投資ホライゾンが多様な経済の均衡リスクプライス

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(2) 66 (214). 第㎜巻. 横浜経営研究. 走する経済はあながち特異なものではない．. も. 第 3 号 (1997). 家の最適投資計画についての性質が明らかにさ. ちろん個人投資家のホライゾンが長期，あるい. れ，市場均衡において発生するフィナンシャル. は機関投資家のホライゾンが短期のケースをあらかじめ排除してしまうので，その意味では限定的である・だが，少なくとも考察対象とする経済を限定するという代償を払うことで，動的. アセットの発行高は，直感に反し投資家のホライゾンの分散が最大となる，いわば最も heter-. 計画問題を利用してべルマン方程式の解を得る. ogeneous. な状況で最大とならないことが明ら. かとなった．. 本論文の構成は以下のとおりである．続く 2. ことが可能となり，投資ホライゾンが多様であ. 節ではモデルの説明を行う，. ることが与える資産市場へのインパクトに対す. び長期ホライゾンの投資家の最適投資計画問題. る見通しを明るくすることができるのであ. る．. について議論する． 4 節では動 9 計画法を利用. 我々の対象とする経済は具体的には次の特徴. して上記の一連の市場均衡の性質が明らかにさ. を持っ．各々 1 種類の実物資産とフィナンシャ. ルアセットが投資対象として存在する有限の連綿時間モデル上で， CRRA (ConstantRelative RskAversion) 型効用関数を持つ短期の投資. 3. 節では短期およ. 白. れる．最後に 5 節で結論を述べる．. 2. モデル. ホライゾンをもつ投資家が，資産の一部の運用. 時点の集合が閉区間で表される有限期間の連続時間経済を考える．経済を動かすリスクファ. を長期の投資家に委託する．ここでの投資ホラ. クターはこの時間軸上で定義される. イ. 、ハノの長短は最も単純なもので，短期の投資. 1 次元標準. ウィーナ一過程 @Z(t) : <= [0， Ⅱ } であ. る・. 家は近視眼的 (myopic) に投資を行い，静学的投資計画問題から得られる最適投資スケデュールを各時点でくり返す・これに対し運用. またこの経済の不確実性を確率空間 (Q,E 伊 (t) : tE [0， Ⅱ t ,P) で表す． f6lterarion{F(f) '@te [0，笘 t は通常の性質をもっ o-held の族. を委託された長期ホライゾンの投資家は，経済. である. の最終時点における短期ホライゾンの投資家の. 資産額の期待効用を最大化する投資計画を実行する．このょうな資産市場の均衡を分析することに. 経済にはプライステ一ヵ. 一. として行動する長. 期ホライゾンと短期ホライゾンの投資家が存在する．短期ホライゾンの投資家の効用関数は危険回避度 1 一パ y く l) の CRRA. (Con,tantRe-. より，以下の結果を得ることができた．経済の. lative Risk Ave,sion). 相対的危険回避度が 1, つまり対数型効用関数. 散時間モデルの場合，最も投資ホライゾンの短. のケース以外では，投資家の投資ホライゾンが. い投資家の目的関数は単一期間経過後の運用資. 多様であることによって，資産取引が均衡において発生する．市場均衡におけるリスクプライ. 産額に対して定義される期待効用である 2). 後に述べるように連続時間モデルでは，次の極限. スは投資家のホライゾンの単純平均値，あるい. を目白9 関数とすることがある意味で自然な定式. は運用資産額をウェイトとした. 化であると考えられる. 加重平均値から. 型効用関数である．離. 決定されず，危険回避度が 1 より大きいときに. は運用額のシェアをウェイトとした投資ホライゾンの加重平均. よ. り長く，. 1 より小さいときに. 1m Ⅰ. A 10. E,[ W +A)yw ㈹"] ㏄. A. は逆に加重平均より短いホライゾンによって決定される．また市場均衡で成立する短期金利の. もちろん経済は単一期間で終了しないので. ，長. ，同質的な経済の場合より. 期ホライゾンの投資家は個人投資家の一部の資. 確率 1 で高いことが明らかとなった．更に投資. 産運用を任された代理人としての性格を持っと. ヴォラティリティは.

