浅海における進行波の砕波について(第2報) : 砕波モデルに対するCatastropheポテンシャル: University of the Ryukyus Repository

(1)

Title

浅海における進行波の砕波について(第2報) : 砕波モデル

_{に対するCatastropheポテンシャル}

Author(s)

筒井, 茂明

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(14): 189-202

Issue Date

1977-09-30

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/26954

(2)

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第14号，1977年

浅海における進行波の砕波について(第

2 報)

砕波モデルに対するCatastropheポテンシャル

筒井茂明'

On the Breaking of Progressive Waves in Shallow Water Part 2. Catastrophe Potential for Breaking Model

by

Shigeaki TSUTSUI Summary As a fundamental studyon the elucidation ofwave motions in the coast， oneof analytical methods proposing the dynamical systems that represent the history of waves is presented as follows :

The wave equation， expressedin thesurfacedisplacement only， and its Lagrangian function for the variational principle are obtained from the results of application of the perturbation method

，

where the method is applied to basic equationsofhydrodynamics in the same way as the non -linear wave theory in shallow water. Motions ofgravitywaves are physical phenomena on the potential field. 1n thiscase， Hamiltonian function is identical to the integral surface (energy surface) of basic equations， when Euler-Lagrange's dynamicalsystemsare transformed into Hamiltonian systems， and the independent variables do not appear explicitly. But quasi-linearised differential equations， based on the conventionalperturbation method， are impossible to express the breaking of waves. Therefore， new concepts are necessary in order to have reasonable solutions analyzing the problem where proper dynamical systems are to be clarified the breaking.

For the phenomena with discontinuities， R.Thom established the catastrophe theory， which deals with singular points of mappings and itsstructuralstabilities， and has classified the singularities for certain classesoffunctions. This theorygivesus clear understanding of the qualitative aspect ofdiscontinuity in natural processes. The main theoretical significance of Thom's classificationisto aIIow us to determine thestableequilibriaof gradient systems subjected to small number of 受付 :1977年4月4日 • Jnl球大学理工学部土木二L学科 189

(3)

190 i支海における進行波の砕波について (第2報)

constraints， and to describe how these equilibria change as the constraints vary. On the other hand， since Hamiltonian function is the manifold constructed by two physical variables and basic equations are related to dynamical systemson this manifold， the topology of this differentiable manifold becomes important. Consequently， Hamiltonian function should be taken as Taylor's approximation to the exactenergy surfaceat a local position near the stationary pointofthevariationalprinciple， where topologically important properties are preserved. From the analytical studies on thecatastrophetheory and the properties of Hamiltonian function mentioned above， it becomes cIear that Hamiltonian function corresponds to thecatastrophepotential for the breaking mode The nI. umerical caIculation using the first approximation to the breaking of the solitary waves isshown in which cIassical hydrodynamics and R.Thom's catastorophe theory arecombined.

1.緒愉非線形波動に関する理論的研究は，ここ1世紀来幾多の研究が成きれてきたが，その解析手法として主に 2つの流れがあるように恩われる。第1のものは，波動運動に対する流体力学の基礎方程式であるEulerの運動方程式あるいは同種の方程式と境界条件とから，摂動法により高次近似解を求める方法である。 Stokes，llKorteweg& deVries2)， Laitone3)らによる研究がその代表である。第 2の方法は， N ekrasov4)， Levi-Civita5)，らにより始められたもので，流体内部を複素平面上に写像することによりえられる微分あるいは積分方程式に対する解として波動量を決定しようとするものである。本研究において問題とする砕波に関する研究は， Michell6)， Lenau7)， Yamada & Shiotani8)， Longuetー Higgins9)らの研究に見られるように後者に属するものが多く.砕波放頂での水粒子速度と波速あるいは重力の加速度との関係から極限波形を求めている。しかし，斜面上の波を考える場合には，水底からの波の反射の影響を考えなくてはならないので，このような写像による方法は適用できない。すなわち.斜面上での非対称砕波を表現することができないという欠点があ

