連続生産型技取検査のシステム〔1〕
谷口道興
1．概 要
本稿は，連続生産型拉取検査のシステムによっ
て品質管理のメカニズムを「近似」する，という
モデル化について，問題の所在を検討し 今後の
問題解決の為の理論的手がかりとしたい。この種
‘のモデルに係わる「統計的管理の問題」について
は1940年代初期から50年代後半にかけてH．F．
Dodge［11Ll12］，H．M．Taylor，A．Wald，J． Wolfowitz［27］等によって集中的な研究が行われ た。その後60年代に入ってからF．S．Hillier［24］， ［31］，G．EⅡving［19］，［32］ほ工程管理の為の有効な行動決定，すなわち最適行動の決定方式であ
る「決定理論」の概念を導入し実証分析に取り組
んでいる。またEwa叫．Kemp［3］，［6］，［33］等は累積和法，Ⅴ−マスタ法，決定区間法そして統計
的推定を基礎におく工程管理の問題を取り上げて
いる。累積和法は，ごく最近になって開発された
ものであり，これに基づく手法によれば下記の事
柄が可能となる［1］。〔i〕一連の数値の平均水準
の変化の発見〔ii〕そのような変化の生起点の決
定〔iii〕現状平均の信頼のおける推定値〔i可将
来の平均水準の短期的な予測。この手法は従来か
らの品質管理の開発と発展に伴って体系化され，
一般に扱われている「管理園」に比べて，ある特
性についてはその変化を迅速に兄い出す特殊性を
持つと同時に，統計的決定および推定の問題に関
しては極めて有効な手段となって来ている。き
て，シュワートの管理園の長所は，観測結果が視
覚的に把担可能なことであるがその反面，観測値
を連として考慮しないことが欠点となっているこ
とは否めない。このことは平均値の管理という点
で鋭敏性に欠けることを意味している。この問題
に関係してPage［2］ほ，品質管理に尾括和の適用
を試みた最初の論文の中で，生産工程での生産品
目の不良率の管理について考察している。掛まこ
の間題が2項変畳の管理と関係があり，種々の値
の決定区間に対して累積和法の連の長さの平均
〔A．R．L．）の計算方法を示している。同時に
EwanとKempも不良率〔2項変量）と不合格品
の数〔ポアソソ変量〕の両方について合格品質水
準〔且．豆．L．）と不合格品質水準〔R．豆．L二〕にお
けるA．R．L．の表を発表している［3］。Ewanと KempはまたPageの「男層和国による管理法」を 修正しこれと全く同じ事をBarnardがⅤ−マスタ を用いて展開した［4］。また，GoldsmithとWhit− field［5］忙よれば，Ⅴ−マスク法を用いる品質管 理法のA．R．L．はモソテ・カルロ法によって評価され，その時，結果値は分散げ巳の正規分布から
抜取ったものであると結論づけている。また，Ⅴ
−マスク法と決定区間法が同等であることを示し
ている〔6］。工程管理の問題については，Barnard
［4］，Duncan［7］，BoxとJenkins［呂］等による議 論があるが，BoxとJenkinSは初めて時系列且粛こ 関する一般的な確率モデルを紹介し工程モデルに対して種々の自己回帰過程を考察している。同時
に生産工程の管理状況に関して，停滞，趨軌 そ
して季節性を考慮して工程の為の適当な選択方式 について最良の論議を与えている。Bather［9］， ［10］は工程状況に関して検査と分解修理の場合を同時に考慮した3つの決定問題を与えWINER過
程に対して連続時間の中でこの問題を考察してい
る。さて，周知のように連続生産型抜取検査の手順
はロットによる検査が不都合な場合，工程が時間
に関して連続的に処理されなければならない場合
に適用される。本稿では全ての検査品目は，単位
時間間隔で生産されるものと仮定し，検査を実施
する場合には，検査品目の品質が合格か不合格か
に峻別可能なこと，工程の其の値については条件
付確率変数が観翻されているものと仮定してい
−111−る。本稿は計数抜取検査および計量抜取検査の二 つの場合に分類して取扱う。
2．計数抜取検査に関する手順
この方式は，検査品目（製品）を合格か不合格か に分類しそれ以上の情報は検査からは得られな い。抜取検査手順は常に区切りの大きさ1／ア毎の 製品を検査することによって製品の一部分f（一 部検査で区切りの大きさに対する一個の割合）を 検査する。あるいは二者択一的に，工程は大きさ 1／fの各組に区切ることが出来て，そして無作為 に製品が各組から抽出される（層別抽出法）か， 各製品は確率fで検査される（無作為抽出法ある いは確率標本）。前者の手順は検査費用の少ないも の，後者は検査費用のかかるもの，即，時間，設備， 人手を要するもの，または破壊検査になるもの特 に高価な品目の破壊検査に適用して有利となる。この問題に関する最初の論文はDodgeにょっ
て与えられた〔11〕。これはCSP−1と呼ばれ一定 の時間において不合格品を生産する確率が一定値 Pを持つと仮定し，即，工程が「統計的管理」の 下に置かれている場合である。この方式は次の通 り記述される。検査はまず連続して生産される製 品を全数検査する。そして連続してZ番目の製品 まで検査を続け不合格品がないならばそこで全数 検査を中止し1／アの各組の製品から一個の製品を 選び一部検査を行う。もし一個でも不合格品が見 出されるならぽ再び’i個の合格品が引続いて得ら れるまで製品検査を直ちに全数検査へ戻す。以 後，同様に繰り返す。このCSP−1は不合格品が 見出される場合，全数検査が自動的に実行不能であった為にDodgeとTorreyによって修正され
た〔12〕。この方式をCSP−2と呼ぶ。この方式は 不合格品が一ケ所に集中することに対する保護を 与える為に考えられたものである。これに対して，もう一つの方式はCSP−3と呼ばれ1個の不
