数学科（数学Ⅲ）学習指導案
１ 単元名 ○ 第２章 式と曲線 ２ 単元設定の理由 ○ 単元観（題材）観 中学校における座標平面上での図形の扱いは，中学校２年で「１次関数」，中学校３年で「２次関数y = a𝑥2」 を扱う。中学校での「関数」の指導については，具体的な事象の中から二つの数量を取り出し，それらの変 化や対応について表，式，グラフを相互に関連づけながら調べることを通して，関数関係を見いだし，表現 し，考察する能力を３年間を通して徐々に高めていくことが重視されている。 高等学校においては，「数学Ⅰ」の「２次関数」で，２次関数のグラフとして放物線を扱い，関数を用い て数量の変化を表現することの有用性を認識するとともに，それを具体的な事象の考察や２次不等式を解く ことなどに活用することを学ぶ。さらに，「数学Ⅱ」においては，「図形と方程式」で円および円と直線の関 係を扱い，座標や式を用いて基本的な平面図形の性質や関係を数学的に考察し処理することを学んでいる。 これらの指導過程を踏まえ，「数学Ⅲ」の「式と曲線」では，「２次曲線（放物線，楕円，双曲線）」を主 としていろいろな曲線の性質について学ぶ。さらに，曲線の媒介変数表示や極座標，極方程式について学び， 直交座標と極座標の相互の変換方法などの学習を通して，図形処理の技術を深化させる。本単元での学習は， 座標平面および座標平面上の図形についてのこれまでの学習の発展と今後の応用のために非常に重要であ る。 ○ 生徒観 本学級は，普通科理系クラスで，男子〇名，女子〇名，計○○名で構成されている。真面目で素直な生徒 が多く，教科の授業や学習に意欲的に取り組もうとするよい雰囲気がある一方で，数学を苦手とし，数学の 学習に対して消極的な姿勢の生徒も多数いる現状がある。本学級のほとんどの生徒が進学を希望している国 公立大学理系学部の入学試験においては，原則数学が高いウエイトで課されるため，数学の学習の充実が大 学合格のための必要条件であることはいうまでもない。そのため，数学に対してネガティブな印象を持って いる生徒が多い中，日々の数学の授業でいかに生徒の興味・関心を引きつけ，生徒たちの数学の学習へのモ チベーションを高められるかが重要となってくる。そのことを踏まえ，日々の授業は，数学の発展の歴史や 数学を学ぶ意義と有用性について数多く語るなど，生徒たちが数学の本質的なおもしろさを自ら探究しよう とするような言葉かけや仕掛けを行うことを心がけて実践しているところである。 ○ 指導観 ２次曲線の中でも，例えば「放物線」については中学校から学習をしており，その概形は「二次関数のグ ラフ」として生徒にとって非常になじみ深いものであるが，「放物線」が「ある定点とその定点を通らない 定直線からの距離が等しい点の軌跡」であるということは理解できていないと思われる。 そこで，本単元の指導にあたっては，「２次曲線」が「幾何学的な条件を満たす点の軌跡」であることを 十分に理解できるよう，２次曲線の焦点や準線についての性質を体感することを重視し，「折り紙」を導入 する。最初の授業の冒頭から折り紙を渡され，いきなり「折り紙を使って放物線を折りなさい」と指示され た生徒たちは，戸惑いながらも，実際に手を動かし試行錯誤しながら「数学的活動」を行うことを通して， 主体的に数学の問題に取り組むことにもなり，生徒たちを自然に授業に引き込むことができると考える。 ３ 単元指導目標（到達目標） ○ ２次曲線の方程式を図に表すことに関心をもち，曲線の性質を活用しようとする。（関心・意欲・態度） ○ ２次曲線の方程式及び概形の性質について考察し，２次曲線の特徴を見いだすことができる。 （数学的な見方や考え方） ○ ２次曲線の方程式及び概形や２次曲線に関する具体的な事象において，表現し処理することができる。 （数学的な技能） ○ ２次曲線の方程式及び概形や２次曲線に関する基礎的な知識を身に付け，具体的な事象について理解して いる。 （知識・理解）４ 指導計画・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・単元の時間配当（全１３時間） ○ 第１次 式と曲線・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ７時間 １ 放物線・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （１時間）本時 ２ 楕円・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （２時間） ３ 双曲線・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （１時間） ４ ２次曲線の平行移動・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （１時間） ５ ２次曲線と直線・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （１時間） ６ ２次曲線の性質・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （１時間） ○ 第２次 媒介変数表示と極座標・・・・・・・・・・・・・・ ４時間 ７ 曲線の媒介変数表示・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （２時間） ８ 極座標と極方程式・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （２時間） ○ 第３次 総合問題演習・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ２時間 ５ 本時 （１）本時の指導目標（到達目標） ○ 「折り紙を使って放物線を折る」ことに楽しく積極的に取り組むことができる。 （関心・意欲・態度） ○ 放物線の「幾何学的定義」「方程式（標準形）」「焦点」「準線」について理解する。 （知識・理解） ○ 放物線の「放物線の軸に平行な光線が放物線に当たって反射すると，すべて焦点に集まる」という性質 について知り，その根拠を明らかにしようとする。 （数学的な見方や考え方） （２）本時の手立て ○ 生徒１人に１枚ずつ「折り紙（Ａ３用紙）」を配付し，それを使って放物線を折るという「数学的活動」 を取り入れ，生徒の興味・関心を引き出す。 ○ 「放物線の定義等」の基本事項について黒板にポイントをまとめ，ノートを作らせ，基礎・基本の定着 を図る。 ○ 「放物線の平行光線の性質」の根拠について，最初に行った「折り紙」と関連づけて考えるように支援 する。 （３）本時の授業仮説 ○ 「折り紙」などの身近な道具を用いた「数学的活動」という体感と，「主体的・対話的」な授業展開を 通して，生徒の数学への興味・関心・理解が高まり，自ら主体的に探究しようとする生徒が育つであろ う。 （４）教材 ○ 教師 ― 教科書 ： 数学Ⅲ（数研出版） 教 具 ： 折り紙 ○ 生徒 ― 教科書 ： 数学Ⅲ（数研出版） 教 具 ： 折り紙 授業用ノート （５）板書計画
（６）学習の展開（学習指導過程） 学習内容・活動 教 師 の 支 援 指導上の留意点 教材 時間配当 学習形態 評価 導 入 ○ 「折り紙を使って放物線を折 りなさい」という課題に取り 組む。 ○ 課題に取り組んだ後，教師ま たは生徒による答え合わせを 聞いて，自分の答えと比較す る。 ○ 唐 突 に 左 の 課 題 を 与 え，生徒の関心を引く。 ○ 机間指導し，できてい る生徒をリトルティー チャーにするなど工夫 して進める。 ○ 数学的活動を楽しめる ような雰囲気づくりに 努める。 ○ 答え合わせでは，あえ て「根拠」には触れな いでおく。 折り紙 8 分 個 「折り紙を使っ て 放 物 線 を 折 る」ことに楽し く積極的に取り 組むことができ たか。（関心・意 欲・態度） 展 開 １ ○ 放物線の幾何的な定義，方程 式（標準形），焦点，準線につ いての教師の講義を聞く。 ○ 黒板にポイントをまと めていき，それをノー トに記録するように生 徒に指示する。 ○ ここは基本事項をしっ かり教える時間である ことに留意する。 ノート 20 分 一斉 放物線の「幾何 学的定義」「方程 式（標準形）」「焦 点」「準線」につ いて理解できた か。（知識・理解） ○ 教科書P.35 の練習 1,2,3 に取 り組んで，基本事項の確認を する。 ○ 早くできた生徒に板書 をさせ，答え合わせを する。 個 展 開 ２ ○ 放物線の日常生活での応用例 について考える。 ○ 「放物線の日常生活で の応用例を何か知りま せんか」と発問する。 ＜予想される答え＞ ・ パラボラアンテナ ・ 懐中電灯 10 分 一斉 放物線の「放物 線の軸に平行な 光線が放物線に 当たって反射す ると，すべて焦 点に集まる」と いう性質につい て知り，その根 拠を明らかにし ようとしたか。 （数学的な見方 や考え方） ○ パラボラアンテナなどには， 放物線のどのような性質が応 用されているのかを考える。 ○ 答えがいくつか出てき たところで「どのよう に 応 用 さ れ て い ま す か」と発問する。 ○ これについてすぐに答 えられる生徒は非常に 少ないと予想されるの で，話し合わせる。 ペア グループ ○ 「放物線の軸に平行な光線が 放 物 線 に 当 た って 反 射す る と，すべて焦点に集まる」と いう性質について学ぶ。 ○ 上の発問の答え合わせ をする。 ○ ノ ー ト に ま と め さ せ る。 ノート 一斉 ○ 上の性質の「証明」を考える。 ○ 左上の性質の「根拠・ 証明」を考えさせる。 ○ 最初の「折り紙で放物 線を折れる」ことの根 拠そのものであること に う ま く 気 づ か せ た い。 10 分 個 ま と め ○ 本時のまとめを聞く。 ○ 放物線の幾何的定義と 性質についてまとめを 行う。 ○ 次回の予告を行う。 2 分 一斉
