 5 ] = ^0.200

0.450, Pr[ X = 8 | Y = 5 ] = ^0.075 0.450

◆ 条件付期待値の計算

E[X | Y = 5] =

8

X

x=6

x × Pr[X = x | Y = 5] = 6 · ⁷ 18^{+ 7 ·}

8 18^{+ 8 ·}

3 18 ⁼

122 18

つまり，最大震度が５であるとき，およそ起きうるマグニチュードの中心（条件付平均）は_6.8程度 と考えられる．

■ マグニチュード７_{(X = 7)}と知らされた場合の最大震度_{(Y )}に関する条件付分布と条件付期待最大震度

◆ 条件付分布表の作成

Table 6:

Y

_{X = 7}

Y 3 4 5 6 7 total

Pr[Y = •|X = 7] 0 1/7 4/7 2/7 0 1

Pr[ Y = 4 | X = 7 ] =Pr[X = 7, Y = 4] Pr[X = 7] ⁼

0.050 0.350 ⁼

1

7, Pr[ Y = 5 | X = 7 ] = ^0.200

0.350, Pr[ Y = 6 | X = 7 ] = ^0.100 0.350

◆ 条件付期待値の計算

E[Y | X = 7] =

7

X

y=3

y × Pr[Y = y | X = 7] = 3 ·⁰ 7^{+ 4 ·}

1 7 ^{+ 5 ·}

4 7 ^{+ 6 ·}

2 7^{+ 7 ·}

0 7 ⁼

36 7

つまり，マグニチュードが₇であるとき，およそ起きうる最大震度の中心（条件付平均）は_5.1程度 と考えられる．

統計学第

₅

_{– 6 / 18}

0.1 ２変数確率変数の特性値

２変数確率変数の平均・分散など

■ 性質１_X，_Y それぞれの平均・分散は周辺確率のみから求めることができる

■ 性質２分散について，V[X] = E[(X − E[X])²] = E[X²] − {E[X]}²

■ 性質３E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] ^（E[a + b · X + c · Y ] = a + b · E[X] + c · E[Y ]^）

■ 性質４E[XY ] = E[X · E[Y |X]]

統計学第

₅

_{– 7 / 18}

２変数確率変数の期待値演算

■ 確認１− １：E_[X]を求める．

◆ 起きうる値が_X：_{xi}ⁿ_i=1，_Y：_{yj}^m_j=1のとき，同時確率は_{Pr[X = xi, Y = yj]}と記す．

◆ 期待値（平均）は，『起きうる値_×その確率』なので

E_{[X] =}

n

X

i=1 m

X

j=1

xi· Pr[X = xi, Y = yj] =

n

X

i=1

xi·





m

X

j=1

Pr[X = xi, Y = yj]



=

n

X

i=1

xi· Pr[X = xi]

■ 確認１− ２：分散 V_[X]を求める．

◆ 分散は，散らばりの尺度で，「平均からの乖離の二乗」についての平均 V_{[X] =} E[(X − E[X])²] =

n

X

i=1 m

X

j=1

(xi− E[X])²· Pr[X = xi, Y = yj]

=

n

X

i=1

(xi− E[X])²·





m

X

j=1

Pr[X = xi, Y = yj]



=

n

X

i=1

(xi− E[X])²· Pr[X = xi]

■ 確認２：V[X] = E[(X − E[X])²] = E[X²− 2X · E[X] + {E[X]}²] = E[X²] − {E[X]}²

■ 確認３：E_{[X + Y ]}を求める．

◆ 期待値（平均）は，『起きうる値_×その確率』なので E_{[X + Y ] =}

n

X

i=1 m

X

j=1

(xi+ yj) · Pr[X = xi, Y = yj]

=

n

X

i=1 m

X

j=1

xi· Pr[X = xi, Y = yj] +

n

X

i=1 m

X

j=1

yj· Pr[X = xi, Y = yj]

=

n

X

i=1

xi·





m

X

j=1

Pr[X = xi, Y = yj]



+

m

X

j=1

yj·

n

X

i=1

Pr[X = xi, Y = yj]

!