合格品を見出した時，次の4個の製品を検査する ことを指定していて，もし4個中に1つ不合格品があれば全数検査へ戻る。そうでなければCSP
−2に即して続けられる。LiebermanとSolo・
mon〔13〕は不合格品の比率が小さくなる場合は 検査の比率も小さくなるように異った検査水準を導入することによってCSP−1を拡張した。その
基本的な方法は有限の抜取比率の数為を仮定して いる。即ち，fo（＝1）＞fi＞f2……＞fk。抜取比率 frで不合格品が見出される時，抜取は比率プ：．1で 続けられる（もしr＝0ならeX’ fo）。もし， ir個 の合格品が抜取比率frで連続的に見出されるな らばそれからは抜取比率はfr＋1（もしr＝kなら ex’ fr）に変る。多段抜取方式（MLP）の考え方が Derman等にって拡張されている〔14〕。これらの 論文の中では常tlL fk＝（fi）kと仮定されている。Dodge方式についての詳細は便覧H106〔15〕と
H107〔16〕に与えられていて，我が国でもJIS
Z9008計数連続生産型抜取検査（不良個数の場
合）として1957年に制定されている。 Dodgeは「統計的管理」という仮説を用いて一 定の形式を推論している。 ・ （i）平均出検品質（AOΩ）（ii）平均出検品質限界（AOQL）
（iii）平均検査率（AFI）Dodgeは与えられたAOQLに対してiとf
の値を求めるための図表を得ている。しかしなが ら，Dodge式はfがあまりにも小さすぎるという ことが好ましくないこと，及びこうした方式を用 いる際の特長を考慮しなくてはならないという点 を別にすれば，方式の選択にあたってこれ以上の明瞭な指針はない。またLiebe㎜anとSolomon
は「統計的管理」の仮説を用いてこの方式のマル コフ模型を示した。マルコフ連鎖の状態は，どれ でも抜取が行われる比率と観測された連続合格品 の数によって定義される〔13〕。この状態間の遷移 確率は容易に計算され，不規則で有限なマルコフ連鎖は消散することがない。従ってLieberman
とSolomonは層別抽出を仮定した場合のAOQ
とAFIに対する一定の形式を推論し2つの基準
を提案した。即ち（i）与えられたAOQLに対するAFIの最小
化。 （ii）P（砺＞N． AOgL）≦αの場合に一定値を保つ部分的安定度。 ここでdwはN個の連続
製品の中に見出された不合格品の数，αは許容危 険率。（ii）の基準a＊ d〃が平均」VP（1−AF1）を もつほぼポアソンに分布に従うと仮定して適用さ れる。もしNが大きくP（1−AF1）が小さいなら 一112一ば正規の近似法を仮定する。しかし乍らLieber−
manとSolomonは単純抜取方式と無限水準方式
だけを解析したのではない。ResnikoffはPが希
望したAOQLより高い値を取り得る場合のCSP
−1の選択方法を提案し，もしPがある値Poを
指定するならばPoにおいてAFIを最小にするこ
とを提案している〔17〕。またMurphyはAOQL
の指定の他に検査者はまた「生産者の公称品質水準」（PNQL）とPNQLにおいて要求されるAFI
を決定することを提案している。GuthrieとJo． hnsは不合格品が見出される前に工程が「管理は ずれ」の状態になった後で生産された期待された 製品数を示すE（N）の基準を示している〔34〕。上記二つの方式のいずれかを選ぶ場合には，
E（N）の値をより小さく取る方式が望ましい。 Liebe㎜anは層別抜取を適用する場合， DodgeのCPS−1によって制限されない平均出検品質
限界（UAOQL）の値を得ている。このUAOQL
は管理に関する仮定なしにAOQLの値として定
義されている〔18〕。Derman， Johns， Lieberman は種々の抜取方式に関して無作為抽出した場合のUAOQLの取る値を得ている〔14〕。 UAOQLは
AOQLに比較して「よい基準」であることが示
されている。 Elfving〔19〕は確率標本が使用されている場合，Derman等によって発表されたMLPのもっ為の
UAOΩLを得ている。 White〔20〕は一般的な
を決定する為の方法としてDerman〔21〕，〔22〕 の結果を用いて概説している。Whiteはその中で検査者が用いているDodge式CSPと「自然のま
まの状態」との間に統計的管理のある工程を考え ている。その工程において次の製品が不合格品か合格品かを決定する。WhiteはUAOΩLに対す
る解は確率標本が使用されている場合，そして層 別抜取のゆえにこれらの場合に対して線型計画法 を使用することによって得られることを示している。White〔23〕はUAOΩLの計算方法を示し
ている〔20〕。Hillier〔24〕は品質が一様でない場 （Average Extra Defectives Limit）を導入してい る。工程が水準．Po（即ちP＝Po）で稼動中，急 に水ge P1へ低下するものと仮定しよう。ここでDを第M番目の製品を見出してから次のL個の
製品中に不合格品を見出さない数とすれば，そこでこのAEDLは最小となる。 AEDLはL， M，
Po， P1の全ての値に対してE（D）≦AEDL＋
L．A（Aは方式のAOΩL）となる。 Hillierはま たα1の種々の値に対してP（D≦d）≧α1の場合，Lに対するdのグラフを考えることによって，
予測限界の関係した方式を示している。この場合もしAEDLに対して上限が与えられるならば，
そのことはある値foよりも大きくなるために∫ の値を制限する。予測限界はこの方式の必要条件 を満足する最小のfを見い出すために使用され得 る。Anscombeは期待費用を最小に見積ることによってDodgeのCSP−1の選定を考慮している
