非可換空間上における場の理論の構成とその応用
著者
綿村 哲
非可換空間上における場の理論の構成と
と
その応用
課題番号09640331
平成9年度∼平成1 2年度
科学研究費補助金(基盤研究(C) (2))
研究成果報告書
平成1 3年4月
研究代表者 綿村 哲
東北大学大学院理学研究科 助教授
00021005701
非可換空間上における場の理論の構成と
と
その応用
課題番号09640331
平成9年度∼平成1 2年度
科学研究費補助金(基盤研究(C) (2))
研究成果報告書
平成1 3年4月
研究代表者 綿村 哲
東北大学大学院理学研究科 助教授
はしがき
重力と量子論の統合の問題は,この半世紀の間研究され,いまだに解決されない難
攻不落の大問題であり,相互作用の統合の最後の難関と考えられる.その難しさは
いろいろな言葉で述べることができる.たとえば,重力場に対して既存の場の理論
の手法を適用して何か計算しようとすると,とたんに繰り込みのできない発散に遭
遇してしまう.これが,曲がりなりにも何か有限の値を出すのであれば,その理論
の持つ意味を議論することができるが,実際はどのように計算しても,この発散の
問題は回避できそうにない.そのような状況の中で,既存の理論としては超弦理論
だけが重力を含みながら発散などの問題を回避している可能性の高い理論として活
発に研究されている.このことは,最近のブラックホールエントロピーの導出の成
功を見て,確信に変わりつつあるといえる.そこで,もし超弦理論が重力を含む理
論の正しい方向を与えているとすると,アインシュタイン理論のように,宇宙の形
状など時空の幾何学もこの理論によって決定されることになる.
しかし,超弦理論がどのようにして時空の幾何学を記述しているのかという問
題は,なかなか理解することが難しく,幾何学とは何かという根本的な問題にまで
遡って考えることを強制しているのではないかと思われる.そのような研究の中で,
弦理論の背後にある幾何学的体系として最も有望と考えられるのが非可換幾何学と
いう体系である.しかし非可換幾何学そのものも,数学的にも完成した体系として
存在しているわけではない.そこで弦理論をたよりに,重力と量子論の統合を記述
するためには,それに必要な幾何学的体系として,非可換幾何学という数学的体系
の構築も視野に入れた研究が必要になる.
我々はこのような観点から,現在分かっている非可換幾何学の体系を足場に,罪
可換空間上の場の理論の構成をおこないその解析を通じて,逆に物理的に望ましい
非可換幾何学の体系を探ることを目的に本研究を行っている.この4年間の研究の
間に超弦理論の中に現れる8-bra.neが,ある状況で非可換空間上のゲージ理論とし
て記述されることが発見されるなど,非可換幾何学と超弦理論の関係がより具体的
になってきた.さらに,我々が研究のためのモデルとして考え研究してきていた量
子球面上の場の理論が,超弦理論の中の実体として存在することも次第に明らかに
なってきており,この4年間の科研費による非可換幾何学上の場の理論の研究が,い
かに重要かつ先見性のあるものであったかは強調してもしすぎることはない.ここ
に研究の内容を報告するにあたって,東北大学大学院理学研究科の素粒子理論研究
室の皆さん,さらに,物理学会や研究会,また国際会議などで発表の機会を与えて
くだきり,また,啓発的な議論をしてくださった方々に心から感謝いたします.
研究組織
研究代表者 綿村 哲 東北大学大学院･理学研究科･助教授
研究分担者 石川 洋 東北大学大学院･理学研究科･助手
(研究協力者 UllSula Carow-Watamul･a
東北大学大学院･理学研究科･研究生(平成9年度))
研究経費
1997年度 1100千円
1998年度 500千円
1999年度 500千円
2000年度 500千円
計 2600千円
98
欝付
玉等宣誓番
蓄3y基地
肇藩基地
Y(目
妄哉基地
鮒基地
幸5年1羊1
第日
P U 0 09
ほ 柑 ∩ ら ワ ′ U ︻ノ b研究発表
学会誌等
1. Ursula･ CarowIWata.mura and Satoslli Watalnul･a:
Cllirality a･nd Dil･a｡ Operator on NollCOmmutat,ive Sphelle:
Commullications in Matllema･tical Physics, 183(1997) 365-382.