(3) 投資ホライゾンが多様な経済の均衡リスクプライス. (森田. (215) 67. 洋). " 利益 " を. 所的にリスクがなく，収益率が「㈲の安全資. 忠実に追及するならば，投資計画をたてる際のインプットであるリスク選好は個人投資家のも. 産である．仮にこの安全資産の運用額を B( バ. する．従って委託者の個人投資家の. のでなくてはいけない．また個人投資家の. で表すとすると. ，それは方程式，. "利. 益 " に忠実であるとすれば，効用は委託された. 資産の部分だけでなく保有資産全体に対し定義されるべきである．以上の理由から長期ホライゾンの投資家の目的関数を，最終時点での個人投資家の総資産に対して定義される相対的危険回避度 l 一 y の CRRA 型効用関数の期待値，. 芸きザニパパ. 3). く. リⅠ. に従う．もちろんリスクプレミアムが内生的に決定されるので，確率過程. @. め :. tE [0， T Ⅱ. も内生的に決定される．フィナンシャルアセット. の細供給が. 0. であることから市場均衡におい. て次の式が成立する．. Eo[ w(乃 "1. W, f)+WSS(t) 二 WWM(f). として定義する，但し E,[ .] はム一町測な条件付期待値のオペレータ一である．経済には総額 WM の実物資産が存在しその確率過程は次の確率微分方程式にょり与えら. ナⅠ. dZ. Ⅴ ，ひ. 十メf. Ⅴ ，. @ サⅠ @. が. (l 一 a. Wf)二. ⅡⅡ. 材メZ( わ. 、つめ. 性規般は. る方. 0 Ⅱ. 数る. 走す々とは各ノ 0. しと件但こ条. 円. l7 Mlく %T. 満たす任意の実数とする. １. 4. ー. る．. また経済における長期の投資家層の連用資産のシェアを次のように定義する．. 7. w, ㈹ ⅡらⅠ t)+ Ⅱ億 (り. く. 5). 0 羽り㈲三1. Ⅰ. 廷. [0 ，四. (6). (2. Ⅰ. -ンエアである．もちろん，これは短期ホライゾ. １. 3. ノ. ．. の投資家にいかなる. 布 " が正の値をとるケ一. 的な期待成長率ががノ (パと同じ値のブラウンり大きく，逆に負の値をとるときには. フィナンシャルアセットは各時点において局. 率で委託したかを表す．. 3. 投資家の最適投資計画問題 3.1. 短期ホライ. の投資家の最適投資計画経済のリスクファクター @(f) ㍉ E [0， Ⅱ のリスクプライスを次のように表す．ゾン. リ. スクが小さくなる，げMWf) の確率過程は投資機会の変動を記述するという意味をもつ．. 上ヒ. 以下では一般性を失うことなく各投資家層の人数を各々一人とする．. ㈲自体がブ. スでは，実物資産のリターンのリスクは，局所よ. (t)三. 明らかに，次の不等式が成立する 4). ラウン運動に従うため， WM ㈲は幾何ブラウ. 運動. 資産額であ. ンの投資家が自己の資産の内，長期ホライゾン. ローカルな期待成長率を表す且M ン連動には従わない，. は長期ホライ、ハノの投資家層の. 外生的に与えられる初期値Ⅵ 0) は経済の出発点における長期ホライ、ハノの投資家の運用額の. (I一 a) で表される実物資産のリターンのプロセスは一見するとブラウン運動に見えるかもしれない．だが，を. W,. り. (l一 b). (4). 但し W, は短期ホライゾンの投資家層の資産額，. り. """" 一. みはM. 一 "". レノ Ⅰ ン︵テナ. み W,Ⅲ wWM. れる．. tE [0，乃. 6 億) 三. れM (f) 一 r(z) O 咳，. t. /7). 時点 tE [0，月における実物資産に対する投資.

(4) 68 (216). 横浜経営研究. WHf) とすると，短期ホライ. 上ヒ率を. 第㎜巻. ゾンの投. 定される仇. りの確率微分方程式を規定する変. 数である．. 資家の連用資産の確率微分方程式は，. Ⅱ5(め = は M( め一 (1一町 (t))0(め 07ニ・Ⅱ伝 ( めぷⅠ十 Ws¥ め oMW4SS(t) イZ. みマ. (1997). 第3 号. 4. 市場均衡. ざ. ㈲. (8). 以上の準備の下に経済の市場均衡が定義される．経済の市場均衡は (10), (11) 及び，実物資産の需給一致の条件 t ヰⅠ 2 1. んⅡ. 一一. w,. Ⅰ ︶仁しテ︵・ +レt. ︶ナ@Ⅰ. z ヱ'. *亡. 十. t ヰⅠ t. w,. テレ. w. *ド. となる．伊藤の補題より，. O[. lim 二. 03. A. & 10. W4S ㏄)y[ がMWz). 一. (1一 %,. ㏄ )). づ (f)oM 一 l/2(l 一 y)W,(t)20 ソ ]. (9). となるので，時点における短期ホライゾンのと. 直面する計画問題は，. 田 {fj : te [0，刊 t. け (t) : tE [0，門 t, @% ダ (t) : tE [0，Ⅱt, @%i*(t) : tE [0.Ⅱ t である．動的計画法を利用して市場均衡を求めるとき，長期の投資家の最適投資計画問題のべルマン方程式に (10) 及び (12) の必要条件を代入して得られる偏微分方程式を解けばよい．. max 旦MWf) 一 (1一の・SWt))6(z)oM w s(,) 、. 一 172(l 一 YhWs(t)2. つを満たす 4 つの確率過程の組み合わせ，. 首尾ょ. 口2. く. 解が得られたときにはそれが，市場均. 衡における長期ホライ. ゾンの投資家の最適投資. と表すことができる．最適解は標準的な静学的. 計画となる．まず特殊ケースである㎡ 0) =0. 最適投資計画問題の解と同一の，. および㎡ 0) 二 1 のケースの市場均衡について. 説明しよう．てノ. て. s(. Ⅰ》. 二. (l 9( Y) ) M e[0 ， T] (10) 4.1 一. 亡. の. Ⅰ. となる．. 3.2. 長期ホライゾンの投資家の最適投資計画. 一方，長期ホライゾンの投資家は経済の最終. 7. 「. 0) ニ 0 および㎡ 0)=1. のケースにおけ. る市場均衡り (0) 二 0 のケースは，短期ホライゾンの投資家がすべての資産を自分自身で運用するケースであり，短期ホライゾンの投資家のみで構成さ. 時点における個人投資家の総資産の期待効用を. れる同質的経済と実質的に同じ経済となる・. 最大化するので，その計画問題は形式上次の. のときの市場均衡におけるリスクプライス. う. ょ. 小円. (wH 乃 /. り. の解と同一水準，. (円 ). y. つ. (13). 0( )= (l一 y)oM Ⅰ. U) 二 [旦M(z) 一 (1一竹ェ (t))0%)oM]WL (t)ピさ十四L( めのM ℡ケ ( めみz( めピがM( め = 円 M はz( め. ㏄メW. ，及. び短期金利の水準は通常の静学的な均衡モデル. に定式化される．. ， wil max0 Eo[. こ. ム. 八 z)二がM(z) 一. ・. み0( め. t)め十の (t)みz(め. 』. (14). となる．よって短期金利のヴォラティリティは，. 二円e(t)拐亡十00(t) ぷz( め. ピり ( め二がⅡ. (l一 y)0 ソ. (11). 但しれ (f),oeWf), 均 (t),巧 ( めは内生的に決. 実物資産の条件付期待成長率，がMWt) のヴォ. ラ. ティリティ，印材となる．一方，㎡0). 二. 1 のケースは短期ホライ. ゾンの.