〔25〕。この方式は調整検査のために計画されてお り工程管理の試行を考慮していない。この方式は 次に述べる費用の推定を必要とする。製品の費用 を費用単位kとする。検査中に発見した不合格品 を合格品と交換する費用，これを費用単位aとす る。然るに最終的な費用は1個の不合格品を通す 為に損失を見込んだ（1＋a）費用単位となる。さ て不合格品ロットを全数検査しない場合の平均検 査費用最小の抜取方式に関しては保証品質をPッ ト許容不良率（LTPD）で表わす場合に限られる 〔26〕。従って 1＝η十（N−n）｛1−L（戸）｝ を最小にする抜取方式となる。ここで1：Pット当りの平均検査量
N：ロットの大きさ n：試料の大きさ …… i1） L（P）：㌘の工程で生産される製品が合格と なる確率 いま，aを製品1個当りの検査費用とすればロ ット当りの平均検査費用は 亨＝an十a（N−n）｛1−L（P）｝ ……（2）LTPDの値および消費者危険の大きさを同じにと
れば（1）式の1を最小にする抜取方式と（2）式のYを 最小にする抜取方式は同等となる。さて（2）式を不 合格ロットを全数選別しない場合に拡張しよう。 b：ロットが不合格となった為に生産者が受 ける製品1個当りの損害 とすれば，アは Y’＝an十b（N一η）｛1−L（P）｝ ・・・… （3） 一113一となる。（3）式は ア・＝。＋互（N−。）｛1−L（P）｝・・一④ a と書き換えても求める抜取方式は変らない。（4）式 でb／αは検査水準。 さてDodge式〔11〕〔12〕はP÷ゐで最良。（P は不合格品が生産される確率）P〈kの場合は検 査をしない，P＞kの場合製品毎に検査するのが 最良となる。Anscombeはk・＝O．05を仮定して
いる。Dodge等による初期の方式は不合格品の
検出とそれらの取替にのみ関係があった。これら は主に統計的管理という仮定に依存し明確な方式を選択する為の基準としてAOQLとAFIを取扱
った。その後，方式選択の為に新しくより実際的な基準（PNOL， AEDL， UAOQL等）を使用し
た。方式はまた検査水準の増加に伴って修正され 工程の品質が低下する場合は中止基準を組込んで いた〔35〕。Anscombeの手法によれぽ定数Pを仮 定して求めたAFIに関する公式は」）＝kの場合AFI＝1／2がiとf（＝1／n）の間の関係を求め
る為に使用されている。しかし乍らPが長期間に 亘って一定値を保つと仮定すれば，それはM個の 製品が生産される毎におよそ1回大きな値P，に 飛越する。この方式においてPにおける上の変化 によって生ずる損害，これが平均推移費用である。Anscombeは種々のPとP，の為のこの費用
についての動作を検討しn／2Mとした。検査費
用は計算されていて0．3幻ン万で与えられPに
ついては一定値（O，2k）が経験を主にして仮定さ れている。然るに全体の推移費用と検査費用を最 小にするには（n／2M＋0．3k／ ViT）を最小にするn の値を求めれぽよい。Anscombeの推移費用に関 する理論は，マルコフ連鎖理論を用いることによ って換言され得る〔13〕。上記の問題に関しては最 近，決定理論の導入による処理方法がありWhiteはマルコフの決定モデルを使用してCSPのUA
OΩLを得ている。またElfvingはいつ工程を検
査すべきか，あるいは修正すべきかを高価な製品 の品質管理を考える場合に決定理論を導入してい る〔32〕。DodgeのCSP−1は最も早く発表されたと
共に実施方法が簡明であったが，その後，一部検査で始まる方式にWaldとWolfwitzとによる
SPA， SPB， SPCが発表された。’これらは最初一 部検査で始まり，不良個数が累計検査個数により 決まった個数を越えない限り一般検査を続け，越 えると各個検査に移るものである〔27〕。不良率Poのロットから逐次抜取ってn個目で不合格品
が4に達したとき P。n＝P。el（1−P。）n’a ……（5） とし，不良率P，のロットから逐次抜取ってn個 目で不合格品が4個に達したとき P、。＝P、d（1−P、）n−d ……（6） とおく。逐次確率比検定方式は Pln＞王二旦 ならばロット不合格POn＝ α
Pin＜ β ならばロット合格POn＝1一α
と判定することである。（5），（6），（7）式から 一ho＋Sn＜a＜h1＋ Sn 検査続行d≧hl＋Sn ロット不合格
d≦−ho十Sn ロット合格
ただし， 109｛（1一α）／β｝ ・・・…@（7） ん・「∼廊P、／P。）干1緬｛（1−P。）／（1−P、）｝ h・−1。9（ lo9｛（1一β）／α｝ P）1／▲Po）十log｛（1−」Po）／（1−P，）｝ log｛（1−Po）／（1−P，）｝s＝
10g（1）1／po）十lo9｛（1−pe）／（1−1）1）｝ ・・・… （9） （対数はすべて10を底とする対数） do＝一 ho十Snd，＝h1十Sn
がそれぞれ合格判定線，不合格判定線をあらわ す。 2・2 連続生産のための工程管理 GiエshickとRubin〔28〕は工程が安定していなくても指定したAOQLが保証可能な方式をみちび
いた。これは逐次検定法の一種と云ってよい。い まR＊を次の様に定義する。rnaXR limN→xE［IN（R）］に従うR＊を最適条件あるいはBayesと
呼ぶ。即ち1（R）＝limw→。。E［石（R）］とおけば 」（R＊）＝max 1（R）。最適の基準R＊は次のよう に記述される。n個ずっに区切った製品区分の中からn分め1
；−P14一の製品を検査する場合 ツn＝f2 （Xn）／｛（1−9）ft （Xn）｝ とし，これに対して検査が行われない場合 1
ツn＝1＿9 （9は遷移確率）
