非対称弾性支持した非対称回転軸の振動に関する研究 : 支持部外部減衰の影響について

　 M 蠶Mom30F

　

SAGAMl INeTtTUTE 　OF 　TECHNOLOGy 　 　Vo1

．

　eOJ　No

．

1

，

ユ986

非 対

称 弾 性

支 持

し た

_{非 対 称 回 転}

_軸

の

振 動

に

関

す

る

研 究

支 持 部

外 部減 衰

の

_{影 響}

に つ い て

近 藤 泰 郎

＊ ・

木 村 広 幸

＊ ＊

Study

　on 　

the

　

Vibrations

　

of

　an 　

Asymmetric

　

Rotating

　

Shaft

　　　　

Supported

　

by

　

Asymmetrically

　

Elastic

　

Pedesta

_正s

一

_〇nthe 　

Effects

　of　

External

　

Damping

　

Mounted

　at

　　　　　　　 the

　

SupPorting

　

Parts

一

Yasuo

　

KoNDo

　and 　

Hiroyuki

　

KIMuRA

　 　To　make 　clear 　the　dynamic 　characteristics 　of　a　rQtating 　shaft 　 exact1y _，　 we 　should 　 take　into　con

−

sideration 　both　the　elastic 　asymmetry 　of　a　shaft 　and 　the　elasticity _，　especially 　the　asymmetric 　elasticity of　supports

．

　 　To　give　an　elastic 　rotating 　shaft 　system 　genera 直ity

，

　the　authors 　have　been　considering 　an 　idealized

model

，

　

in

　which 　a　

d

玉sk　

is

　mounted 　at　the　center 　of　a 日at　shaft 　with 　different　bending 　rigidities 　

in

　two

mutually 　vertical 　

directions

　corresponding 　to　the　principal　axes 　of　

inertia

　of　the　section

，

　

Each

　of　the

supporting 　parts　of　both　ends 　is　supported 　by　springs 　in　both　directions　vertical 　and 　horizontal

．

　 Masses

are concentrated 　on　the　central 

disk

_partand 　supporting 　parts　of　both　end

，

　as　a　concentrated 　mass system

．

　 　

In

　previous　reports

，

　the　authors 　analyzed

，

　

by

　using 　asymptotic 　method

，

　the　unstable 　regions 　in　the

free

　vibrations 　and 　 forced　vibrations 　of　 the　system _，　 and 　 still　more 　pointed　out　the　existence 　of　the

subharmonic 　「esonances

’

　 　1n　this　report

，

　the　effects　of　the　external 　damping 　mounted 　at　the　supporting 　parts　were 　theoretl

−

cally 　and 　experimentally 　studied

．

_As　the　results 　of　the　analyses

_，

　it　was 　confirmed 　that　

giving

　the　external

damping

　to　supporting 　parts　was 　very 　effective 　to　control 　the　resonances

，

　especially 　the　subharmonic resOnances

．

1

．

　ま え が き 　弾 性回転 軸の 危 険 速 度 領 域にお ける動 特性を明ら かに するこ と は

，

機 械工学 分 野で の重 要な研 究課題の

一

つ で あ る。 著 者 等 は

，

弾 性 回 転 軸 系 に

一

般 性 を 与 えるため に

，

軸 断 面の 慣 性 主 軸に相 当 する直 角な 2方向に お いて 異な っ た曲げ剛 性 を 有 する偏 平 軸の 中 央に 円 板 を 付 けた

Jefcott

　P

一

タを質量 を 有 す る 両 端 支 持 部に取 り付 け

，

これ を直角な2 方向に 非 対 称 ばね支 持 する理想 化 し た モ ＊ 機 械工 学 科 　 助教 授　＊ ＊ 同　助 手 　1980 年 10 月 11 口受理 デル を考 慮 して来て い る

。

こ こ で_質量 は中央 円板 部と 両 端支 持部に集中 する

，

4 自由 度を持つ _{集中 質 量 回 転 軸 系} とし て 考 える。 こ の非 対 称 弾 性 支 持 した非 対 称回転 軸の 振 動は

，

工 学の分野に おける典型 的 な係数励振 系の 例で ある と 言え る

．

こ の_系の_{安 定}性に _関する問題は

，

相 当 詳 し く研 究さ れて来て い るHO ） 。 　前 報まで4

・

5

・

lo）_{に おい て 著 者 等は}

_，

_{非線型振 動論 の 近} 似 的解法で ある漸 近法tD を用い て

，

こ の_系の _{自由振 動}に お け る安 定性お よ び強制 振 動につ い て解析し

，

更に分数 調 波 共 振の存 在に つ い て指 摘し た 。 　本研 究で は 主に ， 前報で述べ た分数調 波 共 振の存 在に

NII-Electronic Library Service 相 模工業 大 学 紀 要 　 第

20

巻 　 第

1

号 つ い て更に詳 しく実 験 を 行 なっ た。 実 験の結 果， こ の分 数調波共振は

，

支 持 ば ね 等の非 線 型 性に よ る もので はな く

，

軸剛 性の非 対 称 性に起因するもの であるこ とが 確 認 出来た。 ま た この系の安定 化に は， 外部減衰

，

支 持 部 剛 性 等が相 互に関 係 するこ とは前報まで に 既に述べ _た 。 油 中に こ の系 全 体 を 入 れるな ど

，

外部減衰を こ の系に与え る こ と は実験 的セこは可能である がJ そ れ 等は実 際 的では ない 。 そこで著 者 等は

，

支 持部に外部減 衰を与えるこ と に よっ て， こ の系 を安定 化 出 来 ない か と 考 え た

．

その結 果

，

支 持部外部 減衰を加え るこ とが， 特に 分数調 波 共 振 を除去するの に は非常に有 効で あること が確 認出来たの で報 告 する

．

2．

_理

_論

_的

_考

_察

2．

_{L 　記　号} 　 　

0 一

ξηS：_{回転 座 標 系 （円板 部）} 　

0 一

ξo ηoS。：回転座 標系 （支持 部） 　 　 O

−

xyz ： _{固 定 座 標 系 （円板部 ）} 　

O −

x。V。z。： 固定座標 系 （支持 部） 　 　 　 　M ： _{円 板 部 質 量} 　 　 　 　m ； 支 持 部 質量 　 　 　 　

1

：軸ス パ ソ 　 　 　 　

d

：軸 径 　 　 　 　 α：軸 切 断 角 度 　 　 　 　

A

：_軸断 面積 　 　 　 　 C： _円板 部 外 部 粘 性減 衰 係 数 　 　 　 　C。： 支 持 部 外 部 粘 性 減 衰 係数 　 　 　 　 C_，：_付加支 持 部 外部粘性減 衰 係数 　 　 　 　