(5) 投資ホライゾンが多様な経済の均衡リスクプライス. (森田. 洋). (217 69 Ⅰ. 投資家は自分自身では全く運用せず，長期の投. あ，あち J" 肋，ヰ"" は関数の各変数に関する偏. 資家のみで構成される同質的経済のケースと一. 微係数である．先にも触れたように，ベルマン. 致する．このときの均衡におけるリスクプライス，及び短期金利の水準は次のような形で成立. 方程式を実際に解くには，市場均衡の条件. する．. 0". 0(f)= (l一 y)oM 一 y0 "(7"@ ん. は 5). ゎ. ・. (10), (12) を利用して 6, 均，，円および. ヴげ. を消去し外から M,. 与えたパラメータ. y, T だけの偏微分方程式に帰着させな. ヰ︶tⅠ Ⅰ. T. M. 0月. の. ル Ⅰ. y. 十. y. O. l ⅠⅠ. ヤ Ⅰ. ナレ. が. 件，. 6. 11 Ⅰ. (w@m+wsm)7. 出， T)=. y. 短期金利のヴォラティリティは短期ホライゾン. 4.2. {. てはいけない．得られた偏微分方程式と境界条. ノ( 付ケ，け w，. の投資家のみの同質的経済と同様，円 " であ. 0跡. (18 一 a). る・. 長期ホライゾンの投資家の value func-. tion 0 く㎡ 0) く 1 のときは長短いずれのホライゾ. ，y(T)"eXp (G (がんもわ),. Ⅲ Wr, Ⅳ 材， l,t)二 Ⅱう. Ⅲんど卍 G( が材，パ姉y(T 一ヵ. b. バ. 8. T. ︵ T. 1. ㌦. 十. ︶ナン. 十. が含まれる．我々の理論的枠組みにおいても，. M T. y. geneous. 八グの. ア. な経済となる・投資家の属性が多様な動学的資産市場の均衡を動的計画法を用いて求める場合，一般に状態変数に各投資家の資産額. Ⅰ lⅠ. 12. ンの投資家ともマーケットに参加する hete,o-. げ. 長短双方の投資家の運用資産額が状態変数となることが推測される．この状態変数の変わりに叱弼りを状態変数としてもそれは表現の違いに過ぎないため，この変更は何等問題を引き起こさない．仮にこの 2 変数を状態変数として解. くとすると，対象としている効用関数が CRRA 型であることから，最終りには追加されるべき状態変数はりのみとなることが推測由. される．この形式，すなわち，. が Ⅳわけ必仇 Ⅰの. 4. Value function. つの変数のみに依存する. という推測の下では，ベルマン方程式は，. 0= 。/,十 WV, ノⅥ・ iがM. ]lI. 2. 一. W. ム. 2. 2. の投資家の valuefunction となる・因みに. functionに対応、していることを汗煮しておこう実際にこのプロセスを経ることで次のような解を得ることができる・定理. :. 次の関数ノは市場均衡におけるべルマ. 功カピ Ⅰ ピ. 百. (18. 一 b) は同質的経済における投資家の value. 田付ケ卍. Ⅰ. Ⅰ Ⅱた山辺Ⅰ夕 M 十ヰノけM 0 げ．。。0 り. とき，それが市場均衡における長期ホライゾン. (l一 wfj00 ㍊ ?.. 解が存在する. ン方程式の解となっている. 千. + W んノwu" M +. で定義される偏微分方程式問題の. く. 17). となる・但し，んノ Ⅵ．，ノw/.Ⅳ，，ん雄 ",7W",. M,， T)二半eXp[F M 用，t)] は. り. F( が M, り， t) 三 y (T 一 t)げM 一 yln り. 一一㌻. y(l 一 yWM2(T 一の. の.

(6) 70 (218). 横浜経営研究. 1-,2 yo祀ん (T一 t)2. り，ワの確率過程はローカルスーパーマルチン. 千コⅠ. 十. ゲールとなる 5). このように長期ホライゾンの. (T 一 t)3. 6. 第 3 号 (1997). 第㎜登. 投資家の連用額のシェアが低下する傾向となるのは下記の理由に. (19). 基づく．実物資産のリスクプ. レミアムが正の値をとる限り，短期ホライゾン. の投資家の実物資産の組み入れ比率は必ず正の (証明 ). Appendix. をみよ. 値をとる．そしてプレミアムが高くなるにつれ. その組み入れ比率は単調に上昇するため，安全定理から，市場均衡における長期ホライゾンの. 資産のポジションはプレミアムが. 投資家の連用額のシェアりの確率微分方程式は次のように得られる．. 入，. の. 方方. 確微率. 次. て，. いる. に上上. おす. 修柑. 題ムみⅡ ( め. プレミアムが高いときに空売りという形を. とる．これは安全資産の需給が一致している市場均衡において，長期ホライ、バツの投資家がプ. レミアムが低いときに安全資産を空売りしプレミアムが高いときに購入することを意味する．よって長期ホライゾンの投資家はローカルには. 二冊 (t)稜十巧 (t)メZ( め. ハイリスクローリターンとなるっているのであ. ナt Ⅰ. り. 1. ︵. 4レ tt. り. 一. 一. T. @@. y. 一一一. 4レ ,. がり. [ YffM+. イ. 〒な. ㎡ l 一 y) の M(T 一のり㈹. ローカルでない限りリスクには投資機会の変動のリスクが含まれるからであ Ⅰt レ. り. 一. 1. 対するへッジングを反映させた最適投資計画を. をみよ. 実行する結果として，プレミアムが低いときに. 安全資産を空売りしプレミアムが全資産を購入しているのに. 高いときに安. 過ぎないのである. ド. のアエ / の. 運. 額用. の. 家資. まx ルのン. ソは. ラ部ホト. イ分. 期フ畏り. 4レ ,. Ⅱ. +,b. り. 1. り. 一︶. ︵︵ⅠⅠ. fy. ︶. 一一. T1. ㎝M 。. 一一一. ). ノ)). 