としよう。ここにXn、＝．Yn（1＋2n．1），20＝0とす る。そこでa＊〉ろ＊なる正の常数α＊，ろ＊を適当に選ぶとR＊は，2n＜b＊である限りは製品が検
査されないことを定める基準となる。Zn≧b＊で 検査が始り，2n＜b＊あるいはZn≧a＊のどちら かになるまで検査を続行する。前者の場合は検査 終了以外は生産が続き，後者の場合は検査終了あ るいは工程は修理される。ある値noに対しては 常にz。O＜ろ＊と記述できる。飛越されるべき製 品数は完全に決定される。kを飛越されるべき製 品数とすれば為は緬一皇（、≒）’＋（、≒）㌦≧b・
を満足し，これから k−［1・9（欝｝）／−1・g（・一・）］ を得る。Gregory〔29〕はDodgeのCSPに関しての最適
方式を，Savage〔30〕は生産モデルを提案した。 即ち，期待利潤を最大化するような基準を活用すること，Pの2つの値については同一の確率モデ
ルを仮定すること，そしてGirshickとRubin
〔28〕が品質管理モデルで取り上げた遷移確率9を仮定すること。Savageはまた連続生産工程に中
止規則の概念を組込み不合格品が生産される確率 は別の確率的な方法に変換されると主張し，この 場合も期待利潤を最大化する最適方式を基準にし ている。この方式は，F番目毎の抽出によって製品 が不合格品であることが発見された場合工程を調 整する。調整後の時刻川こおける工程は悪い状態 Z（t）によって表わされる。Z（のなる状態で合格 品を生産する確率は．Rexpz（t）（0≦R≦1）であ る。2（彦）は確率変数であり母数∠彦をもつポアソ ン分布をすると仮定している。また検査は破壊検 査を仮定している。Hillier〔31〕もまた全数検査が 実際的でない場合の破壊検査について言及した。 X（t）を工程状況とする。 これは工程調整後t番 目の製品が不合格品である確率を表わす。X（の の平均と分散をμzとβt2とする。 M（彦）は［1，t］ においてX（t）の変化の数に等しいポアソン過程 とする。ここで，m＝0，1，2，……に対して fM（t＋1）（m）＝e−et（θt）m／m！。Y（t）はS＝彦で工程 に変化が起ったと仮定した場合のX（のにおける 変化としよう。X（t−）とM（t−）はs→t一の ようにX（s）とM（のの極限を表わす。M（の一 M（t−）＝1ならばY（t）＝X（t）−X（t−），ここ でs≧1に対して0≦X（s）≦1。それから X（・）＝＝∫IY（r）dM（r）・X（・）． また期待値と分散は，それぞれ v…｛Y・（・）・lx・（・一）｝と仮定される。ここでμ∠Pと82dPは既知とす
る。 方式選定の為の判定基準は期待費用を最小限度 にすることである。（i）破壊検査の費用を含めて 製品検査に期待される総費用 （ii）不合格品を除 去する為の期待費用（iii）管理はずれの工程を調 整する為に機能を改めるに必要な費用。Hillierは この方式が三つの限界を克服するのに努力してい ると述べている。それは関心のある最初の領域に ついて合理的な近似として役立っている，入力パ ラメーターはこの方式に対して満足な推定量を得 る為になし得るだけの十分な意義を持っている， そしてこの方式は満足され得る解を与える。 Hillierの方式は次の事柄を指定している。 （i）検査をしないかあるいは一定間隔で工程 を調整する （ii） どれ程頻繁に検査するか （iii）いつ再び検査するか （iv）工程を調整するかどうか （i），（ii）については費用とパラメーターに基づき （iii），（iv）は検査項目に欠陥があるかどうかに基 づく。 Elfving〔32〕は製品検査の時期あるいは工程調 整の時期の決定の為に決定方式が必要とされる高 価な製品の品質管理を考える場合に決定理論を使 用している。彼はまた生産工程に関する方式の選 一115一定について工程における費用を最小限度にする判 定基準を使用している。その費用は次のようなも のである。品質iの製品を生産することによって 被る損害；工程検査の費用；生産工程を調整する 費用；彼は工程が状況i（生産工程の真の品質水 準）で観測されている時，次の検査は時間単位di 後に行われる，そのような決定基準を導入した。同
時に彦段階での状況iから状況元への遷移確率
P客ゴωを推定することが必要である。また，真の 工程の状況が観測されていて期待される損害を最 小限度にする基準が見出される場合を考察してい る。ここでy（のは真の状況X（t）の代りに観測さ れていて，），（彦）はiだけによって定まる既知の 分布をもつと仮定され過去に関するXとツには無 関係である。即ち確率密度関数は兎（bl）である。 Elfvingは充足統計量がベクトル｛qi（m）｝である ことを示しており，ここUC qi（m）＝q．（i， Ym）か つ勿番目の検査のあとの決定に対して P［Xm−i， Y・・B］一∫。9m（i・ Y）dY となる。3． 計量抜取検査に関する手順
連続生産が行われている工程で，通常使用され ている手法は管理図である。管理図の使用法には 次のようなものがある。（i）製品の品質が異なる 限度になるまで製品を分類すること，（ii）工程に 変化が起った時期を指摘し，工程の修正が決定可 能であるような推定量を与えること，（iii）品質の 低下に対する理由として詳細な原因を指摘するこ とが困難な場合に有効であること，， 3・1累積和図とA．R． L． いまや累積和を基礎にした管理法が観測値を直 接プロットする管理図に取ってかわろうとしてい4
3
2
1
0