*

る。一方，第1の方法はこのような欠点をもたないが，後述するように，この方法でいくら高次近似解を求めても，波頂に特異点をもっ砕波波形を表示することはて許きないて'あろう。以上のように，これまでに各種の工夫が成され.非線形波動論の進展をみているが，通常の波から砕j度までの一連のj庄を表現することができる統一的な解析手法は未だ確立していないと考えられる。本研究は，通常の波から僻波までの浅海における進行波の変形の全過程を表現することのできる方程式系をえるための基礎研究であり，その解析手法のlつを提示するものである。前報l聞において，浅海における非線形波動に対する典型的な方程式であるKorteweg& deVries (KdV) 方程式をCatastrophe理論日)を用いて摂動することによりえられる式が，上述の目的を達成することができる方程式の1つで￡ることを示した。また，その方程式とKdV方程式に対する第 2近似式との類似性をも指摘した。しかし.その際に現われる摂動ノマラメータは，波高，波速などの波動量に関係する重要な影響因子であるが，それ自体は未知量であった。したがって.前報における結果は定性的なものであり，定量的な表示を行う必要があった。次章以下では.以上のような呂的を達成するための基礎方程式を，流体カ学の基礎方程式から，現象の物理的な解釈が容易な形で求め，その方位式が所要の砕本原理的には斜面上の砕波を表示てがきるはずであるが，そのような解はまだえられていない。

(4)

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第14号， 1977年 191 波モデルとなっていることを示す。まず.第 2章では浅海長波理論において用いられている摂動法により基礎方程式を変形し，水面変動のみで表わきれた波動方程式を求める。第3章においては1 i皮動運動に対する変分原理を確定するため，この波動方程式に対するLagrangianを求める。さらに，これを保存力の場に対するHamilton 系に変換し.その解曲面であるHamiltonianを求める。次に，第 4章においては.従来の領動論に基づく波動解の問題点を指摘し，このような方法では砕波波形を表現できないことを示す。そこで，写像の特異点の理論であるCatastrophe理論を用いて.上述の Hamil-tonianの特性を調べることにより，このHamiltonian が砕波モテ'ルに対するCatastropheポテンシャルであるニとを示す。きらに，孤立波の場合を考えて，この Catastropheポテンシャルから所要の昨波波形がえられることを例示する。最後に.第5章においては，以上のようにしてえられた結果を婆約して結論とする。ただし，ここでは一様水深の場合を考えるが，これは，斜面上の波の変形に対する考え方の基本となるものである。 2 .法動遭動に対する変分原理と水面変動のみで表わした浅海における波動方程式従来， i庇動理論において基礎方程式に対して摂動法を適用するときには.通常，波形とともに速度ポテンシャルに対しでも周期性を仮定する。この場合には流体内部の運動を拘束することになり i皮速に対する Stokesの定義のような物理的な定義を付加しなければ波動解が確定しない。この欠点を補うために，ここでは水面変動のみに周期性を仮定し，流体内部の運動を拘束しないことを前提とした場合121のpermanent waveについて述べる。 2.1 変分原理と基礎方程式一様水深の場合を考え，図-1に示す座標系をとると，波動運動に対する変分原理は次式131で与えられる。 o

f

L

L dx* dt*=

。

L=一

ρ

[

"

{

品+す(ぽ哨')

~

(1) +g(z

・

一

川

h

・

.

z wav

.