2. Ul･Stlla CarowIWatamura and Satoshi Watamura:
Diffcre11tial Calculus oil Fuzzy Spllel･e alld Scalar Field;
Internatial Jourllal of ModernPhysics A, 13(#19) (1998) 323513243,
3. Ul･Sula Carow-Watamul･a and Satoslli Watamul･a:
Noncommutative Geometl･y alld Gauge Theol･y On Fuzzv Sphel･e;
Communications in Mathema･tical Physics, 212(2000) 395-413.
4. Satoslli lVatamura:
非可換幾何学と場の理論;
日本物理学会誌2000年55巻10号756-762.
5. Hiroslli Isllikawa alld Satoslli Watamura:
Freefield llealizatioll Of D-brane ill gl･Ou1-1a11ifold;
･Journal of HighEnergy PllySics,08 (2000) 044.
出版物
1･ Yoslliaki Maeda, Hitoslli Moriyoslli, Hideki Omori, Daniel Sterllheimer,
Ta･t･-suya Tate, Satoshi Watamul･a
Nonconlmutat,ive Differelltia･l Geonletry and its Applica･tio11 tO PllVSi'･S, -
Proceedings of the WorksllpO a･t Shona.ll June 1999
-Ⅰくuluwer Academic Publisllel･S. 2001, 306ページ_
口頭発表
1.石川洋
タイトル: Open strings ill WZW lnOdels
｢ⅠくEIく理論研究会2000｣ 2000年3月14日(火ト16日(木)高エネルギー研
究所にて, 2000年3月14日発表
2. Ul･Sula Carow-1Va.ta,nlt11･a alld Satoslli VVatanlul･a
Title: Gauge Theory oll tlle Qualltulll Spllere
Internatiollal Workshop oil NollCOmmutativc Geomctl･y alld String TlleOry,
March 16117, Ⅰ(eio University.JAPAN, 2001年3月20日発表
3. Hiroshi lshikawa.
Title: D-branes in non-simply collneCted gl･OuP mallifolds
lnternational Workshop on NollCOmmutative Geometl･y alld Stl･ing TlleOry,
March 16-17, Ⅰ(e主o UniveI･Sity.JAPAN, 2001年3月19日発表
招待講演等
1.綿村 曹
タイトル:非可換空間上の場の理論
日本物理学会第55回年次大会新潟大学2000年9月22日-25日
特別講演2000年9月23日
2. Satoslli ∼/Vata.mul･aTitle: A Class of Gauge TlleOry On Noncomlmltativc SpllerC;
APCTP-I(IAS Winter ScllOOl oil STRINGS AND DIBRANES 2000. 17 - 25
Fel)ruary, 2000 APCTP, Ⅰtorea
lnvited ta.lk, 2000年2月22日
研究成果
この研究の目標は,非可換空間上での場の理論を構成しその解析をすることにあ
る･具体的には非可換空間の例として,非可換球面を取り上げその上での場の理論
の構成とその性質の解析を行った.非可換球面は,球面の関数代数を量子化するこ
とによって得られる空間であり,曲率のある空間の変形として得られる非可換空間
のもっとも簡単な例である.
このような空間上で場の理論を展開するには,まずこの空間上の微分幾何学を構
成する必要がある･このためには,非可換球面の代数,対応したヒルベルト空間,ヒ
ルベルト空間上のデイラック作用素を定義する必要がある.これら3要素は,いわ
ゆるCollneSのtl･ipleと呼ばれているものである.非可換球面の代数そのものは,定
義から明らかであるが,残りの2つは,様々な自由度があり具体的に構成し,その性
質を調べてみる必要がある.そこで,我々はまずこれら3要素,とくにデイラック作
用素を構成することからはじめた.カイラリティー作用素が存在すること,および
そのデイラック作用素との反交換関係を満たすことを要請することにより, C｡nnes
のtripleを決定した. (論文1)
この結果得られた,デイラック作用素を使いConlleSの意味での非可換微分幾何
学を構成することができる.論文2においては,実際に非可換球面上のスカラー場
の作用を構成しその解析を行った.
我々の特に興味があるのは,非可換空間上でのゲージ理論である.しかし, C｡ml｡S
のtripleから非可換空間上のゲージ理論の作用を構成していくには,より詳しい,非
可換微分幾何の構造を調べる必要がある.論文3においては,実際に非可換球面上
の微分幾何学の構成を行い, U(1)ゲージ場の作用を書き下すことを実行しその結果
をまとめてある.さらに,この様にして構成された場の理論の可換極限との対応を
調べた･その結果,ゲージ理論においては,可換な理論には現れない種類の項が現
れることが分かった･その構造から,非可換球面へ拡張されたゲージ理論の分類と
その可換極限との対応を解明した.