−1 −2 −3 −4 10 20 30 40 50 60 図1 処理限界と警戒限界をもつ管理図 る。然るに，累積和の用法は品質管理の分野のみ ならず生起順に並べられた一一・・連の数値が与えられ ると，それを累積的にプロットしながら検討を加 えることにより，平均水準にどのような変化が生 じたか，またいつ変化が生じたかを解明できる。 この種の応用に関して最初に発表したのはPage 〔2〕であった。彼は品質管理に累積和の適用を試 みた最初の論文で生産工程で生産された製品の不 良率の管理について考察している。それはバッチ 生産で満足すべき品目（合格品）と不合格品に点数 を割り当て，不合格品の割合を管理する為に累積 点数を用い，観測値に対して整数の点数を実際に 与えている（合格品に対してa，不合格品に対し てb）。例えば，不良品質を処理する必要のある限 界品質水準が工程に対して不良率をもつ場合，第 k番目の製品に対して点va Xkを割り当てる。累n
積点数S。＝Σ Xkをプロットすれば，この標本 k＝1に対する決定基準は，「S仁min＆≧hならば処
o i n 置をとれ」ということになる（図2）。この方式は， 工程パラメーターで変化を検出し得ることを意味 する（即ち，不合格品が生産される確率）。この方 式の選定基準を知る為に（即ち，hの値）Pageは A．R．L．の概念を導入した。連の長さの変均（A R．L．）は，処置信号を発する前に管理図にプロッ トされる点の平均数として定義される。即ち，そ れは明らかに真の平均値とプロットされた点の分 布に依存する。 12 10 8 6 4 2 0 一2 一4 一6 5 処置 h−15 一116一 10 15 20 25 図2Pageの片側検定を説明するための 累積和図。（a＝−1，b＝3， h＝15） ，連の長さの平均は，工程が目標水準にあるとき には大きくなり，工程が不満足な水準にあるとき は小さくなる。A． R． L．は工程パラメーターの関 数であり，もし抜取の割合が一定ならばこれは検 査された製品数に対して比例するであろう。従っ
て合格品に対して一1，不合格品に対してbの点
数を与える時，Pageはh，b，P（不合格品が生
産される確率）の値を与えてA．R．L．の表を作 成している。EwanとKempはPageの方法を拡張した〔3〕。
彼等は工程平均における変化が視覚的に検出され 得る便利さから累積和図を使用しているが，これ はグラフ的なものというよりも数値的なものを基 礎にしたと言うことができよう。 9 8 7 6 4 一1 −2 −3 −4 10 20 30 40 50 60 図3図1と同じデータについての累積和図 （はじめの30個の結果の平均＝・O．0，つ ぎの30個の結果の平均＝O．・20）累積和図は2個のパラメーターhとkによって
指定される。ここでk（参照値）は和が作られる 前に確率変数（観測された各々の標本）から減じ られる。目標から一方向の離脱のみを問題としている場合を考えよう。これは片側管理問題であ
る。参照値をとり累積和を作る。そして平均値の 増加傾向を見出す手段は，図上に最後に書き入れ た点（現状点）がこれまでの最低点よりも高いあ る一定量h（決定区間）よりも上部にあれば処置 をとる。もし最後の結果が新しく最小となる累積 和を作り出しても，その結果は決定に関して全然 役立つものではない。これに対して，最も新しい 6 判定境界線 不合格 図4 図3と同じデーターについての 決定区間法 結果が累積和を増加させているならば，その増加 量を測定することが必要であり，そして決定区間 を越えるまで，あるいはその累積和が新しい最小 値となるまで測定し続けることを必要とする。 次に述べる仮定がA．R． L．の計算で得られる。P＠）は点Zにおける確率で検査は下限上で下限
の端から始まる。N（X）は平均検査個数であり L（x）は最初の累積が下限からの点Zで始る方式 のA．R．L．である。その後の累積はこの限界を基 にして始る。そこでもし管理下にある変量鋤ミ連 続であるならば，P（x）， N（z）， L（z）はPage〔2〕 によって既に記述されている積分方程式を満足さ せる。f（X）をXのとる確率とすれば a F（α）＝Σf（x） 0 それから Y＝h−1 P（z）＝F（え一z）＋ΣP（ツ）∫（ツ＋k−2） Y＝1 v＝h−1 N（z）＝1＋ΣN（ツ）∫（ツ＋k−z） Y＝1 L（z）＝1＋L（0）F（k−2） Y h−エ ＋Σ．L（ッ）∫（ッ＋k−z） Y＝1 Kemp〔33〕によれば与えられた方程式P（x）， 1V（z）の近似解を得る為の方法が， xが正規分布 の場合には連続および離散変量の両方について容 易に一般化され得る。Xの平均をmとする。 （i）連続変量の場合 F（・）−fZ．f（・）… ・M（・）一∫ン∫ω晦G（・）一∫．！∫（鋤
一117一∫二・ ∫ω4エーぽ
（ii）離散変量の場合 a a F（α）＝Σ f（x），M（α）＝Σxf（x） 0 0 ぼ oo G（α）＝Σ eWXf（x），Σ e””f（x）＝ eUk。 0 0 ここで（i），（ii）ともに初は方程式のoでない実 根，f（X）はXの確率密度関数である。ここで，EwanとKempは連続変量あるいは整数値hとk
を取る離散変量に対してのP（0），N（0）の近似値 を得ている。即ち，1震≧乃）劉
N（°）÷｜芸Ill
