Title
結合シーソーシステムの分散制御方式によるロバスト安
定化
Author(s)
尾西, 英樹; 大桃, 一晃; 上里, 英輔; 山本, 哲彦
Citation
琉球大学工学部紀要(58): 1-4
Issue Date
1999-09
URL
http://hdl.handle.net/20.500.12000/13747
Rights
琉球大学工学部紀要第58号，1999年 １
結合シーソーシステムの分散制御方式による
ロバスト安定化
尾西英樹＊大桃一晃秤上里英輔…山本哲彦**＊
RobustStabilizationoflnterconnectedSeesawSystems
byDecentralizedControl
HidekiONIsHI＊KazuakiOMoMo*＊EihoUEzATo…Tbts1IhikoYAMAMoTo… Abstract ThispaperconsidersarObuststabilizationviadecentralizedcontrolofthesystemwhichisconstructed ｉｎｔｗｏｓｅｅｓａｗｓｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈａｔｈｉｎｐlate・Applyingdecentralizedcontrolmethod,arobuststabiliz-abilityconditionisobtainedintermsofbilinearmatrixinequality(BMI).Astatefeedbackiscomputed usingthesolutionoftheBMI・Wealsoshowexperimentalresults・ Keywords:robuststabilization,decentralizedcontrol,bilinearmatrixinequality,statefbedback １はじめに 人工衛星の太陽電池パネルなどの柔軟で大型の構造物 は，いくつかの剛体がバネにより結合されたものとして モデル化されることが多い．また，そのようなシステム ではアクチュエータを複数配置し，分散制御方式により 制御系を構成することが考えられる．本研究では，そのよ うなモデルの一つとして，不確かさをもつ結合シーソー システムを対象とし，分散制御方式によってシステムを ロバスト安定化することを考える．そして，実機による 実験によりロバスト安定性についての検証を行う．隆二
ii鬘臺雲
弓遜
図１:結合シーソーモデル 表１:パラメータの値 ２結合シーソーのモデル 本研究で対象とする並列結合シーソーのモデルを図１， パラメータを表１に示す．ｚｉはシーソー中心からの台車 の変位(、)で右向きを正とし，０tは垂直方向からのシー ソーの傾き角(rad)で時計回りを正とする.ｕiは操作入 力で台車を駆動する力である．このシステムは台車を移 動させることによりシーソーのバランスをとる． Ｎｍｓｒａｄ Ｎｍｒａ 受理：1999年６月７日 第４３回システム制御情報学会研究発表講演会にて発表 ＊佐賀大学大学院工学系研究科生体機能システム制御工 学専攻 (AdvancedSystemsControlEngineering,Graduate SchoolofScienceandEngineering,SagaUniversity） *＊大学院理工学研究科機械システム工学専攻 (GraduateStudent，MechanicalSystemsEng.） ＊＊＊工学部機械システムエ学科 (Dept・ofMechanicalSystemsEngineering,FacofEng.） シーソーシステムの運動方程式は次式のようになる． m1ih＋m1M1-m1z1jf-m19sinO,＝u， （１） （m1zf＋ｍ１ｈｆ＋J1)li,＋2m,z,堂,０，＋m1h1ii1 -m19h1smO1-m19z1cosO1-MigblsinO1 ＋ｃ１Ｏ１＝Ｔｉ２－ｈｌｕｌ （２） Ｔｌ2＝－k(0,-02）（３） この方程式を線形化したシステムの状態空間表現はつぎ パラメータ 記号 値 単位 台車の質量 77Bｉ ｋ９ シーソーの質量 Ｍｉ 3.567 ｋ９ 支点からシーソーの 重心までの距離 6‘ 0.058 、1 シーソーの高さ /’ｉ 0.14 [、 シーソーの支点回りの 慣性モーメント J； ｋ9ｍ ２ シーソーの回転摩擦係数 ② Ｎｍ．