Bradley-Terry モデルを用いたバレーボールの試合のラインアップ分析論に関する研究

バレーボール研究 第16巻　第1号　June　2014 30

研究資料

Bradley-Terry モデルを用いたバレーボールの試合の

ラインアップ分析論に関する研究

島津大宣

A…Study…of…Volleyball…Match’s…Line-up…Analysis…Theory…Using…by…Bradley-Terry…Model

Daisen…Shimazu

Abstract

In…league…games,…Takeuchi…and…Fujino…reported…a…method…for…estimating…each…team’s…strength…by…the…Bradley-Terry…（BT）…model…from…the… results…of…games.…The…similar…manner…was…also…applied…to…estimate…parameters…denoting…attack…and…defense…capabilities…with…respect…to…each… volleyball…team’s…rotations.…In…the…analysis…using…the…BT…model,…a…computer…program…on…the…basis…of…a…repetition…algorithm…was…indispensable…to… estimate…parameters. Instead…of…such…the…algorithm,…Shimazu…proposed…another…simple…estimation…method…called…"Shimazu…model",…which…is…derived…from…the…ratio…of… the…number…of…success…plays…against…the…number…of…all…attack…plays…or…all…defense…plays.…Afterwards…it…found…that…the…parameters…estimated…by… the…BT…model…and…Shimazu…model…are…not…always…compatible. This…paper…examined…the…difference…between…the…two…models.…As…the…results,…it…is…reported…that…the…BT…model…is…a…general…model…which…includes… Shimazu…model.…If…the…rotations…constitute…a…single…stream,…parameters…estimated…by…both…models…are…same.… Further,…the…estimation…of…the…probability…that…a…team…acquires…a…set…is…reported…by…computer…simulation…with…applying…parameters…obtained…by… BT…model. Key…words…:…Volleyball,…Bradley-Terry…model,…Game…analysis,…Set…gain…ratio キーワード：バレーボール，Bradley-Terry モデル，ゲーム分析，セット取得率

Ⅰ.　は　じ　め　に

　バレーボールのゲーム分析において，対戦前における分 析とセット進行中（オンサイトリアルタイム）における分析 に区分できる．対戦前における分析においては，ビデオテー プによる分析や収集したデータによる分等があり，各チー ムにおいて，該当のチーム特有の分析において成果をあげ ている．しかし，セット進行中における分析においては， データバレー等による分析で，分析の手法として，多くな いのが現状である． 　本研究では，セットの進行中において，6選手がサービ スをするが，どの選手がサービスをする際に連続得点の可 能性が高いか，あるいは低いかをいかに推定したらよいか． 　一方、レセプションの場合には，どの選手がライトバッ クでレセプションとなる場合に，連続失点の可能性が高い か，あるいは低いかを，同様に，いかに推定したらよいか． 　竹内・藤野6）_{は，リーグ戦方式で勝敗を争うスポーツに} おいて，対戦成績のデータからBradley-Terryモデル（以下， BTモデル）1）_{を用いて各チームの強さを推定する方法（最尤} 推定法（Maximum…Likelihood））を示しており，本研究では， このBTモデルによる手法を適用し，その分析論と手法に おいて検討してみた． 　島津ら4,5）_{は，最尤法で攻撃力と守備力を推定する代わ} りに，回のサービスに対して得点した回数の比で攻撃力を， 回のサーブレシーブに対してレシーブに成功した回数の比 で守備力を表すモデル（以下，島津モデル）を提案している． 島津モデルでは，単純に比を計算することにより，推定値 が求められるところに特徴があるが，島津モデルにおいて も，分析論と手法において検討してみた． 　また，次のセットにおけるスターティングラインアップ の選択において，いかなる手法を用いたら，チームにとっ て最善のスターティングラインアップが選択できるかにつ いては，推定した攻撃力と守備力の値を用いて，シミュレー ションによりセットを取得する割合（セット取得率）を推定 する方法についても検討した． 　（なお，本論では，分析論とその手法の特徴についての 記述にとどめた．連続得点と連続失点の推定の実際につい ては，別の機会とした） 日本女子大学体育研究室　Department…of…Physical…Education,…Japan… Women’s…University （受付日：2013年3月25日、受理日：2013年8月30日）