巧. 臼. (ば 7. ダ. 4.3 リスクプライス市場均衡におけるリスクプライスは. 次のよう. に得られる． : 市場均衡 /こおけるリスクプライスは，. 丑レ. 行@. ︶. 2. 一. り y. ︶. ︵. 打@. Ⅰレ. 1. 一. 壬@ Ⅰ. T. 0Ⅱ. ︵ⅡⅠ. 2. け. Ⅰ・工. ド. 命題. 0Uf) 二 (l 一 y) のM. 一. アワげ M(T 一の. (21) (21) の右辺第. る．長期ホライゾ. ンの投資家は飽くまでも投資機会集合の変動に. ︶︵. *,l. り. 一. ︶. 一. T. Ⅱ 70. 一 " " " 一一. テⅠ. ひⅡ. ェ︵拘. 1 一ノり (f). Appendix. ただ，これは長期的にハイ. る・. リスクローリターンというプロファイルの運用を行なっていることを意味しない・というのは，. (20). となる，. に布 M ノ 0 のケースでは右辺全体が負の値をと. (証明 ). 2. (1一 y) り (. 亡. ). l 一 y り色 ). (22). 項はパラメータや状態変数の値如何に関らず常に負の値をとる，特となる・. 資産運用を. う形となり，これがりが下降する傾向をつく. 孜ノんピ托. (証明 ). 低いときに購. Appendix. をみ. よ. ・.

(7) 投資ホライゾンが多様な経済の均衡リスクプライス. (森田. 洋). (219. 71. Ⅰ. 項はが M( めの変動，つまり投資機会の変動に対するリスクプライスを表してい. 係数は， (T 一わ (1 一 y) け (1 一 y@7) であり，. る・この符号は y 円 " の符号によって決ま. 係数は，経済のホライゾンの相対自り危険回避度. 円 " が正のケースでは，相対的危険回避度. が 1 より大きいときには (T 一めりより大きく，. より大きいときへッジングプレミアムは正. (T 一めりより小さい値をノ、ずとる 7). 従って危険回避度が 1 より大き. (22) の第. る・. が. 1. 2. の値をとり，相対的危険回避度が. 1. より小さい. ときに負の値をとる，布 " が負のときには，ちよ. うど符号が逆になる. これは長期ホライゾン. (T 一め 72 でも (T. 一. めりでもない・. 更にこの. 1 より小さいときには. い場合には，りをウェイトとしたホライゾンの加重平均 (T 一めりより長いホライゾンが均衡. の投資家のみで構成される同質的経済のケースにおいても成立する性質である． (22) の右辺第 2 項の分数 (l一 y 几 /(l 一 y りは必ず 0 以上 1 以下の値をとる 6). よって短期ホライゾンの. でインプライされ，回避度が. 投資家のみの同質. 経済，長期ホライゾンの役. るかは短いホライゾンの代表的投資家がかるか. 貴家のみの同質的経済各々におけるリスクプレミアムによってつくられる閉区間に (22) の値. のようにリスクプライスが形成されているので. は，必ず属する・. 実際にどのような水準になっていると考えられ. リスクプライスに関する上ヒ較静学をマーケットリスクに対する部分と投資機会の変動に対する部分に分解して行なうことにしよう・前者は. るであろうか．読者の中には，均衡におけるリ. 同質的経済と全く同一で，相対危険回避度，. スクプライスが. マーケットのヴォラティリティ. 白り. では，プレミアムがこの区間に属するとして，. 同質白 9 経済におけるそれの. 平均. スでは逆に (T 一めりより短- いホライゾンがイ. ンプラ. イ. される．極めてラフな表現をとれば，. あたかも経済の平均的なホライゾンょり長いあ. ある 8).. 対する部分 0(t). 映されると推測される方もおられるかもしれな. とおりである 3. 2. 4. 2. 5. ︵. 0. 02. く. ノ一. 0. y. ノ. GM. f. ひ A4. y. 0. y. 0. a. ノ一 -. OM. 一. はり. モ- 一. OM. y. 8. y. 1z. (一 1. 02. y. b. 5. ︵. の右辺第 2 項において， y 師 " の. く. り. f. 平均が均衡におけるリスクプライスでインプライされると考えられる．更に注意深い読者ならば， =0 あるいはり二 1 という特殊ケースで同質的経済のリスクプライスに帰着しなくてはいけないことから単純平均 (T 一わ /2 ではなく加重平均 j0(1 一㎡十 (T 一の Ⅲ 二 (T 一めりがインプライされると想像するかもしれない・. 3y. つのタイプの投資家のホライゾンの何等かの. だが (22). パ卸. ︵0. ナⅠ. ︵の. となる・. この類推で考えれば，同質的でないケースでは， 2. O. みの場合，ヘッジンバプレミアムは 0. O. の投資家の. ゾン. については以下の. ︵. Ⅰ@ Ⅰ. ひ. a. タと投資機会の変動をあられすリスクパラメー. たものとなる．また短期ホライ. (l 一 Y)oM. ヰt Ⅰ. 質的経済においては，投資機会の変動に対するリスクプライスは相対的危険回避度のパラメー. 一. り. a. い・確かに，長期ホライゾンの投資家のみの同. ゾンを乗じ. に関する増. oM. 加関数となっている．一方，投資機会の変動に. として成立する，いいかえれば各投資家居のホライゾンが平均水準としてリスクプライスに反. タの積 y 布 " に投資家の投資ホライ. より小さいケー. 1. 但し (23), (24) において等号は y=0 ，すなわち相対的危険回避度が 1 のケースのときにのみ成立する．時間に関する比較静学は，長期ホライゾンの. 投資家のみの. 同質白 9 経済のケースと. 時間が経過するとともに. 0(t). 一. 全く同様で. (l 一 y ル M の絶.