=

n

X

i=1

xi· Pr[X = xi] +

m

X

j=1

yj· Pr[Y = yj] = E[X] + E[Y ]

■ 確認４：E[XY ] = E[X · E[Y |X]]^{を求める．}

◆ 期待値（平均）は，『起きうる値_×その確率』なので，定義より右辺の期待値は

E[X · E[Y |X] ] =

n

X

i=1

(xi· E[Y |X = xi]) · Pr[X = xi] · · · ⁴

であり，左辺の期待値も以下のように書くことができる E_{[XY ] =}

n

X

i=1 m

X

j=1

(xi· yj) · Pr[X = xi, Y = yj] =

n

X

i=1 m

X

j=1

(xi· yj) · Pr[Y = yj|X = xi] · Pr[X = xi]

=

n

X

i=1

xi·





m

X

j=1

yj· Pr[Y = yj|X = xi]



· Pr[X = xi]

=

n

X

i=1

xi· E[Y |X = xi] · Pr[X = xi] = E[X · E[Y |X]]

統計学第

₅

_{– 8 / 18}

確認問題：平均・分散・標準偏差

■ _Table1 を用いて以下の問いに答えてください．

◆ 確率変数_X，_Y それぞれの平均と分散・標準偏差を求めてください．

◆ E[6 · X + 10 · Y ]^{を求めてください．}

◆ E_{[XY ]}を求めてください

■ 解答

◆ E_{[X] = 6/7}，E_{[Y ] = 9/7}，V[X] = 20/49^，V[Y ] = 24/49^．

◆ E[6 · X + 10 · Y ]^{を求めてください．}(^答え：18)

◆ E_{[XY ]}を求めてください．₍答え：_30/35)

統計学第

₅

_{– 9 / 18}

相関と共分散

■ １変数確率変数の特性

◆ （起こりやすさの）中心を示す尺度：平均E_[X]

◆ 中心からの散らばり具合を示す尺度：分散V[X] = E[(X − E[X])]^{2（標準偏差}σX =pV[X]^）

■ ２変数確率変数の関係

◆ 共分散_σXY = cov(X, Y ) = E[ (X − E[X])(Y − E[Y ]) ]

■ それぞれの確率変数の起きやすさの中心(E[X], E[Y ]) ^{から見て，}(X − E[X], Y − E[Y ])^が同符号

（異符号）の方向で実現しやすいとき，共分散は正の値（負の値）をとる．また中心から遠い点が 実現する確率が高いほど共分散は大きくなる．

◆ 相関係数corr(X, Y ) = σXY/(σXσY)

■ 相関係数は₋₁から₁の間の値をとる．

■ ₋₁に近いほど(X − E[X], Y − E[Y ])が互いに異符号で，負の傾きをもつ直線関係に近い．

■ ₁に近いほど(X − E[X], Y − E[Y ])が互いに同符号で，正の傾きをもつ直線関係に近い．

■ ₀に近いほど(X − E[X], Y − E[Y ])に直線関係がみられない．

統計学 第

₅

_{– 10 / 18}

共分散・相関係数の性質

■ 性質５共分散E[ (X − E[X])(Y − E[Y ]) ] = E[XY ] − E[X]E[Y ]

■ ^性質６V[X + Y ] = V[X] + V[Y ] + 2cov(X, Y )^{証明は下段a．}

a

分散の定義に従って，

V_{[X + Y ] =} E[{(X + Y ) − E[X + Y ]}²] = E[{(X − E[X]) + (Y − E[Y ])}²]

= ^E[(X − E[X])²] + E[(Y − E[Y ])²] + 2 · E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = V[X] + V[Y ] + 2cov(X, Y )

統計学 第

₅

_{– 11 / 18}

確認問題：相関と共分散（本日の練習問題２： _{Table 9} ）

Table 7:

0.000

X/Y -2 -1 0 1 2 Pr[X = •]