s/rad 結合の板バネのバネ定数 ル Ｎｍ/rad尾西・大桃・上里・山本：結合シーソーシステムの分散制御方式によるロバスト安定化 ２ 外はすべて２つの端点をもつ．したがって７つの変動 パラメータの端点の組合せよりモデル集合の端点の数は Ｌ＝２５×３２＝２８８と決定した．また，制御則としては， 各システムごとに状態フィードバック のようになる． ２
虚`=…+B`迦i+ＥＡ迩錘，,‘=1,2
（４） ｊ＝１ここに，ｚ`＝[ｚｉＯｉ２ｉ０ｉ]Ｔは状態変数である．２`は
台車速度(ｍ/s)，０ｔはシーソーの角速度(rad/s)である． システムの係数行列Ａｉ，Ｂｉをつぎに示す． (10） 山＝Ｋｆｒｉ，ｉ＝１，２ を施すものとする．(4)式に(8)，（10)式を代入して全体システムを
.+金庫斜曇い
。-[｡｡-(苧+念)等Ｔ
板バネより受けるトルクが－k(0,-02)であるから，ｼｽﾃﾑの結合項ｚ;=1Aが麺jは,シーソー'の場合，
２８８ ２８８ ２８８念={Ｚ〃lAb+Ｚ〃１Aし+(エリIBb)K･}“（'1）
ｌ＝１ １＝１ 【＝１ と表す．ただし結合項以外Ｉま対角ブロック行列で定義する． 、＝[ｚＴｍＪ]T，Ａｂ＝diag{ＡＩ,A;｝Ａも＝[A1上×2，Ｂも＝diag{B{,Ｂｉ｝（12）
１ｍ＝diag{Ｋ,,唖）ここで，（'')式の閉ループ系に対するリアプノフ型安定
条件は ２ＥＡ１ｊ電，
ゴー１ ２８８ ２８８ ２８８｛ヱワIAb+エリ1Aも+(Ｅ〃`Eb)K､}Ｐ
【＝１ １＝１ 【＝１ ２８８ ２８８ ２８８＋P{Ｅ"IAb+Ｚ''１Aも+(Ｚ"IBb)K･}T<ｏ('3）
ｌ＝１ 【＝１ １＝１ である．ただし，Ｐは正定行列でリアプノフ関数＄TPZ で定義される行列である．（13)式をり'についてまとめ ると，{糊Ⅲ洲iil
(6) と表される．シーソー２についても同様である． ここで，つぎに示すパラメータは上下限については既 知であり，以下の範囲内の値をとるとする． ０．５三ｍ２≦0.65 0.382三Ｊ２≦0.420 0.0403≦ｃ２≦0.0443 ０．５三ｍ’三0.65, 0.387≦Ｊ１＜0.426, 0.0384＜Ｃｌ＜0.0422, 51三ｋ≦５．６， ２８８Ｚ〃!{(Ab十Aも+BbKD)Ｐ
ｌ＝１ ＋P(Ab＋Aも＋BbKD)T}〈0（14） となる．ここで，端点での２８８個の不等式 (7) 本研究では，(7)式の物理パラメータの不確かさに対 し，システムをロバスト安定化する分散制御コントロー ラを設計する． （Ab＋Ab＋BbKD)P＋P(Ab＋Aも＋BbKD)T〈0（15） ｌ＝1,2,…，２８８ が成立するなら，りｌＺＯより，（14)式が成立する．したがって，（15)式の複数の双線形行列不等式（BMI）を
同時に満たすＰとＫＤが存在すれば，（11)式の閉ルー プ系はロバスト安定であり，またＫＤは分散制御コント ローラとなる． ＢＭＩについては，ホモトピー法2)を用いた解法が提案 されている3)．この解法を(15)式の連立不等式に適用す る．そのために，結合項ＡＣを分離させ,変数入ｅ[0,1］ を導入したつぎの行列不等式を考える． ３分散制御系設計まず，(7)式のパラメータの不確かさに対し，(5)，（６）
式の係数行列をつぎのようなポリトープ型')で記述する． ２８８ ２８８ ２８８AガーヱヮＩＡｌ，ａ=Ｚ'１ＩＢＭﾎﾟｺﾞｰｪ刀ＩＡＩｊ
（８） ｌ＝１ 【＝１ １＝l ここに，〃’’よ ２８８ヱワ!＝１，刀1ｚｏ（９）
【＝１を満たすｽｶﾗ定数である.ここで,ＡＩ,B1,Ab,(!=