(8) 72 (220). 横浜経営研究. 第㎜巻. 第 3 号 (1997). 準は布 " および y の符号に依存しイ. 長期ホラ. ゾンの投資家だけで形成される同質的経済の. 短期金利水準より高い値をとるケースもあれば低い値をとるケースもあ. ティリティに関する大小関係となると，. トロ + 丑度 2. Ⅰ""""' "Ⅰ """. 。．. る．しかしそのヴォラ. '. この符. 号から全く影響を受けない. 命題. 3. :. 市場均衡における短期金利のヴォラティリティは次のように与えられる，. ムアハ㌔Ⅱ レ. ノノ. 簗ツ. 打ジ. ゾヘィ. 朋 1 * 図. 対水準は. 0円 [1 千. (l一 y)y2のMO M(T 一の 2 が. へと減少していく．この絶対的水準. 0. は，経済におけるホライゾンが長期の投資家の. 運用資産のシェアりが高まるにつれ高くなる．これは経済において投資機会の変動を意識する. 投資家のウェイトが高まることの必然的結果である・また危険回避度が 1 から離れた水準にな. (1), (20) 式で表される 0M¥t) 及び㎡ t) の確率微分方程式を利用して (26) 式に (証明 ). 伊藤の補題を適用することにょり得られる．. ればなるほど 6 ㈲一は一 y し M の大きさが大き. くなる性質も当然の結果である．図 1 はパラメータの値が oM 二十 1%,. イ. 二十 10%,. 怖M. T 一さ二 5 のときの 0(t 一 (l 一 Y ル M. とりとの関係を. 4. 長期ホライゾンの投資家，あるいは短期ホラゾンの投資家のみで構成される同質的経済の. 短期金利のヴォラティリティは円 " であ. る・. (27) より，次の不等式が成立する．. 種類の相対的危険回避度の. 下で示したものである．相対的危険回避度が 1. 目 )2. 8 2. 0円. 3. コ一. テレ. サり. ︵り︶︶︶レ. このよう. ︵. ときには凹関数の曲線となっている．. 1. 未満のとき曲線は凸関数の曲線， 1 より大きい. (7㎞ + (l一 y)y2 の俊仕ツ (T. な曲線を描く故に先に述べたように均衡のインプライするホライゾンは経済のホライゾンの平. よって投資ホライゾンが多様な経済における短. 均水準とならない・また布 " ニ一 1% のときは. 期金利のヴォラティリティは確率 1 で同質的経. へッジングプレミアムの符号のみが変わり，. 済のそれより大きくなる．. 曲. 線は横軸を中心に 180 度回転させたものとなる. ホライゾンの多様な経済では，同じ実物資産. の確率過程，同じ相対的危険回避度の同質的経. 4.4 短期金利の. ヴォ. ラティリティ. 済に比して短期金利がより変動する．従って，同質的経済モデルから得られる境界をもとに短. 市場均衡における短期金利は，. 期金利のヴォラティリティをテストするとすれ r(t) 二 HM(z). (l 一 y)0i7. ば，理論がインプライするヴォラティリティのナ Ⅰ︶. ︵り士︵Ⅰ. 一一. れ円. 11. ︶ Ⅰt Ⅰ. T. aげ. M O y. 十. となる・. 一. (26). 苅節の結果より明らかに短期金利の水. 境界を超えることがあっても，それはホライゾンが多様であることによるもので，原因を市場の非効率性に求めることはできない可能性がある．この意味で我々の得た結論は同質的経済を.

(9) 投資ホライゾンが多様な経済の均衡リスクブライス. (森田. (221)@73. @半 ) ・. 適投資比率は，. 1. @o4. 1. oo3. 1一. [. Do2. + 国老珪 2 一 """'. 1. 0o1. *りく"""". 。．. %S* ( )二芸七" (T ニご亡 Ⅰ. '. 相対的危険回避度が 1 のときは，安全資産にとなり，フィナンシャ. 0. ルアセットの取引は市場均衡において 0. 999. い．経済の相対的危険回避度がつ. @. 一. Ⅰ. ・つ壷つつ. @ィ卜@. i@ Ⅰ. 一. Ⅰ・. Ⅰ. つ. ・Ⅰ. n ィ@@ 申@. "@ Ⅰ. 申. 寸. Ⅰ. ・Ⅰ. ・Ⅰ. 五期ホライノンの. 図2. 'ィィ"@ し' ィ"@ Ⅰ. ぐ. つ. @@. @@@. つ. い・. 由. ト. ・つ. "@. ィ. "" 。. @f Ⅰ. 数は対数型となり，. "-. つ. ・Ⅰ. 投寅ヌのシェア. 仮定した短期金利のヴォラティリティテストを行う場合に注意が必要であることを警告してい. ラティリティは煩雑な計. 算の結果から，危険回避度が. 1. のとき効用関. たとえ投資ホライゾシが長. 的となり，あたかも myopic であるかのように投資を行なうのが最適となる．このため，経済は実質的に同質的経済となって市場均衡において取引が発生しない．他の場合には長期ホラ. る．ヴォ. 1. 発生しな. 期でも投資機会集合の変動のリスクに対し中立. ㏄・. 短期金利のヴォラティリティ. また短期金利の. (30). となっている．対する最適投資比率は. 0． gg8. ). Ⅰ. 未満のときには. イ. 、ハノの投資家は投資. 機会集合の変動に対し中立的ではないため，投資ホライゾンの多様性が原因となって資産の取. りが 0 5 より高い水準，危険回避度が 1 より大. 