2 .025 .025 .050

1 .050 .100 .050 .200 0 .150 .200 .150 .500 -1 .050 .100 .050 .200

-2 .025 .025 .050

Pr[Y = •] .000 .300 .400 .300 .000

■ E[X] = E[Y ] = 0,

■ V_{[Y ] = E[Y}²] − {E[Y ]}²= (−1)²· 0.3 + (0)²· 0.4 + (1)²· 0.3 − 0²= 0.6

■ V_{[X] = E[X}²_{] − {E[X]}}²_{= (−2)}²· 0.05 + · · · + (2)²· 0.05 − 0²= 0.8

■ E[XY ] = (−2)(−1) · 0.025 + (−1)(−1) · 0.050 + · · · + (2)(1) · 0.025 = 0

■ cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X] · E[Y ] = 0 − 0 · 0 = 0

■ corr(X, Y ) = cov(X, Y )/pV[X] · V[Y ] = 0

Table 8:

X/Y -2 -1 0 1 2 Pr[X = •]

2 .05 .05

1 .10 .10 .20

0 .15 .20 .15 .50

-1 .10 .10 .20

-2 .05 .05

Pr[Y = •] .00 .30 .40 .30 .00

■ E[X] = E[Y ] =, V[Y ] =, V[X] =, E[XY ] =

■ cov(X, Y ) =^，corr(X, Y ) ≈

◆ _Xに大きな正値が実現するとき，同時に起きる_Y は負値となる傾向がある．

Table 9:

X/Y -2 -1 0 1 2 Pr[X = •]

2 .05 .05

1 .02 .08 .10 .20

0 .15 .20 .15 .50

-1 .10 .08 .02 .20

-2 .05 .05

Pr[Y = •] .07 .23 .40 .23 .07

■ E[X] = E[Y ] =, V[Y ] =, V[X] =, E[XY ] =

■ cov(X, Y ) =, corr(X, Y ) ≈ 

■ _Xと_Y は独立か否か？その理由は？

統計学 第

₅

_{– 12 / 18}

0.2 ^{確率変数間の独立性}

確率変数同士の独立性

■ 確率変数_Xと_Y が独立：互いの実現の仕方が無関係

◆ _Xが_xiとなる事象と，_Y が_yjとなる事象が独立であるということを用いて定義する．

■ 定義１：任意の_{(xi, yj)}に対して，_{Pr[Y = yj|X = xi}] = Pr[Y = yj]

■ 定義２：任意の_{(xi, yj)}に対して，_{Pr[Y = yj, X = xi}] = Pr[X = xi] · Pr[Y = yj]

■ 性質７_Xと_Y が独立であるとき，E[Y |X] = E[Y ]

■ 性質８_Xと_Y が独立であるとき，E[XY ] = E[X] · E[Y ]

◆ 確認：_{Pr[Y = yj|X = xi}] = Pr[Y = yj]^{なので，どの}xi^{に対しても，}

E_{[Y |X = xi] =}

m

X

j=1

yj· Pr[Y = yj|X = xi] =

m

X

j=1

yj· Pr[Y = yj] = E[X]

したがって

E[XY ] = E[X · E[Y |X]] = E[X · E[Y ]] = E[X] · E[Y ]

ただし，最後の等号は，E_{[Y ]}は確率変数ではない普通の数字であることを利用した．

統計学 第

₅

_{– 13 / 18}

独立と相関

■ 確率変数_X，_Y が独立であるとき，

■ 性質９共分散は０，相関係数も０（cov(X, Y ) = corr(X, Y ) = 0^）

■ 性質10 V[a + b · X + c · Y ] = b²· V[X] + c²· V[Y ]

■ 確認

◆ 独立であるとき，E[XY ] = E[X] · E[Y ]^なのでcov(X, Y ) = 0.