1,2,…,288）は端点行列である．これらは，ｍｉについ ては，３つの端点を持つと設定する(付録参照)．それ以 仏ら＋BBK､)P＋P(Ab＋BbKD)Ｔ ＋入(A6P＋PAF)〈Ｏ （16） ｌ＝１，２，…，２８８ ただし，入はＯから１に増加させる変数である．入＝Ｏの とき，（16)式は結合なしシステムの安定条件であり，こ琉球大学工学部紀要第58号，1999年 ３ 前節で求めた分散状態フィードバックゲインＺｎ，唾 によって，結合シーソーを安定化する制御実験を行った． ロバスト安定性について検証するために台車質量ｍｉに ついて変動を考える．実験条件と結果は以下の通りであ る．図２から図５において，縦軸はシーソーの角度(rad)， 横軸は時間(sec)を表す． れを満たす２変数Ｐ，ＫＤは容易に求めることができる・ その解を初期値とする．これを用いて入を増加させなが
ら(16)式のＢＭＩの２変数を交互に固定して線形行列不
等式（ＬＭＤとして解き，解を更新していく．入＝１の とき２変数が求まれば，それは(15)式の解である．これ によって分散状態フィードバックゲインＫ､，すなわち， ＫｍＫｈを求めることができる． まず，初期値となるＰ，Ｋ、を求める．これは結合な しシステムであるので,各サブシステムごとに考える．サ ブシステムは３つの不確かな物理パラメータをもち，行列ポリトープはＬ＝３×２２＝１２の端点をもつ．結合な
しシステムのロバスト安定条件 ●条件１:台車質量を、,＝ｍ２＝0.5(kg)とし，シー ソー１，シーソー２の初期値をそれぞれ０，＝0.1（rad)，０２＝0.0(rad)とする（図2)．
・条件２：台車質量を、,＝0.65(kg)，ｍ２＝05(kg） とし，シーソー１，シーソー２の初期値をそれぞれ０，＝０１(rad)，０２＝0.0(rad）とする（図３)．
・条件３：台車質量を、,＝0.5(kg)，ｍ２＝0.65(kg） とし，シーソー１，シーソー２の初期値をそれぞれ０，＝0.1(rad)，の＝0.0(rad)とする（図4)．
・条件４：台車質量を、，＝ｍ２＝0.65(kg）と し，シーソー１，シーソー２の初期値をそれぞれ （ＡＩ＋BIKi)Ｈ＋Ｂ(Ａｌ＋BlKi)Ｔ〈Ｏ ｉ＝１，２１＝１，２，…，１２は変数変換法4)によって解くことができる．まず，
(17） (18） 鴎＝ＫｉＢ と定義すると(17)式は0,＝０１(rad)，０２＝0.0(rad）とする（図５)．
ＡＩＢ＋ＨＡｌＴ＋Ｂｌ聡＋YiTBlT〈０，Ｈ〉０（19）
ｉ＝１，２Ｊ＝１，２，…，１２となり変数ＢとＨ関する１２個の連立したＬＭＩとな
る．そこで，Ｈ，ＹｉについてMATLAB（科学技術計
算ソフト）を用いて解き，状態フィードバックゲインＫｄ は ２１８６４２０２ ０ Ｊ０００００ ● ０ ００００ ０ 』 （ご園与①⑫一ｍ■国一声口吻の①⑫ Ｋｉ＝YtPr1ゼー1,2（20） として求めることができる．これよりＫ10,Ｋｍ,Ｐ,0,ＰｂＯ は次のようになる． ０１２３４５６７B timer(SCC） 図２:実験結果(ｍ,=ｍ２=0.5） -82.62］ -76.96］（21） K1o＝［-293.52-252.78-44.36 Jｎｏ＝［-276.70-238.09-41.65鳧｡十灘Ｚｉ護壺蕊鴬ｌ
…[二霧ｉＺ篭i蕊鑿潮'勢’
つぎのように求められた．を初期値とし，（16)式のＢＭＩを解いた結果Ｋｉ，Ｋ２は
この解を用いてＰ＝diag{P1o,Pho}，Ｋ、＝diag{Ｋ10,Ｋｍ）狙皿““叫哩０
０ ００００ （ロロ』）の①『即自⑤差声回由の①印 -0.02 ８ ０１２３４５６７ ｔｉｍｅt(sec） 図３:実験結果(ｍ,=0.65,,2=0.5） K1＝［-360.64-310.88-57.49-103.78］ K2＝［-339.78-292.65-54.16-96.７９］（23）４実験および実験結果
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ｐ ｌ Y》x旦濁くニョー４ 尾西・大桃・上里・山本：結合シーソーシステムの分散制御方式によるロバスト安定化 要素を含んでいる．比例と反比例で表される集合は，非 凸集合になることがわかる．したがって，