引が市場均衡において発生する・. きいときには 0.5 より低い水準において. 短期金利のヴォラティリティを同質的経済にお. ケースでは，実物資産のリターンが予想覚に低いときには続く期間の期待成長率は低下し予想覚に高いリターンのときには上昇する．相対. けるそれとの相対上ヒ率で表したものが図. 的危険回避度が. ・. 極値を. とることが得られる．図 1 と同じパラメータで 2. であ. より大きい長期ホライゾンの. 投資家はこのタイプの投資機会集合の変動を回避しようとする選好をもっため，任意の時点に. る．. 4.5. 1. り" ノ0 の. 安全資産の最適ポジション. おいて安全資産に関しロングポジ、ンコンをとる. 市場均衡における長期ホライゾンの投資家の. ことが最適となる．危険回避度が 1 より小さい. 最適投資計画を安全資産の最適投資上ヒ率で表す. ときには，逆に常に、ンコートポジ、ンコンをとる. と次のようになる．. のが最適となる・. 命題 4. 叩 " く 0 のケースでは上記の. 市場均衡における長期ホライゾンの. ケースと丁度符号が反対となる．このように投資家の最適ポジションはリスク. 投資家の安全資産の最適投資比率は. ファクターりの変化に応じて変化こそすれ，. 次のように与えられる．. ロングからショートヘ，. あるいはショートから. ロングへと大幅には変化しない，この経済では， l一. Wf*(め二一上生生. T 一り. (1一り (2)). l 一y り ( ). Cl 仮. サ. (29) (証明 ). Appendix. をみ. よ. 将来の予想，相対的危険回避度が投資家間で均一であり，投資機会変動のリスクに対してのみリスク選好が異なる，この唯一異なる投資家の属性は，経済が存続する間変化しないため、ジシ，ンが途中時点で逆転することはな. 因みに短期ホライゾンの投資家の安全資産の最. ，ポい．. 安全資産の最適投資上率の比較静学の結果はヒ.

(10) 74@ (222). 横浜経営研究. 第㎜巻. 第3 号. (1997). 次のとおりである. all 一切 at /*(z)l O ify ify 8l1 一品 * )@ 0 く一. ん. ノ. け. 8 l1一秒 i* (t)l O行. 三0. (31 一 a). く 0 (31 一 b). ify 三 0 (32 一 a). 一コO. ify く 0 (32一 b). a ll一秒 Z,*(f)l. (33). く0. 3v. 主用ホライブンの. 図3. 投寅條のシェア. 安全寅産の最適役黄比率. (31 一 a) および (32 一 a) において等式. 但し. は相対的危険回避度が 1 のときにのみ成立するいずれの投資家とも他の状態変数に変化がな. 済に近くなるため，フィナンシャルアセットで. り限り，時間の経過に伴って安全資産の投資比率を徐々に小さく，すなわち実物資産への投資. る安全資産の最適投資額は少ない．そして究極のケースであるりⅠ 1 のときには，経済は同質的となるため最適投資額はやはり自動的に 0. 比率を. となる．従って相対的危険回避度が 1 でない限. 1. へと近づける性質を持つ．Ⅱに関して. あ. も絶対水準が単調に変化する性質をもっている. り，安全資産の最適投資額はりに関して単調. 相対的危険回避度が 1 より小さいとき，運用資. な変化を示さないのであ. 産めシェアが高まるにつれ安全資産に対する投. 、ジション額の行に関する 2 階の偏微係数は次. 資比率が低くなるが，一方相対的危険回避度が. のとおりとなっている．. 1 よ. り大きいとき，逆に安全資産に対する投資. a'( り wM(l. 比率が高くなる．相対的危険回避度に関しても. る．安全資産の最適ポ. 一越伍")). 三0. lf y 三 0. OⅡ 2. 同じく単調であり，危険回避度が高まるにつれ. (34 一 a). て安全資産の投資上ヒ率がシ，一トからロングへ. と単調に変化していく・. 図. 3. は図 1, 図. 2. と同. じ数値側で長期ホライゾンの安全資産の投資上ヒ率を運用額のシェアとの関係で示したものであ. (34 一 b) (34 一 a) における等式は相対的危険回避. る．. 伸- し. 最適投資額の比較静学については，りに関する性質を除いて最適投資比率と同じ結果となる・りに関しては，最適投資比率とは違って安全資産の最適投資額の絶対水準は単調に変化しない・りの値が低いときには，安全資産に対する投資上率の絶対水準が高くとも，運用額が少. 度が 1 のときのみ成立する．短期金利のヴォラティリティと同様に煩雑な計算により，最適投資額が極値をとるりの水. ないためポジション額は小さく，究極のケース. れる．長期ホライゾンの投資家の安全資産に対. としてり二 0 のときには，運用額が 0 であるた. する最適投資額の絶対水準は，フィナンシャル. め最適投資額は. アセットの発行高. ヒ. 自動的に. 0. となるからである．. またりの値が高いときには経済は同質的な経. 準は経済の相対的危険回避. 度が. 1. 未満のときに. は 0 5 より高い水準，危険回避度が 1 より大き・. いときには 0.5. よ. り低い水準となることが得ら. とみてとることができる．投. 資家の属性が多様な経済において最も取引が盛.

