局所的安定と大域的安定，森嶋行列

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局所的安定と大域的安定，森嶋行列1）

国沢

(教育学部)

信

Loca! Stability and Global Stability,Morishima Matrix

Akira KUNISAWA

1.1 安定概念はすでにLeon Walras, A. Marshallなどによって用いられているか，体系的な安

定理論として注目を集めるようになったのは, J.R. Hicksによって完全安定，不完全安定の概念が

のべられ，これをうけてP.A. Samuelsonが動学的安定を主張して［19, Chap. 9］からであろうと思われるHicksは単一財の市場均衡に関して規定されたWalrasの安定条件を多数財市場におけ,る一般的均衡の安定条件への拡充を試み．完全安定条件，不完全安定条件を.うるに至った2）.ところでHicksの不完全安定条件はもとより，完全安定条件さえも動学的安定の十分条件を必ずしもみたさないのであってHicks行列(Hicksの完全安定条件をみたす行列, Hicksian)に関してSamuelson は対称なHicks行列は動学的安定条件を満足することを認めるが，「完全な対称性が存在しない場合には（景気循環分析においてはそれはほとんどいつも存在しないが), Hicksの基準〔Hicks行列〕は必要条件とは全然ならず，多くの場合十分条件ともならない」とのべている3）.Samｕelsｏｎは自己の提案した安定を真の動学的安定(true dynamic stability)とよび，真の動学的安定とHicks行列との関連性にその注意を集中した．そして上述のように対称なHicks行列は動学的安定の十分条

件となることを示しだ'≫. L.A. Metzlerもまた動学的安定の立場からHicks行列を考察し, Hicks

行列における非対角要素が非負（対角要素は負）であれば，この行列は動学的安定条件をみたすことを示し, Hicks行列の動学的解釈を試みた［13］. O. LangeもまたHicks安定について動学的解釈･をおこなっている〔11〕.安井琢磨教授は動学的安定の必要十分条件を示され［22, p. 145],私も動学的安定のための必要条件と十分条件を分離した形で発表した〔8〕.安定理論については，園正造〔20〕等のすぐれた研究がある．しかしこの当時の一般的傾向としては，動学的安定とHicks安定との関係に関心が集中されて, Hicksが考えていたところの一般均衡体系の安定問題に注意が払われなかった．すなわち一般均衡条件を構成する超過需要関数のゼロ次同次性，超過需要に関する Walrasの法則か，安定条件とどのような関係をもって均衡体系の安定が成立するかについては無視されたままであった．このような傾向を打破し安定理論を一般均衡の安定理論として考察する途を開いたものは1958年，Ｅｃｏｎｏｍｅtｒｉｃａに発表された一連の論文でないかと私は考えている．すな

わちF. Hahn［61,根岸隆［16], K. J. Arrow and Ｌ. Hurwicz ［1], K.T. Arrow, H.D. Ｂ!ock and Ｌ. Hurwicz［2］の論文がこれである．とくにArrow-Hurwicz の上記の論文では,.「Hicksの研究は実際，競争均衡である，しかしまた, Hicksの〔競争均衡的〕安定か成立する条件については殆んど知られていないのである．従ってここにギャップが存在するのであって，それをうめるのがわれわれの目的である」とのべて論述が始められている［1. p. 523].このように安定問題を一般均衡の安. 1）本論文は前論文〔10〕のあとをうけて，局所的安定条件を列記し，新に私の安定条件を提案したレこ゛れらの安定条件はほとんど大域的安定条件として成立していることを示した．また大域的安定条件については均衝値への収束性について吟味した．また森嶋行列については〔10〕でもふれたか，あらためて局所的安定である条件を示した. 2）これらについては安井琢磨〔21, pp. 45-68〕参照･

3) P.A. Samuelson,〔19, p. 272〕，同訳本ｐ. 283. Hicks 行列は動的安定の必要条件をみたしているのであ．り，この点はSamuelson jbi誤っている． ‘ １ − ，１・．･

4 ）

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２大学学術研究報告第20巻社会科学第１号定問題として取扱う方向が確められてくると，この立場から批判をうけたのは森嶋行列における財の分類である．これはｎｕｍｅｒaiｒeを含んだ財を二つの群に分け，それぞれ同一の群内の二財については粗代替,異なる群に属する二財については粗補完とするとするならば，このような分類はWalras の法則から成立することは不可能であることをArrowおよびHurwiczは上述の論文の末尾において指摘したのである[1. p. 550].この救済策は71t↓miｒaiｒｅを除いて上記のように財を二個の群に分類すれぱよいのであって，このようにすればWalrasの法則に矛盾することなく森嶋行列は成立するであろう．いわぱ従前の森嶋行列は競争均衡モデルとしての考慮か払われていなかったことを Arrow-Hurwiczの論文は指摘したことになるであろう．ところで森嶋行列の安定については考慮すべき点がいくつか存在するのであって，これについては後述する.