・

・--ー・~ 図ー l 座標系および記号の説明

-X' ここに， o*;速度ポテンシャル，

r

，水面変動，p ; 密度および 9 重力の加速度である。また， R は (X~ t事)空間の任意領域である。上式に対する変分δ〆およびos*を求めると，次の基礎方程式がえられる。 c''4'

・

= 0 世7・+す(世出 (2) 1;，*，‘+c;:‘・tt;*-o‘占 0， z・=1;* 品ム= 0， z*=O すなわち，基礎方程式は，関数空間における汎関数の停留条件となっている。この事実は，波動運動に対するCatastropheポテンシャルを求めるときに重要な意味をもってくる。 2.2 水面変動のみで表わした浅海における波動方程式式 (2 )から所要の方程式は，次のようにして求められる。事事まず，無次元量

内最

X

4 z

=

五日午

54

(3) を用いると，式 (2)は次のようになる。 c"tt=O ムサ(従+tt1l+z-1 = 0，バ (4)

s

，

+

sx・ttx-Oz

=

0， z= 1; ゐ=0， z= 0

(5)

192 i実海における進行波の砕波について(第2報) 次に， Gardner-Morikawa変換 e=ε11包(x

ー

の

，

r=ε抑止 z=z，ε<{1 (5) を行ない.水面変動および速度ポテンシャルに対して ~(x ， t)= 1 +E~， (e ， r)+ê'~，(~， r)+ ・・， l a u } ) 司 4 ヂ ι t

、

( 仇 r L ・ + ) z r 鼻炉、 ( ，ゆ a ，，，、， t 2 E ﹄一一 ) t ヲゐ x ( A V 十ε'rt

，

(e，r，z )+..} を仮定し，z=~ での境界条件を z= 1において次式のようにTaylor展開する。 rþ， (X. 乙 t)= 仇(~. r， 1 )+(~- 1 )世lZ(~， r ， l) +会(~ー 1)'rt'Zz(

e

， r， 1)+ "'，式 (5) ， ( 6 )および (7)を式 (4)に代入すると，次のような近似式がえられる。第l近似 ; rtlZZ=0 ~， -rþ， t= がふ z= 1 rtlZ=0， z= 1 世lZ=0， z= 0 第 l式から，rtl=C(

ι

r)・z+C

，

(e，r) となり，第3， 4式からC

，

(e，r)= 0でなくてはならない。したがって，第2式より， r t

，

=

~" rtl= C，(~. r) がえられる。仇はzに無関係となり，流速分布は線形長波に対するものと同じである。この第1近似を用いると，第 2，3，…近似式とその解は，それぞれ次のようになる。第2近似・中2ZZ= 中川、

らゆ，，=-

，'1'τ

ー

がふ

z= 1 r t

，

z

=

-

~lf ， Z

=

1 世2Z= O， z=O め =-~ z' ・ ~u+C.(e ， r) ( ー-) 1 ~" 1 C.. '" C" + ~，+

2

~f + 2:~，，， ( 2 1 ) 第3近似; 世，zz=-t，t.. ふ

-

h

=

-

÷

品山山一恥+

~，rþ" Z，

z= 1 仇Z=-~21- ~，合zz+ ~1I世，t+ ~'r， ) 3 l ( z= 1 仇z=0，

九

=

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-

E

l

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-

t

凡

，

+C仏 r，) z= 0 ) 4 1 ( (7) 1 "" I 1 "":¥. "'~ C.

，

=

C，，+~:汁~，~，+ ~IC2r+t~'..+ すとt+ ~f，

3 ~ ~ . 5 +τ~，仏'+24~u"，， (15) 第4近似; (8) rt.zz= - .，tr.

ふ一向

=~2tþ，tZ+すω，zz+ ~伽ー伽 -~，仇rzι品-rþl向-~，rþ，市u ん r16() -~，tþ，Z仇n 一合z仇z ， z= 1

品=一~，，- ~2ØzzZーがω- ~，ØJzz

+

~1Irþ，，+ ~21骨，，+らす' z= 1 仇z =0， z= 0 (9) rt.=

一

_

₇₂₀

:

_

z' • ~，，，，，，十 ÅZ'C叫附- ~z' _'_{""" '}₂₄ C +C，(

e

，τ)， ( 7 1 ) C

，

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肘+ふ+予告

1 :

"

，

ーが叩，，+す

C."