◆ 一般に V[a + b · X + c · Y ]は以下のように共分散を用いて表現できる V[a + b · X + c · Y ] = ^E[{(a + b · X + c · Y ) − E[a + b · X + c · Y ]}²]

= ^E[{b · (X − E[X]) + c · (Y − E[Y ])}²]

= b²· E[(X − E[X])²] + c²· E[(Y − E[Y ])²] + 2bc · E[(X − E[X])(Y − E[Y ])]

= b²· V[X] + c²· V[Y ] + 2bc · cov(X, Y ) 性質９より，共分散が０なので性質₁₀も成り立つ．

統計学 第

₅

_{– 14 / 18}

確率変数間の独立性の確認

■ 「_Xと_Y が独立」ならば「_Xと_Y の相関係数はゼロ」，は言える

◆ 性質８より，_X と_Y が独立ならば, E[XY ] = E[X] · E[Y ]. ^{このとき，共分散は} cov(X, Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[XY ] − E[X]E[Y ] = 0.

したがって相関係数もゼロとなる．

■ 対偶として，「_Xと_Y の相関係数はゼロでない」ならば「_Xと_Y が独立でない」，も言える

◆ _{Table 8}の _X と _Y の相関係数はゼロではないので，_X と_Y は独立ではない．

■ しかし，「_Xと_Y の相関係数はゼロ」ならば「_Xと_Y が独立」は必ずしも言えない（反例が存在する）

◆ _{Table 7}より， _X と _Y の相関係数はゼロ．

◆ 定義１：任意の_{(xi, yj)}に対して，_{Pr[Y = yj|X = xi}] = Pr[Y = yj]^．

■ 例えば，(x, y) = (0, 0)^{については}

Pr[Y = 0|X = 0] = Pr[Y = 0, X = 0] Pr[X = 0] ⁼

0.2 0.5 ^{= 0.4} Pr[Y = 0] = 0.4

となるが，

■ (x, y) = (1, −2)^{については}

Pr[Y = 1|X = −2] = Pr[Y = 1, X = −2] Pr[X = −2] ⁼

0.025 0.05 ^{= 0.5} Pr[Y = 1] = 0.3

となり等しくない．

■ 任意の点について条件付き確率と周辺確率が等しいとは言えないので独立ではない．

◆ 定義２：任意の_{(xi, yj)}に対して，_{Pr[Y = yj, X = xi}] = Pr[X = xi] · Pr[Y = yj]

■ 例えば，(x, y) = (0, 0)^{については} Pr[Y = 0, X = 0] = 0.2

Pr[X = 0] = 0.5, Pr[Y = 0] = 0.4

■ (x, y) = (1, −2)^{については} Pr[Y = 1, X = −2] = 0.025

Pr[X = −2] = 0.05, Pr[Y = 1] = 0.3

■ 任意の点について，同時確率と周辺確率同士の積が等しいとは言えないので独立ではない．

◆ 何れの定義を用いていも，（相関係数がゼロであったとしても）独立でない例が存在していることが示 される．

■ 相関とは，確率変数間の起き方に関する線形的な関係であり，独立か否かはより一般的な関係．

統計学 第

₅

_{– 15 / 18}

まとめ _{16 / 18}

まとめ（非常に重要）

二つの確率変数_{X1, X2}を用いて，_{Y = β0+ β1· X1+ β2· X2} とする．

■ 平均

E_{[Y ] = β0+ β1· E[X1] + β2· E[X2]}

■ 分散

V_{[Y ] = β1}²_{· V[X1] + β2}²_{· V[X2] + 2β1β2· cov(X1, X2)}

■ ^{二つの確率変数}X1, X2^{が独立であるとき，}

V_{[Y ] = β1}²_{· V[X1] + β2}²_{· V[X2]}

一般に確率変数がｎ個の場合でも，上の結果は成立する

ｎ個の確率変数_{{X1, X2}, . . . , Xn}^{を用いて，以下の}Y ^{を定める．} Y = β0+

n

X

i=1

βi· Xi

■ ^平均

E_{[Y ] = β0+}

n

X

i=1

βi· E[Xi]

■ 分散

V_{[Y ] =}

n

X

i=1

β_i²· V[Xi] + 2

n−1

X

i=1 n

X

j=i+1

βiβj· cov(Xi, Xj)

■ ^{ｎ個の確率変数}X1, X2, . . . , Xnが互いに独立であるとき，

V_{[Y ] =}

n

X

i=1

β_i^2V[Xi]