k

、：非 対 称 軸の弱 方 向 曲げ剛 性 　 　 　 　

k2

：非 対 称軸の強 方 向曲 げ剛性 　 　 　 　

K

、：支 持 部垂直方向 剛 性 　 　 　 　

K

，：支 持部 水 平 方向剛 性 　 　 　 　 ε ： 偏心_量 　 　 　 　 β：不 釣 合 角 度 　 　 　 　

C

：軸 静撓み 　 　 　 　 δ：

＝

C／M _{， 円}板 部外 部 減_衰 　 　 　 　 δo：

＝

Co1M _{， 支 持 部 外 部 減 衰} 　 　 　 　 δ，：

＝

c，

1M

， 付 加 支 持 部 外 部 減 衰 　 　 　 ω 12： ＝

klfM

　 　 　 ω22：

＝

　k2！M 　 　 　 ω

。

2： ＝

KifM

　　　

ω μ 2 ：

＝

・

K2 ！M 洗　3。 」 η　 9z

　

一

2 2 些 K2

一

C η 隅

一

2 CD

一

₂ CO M

_o

ξ。 π Co　κ

亀

_CO 2　 ηb 丶 丶 _＿

．

陶

一

一

一

一



一

一 一

 κ

_一

匸

c 　 η

’

2 κ0 塩 π _ω εξ 図

1

系のモ デル 図 　 　 　 　 　

gz

： ＝ （ω⊥ 2 ＋ω 22）！

2

　 　 　 K，

fK

⊥： 支 持部 剛 性 比 　 　 　

P

：

＝

（ω22

一

ω 、2y （ω22 ＋ω 、2）， 軸 非 対称度 　 　 　 　 　

x

： x 方 向 振 幅 　 　 　 y ：y 方_向振 幅 　 　 　 　

Xo

：Xe 方 向 振 幅

　　　　　

y』：

y

_。 方_向振_幅 　 　 　 　 　

Oi

：固 有 振 動 数 （

1

：

1，

　

II，

　

III，

　

IV

_） 　 　 　 　 　ω ： 軸_回転角 速 度 _（

一

定_） 　

2．

2．

支持 部 外 部 減衰の変 化に よ る 影響 　ス パ ン

J

の 非 対 称 弾 性軸が 弾 性軸 受台 で支持され， 中央に質 量

M

なる円板が取 り付 けられて い る系の自由 振 動

，

強 制 振動の理論 的 解 析は前 報ま でに_述べ た

．

こ の 理論 解 析の 結 果 を 用い て

，

特に_支持 部 外 部 減 衰の影響に つ い て

，

数値 計 算を行なっ た結 果が 図 2 の （a｝

〜

（

h

）で あ る。 　こ こで， ス パ ン

1＝

605

．

4mm ， 円板 部質量 M

＝

5

．

850 kg

，

軸 径

d

＝ ＝20　mm

，

_支持 部質量 m ＝ 1

。

432　

kg ，

軸 静 撓 み

C

＝

O

．

1657　rnm _{， 不 釣 合 角 度 β}

＝

45° ， 軸 非 対 称 度

P

＝

0．

1023

（α＝

30

°_{） と}して 計算して ある

．

実 験 結果 と 比較す るた めに， 支 持 部 剛 性 Kt

＝

1　

．

465×　10s　kN ！m ，

K2

　＝ ・

O ．

　

1619

×　

103

　

kNfm ，

_{円 板部 と支 持部}の 内 部 減衰λ＝ A。＝ 0

，

円板 部と支 持 部の外 部 減 衰 δ＝ δ。＝ 6（1！s）とし

，

付加 支 持 部 外 部減衰の_値を δ，

＝0〜

24（11s） ま で 6 刻み で変化させ た場合の相対振 幅曲線を 求め た

．

外 部 減衰 値 δ＝δ。＝ ＝6（11s）は_， こ の系 に 特に外 部から減衰 を 与 え な い状態で の_値で あ り

，

この 時 の 減衰は 主 として 空 気 抵 抗

，

支 持 部ベ ア リソ _グ等の減 衰に よるもの で ある

．

　 図 2 の _（a_）

〜

（

d

）は

，

主共 振 点

9

、

〜9

、v 近 傍に対する 相対振幅曲線を 示し てい る

．

（a）は 支 持 部 剛 性 の 弱い方 向， 即ち水 平方向に対して得られ， 与えられた条 件に お

一

　2　

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

非 対 称弾 性 支 持 した非 対称 回 転軸の _振動に 関 する研 究 （近 藤泰郎 ・_木村 広 幸 ） 2832 　 24

莞

2。 げ16 ） 　 12 　 8 　 4 　   　 　 go κノκ，

＝

0

．

110 δ

＝

δ』

＝

6（1〆S） β

＝

45G

一

｝

暫

一

凾

■

円板_{支 持 部}部 《

＝

0 傷

≡

6 魂

≡

12

’

厂

　　

、

　

　、

「

δ』

＝

18 δ_〜

＝

24

’

’

’

‘

一

　

一

一

　　

一

一

−

曹

−

　

_{「1 曹}

き

書

　 　

π

叮 　　 　　 　 　 」

，

．

一

，

…　

’

‘

≡≡

：

二

一

’