ここで K1・＝1十｛［F（h十k）＊−F（k）］eWh −e−Wh［G（h＋k）＊−G（k）］｝／（1−eωπ） K2＝：｛e−wiC［G（h十え）＊−G（k）］ 一［F（h＋k）＊−F（k）］｝／（1−eWh） K3＝｛F（k）＊−F（k−h）−e−wk ［G（k）＊−G（ゐ一ん）］｝θ励／（1−ewh） K4＝1−｛F（k）＊−F（k−h）−e−WCk−h） ［G（k）＊−G（k−h）］｝／（1−eWh） β1＝1−｛K2h＋」M（h＋k）＊一」M（k） −k［F（h十k）＊−F（k）］｝／（m−k） β2＝1−｛（1−K4）h＋M（k）＊−M（k−h） 一（k−h）［F（k）＊−F（k−h）］｝／（m−k）。 上式において連続変量に対してはF（の＊＝＝F（t）， 離散変量に対してはF（の＊＝F（彦一1）；G（の＊， M（の＊も同様に定義される。P（Z）とN（Z）の近 似値が得られると A．R．L．＝L（0）＝N（0）／｛1−P（0）｝ となる。次に検査が点Zで始り，連の長さnをも つ確率をP（n，z）で表わすとXが連続変量なら ば P（n，z）＝P（n−1，0）F（k−z） ＋∫lp（n−1・ツ）f（bl＋k−・）吻 となる。ここでil（Z，のを連の長さの分布の積率 母関数とすれば φ（z，彦）＝Σ1）（n，z）ent 1 はe−tφ（z，t） ＝1−F（h＋k−z）＋φ（0，’t）F（k−z） ・∫1φ（・・t）f（・＋k一鋤を縦す・・さて・ nの大きな値とL（0）についてのP（n，0）の近似 は式 P（n）・）÷L｛。）・xp［一編］ によって与えられ，連の長さαL（0）を得る確率 は 嘗P（n，・・）÷・一・・p［エおアー・］ となる。また，（m−k）とhが同符号の場合L（0） に対する近似は L（0）÷1十h／（m−k） となる。上式は（m−k）が0ではなく，かつ励ミ 十分に大きければL（0）の値は適度な近似値を 示すだろう。EwanとKempは， N（m，σ2）なる母集団から大きさnの標本をとり，2変数lm−
kls／’ii／σと（んン万）／σによってR． Q・L・とA Q．L．におけるA． R． L．の値に関するノモグラム を得ている。決定区間と参照値をいろいろ組合せ た決定区間法の連の長さの平均は下表のようにな る。 （θ＝m−k） A．Q． L．におけ る A．R． L． 1000 1000 500 500 250 250 R．Q． L．におけ る A．R． L． 3 7 3 7 3 7 θン万 σ 1．12 0．65 1．04 0．60 0．94 0．54 hV万 σ 2．40 4．06 2．26 3．80 2．11 3．51 ここで参照fiL k÷丁（M・＋Mr）・・普通である・M。，mrはそれぞれA．Q．L．およびRQ．L．に
おける平均を表わす。ノモグラムの使用法は標本 の大きさηが前もって定まっているかいないかによって異なる。またEwanとKempが述べてい
るけれども標本の大きさと標本間隔の関係がほと んど線型である為に，出来るだけ頻繁に標本をと ることがよい。ノモグラムはA．Q．L．とR・Q・L・における連の長さの分布に関してプPットされ
一118一る。R．Q．L．に関するA．R．L．より小さい連の長 さの確率は高く，連の長さがA．R． L．の3倍に達 する確率は小さし。L（0）が大きい場合，一つの 連の長さが与えられた平均値の倍数より小さくな る確率は aL（o）
ΣP＠，0）÷1−e−a
1から殆ど不変である。ここでP＠，0）は連の長
さnにおける確率である。L（0）の大きな値に対 しては，連の長さの分布はあらゆる点でL（0）に よって指定される。 次に費用が考慮されC（n）が不必要な工程調査 費用であるならば，そしてこの型の検査による平 均費用がCを越えていけないならばL（0）と同様 のが定義される。またEwanとKempは標準偏差
を管理する可能性，工程平均値と標準偏差を同時 に制御する可能性について言及している。即ち， 工程の平均値とその標準偏差が変動する場合，一 定限界aの外側に存在する製品の百分率を管理す ることである。彼等は関数ッ＝（a−x）／Sを示し た。ここでhiは標本平均でSは工程の標準偏差の 推定値である。この関数は決定区間法によって管 理されるが詳細な結論は与えられていない。 3・2 累積和図とV一マスク Page〔2〕によって展開された概念は，その後EwanとKemp〔3〕によって有効な改訂がなさ
れ，これと全く同じことをBarnard〔4〕がV一マ スクを用いて処理した。この方法は目標値からの 増加・減少傾向の双方に対し，いずれの場合にも 工程平均値を管理する為に適用される。V一マス クは累積和図上の最も新しい点の前方距離4のと ころにある。もし，式Sr＝Σ（Cz一μ）
i＝1が観測値Ciの各値に対してプロットされるなら
ば，その場合累積和は工程が目標値に一致してい る場合は，あまり横軸からそれない筈である。パラメーターdとθをもつV一マスクの手法は平
均値に重大な変化が起った時の検出の為に適用さ れる（図5）。その手順は次のようである。頂角 累 積 和観測数
図5 V一マスクをもつ累積和2θをもつVの形をしたマスクを用い，最後に記
入された点の前方距ee dにその頂角を置き，頂角 2θの2等分線は水平線で，マスクの頂点は 「前 方」を示している。先にプロットされた点が全て Vの内側にあれば，工程は統計的管理状態にある とされる。パラメーターdとθは過去において得 たデータを用いて決定する。観測値と目標値の間 にCの差があるならば，それは管理の欠如を知ら せていることになる。そこで C＝1）（d十a）tanθ としよう。ここにαは連続する2点間の水平距離 であり，Pは垂直距離を水平距離単位に変換した目盛りである。Barnardは現状工程平均を累積
和図上に放物線カーサーを置くことによって推定 した〔4〕。 Kemp〔6〕は累積和図上vc V一マスクが用いら れる場合の，連の長さの平均を考察している。w は垂直目盛を単位目盛りとして測った連続する2 点間の水平距離とする。その場合には Σ（Xi−Pt−wtanθ）≧4tanθ i＝n一γ十1である様なrが存在する場合には，V一マスクの
下辺は時刻nで交わり， Σ（1i−Ft−wtanθ）≦−d tan O i＝n−r十1 であれば上辺が交わる。Kemp〔6〕はV一マスクと決定区間法が同等で