■ 以上の結果はすべて離散型確率変数について説明してきた

■ 連続型確率変数についても性質１∼ １０が同様に成り立つ

◆ ただし，説明には同時密度関数に関する多重積分を利用する必要がありここでは省略する

統計学 第

₅

_{– 17 / 18}

演習問題（本日の課題は，問題 _{8, 9.} ）

1. ある製品の年間故障発生率は₂₅％とする．故障時給付額が₄（万円）であるとすると，保険会社の給付額 を_Xとして確率分布を求めてください．また公平な保険料（保険会社の利益は０）はいくらか． 2. 毎年，故障しなければ給付額０だが，初めて故障したとき給付される保険を考える（年間故障発生率は₂₅

％）．給付額は，１年目に故障すれば，_4/3

0= 4^（万円），二年目に初めて故障すれば₄

2/3¹≈ 5.3^（万 円），．．．_k年後に故障すれば₄

k_/3k−1

（万円）となる．故障率は毎年一定で劣化はないものとし，故障し ない限り永遠に使い続けられるものとする．

◆ ₄年目で終了する（₄年目までに故障しなければそのまま給付なしで終了）の保険を考えたとき，保 険料が₄万円なら加入することが合理的か否かについて考えを述べてください．

◆ 故障するまで永遠に続く契約を考えるとき，この保険の公平な保険料（加入時一括払い）はいくらと 設定できるか．またあなたはその保険に加入したいか否かについても考えを述べてください． 3. 一様分布，および指数分布に従う確率変数について，累積分布関数をそれぞれ求めてください．またそれ

ぞれの確率変数の平均と分散を求めてください．

4. 離散型確率変数について以下の関係が成り立つことを示してください E[α + βX] = α + βE[X], V[α + βX] = β^2V[X]

Table 1のような一般的な離散型確率分布にしたがう確率分布について示してください

5. Table11^{を用いて，確率変数}X ^{の平均・分散を}µX^・σ_X^{2，確率変数}Y ^{についても}µY^・σ_Y^{2 とし，相関係} 数を_ρXY とする．

◆ _{ZX = (X − µX)/σX} とするとき，E_{[ZX] = 0}と V_{[ZX] = 1}となることを示してください．

◆ _Y についても，_{ZY = (Y − µY)/σY} とするとき， cov(ZX, ZY) = corr(ZX, ZY) = ρXY

ただし，_{cov(X, Y )}は_ZXと_ZY の共分散，corr(X, Y )^はZX^とZY ^{の相関係数を表す．}

◆ _{zX,i= (xi− µX)/σX, zY,j = (yj− µY)/σY} とするとき，_{2zX,izY,i ≤ z}

2 X,i^{+ z}

2

Y,i^および

−2zX,izY,i ≤ z_X,i² + z_Y,i² がともに成り立つことを用いて，相関係数が絶対値にして１以下であること

（_{|ρXY| ≤ 1}）を示してください．

◆ 相関係数が₁または_-1になるのはどのような条件が満たされる場合であるかを指摘してください． 6. Table10^{を用いて，確率変数}X,Y^{が独立であるとき，}α, β, γが満たす条件を求めてください．

X/Y 2 4 6 Pr[X = •]

2 α β γ

1 β γ α

0 γ α γ

Pr[Y = •]

Table 10:

X

Y

X/Y y1 y2 · · · yj · · · yJ

x1 p11 p12 · · · p1j · · · p1J

x2 p21 p22 · · · p2j · · · p2J

... ^... ^... . .. ^... · · · ^... xi pi1 pi2 · · · pij · · · piJ

... ^... ^... ^{. .. ..}. · · · ^... xI pI1 pI2 · · · pIj · · · pIJ

Table 11:

X

Y

7. 同時刻の二つの番組の視聴率を確率変数として表現するとき，その同時密度が次のように与えられたとす る．二つの番組の視聴率は独立といえるか．

f (x, y) = 120 · xy(1 − x − y) (0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≤ 1)

ただし上記以外の点での密度の高さは０とする．

8. 3^ページのTable4を用いて，練習問題１に回答してください．

9. Table9 X,Y

統計学 第

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