1.2 安定問題を大きく分けると局所的安定(stability in the small. local stability)と大域的安定 (stabilityin the large. global stability)とに分類される．前者は動学体系を均衡点付近でテーラー展

開を行い，二次以上の項を省いて線型化して考察をおこなうものであるから，動学体系における価格の変動範囲は均衡点の近傍に限定されることになる, Samuelsonにつづく初期の安定理論はMet-zlerをはじめとして，すべて局所的安定に関するものである．これにたいして大域的安定は，超過需要関数か連続である領域内の任意の初期値から出発して領域内の均衡値に収束する場合であって，局所的安定に比較して初期値のとりうる範囲が均衡値の極めて近傍というように限定されない点に意義が見出される．ところで大域的安定の均衡値への収束性にづいては，従来あまり考察されていないようである．本論文ではこの収束性について考察はおこなうことにした．この収束性がたしかめられると，局所的安定より大域的安定のほうが定義上すぐれていることがいえると思われる．それは次のような点からである．第一に局所的安定の諸条件は準負値行列である限り，すべて大域的安定条件として成立するにれについては後述).大域的安定条件として適用さすことによって，初期値のとりうる範囲を均衡点付近と限定する必要がなくなるからである．第二に大域的安定には複数個の均衡点をふくむことができるが，局所的安定は均衡点付近でテーラー頂開をおこなう関係から均衡点は１個である．さらに大域的安定は均衡点が集合を形成している場合(quasi-stable)も広義に解すると含むことができる，などをあげることかできるであろう．しかしながら局所的安定よりも大域的安定が有利であると一律に定めることは困難であると思われる．これはむしろ適用面から決定すべき問題であって，あるときは大域的安定を有利とし，またあるときは局所的安定を適用上から有利とすることが当然存在する. ゛' 1.3 森嶋行列については，はじめに少しふれたのであるが･，とこで行列の構成について詳しくのべれば次のようである．まず紅茶，緑茶，コーヒー，ココア，砂糖，サッカリンおよびズルチンから形成された経済を考えるならば，紅茶，緑茶，コーヒー，ココアは相互に代替的であってこれをもって第一群(沢)を形成する．,次に砂糖，サッカリン，ズルチンの相互間も代替的であってこれをもって第二群(Ｓ)を形成するならば，沢とＳとは互に重なることなく，また沢にぞくする任意の財とＳにぞくする任意の財とは相互に補完的である／いま沢にぞくする各財の超過需要関数は y々)で表わすと，Ｒの財相互間では代替的であるから言伝＞oi 嘔 (対角線にあるものは負) が成立する．同様に乱こぞくする各財についても超過需要関数をμ戸)とすれば ∂几一_馳＞0 (対角線にあるものは負)． (1.1) (1.2) ここで(1.1)を成分とする行列をj11とし, (1.2)を成分とす色行列をj22とおくと, All, ^22はいずれも正方行列である．次に沢の任意の財とＳの任意の財との朝には補完関係が成立するから，

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と局所的安定と大域的安定，森嶋行列（国沢）

ヱ邑＜o

馳

∂八一_嘔＜0 (1.3) (1.4) ３がなりたつ. (1.3)を成分とする行列をAn. (1. 4)を成分とする行列をj21とし，／痢1 j12 1 ，‥ ｊ＝［］ (1.5ト j21 j22 とおくと，ｊは森嶋行列である, All, ^22は対角線にある成分（これはすべて負）を除いてすべて正なる成分をもち，j12とj21の成分は全部負である．なお既述の理由から≫ Rとｓの･財のうちにはｎｕｍｅｒaiｒｅは含まれていない．いま行列？＝。。じ石０をとり，（71,j2はj11,’為2と同次数の単位行列）ｊＯ’几これをｊの前後からかけると jやらＰＡＰ、 (1.6) となり，ｊ＊の対角線の成分は負であるが，非対角要素はすべて正である．行列ｊと■A*-.の固有根および主座の小行列式は同じであるから2), AにMetzlerの定理3)の適用するとｊの主座小行列式は交互に,負，正となる．すなわちHicks行列となる．この関催を利用し七森嶋教授は森鳴行列ｊを比較静学(comparative statics)にⅢいられてい名･『χ4√pp. 92-98].森崎行列の比較静学への利ｓ・１』 ●用は最近になってJ. Quirk, L. Bassettな,どを中心.として著しく発展せしめら'れたということかできる．すなわちこれらの人達による一連の‘論文がこれを示｀しているのである4).比較静学に森嶋行列が用いられるにあたってはいうまでもなく森嶋行列は安定でなければならないトとこ･ろがこの安定を否定する論文が1970年のＲｅｕｔｃｕ) ｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃＳはｄｉｅｓにＣ. Kennedy によって発表さ,れた5).同誌の同じ号で森嶋教授はKennedyのあとをうけて森嶋行列の安定性を大域的な立場から証明している6).根岸教授もかつて森嶋行列の安定性を否定した[17, p. 186].根岸教授の場合では，ｎ･Γαiｒ,･と他財との代替性を仮定するならば森嶋行列の安定性を証明できる. Kennedy･については森嶋行列に関する理解不十分さが，この行列の不安定性を引出すことにつながっているように思われる．このような事情から森嶋行列の安定問題を再び本論文で取りあげることにした．｀ ‘' 以上少し詳細に本論文で取り上げる内容を説明した．以下第２節では局所的安定の必要条件，十分条件を既発表の論文と重複のきらいはあるがのべることにする．第３節ではまず局所的安定の諸条件を列挙的にのべ，新に私の安定条件を提案する．次に大域的安定における解の均衡値への収束性について考察し，最後に局所安定条件は準負値の行列である限り，すべて大域的安定条件として 1･， ● ･･ .● ・適用できることを示すことにする．第４節では上述の森嶋行列の局所的安定について考察,しよ.う. 2.本節では局所的安定の必要条件，十分条件をあげ, Hicks行列は動学的安定の必要条件をみたしていることを注意しよう. 771+ 1個の財があるものとし，その価格をP=iPo,Pu‘■■.PJとおこ