あり，パラメーターの間には 一119一h＝2σdtanθ／イ〆n， k＝μo十2σtanθ／s／万 あるいは上式に相当する μ、一μ。＝4σtanθ／Pt の関係があることを示している。ここで，参照値 k＝wtanθ，決定区間h＝dtanθそしてSli＝：i−Ft と置く。また カ ゴ u l 5ゴ＝Σ（yi−k），5‘’＝Σ（yi＋k） i＝t t＝u
とする。2つの和SmとSntを考える。ここで
0＜Sゴ＜h （0≦」≦m） −h＜Se’＜0 （0≦1≦n） である。 もし，f’番目の標本をとった直後に2つの案の 累積和がそれらの境界線の内側に存在するならばSmとSn，は
m十彦＝24十n＝r
ならば累積和を表わす。 さて，Sm＋t≧hのときは第一案によって工程は 目標値からはずれていることを指摘している。よ って Sm＋1＝ Sm＋Ym＋1−k≧h ∴ Ym＋1≧h＋k・・一 Sm。 第二案の累積和は S，n＋1＝・S’n十Ym＋1十k≧5，n−Sm十h十2k 従ってS／n＋1＞0，同様にぷノn＋1≦一んならば8椛＋1 は0より小さい。 ある案の累積和がr番目の標本の直後で，その 限界内に存在し他の案に対する累積が終ってしま う場合，同様の理由によって唯一つの決定限界だ けが次の標本を切ることが判る。そして他の案に 対する累積和は，その限界内に存在し得ない。当 然の結果として，最初の案の上限で終る或いは上 限を越える累積和は，そうでなければ第二の案の 下限で或いは下限以下で終っているであろう累積 和には到達しない。逆もまた同じである。そこで もしL，（0）が最初のL2（0）が第二案のA．RL であるならば二っの案に対するA．R．L．はL（0） で与えられる。 ここに 1 11
L（0）＝一亘（Of＋L、（0） である。もし，V一マスクの角度がθ1とθ2であ る場合には上式は Wsin（θ1十θ2）＞dsin（θ1一θ2） のときに正しい。種々の決定区間法に対するA．R．L．としては既にEwanとKempによって求
められている。k＝μ＋w tan 0そしてん＝4tanθ と置くことによってノモグラムからL、（0）が見い 出されるしk＝μ一w tan 0， h＝dtanθとおけば L2（0）が判る。これからL（0）が求まる。3・3 V一マスク法におけるA．RL．の
計算法GoldsmithとWhitfield〔5〕はKemp〔6〕の研
究を更に拡張した。種々のV一マスク法のA．R． L．は決定区間法に対する値と等しいことを示し ている。彼等はこれらのA．R． L．をモンテ・カルロシミュレーションによって得ている。それ
は，・平均値が目標値からkσ（σは標本平均の標準偏差）だけ違っている時の0から3までのkに対
して， 種々のd（＝1，2，8）とtanθ（＝0．3， （0．05），0．8）に対するA．R．L．のグラフを示し ている。また，観測値間の一連の相関関係につい ても考察している。即ち ツゴ＝ayd．、＋（1−a2）i！2 Eゴ（元＝1，2，…） t」＝kσ＋ツゴ ここで，εゴ（元＝1，2，…）とッoはN（0，σ2），lal ≦1である。共分散はC（N。，bl，−s）＝σ2aSで相関 関数はρ（ツ。，ツr．s）＝aS（s＝0，1，2，…， r）である。 a＝0の場合，上の様な独立な観測値をもつ。α＝1 の場合，砺＝ka＋Yo（すべての∫に対して）Sn＝n （kσ＋ツo）とそれからそのA．R． L．が定義される。 a・＝−1のとき， エ2ゴ．、＝kσ一y。；x、ゴ ＝＝ kσ＋y。；S2。．一、＝（2n−1） えσ一ツ。，S2n＝2η虎σ。 ここで現状平均の偏差がtanθより小さい場合 A．R．L．＝。。を与える。αに対するA．R．L．の グラフは2つの異なったV一マスクに対する種々 の乏に対して与えられる。グラフの中でa＝−1 においては不連続である。その場合，ka＞tanθと dtanθ／k（σ一tanθ）は一様な整数である。 （1974．2．20記） 一120一文 献 〔1〕Woodward， R． H． and Goldsmith， P． L． （1964）．Cumulative Sum Techniques，1． C．1． Monograph．，3． Scotland．（清水徹訳，培風館） 〔2〕 Page， E． S．（1954）Continuous inspect− ion schemes， Biometrika．，41，100−115． 〔3〕Ewan， W D． and Kemp， K． W．（1960）． Sampling inspection of continuous process with no autocorrelation between successive results， Biometrika．，47，363−380． 〔4〕 Barnard， G． A．（1959）． Control charts and stochastic process， J． R． Statist． Soc．，21， 239−271． 〔5〕Goldsmith， P． L． and Whitfild， H． （1961）．Average run lengths in． cumulative chart quality control schemes， Technometri・ cs．，3，11−20． 〔6〕Kemp， K． W．（1961）． The average run length of the cumulative sum chart when a V−mask is used， J． R． Statist． Soc．，23，149 −153． 〔7〕 Duncan， A． J．（1956）． Economic design of元charts used to maintain current control of a process， J． Amer． Statist． Ass。