バレーボール研究 第 16 巻　第 1 号　（2014） 31

Ⅱ．分析論（分析の手法論）

各ローテーションの攻撃力と守備力の推定 1.　Bradley-Terryモデルによる推定 　バレーボールにおいて２つのチームＡとＢが対戦するも のとする．Aチームの第 i ローテーションがBチームの第 j ローテーションに対してサービスを行い，成功（得点）す る確率を…pij…，失敗（失点）する確率を…qij＝1−pij…とする． ここで，Aチームの第 i ローテーションの攻撃力をπi…，B チームの第 j ローテーションの守備力をθjとするとき， Bradley-Terryのモデル化にならって， （1） が成り立つものと仮定する． 　いま，Aチームの第 i ローテーションがBチームの第 j ローテーションに対しサービスを行う回数…nij…のうち，成 功（得点）する回数を表す確率変数を…Xij…，その実現値を…xij… とする．ここで，確率変数…Xij…が二項分布， （2） に従うものとすれば，確率変数…Xij…の同時確率は次式で与 えられる． （3） 　式（1）の仮定が成り立つとすれば，式（3）は次のように 表すことができる． （4） ここで， （5） は，Aチームの第iローテーションのBチームの各ローテー ションに対するサービスが得点に結びついた回数の合計で ある．また，       ϩ 㸬 ศ ᯒ ㄽ ศ ᯒ ࡢ ᡭ ἲ ㄽ   ྛ ࣟ ࣮ ࢸ ࣮ ࢩ ࣙ ࣥ ࡢ ᨷ ᧁ ຊ ࡜ Ᏺ ഛ ຊ ࡢ ᥎ ᐃ   㸬 %UDGOH\7HUU\ ࣔ ࢹ ࣝ ࡟ ࡼ ࡿ ᥎ ᐃ  ࣂ ࣞ ࣮ ࣎ ࣮ ࣝ ࡟ ࠾ ࠸ ࡚ 㸰 ࡘ ࡢ ࢳ ࣮ ࣒ 㸿 ࡜ 㹀 ࡀ ᑐ ᡓ ࡍ ࡿ ࡶ ࡢ ࡜ ࡍ ࡿ 㸬$ ࢳ ࣮ ࣒ ࡢ ➨

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32 　表1 のAR1 とAR4 に注目すると，それぞれのローテー ションで2 ＋8 ＝10 回のサービスを行い，両方とも3 回 得点している．このとき，表2 から島津モデルの場合は 両方の攻撃力（AR1 とAR4 は共に0.050）が等しいことが わかる．一方，BTモデルの場合，AR4 の攻撃力の方が 高く（0.023），AR1 の方が低く（0.011）なっている．そ の理由は，BTモデルの場合は，相手チームのどのロー テーションに対するサービスが得点に結びついたかを 考慮しているからである．つまり，BR2（0.020）とBR5 （0.042）の守備力を比較すると，BR2 より守備力の高い BR5 から3 回得点（AR1 も3 回得点）しているため，AR1 よりAR4 の方が攻撃力において高くなっていると考え ることができた． 　同様に，表1のBR3とBR4に注目すると，両方とも12本 のサービスを受け8 本の守備に成功している．表3 より， 島津モデルの場合，両方の守備力（双方が0.111）が等しい ことがわかる．一方，BTモデルの場合，BR3（0.134）と BR4（0.237）とでは，BR4の守備力の方が高くなっている． これは，攻撃力の高いAR3（0.149）からのサービスに対し て10本中6本の守備に成功していることが影響していると 考えられる．また，AR2（0.078）のように島津モデルでは 高い攻撃力を示しているが，BTモデル（0.042）ではそれほ 研究資料　　島津：Bradley-Terryモデルを用いたバレーボールの試合のラインアップ分析論に関する研究 （15） 　このようにして全ローテーションの攻撃力と守備力（πi…， θj，（i ，j＝1 ，2 ，… ，6））とを推定するのがBTモデルによ る手法である． 2.　島津モデルによる推定 　島津ら4,5）_{は，BTモデルにより各ローテーションの攻撃} 力と守備力を推定するためには反復法のプログラムを必要 とするため，これに代わる方法として「得点法」と呼ばれる 推定法を提案した．得点法は，式（16）に示すように，サー ビスとサーブレシーブの回数に対して，それぞれのラリー において成功して得点した回数の割合をそれぞれ単純に攻 撃力および守備力とする点に特徴がある．… （16） 　こうして求めた値を式（15）により基準化して，攻撃力 と守備力の推定値とする．

Ⅲ. 各ローテーションの攻撃力と守備力の推定の実際

1.　BTモデルと島津モデルの相違について 　両モデルにより，各ローテーションの攻撃力と守備力を 推定するプログラムを開発したので，これを実際の試合で 得られたデータに適用した結果に基づいて両モデルの相違 について検討した．用いたデータは，2004年のオリンピッ ク予選日本対イタリア戦（2004OQT）である．表1（a）に日 本のローテーションAR1からAR6がイタリアのローテー ションBR1からBR6に対するそれぞれのサービスの回数， 表1（b）にサービスのうち得点に結びついた回数を示す． これらのデータに基づいて，BTモデルと島津モデルによ り推定した攻撃力と守備力の値を表2および表3に示した．   ᘧ 㸦 㸯 㸮 㸧 ࡢ ࡼ ࠺ ࡟ ᮍ ▱ ẕ ᩘ ࡢ ึ ᮇ ್ ࢆ Ỵ ࡵ ࡿ 㸬  㸦 㸯 㸮 㸧  

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