，

曜

一

，

冑

．

160140 　 120

亀

100 ミ 80 岡₆₀ 　 　40 　 　20 り ＼

。

』

．

吋 ト

宀

丶

詩

．

ミ 100110 　　　　120　　　　130 　 　 　 ω （1／s） 　 　 （a）e

，

近傍 14e　　 　150 190190200 　　　　210　　　　220 　 　 　 ω （1／s） 　 　 （b｝2t］近f芳 230　　 　240 ［ 440　　　45（レ　　　　460　　　　470　　　　480 　　　　490　　　50 ：＝ 二：：：：鉦＝ ：

…一

一…一

一

・

ω

ほ／s）

一

一

一

… 曹

一

一

一

「

一

，

「

弓F−一

一

一

，

1−1

一

一

1「

一

一

■

一

雫甲

9一

_「一

_一

_一

_一

_1−，

_r一冒

_凾

_一

_F■

_一

_＿

_一

_＿

_r−一

_，

_一

_一

_一

_一

_一

一

一

一

　　　　　　　 　　　　　1

「

1

　1、

　

　、

　

　

　、

　

　

　

　

覧

　

　

　

_、ヤ

　

　置

一

置

　

’

　

　

　

　

F−F

　

_“

　

_曽

，

r「

F

　20 　10 　 　0

−

10

−

20 　30

−

40 　

．

50 　20 　10

1マ

　1

　

　

驢

　

_、「

_一

_「

_一

_■

1

　

　

　 　

−一

　

　

置

　

　

’

」

　

　r

−r

　’

　F

曽

r

一

60 （c）島。近 傍   ω

广

1s 800　　　810　　　　　820　　　　　830　　　　　840　　　　　850　　　860

一

10

_一

一

一

■

1曽

一

一

一

一

雪

一

一

一

一

，1−一

冒

一

一

一

雪

一，

．

一

「

一

一

一

，

一一

〒

一

一

一

甲

一

一

■

’

一

曜

一

20

　

　

　

　一

一

・

■

魎

一

一

一

一

一

曹

鬯

一

一

凾一

一

一

．

．

¶

「

一

π，

一

一

卩

π

『

　

　

　一

」

「

一．

，

．

一

一

一

‘

一

一

一

　「

1

　

　「

一

　

　

　

　

「

「

＿

「

、

　、

　

　

、

　

　

　

、

　

　

　、

一

＿

需

曽

r一

，



　









_’





　

_’

_’



　



　’

_’

　F

「

’

一

₃₀

−

40

−

₅₀

−

60

、

　

　



_’

　

　’



　’

_’

’

’

、

_、

　、

　

　、

　

　

　、

　 　 　 　

、

、

　

　

’

　’

_’

’

〔d）露v近傍 000 876w50

葺

　40t ｛ ＞S321 0 　 　

　

000o

　’

_ノ

〆

曜

　

　

’

　

_！

　





　





　一

_，

’

r

　



　

　

_■

虚

一



　

　

　

，

　、

　



　

マ

　

、

_、

　、

　

　

　

　

　

　

　

、

　

、

0

　一

’

…≡：：＝：二：

一

■

−−■

一

一

一

・

＿

こ：

−r

… こ：ミ

驢

胃

＿

一

　 　　

，

至

二

：

： 雌 三≡ ：

；

；

“

一

≡ o

一

こ

孺

鞫眉

■

0

」

．

・

矗

閥冨

扈

＝

尊

詬三

5鞴靈i薹 220 　160 　140 　120 毟100tc 　₈₀ 硬 網 　60 　 40 　 20 230240 　　　 　250　　 　　260 　 　 　ω _〔1／s） 　 　 （e）2n，近 傍 270280 390 40200 り　

一

20 ≧ げ

一

40 ☆

−

60 　

−

80

−

10 

一

_12e20 400　　　　410　　　　420 　　　　430 　 　 　 　ω （1／s） 　　 　 　　 　lf｝29

，

近傍 440450 890　　　900　　　　　910　　　　　92D　　　　　930　　　　940　　　95 　 　 　 ト

＿一

一

一

一

＿ 一

＿一

一

＿ ．

．

一

一

一

_二

ω

〔1／s）

一

一

＿一．

＿．

．

_’

一

_一

一

…・

_一

一

一

…一

一

一

一

一

一

一

■

一

一

■

T　

層

一

　

一

　一

曹

一

「

一

一

一

＿

‘

，

一

一

一

曹

一

一

・

曽

，

一

一

」

i

，

醒

丶丶一

一

．

　

　

　曜

一

一

　’

　

’

　

　r

　

　

’

　尸

‘

P

−一

一

_1■一

_，

_，

_一

_一

_，

_＿

_一

_｝

_一



_一

_．

_一

_，

_．

_一

一

曜

F

．

−

20 り　

一

一

40 、 　

−

60 げ 論

＿

so 　

−

100 　

一

ユ20 　

−

140 （9）　2畠【■i丘傍 00 　工640 1　 　 ω 1650　　　　1660　　　　1670 　　　　1680 　　　　1690 　170〔騨 　　　　　　1／s ｝ 0 　 　

　

011

，

一

一

凾

」

　

−11

−11  一

＿

1r1

■

冒

層

冒

r■

一

一

■

一

，

一

■

＿

，

■

一

，

一

一

魑

一

曹

一

｝

一

，

　

一

一

1

一

冒

曹

曽

■

，

−−曹

一

一

’

・

冒

−−一

魎

一

一

一

一

1r一「

・

一

．

　

一

一

一

層

卩

凾

一一

一

一

一

1−一

＿

0

_．

．

臨

_、





_「

_噛





_噛

　

　

　1

一

一

曽

魎

，

一

，

一一

■

一

慴

一

一

一

櫓

層，

一

一

，

9胃

瞬

一

一層

冒

ρ

驛

響

一

一

冒

「

一

「

　

　

マ

「

匿

　

　

　

　

魎

1「■

一

■

，

1＿

，

一

0 　 　 0 　 　 0 　 　 0

、

_蒐

　