，51，228 −242． 〔8〕Box， G． E． P． and Jenkins， G． M．（1962）． Some statistical aspects of adaptive optimi− zation and control， J． R． Statist． Soc．，24， 297−331． 〔9〕 Bather， J． A．（1963）． Control charts and the minimization of costs， J． R． Statist． Soc．， 25，49−70． 〔10〕 （1966）． Free boundary problems in the design of a control chart， Paper presented at the European Meeting of Statisticians．， London． 〔11〕 Dodge， H． F．（1943）． Asampling in− spection plan for continuous production， Ann． Math． Statist．，14．264−279． 〔12〕Dodge， H． F． and Torrey， M N．（1951）． Additional continuous sampling inspection plans， Industr． Qua1． Contr．，7， No．5，7−12． 〔13〕 Lieberman， G． J． and Solomon， H．（1955）． Multi・1evel continuous sampling plans， Ann． Math． Statist．，28，398−403． 〔14〕 Derman， C， Littauer， S． B． and Solomon， ．H．（1957）． Tightened multi・level continuons． sampling plans， Ann． Math． Statist．，28，395 −403． 〔15〕 OEFIcE of THE AsslsTANT SEcRETARY OF DEFENsE（1958）．． Multi・正evel Continuous Sam・ pling Procedures and Tables for Inspection by Attributes， H．106． LoNDoN． 〔16〕 ．（1956）． Single−level Con− tinuous Sampling Procedures and Tables for Inspection by Attributes， H．107． London． 〔17〕Resnikoff， G．↑．（1960）． Minimum ave・ rage fraction inspected for a continuous sampling plan， J． Industr． Eng．，2， No．3， 108−109． 〔18〕 Lieberman， G． T．（1953）． A note on Dodge’s continuous inspection plan， Ann． Math． Statist．，24，480−484． 〔19〕 Elfving G．（1962）． The AOQL of multi− level continuous sampling plans．， Zeitwahr・ scheinlichkeitsch，1，70−87． 〔20〕White， L． S．（1965）． Markovian decision models for the evaluation of a lalge class of continuous sampling inspection plans， Ann． Math． Statist．，36．1408−1420． 〔21〕 Derman． C．（1962）． OII sequential decis・ ions and MarKov chains， Management Sci．， 9，16−24． 〔22〕 （1963）． Stable sequential control rules and MarKov chains， J． Math． Anal． App1．，6，257−265． 〔23〕White， L． S．（1966）． The evaluation of H106 continuous sampling plans under the assumption of worst conditions， J． Amer． Statist． Ass．，61，833−841． 〔24〕 Hillier， F． S．（1964）． New criteria for selecting conti皿ous sampling plans， Tech・ 110metrics，6，161−178． 〔25〕 AIlscombe， F． J．（1958）． Rectifying in− spection of continuous output， J． Amer． Statist． Ass．，53，702−714． 〔26〕 松本 洋（1973）． 抜取検査実施法，日科 技連． 〔27〕Wald， A． and Wolfowitz， W．（1945）． Sampling inspection plans for continuous production which insure a prescribed limit on the outgoing quality， Ann． Math． Statist．， 一121一
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