1) Arrow and Hurwicz,〔1, p. 550〕 2）この証明は容易である．後に示す･ 3）国沢信，〔9, p. 211〕好 J･Quirk〔18〕，

Ｌ. Bassett, Ｈ. Habibagahi and J･ Quirk 〔4〕，Ｌ. Bassett, J. Maybee and Ｊ･ Quirk 〔5〕･ 5) C. Kennedy,〔7〕; ’≒

6）森嶋通夫，〔15〕.

Ｉ

ぶ

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４ _{高知大学学術研究報告第20巻社会科学第１号} う．ゼロ番目の財をnumeraireとしてこれによる価格め規準作をおこなって(Ｐt＝ＰＪＰｏ．{i=OX-:･， m))p=O;Pi.…,み)とおく，均衡価格はp=(l,pl,-･，p，)である．この規準化のさいnumeraireの価格は几＞Oと仮定した．いま財ｉの超過需要をXi=fi {p)とし,ａ個の財についてj,＝ｄｐｊｄtとおき μ＝ｊ（戸） (i=l,…，ｍ） (2.1) をつくれば，これは財ｊの超過需要の正，負に応じて財ｉの価格が上下する市場における価格調整の模索過程を表現している．この式を均衡点付近でテーラＴ展開し･価一応)の２次以上の項を省くとー Pi= S aaipi一良）（j＝1,…, m)‘ (2.2) と'なる1)．ここ＼ｔ.Ｏｙ＝￥,ゆ)/ｏＰｉであって，肪一応)の２次以上の項を省いたのは，均衡点付近でテーラー展開をおこなったために肪-ﾀj)の２次以上の項が微小になるからである．いま恥を成分とするｍ次の正方行列をｊとおくと，動学体系(2.2)が安定であるためには行列ｊの国有値の実数部がすべて負でなければならない．このための必要条件，十分条件は次のようである．行列ｊにおいで，とおき，また α1＝(−1)Ｊαμ, a2=2' α1 α3 j1＝α1，j2＝１ α2 ，j3＝ αμ ｇぴ Oji aj） α1 α3 . ≪5 1 α2 α4 0 α1 α3 5**'Jα●＝‘(-iriAi ,.…，ｙlぷ＝０ａ ! ３ ‥ ・ α ２ ‥ ・ α １・ ‥ １ ● ‥ ００ … (2.3) ｊ２４ド一⋮⋮らとすると，次の定理が存在する2). ･'＼定理 1.行列ｊの国有根(2)実数部かすべて負であるためには(αo＝1) α1＞0,α2＞0,‥･.，ら＞Q: (2.5) が必要条件で，そのうえに Ai>0,A3>0, As>0,･‥，またはA2>0,Ai>0,A6>0,… (2.6) ならば十分である．十

これが局所的安定いいかえ,るとSamuelsonの局所的第一種安定(stability of the firstkind in the smal!)の必要条件および十分条件である．従って行列ｊがHicks行列であるとき，すなわちｊの主座小行列式が奇数次のものはすべて負，･偶数次のものはすべて正であれば，このHicks行列は局所的安定の必要条件(2.5)をみたしｔいる．しかしHicks行列が局所的安定であるためにはさらに条件(2.6)を満足しなければならない．安井教授は局所的安定の必要かつ十分条件としてｌプ j1＞O, A2>0,A3>0,...,A・＞O ゛ (2.7) であることを示された3).私も昭和24年の論文〔8〕でこの条件を証明の過程で得ている鶴Hicks 行列との関連性を示している点から必要条件として(2.5),十分条件,として(2.5), (2.6)の条件の方を採用した．またJ.P. QuirkはRouth-Hurwitz定理として局所的安定の必要十分条件は(2.5)の成立と， 1 1 1 1 2 3 なお展開のさい生ずる調節速度は１とおいた･国沢信･〔８〕,本論文は高木貞治「代数学講義」(pp, 361-4参照･）に負っている安井琢磨(22, p. 145〕 ●･