、

　冒

一

凾

■

−1一一

r　

甲

一

膚

一

’

一

、

_、

　

、

　 

’

（卜）2_織 近 傍 図

2

支 持 部 外 部 減衰 の変 化に よ る振 幅 曲 線

NII-Electronic Library Service 相 模工 業 大 学 紀 要 　 第 20 巻 　 第

1

号 い て は

，

不安 定領 域は出 現しない 。 付加支 持 部 外部減衰 の 増 加に伴 っ て相 対 振 幅は減 少 する。 （b）は 支 持部剛 性 の _強い方向

，

即ち垂直方向に対 するもの で あ り不安 定 領 域が存在 する

．

し か し

，

付加 支 持 部外部減衰の_増加 につ れて

，

その _領域 は縮 小する。 （c）

，

（

d

）は

，9m ，9

［v に 対 す る ものであ り， モ

ー

ド的に は ， 円 板 部と支 持部が逆 位相の関係にな る。 ま た支 持 部 振 幅 が 増 加し

，

円板 部 振 幅よ り も大 とな る。 これ らの場 合に対 しても， 付加支 持 部 外 部 減 衰の増加に よ り振 幅がか な り減 少 する

．

　図

2

の （e）

〜

（

h

）は

，

分 数 調 波 共 振 点

29

、

〜29

、v 近傍 に お け る相 対 振 幅 曲線である。 これ らの分数 調 波共振点 近 傍に おい ては

，

前 報で述べ た如 く不 安 定 領 域は存 在 し ないが

，

その振 幅 増 加は無 視 出 来 ない程 大で ある。 付 加 支 持 部 外部 減衰 δ、の増加に対 し て

，

主 共振 点近傍同様

，

振 幅は減 少する。 特に 2ρm

，

2P、▽ 近傍の 支 持部 振 幅に 対し て顕著である。 　以 上の 数値計算結 果よ り

，

付 加支持 部 外 部 減衰を 増 加 さ せ るこ とに より

，

各 共 振振幅又 は不安定 領域を縮 小さ せ るこ とは可能で あるこ とが予 測 出 来る。

3．

実 験 装 置お よ び実 験 方 法 　

3．

1．

実 験 装 置 　図 3に 実験 装 置の大 略を示 す。 試験 軸の 中 央に 円板を 取 り付 け

，

両 端は軸 受ケ

ー

ス に入 れ た複 列 自動 調心 玉軸 受 を 通 して 引 張ぽねに よっ て垂 直

，

水 平

2

方 向へ 支 持 台 に 固 定す るQ 共振 時の振 幅 増 大を防 ぐため に

，

内 径 25 φ の 玉 軸 受で作 製 し たガ

ー

ド_{を 円 板}の片 側に設置する。 付   円 板部ピ ッ ク ア ッ プ   軸 受 ケ

ー

ス   円 板 加支 持部外部減衰を与え る場 合は

，

垂直

，

水 平 方向に軸 受ケ

ー

ス _{と支 持 台 間}に ダン パ _{を挿 入 する} 。 　駆動力は 3

．

7kW の _{交 流}電動 機 よ り自在継 手 を通 し て試 験軸に伝達さ れ， 回 転 速 度 は約 0

〜

5000rpm ま で 連 続 的に変化 するこ とがで きる

。

　円 板部の_変位 は， 垂 直， 水 平 両方向に 2mm の 間 隙 を与 えて取 り付 けた渦 電 流 効 果を利 用 した 非 接 触 型 変 位 振動 測 定 装 置 に よ り求 める。 支 持部の 変位 は， 加速 度 ピ ッ クア ッ プ をベ ア リ ン グケ

ー

ス の 垂 直

，

水 平 方 向に取 り付け

，

その _{出 力}をチ _ャ

ー

ジ ア ン プ に通 すこ とに よっ て 測 定 する

，

　 軸の 回転数は

，

駆動 軸に付け た近 接ス イ ッ チ からの パ ル ス_をデ ジタ ル タ コ メ

ー

タ に入 れ て直 読 し， さ ら に こ の パ ル スを変 位信 号 と 同時に 電 磁 オ シ P グラ フに 記 録 す る。 　 3

．

2．

実 験 方法 　 実 験に用い た試 験 軸

，

引 張ばね

，

支 持 部ダン パ の諸 量 は 表 1， 図 4 である。 　本 実 験に入る前に次の_{諸 点}に つ い て測 定を行なっ た。 　 （1） 試 験 軸， 円 板 　 不 釣 合 力の原 因 とし て考 え られ るの は， 円板重心の 回 転 中心 か らのずれ

，

試 験軸の 曲 りで ある。 その ため

，

釣 合 試 験 機に よっ て円 板の釣 合 を取っ た。 こ れ に よ り残る 問題は

，

試 験 軸 作 製 時お よび実 験 中の衝撃力に よ る軸の 曲りである。 これを矯正する た め に軸の両 端を定盤 上の V ブロ _ッ ク に乗せ

，

中 央に ダ イ ヤル ゲ

ー

ジを取 り付けて 測定し

，

その 曲り をで きる だけ 直 した。 し か し どうし て   自動調 心 形 玉軸 受   引 張ばね



  ダン パ 　 　 　 図 3　実　験　装　置 4　

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

非 対 称 弾 性 支 持し た 非対称回転 軸の _{振 動}に関 する研 究 （近 藤 泰 郎

・

木村広幸〉 表 1　 試 験 軸の _{諸 量} α o （mm _） 　 〜 （mm _） A （mm2 _） M   　 （ 　 kl （kN／m ） 　 k2 （

kN

！m _） 　 σ （mm ）

30

20

605 ．

4 296

．

0 5

．

850 0

．

2816xlO3 0

．

3459×103 0

．

1657 9E10 13G14 毎 命 11F12 　 　 　 ピック 　 　 　 ア ップ 水 平 方

．

向 15H16 取 付 位 置 ば ね 定数 　 　K ，，

K2

kN

！m _{kN ！}m 　xlO3 　 　　 　×103 取 付　粘 性 減 衰 係数 位置　 　 　Ns ！皿

ABCD

0 ．

36260

．

39930

．

37640

．

32701

．

465 1A2 匹 　　冫ピソク アフプ 5C6 命 命 3B4 垂直 方 向 7D8 ユ 　 @ 　 @ 　  

@

　