(11) 投資ホライゾンが多様な経済の均衡リスクプライス. (森田. ライゾ、ノ 02. 0. 15. 洋). く. 223) 75. つのみという特殊なものとなって. いる点である．実際のマーケットでは当然だが 0.. l. 中間的なホ. ラ. イゾンを持っ投資家が多数存在す. る．このょうな投資家を導入することに 0. 05. ". ヰト。度 '. よ. り. 得. られる結果が大きく変化するかどうかは調べる必要があるであろう．だがより重要な問題とし. ては，各投資家が各自の保有資産を各自の目的関数にそって運用するというタイプではなく. 0. 05. ，. 一方がもう一方の資産の一部の運用を担うとぃラタイプの経済を扱っている点であろう．この. -0. @. 図4. ような仮定を支持する具体的な経済スト一リー. 安全黄塵の最適投資額. は必然的に短期の投資家が個人で長期の投資家. である機関投資家に資産の一部の運用を委託すんになるのは最も属，性のバラツキが大きくなっ. るというものとなってしまう. たときではないか，. という直感が働く・運用額. 投資家が個人よりもホライゾンが短いケースに. のシェアをウェイトとした投資ホライゾンの分. は残俳ながら適用できない．これらの点は今後. 散が最大となるのはり二 0 5 のときであ. 一般化という形でクリアしていくべき課題であ. ・. る・. よ. って，この直感に従えばりの値が0.5 であるときに安全資産の取引が最大となることが推測される．だが，ここで得られた結論はその直感に反し安全資産の発行額は運用資産のシェアが若干偏った状況で最大となる．図 4 は WMM(f)=¥ としたときの長期ホライゾンの投資家の安全資産の最適ポジションを図. ，. このため，機関. る. 以上のような課題を残しつつも，最適投資比率に関する比較静学など従来の同質. 自り. 経済にお. ける理論的枠組みの延長として推測され得た結果のみならず，直感からは推測できなかった結果も得ることができた．. 第 1 に投資機会の変動. に対するリスクプライスのインプライする. 経済. 示したものである．但し他のパラメータに関し. の投資ホライゾンは，相対的危険回避度が 1 で. ては図 1, 図 2, 図 3 と同一である・先に説明したとおり，安全資産の最適投資額を表す曲線. ない限り，各投資家のホライ、ハノの平均水準と. は両端において高さが. ィは投資機会の変動のタイプ，経済のリスク回. 0. となる山型あるいは谷. 型の曲線となっている．. 避度がいかなるものであれ，同質的経済における. 5. 結論本論文では投資ホラ. はならない．第 2 に短期金利のヴォラティリテ. 短期金利のヴォラティリティより必ず大きく. なる．これは同質的経済を仮定した短期金利の. イゾンが最も短い. ヴォラティリティテストに対するひとっの警告. な投資家とその投資家の一部の資産を. という意味を持っ．第 3 にフィナンシャルァセ. 合理りに運用する長期ホライゾンの投資家で構. ットの発行高は，ホライゾンの分散が最も大き. 成される経済を対象とし. いとき，すなわち経済が最も heterogeneous. myopic 曲. 実物資産の確率過程. な. に最も単純なものを仮定して資産市場の一般均. 状況であるり二 0 ． 5 のときに最大となるであろ. 衡の，性質を調べた．. うという直感に反し投資家間で運用資産が若干偏在している状況で最大となるという結論も. このモデルの枠組みにはひくつかの問題点が. 存在する．ひとっは我々の考察対象とした. ホラ. イゾンの構成が，最長のホライゾンと最短のホ. 得られたのである.

(12) 76 (224). 横浜経営研究. 第㎜巻. 第. 3. St. E. ノ n は Ⅰ れロノ m/. Ⅰ. か. 408. Lehoczky. ・. @Ⅰ @. 3) この条件は投資家の実物資産の投資額が以下となるための条件であ. 非負か. る・. 4) 情報構造がウィーナ一過程で与えられる経済においては，各投資家の資産の標本経路は連続となる．よって投資家の運用資産のシェアが 0 となる前に負の値をとる確率は 0 である，すなわち，安全資産のポジションがシ " 一トポジショ. ，， and@E. and@ Uniqueness@. S、. 、. of@Multi. Shreve ・. ．，. 1990. Agent@Equili. ，・. brium@ in@a@ Stochastic@ Dynamic@ Consumption/@In vestment Model," 14azAem 伽 ics o/ Q 化用打 0% R 作 5% ば A, 15(1),80 円 28. Me,ton, R. C., 1971, "Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model," Jo ぴ川㎡ oダ Econo 坤た T 尼 or 弘 3, 373 円 13. ノ. Appendix.. 定理，命題1. 及び命題. ンの投資家が破産する確率は 0 である．従って (6) の不等式が成立する．. 5) 相対自危険回避度が正であるため次の不等式が. 3. 命題 2,. ,. の証明. 長期ホライゾンの投資家の value function の関数. り. 成立する．. 形を l 一 y り二り一 y リ二日 l 一 y. 恒. 0. 。/(W,, M,り，パニ W," - y exp(F ゆ核用ソ ). 6) 脚注 5) で示したとおり，不等式 l 一 y り二㎡ 1. 恒. Markets," 一. Fi. ・. ダ. 20 ， 381. そてひ. ・. "Existence@. ど wち R. ， I，. ひ， J P. "Martingalesand. ， 1979 ，. ・. ・. とすることには問題がある．. 一y. D Kreps. Securities. ic Thco. Karatzas. t. 竣 om. rke. ， and. l88. ・. M. M. Multiperiod. 、. ，. [ 一 a7 亡 5 pl. Harrison. Ca (， 2). e2 h. ぅ主. 1) 例えば Dumas (1989) で行われている 2) ここでは運用資産額が実質表現のものか名目表現のものかはとくに仮定しない．だが，後に明らかになるとおり，短期金利の水準が負になる可能性を否定できない．その意味では名目表現. つ wM. 号 (1997). 0 が成立するので次を得る．. 一二. げ. と. 推測してみよう. (17) は次のような形. このとき. に変形できる． 0 く一. 十. 一. 一. Ⅱ. 