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所的安定と大域的安森嶋行列（国沢）５ A2>0, A3>0,…り4m＞O (2.8) であることをのべている1）が，これは明らかに条件過剰である．条件(2.8)を条件(2.7)と比較すると(2.8)ではj1＞Oが省かれているが，j1は(2.4)からα1にひとし＜，j1＞Oなることは ai>0であることに等しい．従って局所的安定の必要十分条件は(2.8)と(2.5)のうちα1＞Oだけで成立する. (2.5)のうちα2＞0,･■･.a >0はこの場合不用である． 3.1 定理１は局所的安定の必要条件を示している点に特色があるが,十分条件が複雑である．安井教授の示された条件は必要条件と十分条件が一体となっているが，やはり適用上複雑である．従ってこれまで多くの学者によっ'てHicks行列に関連させながら粗代替性の仮定による安定の問題また粗代替性と超過需要に関するWalrasの法則，ゼロ次同次性との関連による安定性などが取り上げられた．これらはいずれも安定の十条条件となるものである．以下にのべる局所的安定の十分条件は今までのべられた安定理論の総括ともいうべきものである．そして最後に私の安定の十分条件を提案する．以上の前置をして第3.1節の当面の問題である局所的安定条件の幾つかに就て順次のべることにする．はじめに勤学体系(2.2)をベクトル表現ｊ＝ｊ(タータ) (3.1) をしておく方が便利である．ここにｊは亀yを成分とする行列ｊ＝[町]であって両jは超過需要を価格で微分したものである. (i) Aが負値行列であるとき2). ｊが対称な行列でなおかつｊがHicks行列であれば，ｊの固有値はすべて負の実根であるから局所的安定である. Hicks行列が局所的安定の必要条件(2.5)を満足していることは既述のとおりである．一般に局所的安定条件は安定め必要条件(2.5)をみたさなければならないことはいうまでもないであろう．これを定理として確認しておくことにする．系 1.局所的安定条件は安定の必要条件(2.5)を満足しなければならない．次に

(ii) Aが準負値(negatine quasi-definite)の行列であるとき．

ｊが準負値(の二次形式)であるとは任意の実数ベクトルｈにたいしてｈ'Ah＜Oとなることをいう．負値の二次形式は準負値の二次形式の特別な場合(すなわちとくにｊが対称な場合)である．ｊが準負値の二次形式であるとき局所的安定であることは, ArrowおよびMcManus [3,ｐ･ 448]によって証明されている．いまｊの転置行列をＪとすると， h’Ah＝

べ

A' + A - h<0 (3.2) であるから，ｊを対称な行列に変形するとき負値であれば{(A'十A) 12がHicks行列であれば) (Ｊ十A)/2の固有値はすべて負の実根である．従って準負値行列ｊの国有値の実数部分はすべて負である．これはｊの固有値を.2としＡｈ＝法としλ＝α十μとおく．固有ベクトルん＝ｙ十gｚにおいて実数ｙ，ｚ，ａ．βをとり，７を単位行列として実数部を考察するために yAy十2'Az=a(タフタ十ｚ’ｌｚ) (3.3) とすると，この式の左辺は仮定から負であり右辺のかっこ内は正であるから，固有値の実数部αは負となるのである. (iii)(Metzlerの定理)凡ての財について粗代替au>0(aii<0)が成立する仮定のもとに，ｊが Hicks行列である，このときHicks行列はｊが安定行列であるための必要十分条件である．Ｄ司 JP- Quirk,〔18, p. 19〕正確には．Ａは負値の二次形式の行列といわなければならない

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６高知大学学術研究報告第20巻１号これは, Metzlerによって証明された〔13〕.すなわち恥＞Oが成立するとき，ｊの固有値の実数部が負であるための必要十分条件はｊがHicks行列であることである1）.なお根岸教授〔16〕は，粗代替性は局所的安定の成立のときHicks行列成立(Hicks完全安定）の十分条件であることを超過需要関数に関するゼロ次同次性を用いて証明した2）. （iｖ）行列ｊの成分に関して負のdominant diagonal であるとき．負のdominant diagonal とは肖次の正方行列ｊの成分について， di I an I >Σdj＼aij＼ j=l,…,m i≒y (3.4) が成立することをいう．ここにau<Qであり，また(dl.…,d。)はすべて正である3).(3.4)はｊの対角線の成分が負であり，しかもそのウェイトが高いことを表わしているのである．このときｊについて局所的安定が成立することは, L. McKenzieによって証明された〔12〕.