GHO

． 580 ．

25

　 　

　

　　

0

．

190

．

300

． 06 ヨ 　 コ を 　 ヨ FGHO1308D1353 ．1362 ．

1345

．

5368

ゴ則 定側 　 　　 　　 　　 　　 　　 　 　 　 　 　 駆 _{動 側}図4 バ _{ネ お}よ ダン

パ

の組 合 せ

E

，〜

H1

支 持 横剛

性

が弱 い条件

E2

〜H2 支 部 横 剛 性 が 強 い 条 件 12345 890123456 　 　 　 　 　 　

　

　1111188291D1040

．

7528

．

8299

．

9479

．

6149

．

3599

．

5948 ．

868

．

270

．

3010

．

0659

．

5759

．

614

9

．

5169

．

810

も 除 去し

得

ない曲りを も て 偏心量 とし ， そ の方向 を 不 釣

合

角 度 （非対称 軸の

場

）と_{し た。}こ の偏心 は

10

〜 μ 程度 で ある。 　 

外

部 減 衰 　外 部 減

衰

の 測 定 法 は，駆動 を 止め て 円板 部 ， 支 持 部 それ ぞれ 別々 強制 的 に変位を 与えて 放すこと に よ っ て ， 平面内で 自由 振動 を 行 な わ

せ

るこ とによ り決定し た 。その 実験

値

は ， ＝δ

D

＝

6

（

1

！s ）で ある。 な お， 内部 減衰は非 常 に 小 さ い も の して無視した。 　（3 ）支持部引張 ばね 　ば ね 数

の

測定 方 法は，引張 試 験

機

に よ っ て ，ば ね

を

0

〜

m

以上 ま で引張 り，荷

重

と伸 び を

X

− Y レ コ ー ダに 録す る。こ れ は ，特_に引張_ばねの 非線型性が ない かを

i

かめ る 上 で 重 要であ る 。分数 調波共振が，ば ね の 線

型

性より も出 る 可能 が あるか ら で あ る 。 こ 結果 の一 例 を 図

5

に示 す 。 　

（

4 ＞ 支 持部 減 衰 　 使用 す るダ ンパ の 粘 性 減衰 係 数 値と ，こ れ らが 粘 減 衰を正 確に与える_かを

測

_定した。_{本 実 験 に}お い_{て は}， 高回 転 _{数 が 約4000rpm} ，_正確 な

振

幅

測

定可 能変 位 が 15mm し て ， ダ ソ バ ﾌ 度 範 囲 を 0 〜 ．

M

！

s と し ．

1

．

　

₈

　　

　

　

　

₄

　0　

　

　

　

〔

蓴 「 、噂 総

00

．1

一

一 … 一 ． 一 一 　 ・騒

゜

’

3 唄 旺

mO

．

3

　　　　　0

5

　 　 　　　 0 ．

7

　 　 　変　 　位

1

’

m

）

0

．

9

　 　

1

．

O

＞ 10 　 ：

図

x

持

ばね の_{直 線 性 （位 置}

E2

）

た

Q

測 定 方 _法 は， 動 型加 振機 にダ ン パ を 取り 付 け， ロー ド セル を通 して を

求

め ， 同 時に 加速 度ピ ッ クアッ プ を 通 して 速 度を る。オ イル ダン パを使 用 し て いる の

で

， 温 度条 件に っ て減衰値が変化して しまう危険 性が ある。よ っ ，全

NII-Electronic Library Service 6

．

O

24

・

O

ミ

麌 2

．

0 0 相 模工 業 大 学 紀 要 　 第

20

巻 　 第

1

号 　 o

．

一

一

c5

．

8

＝

9

．

594 o 2D 速 図

6

ダ ンパ の _{直 線 性} 　 0

，

4　 　 　 　 　0

．

6 度 （m ／s） 　 　 （位 置 8） 　 以 上の 測 定 を 行 なっ た 後 に， 丸 軸 と 非 対 称 度

P ＝

0 ，

1023

の_{偏 平 軸}の

2

_本につ い て

，

支持 部 剛性を

2

種類 変 化さ せ， そ れ ぞ れに つ い て支 持 部に ダン パ _{を入 れ ない} 場 合と挿 入し た場 合につ い て実験を行な っ た_。

4

．

実 験 結 果と そ の考 察 　 図 7 は

，

β

＝0

° 支 持 部剛 性

K1

＝

1

　

．

465

　_×　

103

　

kN

_！m

，

K ，

＝

O

・

1619×103kN ！皿 で 支 持 し た偏 平軸に付加支 持外 部 減衰を 加 え ない状 態で得 た 振 幅曲線である。

　