一方,反対称テンソル場の下で,トーラスにまきついたD-1〕1-all｡が非可換性を
示すことが知られている.平坦な時空であるトーラス以外で, D-1)1･an｡が非可換性
を示す例を構成し,その性質を調べることは,弦理論と非可換幾何学との関係を調
べる上で興味深い問題である.このような観点から,群多様体上のDlbra.lleを調
べ, boullda･1-y Sta･teの解析から,群がSU(2)の場合のbraneの成すworldvolumeの
具体的な形状を決定した･特に,群多様体の体積が有限の場合,弦の効果により,
D-braneが拡がりを持つことを示した(論文5).群多様体上のDlbralleも非可換
性を示すことが知られており,我々の結果はD-bralleの｢拡がり｣と非可換性との
関係を示唆するものと考えられる.
この様にして構成されたD-1)1･alleの有効理論は, D-bralleの成す空間上のゲー
ジ理論になることが知られている･特に,論文5の場合のように,群がSU(2)の場
合, D-1)1･a･1leの成す空間は量子化された球面になる.この量子球面は,ある種の極
限で我々の研究対象としてきた非可換球面と一致する.結果として, SU(2)空間内
のD-1〕1･a･neの有効理論はある種の極限で非可換球面上のゲージ理論と関係がつくこ
とが分かってきた.しかし,このようにして得られるゲージ理論と上記の非可換幾
何によって得られたゲージ理論には,異なる部分がある.特に,弦理論から得られ
るゲージ理論は,可換極限での振る舞いに微妙な点があり,現在その間題について
解析中である.部分的な結果を国際会議発表した. (口頭発表2)
国際会議等の組織について 4年間の研究の間に,我々は研究の成果の発表と,意見
の交換や議論の場として,さまざまな国際会議や研究会を主催してきた.このよう
な活動に,本科研費の補助が大きな助けになったことを報告し感謝するともに,こ
こに,我々が組織したなかで,本研究と直接関係している会議等を報告する.また,
これらの会議のプログラム等を付録に添付する.
1.仙台ワークショップ｢Ma･trix TlleOryから. SUSY PllenOnlenOlogyまで｣
日時: 1998年 2月16日(月) ∼18日(水)
場所:東北大学大学院理学研究科物理 A棟
世話人 石川洋,山口昌弘,綿村菅
2l WorksllOP On Noncomlnutative Differential Geometry and its Applicatioll tO
Phvsics
Shollan-I(okusaimura, ･Ja･pan, Mav 31-･Junc 4, 1999
Tlle Orgallizers: Hideki OlllOri(SUT, ･Japall), Yoshiaki Maeda(Iくeio, ･Japa11),
Hitoshi Moriyoslli(I(eio, Japan) , alld Satoslli Wa･tamura(TollOh, ･Japall)
3･ Wollishop oil Non(･Ommutative Geometry and String TlleOry
Kcio Univel･Sity, ･Japall, March 16122,2001
Tlle Organizers: A･ WeillStein, Hideki Omori, Yoslliald Maeda･, Hitoslli Moriyoshi.
CIS
寄付
仙台ワークショップ｢Matrix Theoryから, SUSYPhenomenologyまで｣
日時:1998年 2月16日(月)∼18日(水)
場所:東北大学理学研究科物理 A棟
16日:6階604号室
17, 18日:5階504号室
世話人 石川洋,山口昌弘,綿村哲
連絡先 絹村 哲
主旨: 3人の講師の方の基本的なところを含む講義を中心に,ワークショップを構成し,
それを基礎に討論を発展させていきたい｡このため, ShortTalkは一人2 0分とする｡
仙台ワークショップのプログラム
講師:加藤光裕氏(東大),
伊藤克司氏(筑波大),
波場直之氏(三重大)
講演タイトル
加藤: MatrixTheoryについて
伊藤:超対称ゲージ理論のdualityについて
波場:超対称的模型の現象論について
会議のスケジュール:
午前(9:30･) 午後(1:00･)
1 6日 伊藤,波場,STl,
17日 伊藤, ST2, 波場,加藤, sT3,
18日 加藤, 加藤,ST4
ここでSTl, ST2, ST3, ST4は, 20分の発表で
以下のような内容である.