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一

七

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1 ~ 1

+

₂t)~A ₄tllflr-+C

，

l

I

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₂4ttr-SI!~'ltτ +~，，~，州十 (10¥ ネホ本節における計算法は.土屋・安田1自に負うところカ￡多い。

(6)

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第14号.1977年 1..2 ， 1 + ~lfC" ，十 ~， ~ft+百ふ，.+τC刊ーすω 第5近iLA; 私...=一私輔、 ~sー仇.=・ z= 1

恥=-~4t-~'恥- ~2Ø

，

.

-

~ ~fØ

3ZZZ -~，仇..+~lf仇.+~， ~lf""'Z+ ~2t仇e +~，.仇.

+

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.

z= 1 仇z=0， z= 0 仇 = 誌百九 …

7iE

刈

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，

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+

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z'C.

，

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，

ー

を

刈

U+Cμ

，_τ)_. C，O

=

.

C

，

+

~，+……，式(12)と式(13)の第 3式から C.を消去すると，周知の KdV方程式がえられる。 3....， 1 ~，，+τ~'~lf+

6

~'m= 0 ; KdV方程式 (22) 同様にして， Cs

.

ι

.

…を消去すると，次式がえられる。いす ( 凶 3

，

.

， 1 5肘+τ(~， ~'+τwけ 6 ~3t..=-F:.

ふf き~，~'+

~2~'ωtzザ

V M V zL₃ 3

一

2

+

V L d y b 3

一

2

+

a e p 、 a v も 2

一

3

+

少、， l 一日

一一

円 1.. ，3 + _{6~~ lI'lI'"}~ ~，"'+ ~ ~， ~，，+ ₂_:₁1:0'" ~lt :O'III'~'" C2τ+τC22 甘， 17 F2

.

=

6:~" 30?，，"..l.."f'4附 . .'...'1'....

+

， 5:~ ~， ~ltm'+ τ~1I H ，... 3 ~， tttt 15 + 2 ~ltt~l...+.i~l~l.~ltt+ 百ふ.tttt+ 百 ~lt...， 1.. ，5 ++~2" ，+ ~ 6 :t"II''I'C ' 3 ~lt，~，，+ ~ ，.111''' ". 3 υ ~lt~附 +τ~，~lt.，十 193 +すca，b，，+÷515wfcl山 +fC1eee ( 18) +τ~?.+τ~f ~lItt 5..

，

， 5 +

6

~lttt C2τ-î2~1相 + 3

~， ~1I ~2+ ~ ~nll+ ~lf

C

，

+

~ ~n2'

3.... ， 3.... ，3 + 3 ~n，，+ τ~， t:訂+

2

~'~2π+

2

~2~" + ~2t CU+ ふ CH+÷CMr ， (27) ( 1 到 ₊ e pb - z d ' A - a q δ 4 0 - 8 2 4

一一

日 (28)

ゆ。

れル旬、え ht 付 p カ M 除 h w v r b b } 崎 F 1

一

6 二一軸 + 介、 ' i e る

L

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I M -S 4 ・ 1 j I J 少 U 3 一₂ 1 少い + 4 2 2 K

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。

1) =一εFi-e2_F:-e'F;._…_・_・_， _ω) ここで，、E・ E ・ -E E E ︾﹃‘ . . ， EEJ

+

•

F し ε 十円切 ε

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+

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b

*

(30) ~=~， +ε~，+ ε2~.+εs ふ+…，邸) とおくと，上式から水面変動のみで表わした浅海にお自4) ける波動方程式は，次式で表わきれる。 3....， 1 ふ+τぬ+τ1;.，，=ーεF，(S)-e2 F2( S)-e' F，(

。

白5) 。1) _1"" .2J，ooy .3"，y . 3 F，_{( ο 一百~"ItI + τ ~~ItI+}

2

_~，~，，+

2

_~2~， π 9 1 一2

+

n M V M

+

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一

2 + v M l

一

6 + (32) (鉛) 17 F.J.S)=百

'

3

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.