水 平 方 向 730rpm

，

垂直方向 1000　rpm 近 傍 に 出現 する振 幅 増 大は

，

そ れ ぞ れ 水 平 1450rpm ， 垂 直 1003〜

2045rpm

近傍に 出現 する

1

次 （

9

，）

，2

次 （

91

、）の主 共振の約 半 分の _回転 数と なっ て お り

，

これ らはそ れぞれ の主共 振の

2

次高調 波共振 （

9

，！2

，

9

，、

f2

）で あるとい え る。 これら は

一

_般に

₂

_{次 的危険速度とい われ るもので あ} り

，

こ の近傍の_振れ 回 り状態は

，

_{軸 1}回転 当り2回の _振 れ 回りを呈 する。 このこ とは

，

図

8

の （1）

，

（

2

）の振動 状 態か ら明らかで ある。 更に回転を 上 げると 水 平 方 向に 1 次 共振

，

続い て垂 直 方向に 2次 共 振が現ら われる。 こ れら の ように

，

そ れ ぞ れの共振 点が分 離 する の は

，

支 持 ばねの剛 性が非 対 称で ある為に生ずる こ とは 明 らか であ る。

1

次 共 振 点で は

，

与え ら れた条 件下で 不安定領 域は 存 在しないが

，

2 次 共 振 点 近 傍に お い ては出 現 する。 こ の 不安 定 領 域 中は 測 定 不 能であるため， ガ

ー

ドに 当る直 前で

一

度回転を落し

，

加 速度を付けて通 過後

，

再 度回転 を下げて測 定 し て ある。 これ らの近傍で の振 動状 態は図

8

の （

3

）

，

（4） であ り

，

軸の 回転 振 動数 と応答振動数は 1：1 の _関係 に ある。 水 平方向 2500rpm 付近に 出現 す る共 振は

，3

次 の 主 共 振 （

9111

＞の

2

次 高 調 波 共 振 （

9

，、T！

2

）である。 これは， 図 8 の （5）で 明 らかなよ う 2ω の 振 動数を 持つ _振動となっ て い る。 また

，

支 持 部の 振 幅が 円板 部 振 幅よ りも大と なっ てい る こ と も 特 徴であ る。 水 平 方 向

3030rpm

近 辺で の共振は

，1f2

次分 数 調 波共振 （29i）である よ うに

一

見 思えるが

，

図

8

の （6） の_{振 動}波 形を見る と

，

回転 振 動 数 と 応 答 振 動 数 は

1

：1 の _{関 係}に あ り

，一

概 に 分 数 調 波 共 振である と はい え な い 。

9111

！

2

の振 動が影響して い るの か

，

今後の研 究 課題 とし た い。 3500rpm 近 傍 での 共 振は 明ら かに分 数 調 波 共 振 （

29ir

）である と言え る。 図

8

の 〔7） よ り垂直方 向円板 部の 振動数は （1／2）ω で あり

，

軸 2 回転当 り

1

回 の振れ 回 りを呈する。 こ の近 傍では

，

前 報で報 告 した結 　 2

．

OEl

．

09 渚 冨₀

_．

₅ 00 　 0 　 　 　 　 @ 　 　 ユ 　 　 　 　 　 （

日

_E

＞

。

旨

． <TAB><TAB>

ｒ

向<TAB> <TAB><TAB><TAB>_訊 1<TAB><TAB>O 円 板 部 ●攴持部 @ 　 　 島 ， <TAB>oo o<TAB>

@　

　 　 _o ●<TAB>_．−8<TAB><TAB>_●●・<TAB><TAB>o　　　

@ 　　　

500

<TAB><TAB><TAB><TAB>

<TAB><TAB>

<TAB>

@

一一．

水

平     @ 　 音 島<TAB>9

<TAB><TAB><TAB><TAB>壱   1<TAB><TAB><TAB>，　<TAB>　●　 　 　 　0 　 @ 　　9<TAB>OOOooeo<TAB> 　　

　 　 　_♂gooO 　

　　　　　　　

OO<TAB>2

島ooO 　　　

OO<TAB><TAB>

゜

981000

　　　　　　　　1500 　　　　　　　　2

0

　 　 　

2500

　　　　　　 　　300

　

　 　 　　　　軸　 　

速

　度（ rpm ） 　 　図7支 持_部

性比K21 ，＝O．

0

によ

る

非対 称 弾 性 支 持した非対 称 回 転軸の 振動に 関 す る研究 （近 藤泰 郎

・

木 村広幸 ） 果 と 同 様に ， 不 安 定 領 域が存 在 す る如 く非 常に激 しい 振 幅 増 大が観 測された。

　

以上の結 果 と図

2

の理論値 と を 比較す る と， 定 性 的に 円板部 垂 直 方 向 円板部 水 平 方 向 支 持 部 垂 直 方 向 支 持 部 水

馳

F

方 向 パ 　 　 　 ル 　 　 　 ス 2

．

0 　 1

．

5 信

5

霤 　 1

．

0 碕 暮 　 0

．

5 　 　 0 　 1

．

0 君

s

胄 メ 0

・

5 峯



₀ （1）725 は 良 く合 致 して い ること が 言え るが

，

総じ て各共振 点は 理論値よ り も高く なっ てい る。 これ は

，

支 持 部の水 平

，

垂直方向のば ね が_{振 動}した状 態で相互に影響し合い ， 互 （2）　1011 　　　　（3〕　1451　　　（4）　1992 　　　（5）　2500 　 　 　 軸 速 度 （rpm ） 図 8 振動波 形 の 解 析 （鷆 ！κ、＝

O ．

110，

δ。＝

0

） （6＞　3032 　　　 （7）　3533 垂 直 方 向

　　　　　．

52rI o 円 板 部 ● 支 持 部

一

一

’

i

　　　 一

一

［

一

．

．

一

一

．

　 　 　 　 　1

　　　　　．

1

去

鴟1 o o 　　oo 　　　　　　　● ●

　 ．

一．

o ● ● ● ．

一

．

水 平 方 向

　　　　　　 1

　　　壱

島 oo 　 　 　 ●　 　o● 52

【

● ● o ■

　　　

I o 　o 　 　 　 o 　6　6 o　　o■ 500 1000 　 　 　 　　 　 　 　　1500 　 　 　 　　 　 　 　　2000 　 　 　　 　 　 　　 　250D 　 　 　 　　 　 　 　　3000 　 　 　 牽由　　速 　　度 （r 【）m ） 　　 図

9

支 持 部 剛性 比 鳧 μ（、＝

O ．

110

に よ る振 幅 曲 線 （δs＝

6 ．

6

） 3500 　3700

NII-Electronic Library Service 相 模工 業大学紀要　第

20

巻　第

1

号 い の 剛性を高め てい る為で あると考 え ら れ る。 　図

9

は

，

図

7

と同 条 件 で 付 加 支 持部 外部 減衰 δ

，

＝ 6

．

6_（11s_{） を取 り付け}た場合の 応 答 振 幅曲線で ある。

　