Short Talks:
STl
青木真由美(お茶大) :超対称性模型におけるCP非対称なトップクォーク崩壊
浅賀岳彦(宇宙線研) :Spectrum ofBackgroundX.ray from Moduli Dark
Matter
野村大輔(東大) :大気ニュートリノ振動と レプトンフレーバー数の破れ
梅沢栄三(日大) :Renormalization group lnVariant constrains among
coupling constants in Noncommutative geometry model
奥山活(茨城大) :Invariant regularization of supersymmetric chiral
gauge theory
嫁原裕史(中央大) :可解模型と結合定数に関する微分方程式
ST2
横井直人(矢阪大) :Renormalization group now near the superc onformal
points in N=2 supersymmetric gauge theories
ST3
黒田正明(明治学院大) :MSSMの自動計算について
野村泰紀(東大) :gauge mediation model とcolor instability
ST4
栗木理恵(電通研) :CanonicalEquivalence between Super D ･string
and Type IIB Superstring
大川祐司(東大) :Mamifestly T -duality symmetric matrix models
黒木経秀(東大) :Master丘elds on fuzzy sphere
Workshop on Noncommutative Differential Geometry
and its Application to Physics
Shonan-Kokusaimura) Japan) May 31-June 4, 1999
1･ LocATION･ The workshop will take place at tlle Shonan-Kokusaimul･a,
Shonan-Kokusaimura, Kanagawa, Japan
Tel: 0468155-1800
The map of仙e area in the vicinity of the residence is attached at tlle end of tllis announcenlent.
2･ ORGANIZATIONI This conference will be heldincooperation with Keio Univcl･Sity and tll'▲ Mitsl11'151li
foundation･ The organizersare H･Omori(SUT, Japan), YI Maeda(Keio, Japall),
H･Moriyoshi(Keio, Japan) and SIWatamura(TollOku, Japan).
A prelilninary version of the program iS attaClled at the end of tllis an110unCelnent. For ful･ther infornlati｡11:
http: //www-tuhep･phys･tohoku･ac･jp/ I watamura/workshop99/
4･ REGISTRATION･ If you would like to get fL registration form7 please send an email directly to Y.Macda at
maeda@math･keio･ac. Jp
The deadline for the registration is April 30.
5･ AccoMMODATION･ We have roolnS available in the Shonan-Kokusaimura center. If you l上ave queStiollS con伐1.nlng tl詑reSidence, you can contact Y.Maeda.
The cancellation deadline is May 15.
6. TRAVEL INFORMATION.
n.ain connections : From Tokyo station, there are very frequent and convellicnt trains to ZllShi statioll.
Lnl0m Zuslli station, you can take a Bus to the Shonan-Kokusaimura center. It takes about 30millutCS fl･Om
the city center.
7･ UpDATE INFORMATION ‥ http://www-tullep･phys･tohoktl･aC･jp/ watamura/workshop99/
Looking foIWard to seelng yOu!