負のdominant diagonal な場合は(3.4)式の関係がαｕ＜Oの前提のもとに成立すればよいのであってαtJについて粗代替性Oij＞Oの制約をおいてない(すなわち粗補完性が混在しうる)ところ叫特色がみられる．事実すべての財が互に粗代替であるという経済モデルは現実では極めて少いことを考えると，負のd.d. (dominant diagonal)な場合の安定性がより重要な意味を有することが考えられる4).負の（Ｌ＆はｊが局所的安定な行列であるための十分条件であるが，逆にｊが局所的安定な行列であれば負のd.d.であるとはいえないのである．，この点については行列ｊが粗代替 ail＞Oであれば成立する. (Ｖ)行列ｊが粗代替a,j>0であれば，ｊが局所的安定な行列であるための必要十分条件は，ｊが負のd.d.を有することである．この定理はMcKenzieによって証明された.[12, p. 58]･ｄｉｌ＞Oで負のｄ.ｄ.かｙ1の局所的安定行列の十分条件であることは(iｖ)の特別の場合であるから明らかである，この必要条件については，ｊが準負値な行列であるとすれば，負のd.d.は次のように導くことかできる，ｍ次の正方行列ｊの左右に？＞O(ａ次元の価格ベクトル)を乗ずると，ｊが準負値であることから齢がえられる．これから右側の？を除いてp'A<0となる．仮定によりai<>0であるから， Pi＼a“I>E/り￨0111 （j°lj’“’耐 (3.5) ａ.ｉ＜0 (3.6) となる．これは(3.4)に外ならない. (iii)のMetzlerの定理と(ｖ)のMcKenzieの定理とを比較すると,ｊの成分には粗代替性の仮定か両定理ともおかれており，この仮定のもとにｊが負のd.d.を有することが，安定の必要十分条件であり(McKenzieの定理), Metzlerの定理ではA i}iHicks行列であることが安定の必要十分条件となっているのである5). ｖi)超過需要に関するWalrasの法則と粗代替性(ニュメレールを含めてすべての財について) が仮定されているとき超過需要に関するWalrasの法則はS pifiニＯが成立することである6). 均衡価格鳶(ゾニ1,…･耐で微分するとdfjdp，＝恥とおくことよりｊｊｊＩｊ 1 2 3 4 5 6 ）国沢信〔9, p. 211〕● ≒ F.H. Hahnによっても同一内容の証明かある,〔6〕･ d1,…,d。は価格でおきかえられることはいうまでもない･この点は坂本弥三郎先生のご注意による. ａり＞Oの仮定のもとにｊか負のd.d.であることと, A M Hicksianであることの同等性については McKenzie〔12, p. 60〕参照･ゼロ番目の財は回心咄ΓεであるからPo＝1とする。

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局所的安定と大域的安定，森嶋行列（国沢） −Σ鳶即一力(戸) = o,o (yニ1,…，肌) ７となる．均衡点においては/j（ρ）＝Oとなるから -Ap=y (3.7) となる．ここにｊは成分恥より構成される肖次の正方行列であり，対角線成分はすべて負で，非対角成分はすべて正であるが，これは粗代替性の仮定によるものである．戸ニゆ1,--.pjであって，ｙニ（α1o,…,α。o）＞Oである．ｙはニュメシールと他財の粗代替を仮定し正である．問題は(3.7)のｊの固有値の実部がすべて負であることを示すことにあるが，この証明については根岸隆［17. p･ 173]. S. Karlin等を参照されたい1］.あるいは（3.7）に戸をかけてp'Ap<0,すなわち準負値行列を導いてもよい．この場合の安定条件は粗代替性のほかに均衡条件であるWalrasの法則が参加している．このように競争均衡条件であるWalrasの法則／超過需要関数のゼロ次同次などの均衡条件が粗代替性とともに安定性の導出に利用されているのが近頃の傾向である. ‘. (vii) Walrasの法則が超過需要について成立し，回庇･ｒ｡と他財との間に粗代替が仮定されているとき．これは私の提案である．この安定条件は, (vi)に比較するとき他財相互間の粗代替の仮定は必要としない．いいかえると粗代替性が他財閥に成立するかわりに粗補完性α９＜Oが混在してもよいのである．一一定理 2.超過需要についてＷａｈ°ａs法則が成立し，貨幣と他財との間に粗代替性が仮定されると，局所的安定が成立する．証明 Walrasの法則が成立し，貨幣と他財との粗代替性が仮定されると（3.7）において右辺は正であるから．＾ｐ＜Oとなる．均衡価格は戸＞Oであるから，これをこの式の左側にかけると p’Ap＜O （3●8）がえられる．これは準負値（ｊは対称とは限らないから）の二次形式である．従って上にあげた (ii)からｊの安定性が保証される．この行列ｊの成分を考えてみよう．ｊの対角線にある成分はいうまでもなく負であって，これは一種の粗代替である．非対角の成分はすべて粗補完ｔｔli＜Oが成立して差支えないであろう．換言するとｊを構成する財はすべて補完財から成立してよいであろう．このことは粗代替性の仮定が圧倒的に多い安定理論において(vii)の条件が. (iv)の条件（負のdominant diagonal)とともに粗補完性の導入を可能にしたものといえるであろう．

以上のべた安定条件のほかにrevealed preference に関する局所的安定条件がS. Kar】inによってのべられている2）.この場合, Karlinの局所的安定は各価格についてその初期値と均衡値とのノノレムを求め，このノルムが時間とともに減少するいわゆる大域的安定に採用される方法によっているのである．局所的安定が大域的安定と異なるのは各価格の初期値か均衡点の十分近傍にあることに求められ，これによって初期値から均衡値への収束が保証され易い点にあるといえるであろう. 3.2 この節では大域的安定の勤学体系について均衡値への収束について考察する.そのあとで前節にあげた局所的安定の諸条件は大局的安定条件としても成立することを明にする．一般に大域的安定はノルムのとり方によって種々の形をとることが考えられる．いま(2.1)式で定義された超過需要関数石をとり，この２乗の和をもってノルムＦを定義すると， F＝(1/2)Σ石2である．これから作られた勤学体系等＝Ｌ／ｉａｉｉ／ｊ (3.9)