支持 部 外 部 減 衰の 増 加に よっ て

，

全体に亘 っ て振 幅が かな り減 少して い る。 特に 水 平 方 向の主共 振 ρ1 は

，

ほ とんど問 題に な ら ない く らい に減 少 し てい る。 こ の こ と は理論 計 算 結果か ら も 予 測 出 来 た こ とであ る。

911

に関 し ては， 支 持 部外 部 減 衰の増加に よっ て

，

不安 定 領 域の 幅は狭 くな るが， 不 安 定領域その もの は存在 する。 この こ と も 理 論 計 算 結 果 と良 く合っ てい るD20 、

，

2911 等 は， 支 持 部 外部 減 衰の増 加に伴っ て全て完全 に 消滅し た

。

　各 共振 点共， 支 持 部に ダン パ を挿入 する ことに よっ て

，

多少発 生 回 転数が 上昇し てい る。 これはダン パ が ば ね と して _作用 して い る ため で ある と考 え られるが

，

単 純 なオ イル ダン パ _を使用し てい る た め に避 ける ことは困難 で あっ た。 　図 10 は

，

水平 方 向 支 持 部剛 性 を

K

，＝

0 ．

5368

×

103

kN

／m に _増加 させ

，

他は 図

7

と同 条 件で 得た 結 果 で あ る。 水平方向支 持部 剛 性の増 加に よ り

，

各共 振 点は接近 する。 特に ρK

，

9

、、は両振 幅 増 大が重な り広い 不安 定 領 域を形 成して い る。

K

， の 値か らの理論 計 算に よ る と

，

こ の条 件で は水平方向に は 不安 定領 域 はな く

，

約 1700 rpm 近 辺 が 共 振 点 と なる が

，

前 述 の 両 方向の ばね の相 互 の影響に よっ て

1900rpm

近辺に共 振 点が移 っ てい る と考え る。 こ の 振 幅 増 大 と

9

、 、近 傍の 不 安 定 領 域 が重な り， 広い領域に亘 り不安 定領 域の よ う な現 象 が 出 現して い るもの と 考 え られ る。

29i

，

29u

に 関し て も， 両 共振 点が 重な り4060rpm 近辺 に現ら われてい る。 理 論 計 算 値 と比較し て共振点は， か な り近い 値と なっ て い る。 図

7

と比較し て

，9

，！

2，9

，1／

2

の 振 幅は増加 し，

9

，，，！2 の 振 幅は減 少 し てい る。 こ の こ と は， 前報 5）_{の 支 持 部剛 性} 比の 変 化に よる

9

，

〜9iV

の 振 幅 関 係の結果か ら予 測 出 来るこ とで ある。 　図 11 の （1）

〜

（6）は， 図

10

の 各 共 振 点近 辺にお け る振 動 状 態を 示 し た もの である。 各 点とも

，

そ の特 徴を 良く表わ して い る。 　図

12

は

，

図

10

と 同 条 件で付加支 持 部 外 部減 衰 δ_、

＝

6

・

6_（1_／s_{） を取り付け}た場 合の応答振 幅曲線で ある。 　支 持 部 外 部 減 衰の増 加に伴っ て， 各 共振点振 幅は押 え ら れ る。 91

，

9n 近 傍で は

，

不安定 領 域 が 狭め られて い る。 水 平方向

1900rpm

で不自然な振 幅上昇があるが， これ は 水平 方 向 共 振 点が この近 辺 に あ り

，

こ の _点をピ

ー

ク とし て振 幅が減 少 すぺ _{き所 を， 垂 直方向 不 安 定領 域}へ の 振 幅 増 大 に よ り引 き上 げられてい る と考 え られ る。

2

ρ【

，

2011 で は 付 加 支持 部外 部 減衰を与 えない 条 件で は ， 非 常に大 き な 振 幅増加があっ たが， 付 加 支 持 部 外 部 減衰に よっ て押え ら れ

，

振 幅は急 激に減 少して い る

。

付 00 　 　 　 　 5 　 　 　 　 00 　 ユ 　 　 　 　 む 　 　 　 　 　 　 ヨ 　

（

日 日

）

岬 爵 理 纂 　 1

．

5Rs 爵 　

“

1

．

ON 　 0

．

5 o

_・

500 垂直方 向

_壱

_島 ρ

踵

ρ匚 。_{円板 部}



_2ρ ， ．支 持部　2ρ1， ● ● ● ・ 98　 　・ ● ・ ● ● ●●　　o o ● ● ● ● ●_● o 水 平 方 向 』2lJ2 ■【 22 _匸 221_肛

靜

1

　 　 　 　 ●

83

． ． ．

’

壱

島

・

　 　

_、

　 o　 　o　 　oo

8

　

e8

● 99

888

og o

8

1000 　　　　　 　　　1500 　　　　　　 　　2000 　　 　　　　　　2500 　　　　　　 　　3000 　 　 　 孛由　　速　　度　（rpm ） 　 　図

10

　支持部剛 性 比

K2

／

K

、　・＝O

．

366 によ る振幅曲 線 （δs

・

＝

O） 4000 　4200

一



₈



一

N工 工

一

Eleotronio _Library

非 対 称 弾 性 支 持 し た非 対 称回転 軸の _{振 動}に _関す る研 究 （近 藤泰郎

・

木 村 広 幸〉 2

．

0 　 1

．

5R5 碍1

・

0 ＞_イ 峯0

．

5 03 　 22

．

0 5 　 @0@ 5 　 　 @ 　 　



宅

ε ． ‘ 、 理犖

500

板 部 垂 直 方 向

~

板 部 水 平 方 向 支 痔 部 垂 直 方向 支 _{持 部 水}平方向 パ 　　丿 レ　　　ス 〔

1

）936　　　＜

2

＞　

1028

　_（．3）　1870 　　（

4

）　

2094

　 　 　 ［

5

）

3025

　 　 　 　　　　 　 　 軸 速度 〔

rpm

） 　　図

11

振

動

波

形

の解析

（K2！

K，

0

．366 ，δ ＝0） （

6〕

直方

垂

向　 <TAB><TAB><TAB>

ご

21

」

11<TAB>

<TAB>

ト

ー

　