Hideki Omori
Yoslliaki Maeda
Hitoslli Moriyoslli
WorkshoponNoncommutativeDifferentialGeometry
anditsApplicationtoPhysics
Shonan-Kokusaimura,May31-June4,1999
MONDAY MAY 31
Morning
0. Opening 9:30-9:40
1. M. Dubois-Violette (Pal･is, Orsey) 10:00-ll:00 "LcctLu".fjS un･ grade(1 dlJHerenliul alycbras an･(1 rIJOr71
(:Om-mulative geOm･etly (1) "
2. M. Kato (Tokyo) 11‥30-12:30 "On, Stlmg and D-bllanC (Ten,tatrue)"
A氏ernoon
3. N. Ishibaslli(KEK) 14:30-15‥30 "Dp-blune and string theory
2. A. Kato (Tokyo) 15:45116:45 "Comments On Large N M,かね: Model" 5. H. Kawai(Kyoto) 17:00-18‥00 "Space-ti･me an,1 matter m IIB rn,alT7･"T7･Odel''
TUESDAY JUNE 1
Morning
1. T. Yoneya (Tokyo) 9‥00-10=00 "StlW･g theo17/ and quantu,m gCOmJe的(1ノ"
2. M. Dubois-Violette (Paris, Orsey) 10:15-ll:15 " Lectures on graded d離rent･Lal algebras ar1,d
non･C(}･rTl･-mutative geometry (2)"
3. P. Severa(IHES) 11‥30-12:30 "GeoJlne117/ Of nonJabeltan duality -Kramers- Wannter d･ual.Lty and 3,1 topol-09y''
Afternoon
4. 0. Grandjean(Hal･Vard) 14:3O-15:30 7JCharactertza如rTJ Of Kaehlel. rl･un-COmTrI,u･taかe spa'J'eS"
5. T. Natsume (Nagoya) 15:45116:45 "'TBA"
6. M. Kato (Tokyo) 17:00-18:00 "World tlOlu'me rl･OnCOm'mut(Lt'LV軸'L'erS'uS ta'lyet SPllCe
WEDNESDAY JUNE 2
Morning
1. T.Yolleya (Tokyo) 9‥00-10:00 " St7･mg th･eol･y art･d q･Ll･arl･t,u･･m･ ye("n･Ctry (2) "
2. M.Dubois-Violette (Paris, 01･Sey) 10‥15-11‥15 "Lect･u･1･CS On 91･adcd d･LHere77･t,Lul ulgeb･).,LS anJ,I
r"n(,mrJ･･rrI･u･-tatl,,Ue geOme的(3) "
3. K.WojciecllOWSki (IUPUI) ll:30-12‥30 '''Intl･Odu｡tiOr1, tO Zeta-detclmmJant Of the Du･a(; upel.atO-Ln･(1 el-lipわc boun(1al甘Pl･Oblem for the DmLC OPerYLtOr7●
A氏ernool1
2
NO LECTURES
THURSDAY JUNE 3
Morning
l･ T･Kinllll'a (Boston) 9:00110:00 "Opel･ads and tis applications (1) "
2･ K･WojciecllOWSki (IUPUI) 10:15-ll:15 "Quiller', detelmm,ant仰,'1 th,e Cant'n,LL･uJ determin,a,t on, th.a Grassmanもαn Of the boundary condetions "
3･ P･Sevel-a(IHES) ll:30112‥30 "Contact reductwn - a mech'),n%Cal analoO･uC"
Afternoon
41 D･Sternheil11Cl･(BollrgOne) 14‥30-15:30 `,'Dcfor･mo,tiorHluant?,ZutWn, a.i 27 "
5･ Vl 0vsienko(Marseille) 15‥45-16:45 "Co･n･Jormally e'Iu./(,ual･la'l,i q,ELa'1.i,LZlltWr',
6･ KIMikami(Akita) 17:00-18:00 "Self-S,lm,ilarity Of Powson b･tl･uCt･LL7･Cb･
FRIDAY JUNE 4
Morning
l･ T･Kinlura (Boston) 9:00-10:00 "Ope77Lds lmd JLtS aPPl,LCations (2)''
21 KIWojciecllOWSki (IUPUI) 10: 15-ll:15 "Th･e cqualLLty ('f the Q･u,LlleTl, dete177l,i77.ant (md Zetu,_(1,3te77rZ.?,n,,Lnt
on the Grassmannian"
3･ P･Sevel■a(IHES) 11‥30-12:30 "Coul･ar7Jf algebra,/,ds αれ･d Pow.ヲon-L,Le T-a,uul･',tyl
Afternoon
4･ P･Lecomtc (Liege) 14:30115:30 ●'B,JurL,a7･7,art,i ,1,Ill,mt･/,Zat･1J''･n･ ; ULC PrOJe'･t, (:(LtW 5･ H･011101.i(SUT) 15:45-16:45日T(,a,ards nuncurrL,n-L･,LLtatL･(,.a geumetryH
Organized by :
Hideki Omori(SU甘, Japan), Yoshiaki Maeda(Keio, Japan),
Hitoshi Moriyoshi(Keio, Japan), Satoshi Watamura(Tohoku, Japan)
Wわrkshop on Noncommutative Geometry and String Theory
Keio University) Japan) March 16-22,2001
The lnternational Workshop win focus on recent topics in noncommutative geollletly and string theory･
Thefi1･St two days, March 16117, will be 111ainly devoted to survey lectures:
(1) Prof. B･ Tsygan: Noncolnmutative geollletry and index theoreln
(2) Prof･ PI Xu : Poisson manifolds and Lie algebroids
and intl･Oductory lectures on the theories of stl･ings and branes:
(3) Prof. Y. Matsuo : Introduction to D-branes fol･ Matllematicians
(4) Prof･ C･ Klimcik : Strings on Poisson-Lie groups
(5) Prof. V･ SchomeruS : St,rings, D-branes and non-comlnutative geometry
Marcll 19-22 willinclude various invited talks i.elated to these pl･Oblems.