"m+τ~~mtt+τ ~. ç，m+ 2 ?:..~m +

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v ι ，少、 d pJ 一4

+

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、

d 5

一

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4

+

少_H 少、，少、，悶日 μ

一

2 +

*

以下の演算では

.

t

の(・)は省略するが，式(6)の第l式との相違に注意。

(7)

浅海における進行波の砕波について (第2報) 194 (42) + 少_H -F、 υ 唱 A 可 δ 丹 326 百 4 一一円 U h h HH

+

岬ャ ι a ♂ l

一2

L b i f -c 少 ' b

事

+

C 2 -ャ ι_，一 . e c e -y b 3 一 2 宅 a A 一n ノ U E 一 + H b 夕、 d ︼ A_一 n ' ' u t i -q L ， a E t B ・・ _、 f A 1 2 ε 伊 + 一一 e Q ω) +CJr+fcoπ' i l l l i -I l l i - --l i l i -少 M p b 5 -6 + W V L d v M 4

一3

+

r v r ョレ九日 5 一 3 十 v M l 一日十， ~ 1 ~ 1 + 3 ~2~r- î2~m 十 τ SIIf.Qr+

2

~St .Q r ( 43) 2.3 基礎方程式に対する変分原理 (1) 基礎方程式の変形式側 -(43)で表わされる波動運動に対する変分原理を確定するために.これらの基礎方程式を次のように変形する。式自由 -(43)より次のような近以式がえられる。第 l近似;

+

、_l ・_t - F 師 e pb 5 一 M

+

e e p b p b 3

一2

+

) 4 3 (

+

v M 一 F h υ l 一 3 q δ 百。百 4 一一片 V 九、E E 巳，﹃ ' ，， a ，少山 H H 5 一川 M “ + F ﹂ b ヨ少 L b 3 3

一

2 1 L j + 弘 HM l

一

2 h T + y b r 1 2 1 一 2 汁汁

m

Q J I

J

可 ε 計十一一 Q ) 4 1 ( 3 ~ ~ . 1 -Co~..+ すと，~， .+t~ 第2近似; (35) 式。1)-(35)が所要の基礎方程式であり， ε=0のときにはKdV方程式と一致する。式。1)の右辺を一εF(!jとおくと.特性曲線として次式がえられる。 ~=旦t十 ~+éFI♀ーす

r

2" 6 St St +・・・・・・，一仏 θ一山

+

j

(

ふる)けするe岬 ( 3日 (45) =一土Cむ，.酬一i債~S，ふ1酬一立Cι，. S，岬

₁

₅

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₁

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₂

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_ι

~，2 +tcoS""+

~

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，

s

，

.-+aS

.

，

ここでは， permanent wave を考えているので，上式の特性曲線上てがcjdr=const.となる波が存在する。そこで¥

妥

=co十 E叶九 +...=♂=const 式 (44)を用いて右辺を変形すると，上式は (幻) (46) となる。第3近似 i上式と同様に，らに関する第 3近似を求め右辺を盤理すると次式がえられる。一仙一品.+す(CIC2)e+tczeee 3 ，~" ，21 ー 19ー

=

i

f

)

品).-foW).+IOco(m.-

i

u

dふ . (認) を行うと，式。1)-聞からpermanentwaveに対する基礎方程式は，次の常微分方程式で与えられる。 3 (;<，.00 I 1 (; ;;， "'" ~ 2;; -c.~.+τ弘+

;，

~...=一 εF，( ο-e2F 2(S)…(39) とし，変換

。

=c-c.r ー 1~ 2~~ ， 3~~ ， 3~， F1(!j=î5~"..'+τ~~，酬 +τ~.S..+τS2~. _-_C_O_S_{3 d -}_C_'_S₂_._-_C₂_S_._.₊_t₍_S

，

_S₃₊_τ1~"

W.+

， _τ1 t

，

.