一辺り. (l l y) y りり一一 l yy 一Ⅱ一一. 一. り. 一. l. 0=十 F, l AM (1. 7) これは，次の等式より明らかである. Dの. M)@ (y l) 一. 千. (F22+ヰ "Ⅲ M)OM2. りり. け. 8) この経済において投資家の集計が可能であるか，つまり (20) の確率過程から定義される確率的に変動するホライゾン可 t) (T 一 t) をもつ代表. 1. "1. 十ヰり仰辺り M. 的投資家が存在するか盃かは，残俳ながらわかっていない．. ・. 参考文献. (耳 2 十円 ")<7", 千花鋳磁ゆ M. 十千 (E 。F. Constantinides ， G M ，， 1982 ， "Intertemporal@ Asset Pri i g@ with@ Heterogeneous@ Consumer@ and@ with. 1. 十号品庵中丁Ⅰ. Ⅱ. 仰十. E ソ " o Mの M りげ. (A. 一 l). が. ・. out. Demand. Aggregation,". ・. ノ0 ばけ[㎡ o/ B 掛肋 ess, 55. またべルマン方程式における w,, に関する 1 階の条ィ牛. より，. (2), 253 一267. CoX, J. C., J. E. Ingersoll, Jr., and S. A. Ross., 1985, "An@ Intertempor8@ Gener@@ Equli ri m@ ModC@ of Asset@Prices. ， "@ Econometric@@53. "A@ Theory@. of@ the@ Term@ Structure@ of@ Interest. Rates,". 仰ぬァた仏53, 385 一407. D ，， and@ C ， Huang ， 1985 ， "Implementing@ Ar row ， Debreu@ Equilibria@ by@ Continuous@ Trading@ of. Duffie ， Few@. ・. Long-Lived@. Securities. ， "@ Econometricu. ，. 1337-1356. Dumas. ， B ，， 1989 ， "Two. ， Person@. 仙. 一. U)o け M. 博士ヰ M 田り十品巧 l (A 一 2). ， 363-384.. CoX, J. C., J. E. IngersoIl, Jr,,and S. A. Ross., ]985, Econ0. 磁 Ⅰ三一. Dynamic@. Equilibrium. 53,. を得る・これとホライゾンが長短，双方の投資家の. (A 一 2), (10) を需給一致の条件. 最適投資比率. (12) に代入し整理することによって， 9. 二一. (y. 一. T し M 一日ヰ M 布 "。十円鋤 ) (A. 一 3). を得る．従って各投資家の実物資産の最適投資比率.

(13) 投資ホライゾンが多様な経済の均衡リスクブライス. を得る． (A 一 9),. が次のようになる辺 Ⅰ，二. 1. (1一り ) @F,"" 月け " 十円山 (y 一 l)oM. く. (A 一 10) を (A. 一 6). 225. Ⅰ. 77. に代入し整. l. (A 一 4) 珂ガ= 1 十. 洋). 理すると，偏微分方程式は次の形に帰着する. l. 一. (森田. 0. 二. l2F,十 2 ℡ M 十 y(y 一 l)oM2@ t(y一 l) +ト. 仙一 1)ひ材行 (F A。 o れ。十 R@。0 。 ). (1-- ) り耳 }2 2y(y--1) り. のⅡ. 日ト. Mo Ⅱ ヰ M. @(y--1). は. (A. + は一り ) り与 l+(y 一 l) @y は一り )2. 一 5). (A 一 4) および (A 一 5) を (A 一 l) に代人すること. 十 (y 一 l)@0 げル。2 ヰ M2 千 Ⅱy 一 l) 十 (1一打 ) り柱 tz. により， 0. 二. (y 一 l)(2E, 十 2yWM 十 y(y 一 l)o W2). ・. --2(y--l)(1-) a Ⅱ，リア与 ME. nげ M. り. り. Ⅱ且. M. 」. 十 (1一り )2り 2opM2F M2RW 十 2y(l 一り ) り 0 d0 ，ルげ. 十 2y(y 一 l)(ヰ Mo げ材十円 0") ひ M 十，一 y(l 一り )2. け. M. i(y一 l)+ (1一りⅠり FⅠ KりヰM 十 (y 一 l t( ヰ Mo が M 牛耳 q )2千 (y 一 U Ⅰ. + Z (y 一 1)(1 一 r7) "0 A7 A M 2tp」 2 ⅠⅠ. ・. げ. ・. (Opツ花 M 九十 20牡鋤 E 巾M 十 R呵O 2) り. これと境界条件. + 2(7 一 1)R" 均. (A 一 6). (18 一 a),. (19) となる命題 1 ほついては，定理よ. となる・ところで円，鋳は伊藤の補題より，. F げ =y(T. メ Ⅱ (バ. -h読了 (dr が，がⅥ-}+w, はゆが而) )(vo 肋鮎ゆ 0Ⅰ下元方]. 。. 十 [下手宙. メ古. 一. ニ一 y. l. 一 7). (A 一. 10) に各々代人することで. (20) を得ることができ (A 一 13) を (A 一. に命題 4 についても， (A 一 4). に (A 一 12),. (A 一. 13) を代人して (20) を利用することによって得られる. (1--. り. ) り (住 MO Ⅱ@@M+ ト fW㍉ O 。 ). ( もりた. (A. 一 8). ㎡ 1 一の F 腕 (7円M か一 1) 十り (1一り )E. り. 7(1一 % F MO M. 「. 円二. (A 一 g),. これを. 3) に代入し (20) を利用することで得られる．更 (A. これを整理すると n = 一. (A 一 13). を得ることができるので，. 命題 2 については， (A 一 l2),. であるから，次のように表すことができる. の". (A 一 12). る，. 0/下手ラ ) みZ(t) 1. 一パ. り. (W ぬ，伍ゆ。ダ w,)+wr. (v,o 肱油ノ. り. R。ニ一上 -. 1. 十 (㏄肱鮎り / れⅠ. (18 一 b) の下での解が. 廿. げ. か一 1)十り (1一リ )Eq (y 一 l) り E Mo げ. げ. M. か一 1) 十り (1一り )E. (A一 l0) り. ひろし. 横浜国立大学経営学部助教授. コ.

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