1･ Location: The lneeting will take place at tlle Faculty of SciellCe and TecllnOlogy, Kcio Ullivcrsity:
Hiyoslli 3-14-1 , Kohoku-ku, Yokollalna, 223-8825, Japan
Tel: +81-(0)45-566-1641, FAX= +81-(0)45-56611642
2･ Organi2'ation: Tlle Organizers are A･ Weinstein (chairman)I H･ Omori, Y. Maeda, H. Moriyoshi, A.
Yosllioka, and S. Watamura.
3･ Date: Marcll, 16 (n･iday), 2001-Marcll, 22 (Thm.sday), 2001
(We will llaVe a break on Marcll, 18(Sunday), 2001)
41 Program: A preliminary version of the pl･Ogram is attaclled at tlle end of t,his announcement. Updated
versions Can be seen at the home page‥ llttp://www･tuhep･ph)rs･tohoktl･aC･jp/ watamtlra/worksllOp2001/
5･ Registration: If yoll would like to get a l･egistration form, please selld all e-mail direct,ly t.o Y. Macda at
maedaQmath･keio. ac I ]p
6･ Deadline: The deadline for registration is ofEcially January 31
7･ Reception: On March 21, a reception will be llCld at 18‥00pl一一､ Open tO ILll I)al･ticipalltS.
1
WorkshoponNoncommutativeGeometryandStringTheory
KeioUmiVersity,March16-22,2001
FRIDAY MARCH 16
Morning
l･ P. Xu (Penm St･ Univ･, USA) 9:30-10_:30 ``Poisson manifolds and Lie bialgebroids (1)"
2･ P･ Xu (Penn･ St･ Univ･, USA) ll:00-12:00 " Poisson manifolds and Lie bia19ebroids (2)"
A氏ernoon
l･ YI Matst10 (Tokyo Univ･, Japan) 14‥00-15:00 "Introduction to D-bmneS for Math.ematicもanS" 2･ B･ Tsygan (Penn･ St･ Univ･,USA) 16‥O0-17:00 "Noncomm-utative 9eOmetlWnd inde.t･ th･C(we･m.S (1) ''
3･ SI Kami111ura (Keio Univ･, ･Japan) 17:15-17:45 ``Coarse geOmetly and ･LndeLt th,eo･Irem.
4.人/1. Yan° (Keio Univ., Japan) 17:45-18:00 "TBA"
SATURDAY MARCH 17
Morning
l･ Ⅴ･ ScllOmeruS (Potsdam,Germany) 9=30-10:30 ``Strin･gS, D-bllaneS anl1 non-cl"rl,m･ll･tatm,e geOrll,etry (1) "
2･ BI Tsygan (Penn･ St･ U11iv･,USA) ll:00-12:OO W(,n(:I"TIJ･,rZutat･/;Ue gCurrLet,1y an･,1 Jm･,1cl;伽(''･ems (,,2) "
Afternoon
l･ V･ ScllOlneruS (Potsdalll, Germally) 14‥00-15:30 "St7-9S, D-branes and non-commutat./J･L,e OeOrmCtl･y (-9) " 2･ C･ Klimcik (Lunliny lnst･, n'aIICe) 16‥00-16:50 ``Stl加9S On the Poisson-L7,e 9r(H.ILS''
3･ C･ KlinlCik (Luminy lnst･, n'ance) 17:O0-17:50 ``Drm･feld double (m,d th,e Verl･mde Jormula'7
4･ K･ Furuuchi (KEK, Japan) 18‥00-181･30 ``Topolo9iCal ch,woe Of U(1) instanton o･n, nomr:('mm,･ELtati,L'e all "
SUNDAY MARCH 18
NO TALKS
MONDAY MARCH 19
Morning
O. Opening 9:00-9:3()
1l C･ Klimcik (Lulniny lnst･, n.ancc) 9:30-10:30 "Quasl,tmangular WZW modelH
2･ T･ Ratiu (Lれ11Sallne Univ･ , Swit･zcrlalld) 1 1 =00-12:00 "Lagrang,),am･ 7･rZd,u.I:twn･ J'(,1･ n(H7h,ul('･n,(wll,1,(/A Lyyb･t'3m,.'.