1) S. Karlin, Mathematicalがethods and Theoりin Games, Pr∂gr四面ng and Ec四面cs, 1959, pp. 306-7 2）ibid.pp. 308-310 一

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８高知大学学術研究報告第20巻社会科学第１号において，右辺の二次形式が準負値であれば，この勤学体系は安定であると定義される．これをベクトル形式で表現すると等＝丿ずくo （310）となる．超過需要／の初期値は均衡点いがいの任意の値をとりうると仮定し，この初期値から出発して均衡値に収束するためにはノルムの時間的変化はたえず負（減少）でなければならないとの要請を表わしたのが（3. 10）であ乙．そして均衡値に収束するとプはゼロとなりノルムＦもゼロとなって収束過程の終了が表明される．／が収束しない間はゼロの値をとらないから，Ｆはゼロとならず(3.10)によってこの収束が要求されるであろう．論理は極めて明瞭である.これが大域的安定の一般形式であると考えられる.ところでこの（3.10）は，これで均衡点への収束は完了できるかどうかの疑問が生ずるのである．収束未了の間は収束要請を出して収束までもってゆこうとするのか(3.10)であるから筋道は立っているのであるが，超過需要関数ｙがこの要請に応じて収束に向って動いてゆくためにはもう少し細かい議論が必要であると思うのである．大域的安定の収束については従来殆んど考察されていない．以下はこの収束性の考察である. （I）（3.10）における超過需要mの極限点を／としたとき，／が均衡点でないならば矛盾を生ずることを示すことにする．いま時間Ｚの系列￡’.をとりμ→（ｘ）のとき(3.10)の解1）φ（μげo）が

limφ{f.r)=f

(3.11) であるとしょう./oは初期値であるごか均衡点でないならばさらに解の接続をおこなって limφ(ｒ十り｀o)＝φ(ば) ／を初期値とする超過需要の収束過程を考えることかできる．すなわち

吃旦万土立＝子(士(φ(げ)づツ)＜o

(3.12) (3.13) でなければならない．他方において超過需要／が極限点／に達したとき，これは均衡点でないと仮定したからノルムＦはゼロでない．これをαとおくとノルムの定義からである．従ってＦ＝十(か))2＝α (7(z))2＝2α (3.14) (3.15) である．極限点の定義から／に超過需要が達したぶ後はいくら時間を経過しても均衡点からの距離は2αのままであり収束しないことがわかる．故に矛盾を生じた．従って／は均衡点でなけれぱならない. （II）上の考察は均衡点の近傍に初期値が存在するときに役立つであろう．初期値か均衡値の付近にないときにはより根本的な考察が必要と思われるのである．間題は（3.10）における超過需要/（戸）が価格との関連で時間の経過とともに収束する過程をみなければならない．これについては概略次のようなことになるであろう． ’．超過需要に関する勤学体系(2.1)を Pi=fiiり） (i=l,…,ａ） (3.16) とおくことにする．この式における価格と超過需要との関係をみるために，微分方程式の解の在在 1）これは超過需要である．

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局所的安定と大域的安定，森嶋行冽 (3.17) (3.18) ９ (3.19) (3.20) に関する次の定理を利用する1^ Cauchy-Peanoの定理によると y(t・Ｐ)が閉矩形Ｒで定義された連続関数であれば，峠o)＝丿を初期値とする，区間.7:＼t-to＼＜αで微分可能で連続な(3.16)の解９(t．ｐ≪)が在在する．この定理で／が連続で(Ｒを含む)ある一つの領域をj)としてj)の任意の点(4)ボ))を初期値とずる(3.16)の解p=(p{t･Po)が区間7巾−Zol＜αで在在することが示された2).次の問題は初期点(Z0,FO)'から出発する解w{t･PO)を開区間７をこえて延長し,均衡点に近づけるように考えることである．このためにtl―to十αとおき，Z→Z1ならしめてみよう．いまｆ(￡)＝戸o十 Sﾝ(s,(p(s))ds, ＼t ― to＼<oc とおくと，右辺は初期点ZOからＺ時まで超過需要を積分して価格の初期値ＦＯＲ:加えたものであり，左辺はこれをP(Oとおいたものである．こ･の式において丑?φ(t)＝９(t1)が存在して衣乙1)＝戸o十Sﾝ(ｓぶ(5))ゐとなる3).ここで9)(￡1)＝P1とおくとこれは￡1時点における価格である．点(ZI,71)は(閉矩間沢に含まれ従ってまた)Z)に含まれる．故に再びCauchy-Peanoの定理を適用して(新らたな閉矩形をとり)(￡1,丿)を初期点とする区間＼t-h＼<βで連続な(3.16)の解(p{t,p^)で存在する．故に (3.17)と同様lご区問￨￡-h＼<βの川こ対して衣゛)゜タ(゛1)十Sﾝ゛(５ぶ(s))ds とおくことができる．このようにして(3.16)の解はｙ（zo）＝丿を出発点として(p{tl十β）にいたる連続な関数となったのである．すなわち解の接続は(3.18)と(3.19)から <pit)=p'十ｆｈ’ ∼ fis,<p(s))ゐとなるであろう．以上のように領域j）において順次に解の接続をおこなってゆくのであるが解は依然としてj）内にとどまるようＫなる(3.20)は超過需要と価格Ｐ°‘<p{t)との関係を表現しており，？0から出発する超過需要の過去の蓄積が￡時点における価格を決定することを表わすものである．（これはまたｚ時におる超過需要に影響する.) (3.20)の右辺の超過需要／と左辺の価格９とは連続関係にあり，均衡点戸は刀内にあるから超過需要が減少するにつれて，すなわち均衡値に近づくにつれて価格は均衡価格jjに向って接近するものと考えることができる．上述した(I),(II)の考察を経て,(3.10)式の動学的安定性が確かめられたと思われる．次に局所的安定条件を大域的安定条件として適用する問題に移らなければならない．局所的安定条件として第3.1節にあげた(i)-(vii)の７個はいづれも･行列ｊが準負値の行列であるための条件である4).従って(3.10)における行列ｊにこれを適用すれば，大域的安定条件として(i)−(ｖii)の条件が成立するのである． 1)以下記号を簡単lとするためPi．/iの･1を省いておく.･ 2)このαはZ)に含まれた閉矩形１:I t-t,＼≦ａ丿p-p'＼≦6をとり，このＲでmax￨/￨=Mとすると， a =min(a.-^)である. 3) (3.18)は超過需要の過去の動きをたどれぱ現在の価格か見出されることを意味する. 4) (i)-(vii)の条件は行列ｊを準負値行列ならし.めることについて説明を加えておこう･