．

一

．！<TAB>

一一

．

<TAB><TAB>

<TAB><TAB>

．

黶D一 ． 一 ．　 　 @

D

．一

．

．

<TAB>o

円

板

部● 芝

卩 <TAB>吉  

<TAB><TAB>・’

<TAB><TAB>

．一． ． @　一

<TAB><TAB><TAB>oooo

● 怐

_怐

@　　 　　

o<TAB>o

　 − ● ● ● <TAB> 」211<TAB>

<TAB><TAB><TAB><TAB>

<TAB><TAB><TAB>

向

水 平方

<TAB><TAB>

<TAB><TAB>1

<TAB><TAB><TAB><TAB> <TAB>

<TAB><TAB><TAB>

ρ

【2H

一

<TAB>

<TAB>

一．．一一

<TAB>

@　

　

　　

1

黶@ 　

｡．

．　

　　 　

　

　

1

@　

　

− 一

D

@ 　　　　　 1

<TAB>

．

．

一

．

一

一

D 　

<TAB>

D

一

一．　　一．．

一

<TAB><TAB>． 一一<TAB><TAB><TAB> 静 <TAB>　 @ 　 　 　 　 1 … ． 牛 　 　 　 　 　十 <TAB><TAB> ●●<TAB><TAB>一<TAB>一 　 　 　 　

@1<TAB><TAB>

1

ooo 　 　 　 　　●　　●●<TAB> 　 　 　 o ．_。。°。°°

9

・．．．

<TAB><TAB><TAB>

@ 　 o●<TAB>　 　 　 一 一 　 　 　 　　　　　 　 〇 　 　 〇 　 　 〇 　 　　　 　 　 ● 　 　 ●　　o

81DOO

図

12

　　

1500

　 　　　 　　 　

2000

　

　

　

　

　　　 　 2500 　 　 　　

　

　 　

　

30

　 　　　 　　　

NII-Electronic Library Service 相 模工 業大学 紀要　第

20

巻　第

1

号 000 0 　 　 　

　

0 　 　 　 @00 　 　

　

　 0 　 　

　

　 0 　 　 　 　

　

　 ユ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

　

　 （

E

目

）

碍 、 裡 理

緊

　 （

_E5

。

臥 、 臥 舉 垂   _<TAB><TAB> 1 ［

<TAB><TAB>

<TAB>

“

円

板部 一 <TAB><TAB><TAB> <TAB><TAB> <TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB><TAB>1500　　　　　@　　　2000 　　　　　　　　　2500 　　　　　　　 　　

00

　 　 　

3500

　　　　 　 　 　 　　 　　 　軸速 度 （rpm ） 　　　　図13

丸

軸にお

け

る振幅 曲線 κ2！κ、 ＝O．3 ， δ

o

；

0

） 4000 　

4200

加 支 持部 外 減

衰

_の不 安定領

域

を狭める 作用 に比較し て， 特に

291

29

、

1

等の 分 数調 波共 振 に対する

効

果は 非常 に大 いと _言え る_。 の結 果は ，理 論的予 測 よ りも 大 で あ った 。 　 図 は， 分 数調波 共 振が軸 の 非対 称性 に

よ

っ て出 現 す る と_を実験的に確認 す るために ，図

10

の 支_持 件 で丸軸を試 験

軸

として

行

なった結 果 で ある。 　 丸 軸 あ る_ために_， 2_ρ

1

，

2Mil

は出現し ていない。ま た

0

I2

，

9uf2

も 出て いな い が， これは支持条件 を変 え る と，偏 平軸の場 合 より かなり振 幅 は小 さ いが，

現

わ れ てく

る

場合が多いこと

は

良

く

知られ た こ と であ

り

， たと えば ，

K

IKi

　 ＝

0

．

110

の 件で は，実 験 的 に も認 め ら れ て いる。

5

． ま 　 　 め 　 非対称 弾性 支持 し

た

非 対 称回 転軸 系 に 対 す る 持 部外 部減 衰の効 果 を検 討 し た 結果 ，定 性的 に は理 的予測と 良_く合 致し た 。即ち， 付 加支 持部外部

減

衰 不 安 定 領域 _を消し_{去る に は あ まり 効}果_{的 で あ ると は} えな い が， 不 安 定領域 がな い場合の 共振振 幅減少 特に 数 波 振 を 去 す る た に は 非 常 有 効 あ る と 確 でき ｽ。

j

1

）

2 ）

）》

）

3456 ）） 78 ） 910 ）

11

）

献

Taylor

，　H．　D． ：J．　App1 ． 　Mech ．， 7 −6（1940 ） ， 　A−

1

．

Tendl

，　A ．_： Some P

blerns

　

of

　

Rotor

　

Dynamics

，

i1965

），

Chapman

＆

Hall

．

山

本

。安田：

機

，

38

−

305

（昭

47−1

），

83

． 沖島・

近

藤：機論

，

−338 （昭49_・10

）

，

2832． 沖 島。_近藤

：

機

論，40 − 338 （昭

49

−10）

，

43．

watsubo

，

　

T．，　

et

　

at

．

：Inge

−

Archiv

．

，

42

（

_{1973 ＞， 416}

．

小寺：

機

論，45 −

395

（昭

54

_・

7

）

，

7

_．

Black

_，　

H

．

　

D

，　et

　

al

．

， J _．

　

Mech ．

　

Engng _。

　

Sci ．

，

₁₀ ・

3

　（1968 ，　2 ．

Black

，

　H

．

　

E

： J．

　

Mech

．

　

gng．　

Sci

．，11 ・1（1969 ） ，57 ． 近藤

：

相工

大

紀要 ，

14

−

i

昭

55

・

3

） ，

31

．

Bogol

bov

，

N． 　

and

　Mitropolsky ， 　J_，（益子 訳 ）：