A氏ernoon
1 ･ P.Lecolllte (Licge･ Bclgiulll) 14‥00-1 5:00 " T('･lL,']･,rl1.",rttul･al p7･('.JeCtLL･(,(jly cq･u･LL'u.7･mn,I,.9ym.bolt,
2･ Y･ MatsllO (Tokyo Univ･, Japan) 15=30-16:30 L'N()ncomm･ll.tlLt,/,JIJe SOlitl)･n (m,'1 ,Lf"1)Pl7J'･lI,i,I,('77, I() D-br'),n,仁.7
3. H･ Ishikawa (TollOku Ulliv., Japan) 17:00-18:OO flBA"
TUESDAY JANUARY 20
Morning
l･ A･ Cattaneo (Zul'ich Univ･, Switzerland) 9‥30-10‥30 "Poisson sigma m･Odel and deformation quantization
(1)"
2･ P･ Michor (Univ･ Vienna, Austria) 11‥00-12:00 "Smooth 辛- al9ebl･aS"
A氏ernoon
l･ Ⅴ･ ScllOmeruS (Potsdam, Gel､many) 14:00-15:00 "Fuzzy geometry, gluon condensatwn, and K-theoly" 2･ Z･ Liu (Peking Univ･, China) 15‥30-16:30 I/iDynamical r-maか7'ces coupled with･ Po乞βSOn man,Lfolds" 3･ U･ Cal.OW-Watamura and S･ Watamura (TollOku Univ･,Japan) 17:00-17‥30 `∠Gauge theo'7/ On the quanllm
sphere"
4･ H･Bursztyn (UC, Berkeley, USA) 17:35-18:35 " SemtClass乞Cal gCO･metly Of quantum line bundles a,n,I
Mohta equrualence of star p7.Oducts "
WEDNESDAY MARCH 21
Morning
l･ A･ Cattaneo (Zul■ich Univ･, Switzel.land)14:00-15:00 " Po号SSOn Sagm･a model an'1 '1efo77TI,a,t･LOn,
qu'mtZZ,1-tion (2)"
2･ S･ Gutt (ULB, Belgillm) ll:00-12‥00 "Traces m defo77nation quont乞Zat7,On"
Afternoon
l･ S･ Waldlllall (Univ･ R.ibllrg, Gel.lnany) 14‥00-15:00 "Defo17TLatWn 'Iuant2mtWn ('f HcrrrJ,itJLan 7,eCtOr
bundlesu
2･ H･ Itoyama (Osaka Univ･, Japall) 15‥30-16:30 "Col･reSPOndence bet,ILJeCn Nt'･Tu}0･rn･mutatl,1'e Sol,Llor,, and Open S11七mg/D-bru･ne System l′盲a Gauss7an Da･mping Factor"
3･ Y･ Yamada (Robe Univ., Japall) 16:45-17:45 1'TBA"
Reception 18:00-20:00
THURSDAY MARCH 22
Morning
l･ M･ Kato (Tokyo Univ., Japan) 9:30110:30 "TBA"
2･ S･ Bouarroudj (Keio Univ., Japan) ll:00112‥00 L`Schwarzian dc17Jて′atlJ･L,a 7･elatcd to uZ･e sp'1.Ce Of l･lneal･
diHerential operators '.
A氏ernoon
l･ HI Moriyoslli(Keio Univ･t Japall) 14:00-15:00 `` El,i I/Jn",Ll･inats7 a,･'i G'''1b･Lll('･n,- I,-cy L･latS･.5･CS 'm.a ul,a 7,rule.,,,･
ul,cm･em"
2･ Y･ Sugawara (Tokyo Univ., J叩an) 15‥30-16:30 "WLlson i?Jne m･ SU(2) I,VZⅥ′ r'L･Odel 〟,rl.a Sph.cl･,),L･,ll
D-b7･(me7'
3･ A･ Weinst,°in (UllivI Cfllifomi礼, USA) 17:00118‥OO "L,jJbnLZ al.lJ,fbH7･S u･n･(1 7･ed･LL':i,/,･Ll'Jl･u･m''geneo･Ll..9叩rL,'･ljS',