まづ(i), (")の条件は説明を要しない.((i)はｊが負値行列, (ii)はｊか準負値行列である場合である.)(iｖ)･を説明すると(ｖi)と(iii)が自ら説明される･

(iv)は行列ｊについて負のd.d.すなわち(3.4)式が成立するときである. (3.4)式の関係から，均衝価格戸＞Oをとり, P'A<Oである．これからｐ’Ａｐ＜O (*)

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1 0 高知大学学術研究報告第20巻社会科学第１大域的安定におけるノルムのとり方は種々ある．前述した(3.9)のノルムＦのとり方はその一つであるが，そのほかに最大ノルムすなわち価格と均衡価格の差のなかで最大なものが時間とともに減少することに着目するものがある. Arrow, BlockおよびHurwicz〔2〕では正の最大ノルムの価格をもつ財については超過需要は減少し，負の最大ノノレムの価格をもつ財については超過需要は増加することもって代替性と定義し大域的安定を考察している．また負のdominant diagonal の場合((3.4)式）についても係数との関係を考慮して超過需要の最大値をもってノルムを定義した大域ぎJ安定を考察している［2. pp. 105-6］. 4.最後に森嶋行列の安定性を考察して本論文を終るこ･とにする．森嗚行列については第1.3節で内容を示した．森嶋行列についてはさきにArrowおよびHurwiczが［l,p.55O］においてWalras 法則の関係から考察して, numeraireを含む任意数の財を沢とＳの二群に分け，犬とＳとの間に粗補完性を成立させることは不可能であるとして森嶋行列を否定した．しかしニュメレールを沢とＳから分離することで森嶋行列の成立を認めることができる．森嶋教授も元来non-numeΓairc goods に適用されたものであることをのべている［15, p. 177]. 森嶋行列は既述のように次のものである．森嶋行列は(1.5)で示されているようにｙl＝ (1.5) 1 ^21 j22 ］である.j11は正方行列で，j?群にぞく財相互間の租代替性を表わす成分から構成され．対角成分（負）を除きすべて正である.j22も正方行列でＳ群にぞくする財相互圓の粗代替関係を示す成分から成る．従って対角成分を除きすべて正である.j12とj21とは矩形行列で沢財とＳ財閥の補完関係を表わす成分から構成され，その成分はすべて負である. (1.5)の行列ｊに(1.6)のように変換をおこなうことによって対角成分（負）を除き，非対角成分はすべて正の行列ｊ＊がえられる．ｊとｊ＊の固有根および主座小行列式は同じである1）.従ってｊのかわりにｊ＊を用いてよい．いま超過需要関数にWalrasの法則を適用し，これを価格で微分すると，均衡点ピおいて既述の々＝−ｙ (3.7) がえられる.jy°(α1o･‥･･らo)である．ここでC. Kennedyが最近の論文で森嶋行列の安定性を否定した点を取り上げてみよう，(〔7〕を参照). Kennedyは(3.‘7)をA*p=-rとお命かえているが，jpの両辺にＰをかけることはできない.いまｊとｊ＊との囮有値か等しいという関係でこのおきかえが可能であるとしよう. (3.7)を −ｊ＊戸＝即＝ｙ (4.1) とおくとき･は，ｊの対角成分は正であり，非対角成分はすべて負であ‘る．ここでKennedyは戸＞0 から(4.1)の右辺をｙ＜Oとしているがこれはどうゆう'理由であろうか．対角成分のウェイトか大であればｙ＞Ｏとなりうるであろう．またｙは上述のようにｎ气｡α沁と他財との関係である．貨幣と他財との粗代替を仮定するとｙ＞Oとなり従ってまた即＞Ｏとなることができるであろう．一般的にいって森嶋行列において貨幣と他財との粗補完を仮定すると不安定となり，粗代替を仮定すると安定である．これは(3.7)において−ｙ＜Ｏとし，･両辺にダをかけて (ｖ)は(iv)の特殊の場合(ｊの成分がoo>0のとき)であるから(iv) iii其のまま適用される. (iii)のMetzlerの定理の場合は(Ｖ)と同等であることかMcKenzieによって証明された･(McKenzie 〔12, p. 60〕， (vi)超過需要に関するワルテスの法則と貨幣を含めてすべての財について粗代替か成立するときは (3.7)式からAp<Qであり，これに戸＞Oを左側にかけて(＊)式がえられる･ (vii)の場合は(3.8)式から説明を要しない･ l)これは次のように示せる．．ｊの固有値を２とするとｊ＝λ7である，(7は単位行列).ＰＭＰ＝Ｐ’λrｐ＝ λＰ’Ｐ＝2jである．すなわちｊの固有値に変化はない．