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M仏).一元(仁川

.

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の

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6;~^ ~4刑制+ ~ 30

，

.

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•

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，

.

~

"

.

2 ) 1 4 ( +ヤ2~，酬 +4 ♂2ZEe-t♂3~.，

(8)

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第 14号.1977年 195

(一 αふ +?ωS+~s，SSS}

+ε{-，c山山 + ? ( むら ) けれ酬 ) 1 ~ ~ ~.3 ，~~ ， 1 +ë'~ -COS3S-C

，

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，

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，

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}

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，

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，

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+

₁₄_<♂(_"_¥V_¥'_p₈i)一一一(4273c・'-

，

-

₇₀₀ 894Bo)(1Pi}，

+

1

.

7

:

5

_

...c・，(576c・'-'，...，....2ー2...~ul Tr1a 98B0)伽}十一…，I (5)1 となる。式 (50) および (51) がここで考える力学系であり，以下ではLagrangianを問題としているので，積分定数Bo=0としてよいことが容易にわかる。変分原理 offL(X，恥仇，伽)de・俳

o

(52) に対するEulerの方程式は，

剰がーす

=0 自司

語〈器)一手(表~)=O

657， ~.，，55 ， ~" 1 一一一W)S十一 c₅₆₀

，

¥

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，

-

₇₀₀4273eo'-894Bo)・である。 (t?)S+

古

α(576co'叫 )S

I

8 }

+ ・側式 (30) および (37) を用いると.上式は次のようになる。 3 ~~ ， 1 -c's.+吉弘 +

6

Sss r 3'~2\ 3'~3\， 21_"~2\ 19_.，~ 1 =εi

f

o

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5

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.

).-_"~，，₇₀₀(4273c"-894Bo}(s').

+古川

6c"ー298Bo)

ふ

}

+

.

(49) (2) 変分原理式 (49) が変分原理に対する基礎方程式であり，対応する変分原理は次のようになる。ポテンシャル表示 s=rp，=事>0.X.=内二伽を用いると，式 (49) は， • 3 ，1 -c・伽+-;₂;-¥l¥T"T"" i¥l¥is + -i₆X，. r 3，，..¥ 3， _3¥ ，21_41_2¥ 19_.，.. 1 =ε↓ー(品}，-，U ，，(¥l'6'}.十一c'(rp.')一一C 仰什 120¥¥P8.J'-10¥1"81.'10<"¥"'."-!o<"'1'..[ r 13， _ ，_¥ 73_4/ ，_， 657 げ _i_E₍叫 ) . 一直c'(尚).一吉

6

0

(¥l¥i').+ (切) 上式は，次のようにして解くことができる。すなわち，式 (50) の第 2式と式 (53) の第 1式から， L=-

。

_~

X..ωーよX'+L'(仰，伽} (54) 12 となり，式 (51) と式 (53) の第 2式から次式がえられる。 oL* d f oL・¥_._ 3 ーァーづL1i-"i::--I

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(9)

浅海における進行j庄の砕波について(第2報) 196 であるから， Hamiltonianは次のようになる。この両式を式 (55) に代入すると H=jうXθ+q9'+r9'θ一L 自国 α _ __l~_L__l_:L ~* _2 0 _ 13 1 茄'::'2百cε ，jJ，=布ε 1 ， 1 • " ，1，

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7pJ+cv)+fMeFゐ相4) また， Hamiltonの正準方程式は次式で与えられる。 d9' _ oH - - - -_d8 _o_r (60) につ以下，式 (56) および (57) と同様にしてL

，

いて解き，えられた結果をまとめると，所要の Lagrangianは次式て、与えられる。五色 oH d8 -OQ ， _1x_-oH d8 - oP ， dγ oH d8