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局所的定と大域的安定嶋行列（国沢） 11 p’Ａｐ＜O (4.2) がえられる．これはｊが準負値の行列であることを示し既述のように安定である．またｊ＊を用いてM=A*十￡7とおきＭをFrobenius行列としたときでも，貨幣と他財との粗補完を仮定すれば不安定となり，粗代替を仮定すれば安定である．このことは私か別の論文において証明しておいた［10, p. 11］.森嶋教授も森嶋行列の大域的安定を証明するにあたって貨幣と他財との粗代替性を仮定している，［15. p. 178]. 文献

[1].Ｋ･J. Ａ｢｢ow and Ｌ. Hurwicz,“On the Stab!lity of the Competitive Equilibrium l,"Econometrica, 26 (1958), pp. 522-552･

[2].Ｋ･J. Arrow, H.D. Block and Ｌ. Hurwicz,"On the Stability of the Competitive Equilibrium II," Econometrica, 27 (1959), pp. 82-109.

[3].Ｋ･J. Arrow and Ｍ. McManus. “Ａ Note on Dynamic Stability"，Econometricα,26 (1958), pp. 448-454･ [4 ]. L. Bassett, H. Habibagahi and J. (:2.uirk,“Qualitative Economics and Morishima Matrices"，瓦∂加一 melrica, 35 (1967), pp. 221-233･

[5 ]. L. Bassett, J. May bee and Ｊ. Quirk, "Qualitative Economics and the Scope of the Correspondence Principle", Economeμica, 36 (1968), pp. 544-563･

[6]. F. Hahn,“Gross Substitutes and the Dynamic Stability of General Equilibrium"， Econometrica, 26‘ (1958), pp. 169-170･

[7].Ｃ. Kennedy, “The Stability of the な｢出忽7 System,"ル｢尚ぴ＆＝｢‘r. Studies, 37 (1970), pp. 173- 175.

[8]･国沢信，“サムエルソン安定とヒックス安定との関係",季刊「経済思潮」第十二集，昭和24年･ [９]．-，「線型計画と経済」，昭和43年･

[10].一，“安定理論における必要条件と十分条件"，「高知大学研究報告」，昭和44年･ [11].０. Lange, Price Flexibility･and Emがり肥心， 1944, appendix･ (安井，熊谷共訳「価格伸縮性と屈用」，昭和28年･)

[12]. L. McKenzie, "Matrices with Dominant Diagonals and Economic Theory"， Stanfordが,7山詞必･ SlｕdtＭｉｎtｈｅＳｏｃtａtＳｃｉｅｎｃｅ:IV, 1959, pp. 47-62.

[13].Ｌ. Metzler. “Stability of Multiple Markets: the Hicks Conditions"，￡conometrica, 13 (1945), pp･ 277-292.

[14].森嶋通夫，「産業連関と経済変動」,昭和30年･

[15].一“Ａ Generalization of the Gross Substitute System"， j?eview of Economic Sludies, 37 (1970), pp. 177-186.

[16]. 根岸隆，“Ａ Note on the Stability of an Economy Where Ａ１１Goods are Gross Substitutes"，瓦四回etrka, 26 (1958), pp. 445-447･

[17]゜−一一，「価格と配分の理論」,昭和40年･

[18]. J. Quirk,“Comparative Statics under Walras' Ｌａｗ: the Case of Strong Dependence"，犬晒ew of 瓦卵回ic Studies, 35 (1968), pp. 11-21.

[19]. P.A. Samuelson. F∂四面li闘∫がEconomic丿皿り･sis,1947. (佐藤陸三沢,「サミュエルソン経済分析の基礎」, 1967)

[20]. 園正造“変動の正負と安定性についで，季刊「理論経済学」1951, pp. 193-200･ [21].安井琢磨「安井琢磨著作渠，第rl巻，経済静学の諸問題」，昭和45年･

[22]･｢安井琢磨著作集，第Ⅲ巻，経済動学の諸問題」，昭和46年･

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