-

a

;

示上式の第 5式からQ=const.がえられ，式 (64) は θを陽に含んでいないので，この式が解曲面(エネルギー曲面)となっていることがわかる。また，この式は第I近似においてKdV方程式に対する解曲面となる。したがって，式 (64) を 2変数

(

S

，

s

，)を用いて表示すると，結局次式がえられる。曲目

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曲目以上で，浅海における波動運動に対する変分原理が確定した。ここで考えている力学系は保存力の場に対するものであるから，上式をHamilton系に変換しその解であるHamiltonanを求める。十……，

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3 .波動方程式に対するHamiltonian 式 (62) に対するHamiltonianを求める。 X" 9

，

および伊岬に共役な運動量をそれぞれ久 qおよびrとする (66) と，正準変換は， ρ- -oL -~，~ 1 oX

，

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・

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O9" -o'刊

(10)

琉球大学理工学部紀要(工学篇)第14号.1977年 197 4 .砕波モデル 4.1 従来の被動検に基づく近似解ここでは.Hamiltonianの特性が顕著に現われる孤立波について考え， εの等べきの項を等置してえられる従来の然動解の問題点を指摘する。孤立波に対しては. s-= 0のときら=s-..=0 であるからH=q=0となる。式 (66)から各近似解を求めると次のようになる。第l近似;KdV方程式に対する解がえられ.砕波は生じない。第2近似 ; 式 (66)にE3を乗じて早=εs-.ゆ=x-(1 +EC

・

)t も[i7) とおくと，次式がえられる。

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}EC'] (68) 右辺の2次式は2正根を有ーするので，これらをそれぞれ早1.ゎとすると， ( 1 3 2 2 1

-

ーサドーが(引一川一川

付くわ仰)

12 20.')." 80 となり，上式の左辺lまれ=5/9のとき特異性を示し， I}I→仰のときに砕j皮を表わすことが期待できる?そのための条件は 0';;I}Iι仇く甲2 (70) である。しかし容易にわかるように，仇>甲1.1}2> 0 となっており，条件式 (70)を満さない。したがって，式 (69)は.I}

i

の係数が特異性を示きないので，砕波モデルとはなりえない。このときの解の存在範囲は，図-2に示すとおりである。

ポ

以下同様に，高次近似解においてもd の係数に特異性が存在するにもかかわらず，有効に作用しないため，従来の摂動解では砕波波形を表わすことはできない。したがって，式 (66)が砕波モデルに対する基礎式となるためには，何らかの新しい考え方が必要であり，それが次節以下に述べるR.ThomのCatastrophe 理論である。 4.2 Catastrophe理蛤に基づく鍍動輸われわれが観測することができる現象のほとんどは. 何らかの安定性をもっていると考えられる。特に保存力の場における物理的な系を表わす力学系の場合には，ほとんどの状態がいずれかの沈点のたらい(ポテンシヤルの井戸)の中にあり，その他の状態は"起りそうになL γ 15)また，前述のように波動運動に対する基礎方程式は，変分原理により表現きれることがわかっている。すなわち，基礎方程式は解曲面上での停留関数を定める式となっている。したがふて，重力波を問題とする場合には，このポテンシャルの井戸の中で議論すれば十分であり.停留値付近での解曲面の局所的な形，すなわち，曲商のトポロジー的な特性が，このような系における運動の種々のタイプを定めると考えることカずできる。このような曲面上での特異点のトポロジー的な特性とその構造安定性を問題とする理論として.R.Thom のCatastrophe理論があり.その担軽要lj:次のとおりである。保存力の場における力学系のうち，勾配系の場合には，現象はポテンシャル (Catastropheポテンシャル) で表わされ，その現象内に不連続現象が発生する場合には，ポテンシャルの極小条件により定められ，さらに，このときのポテンシャルの局所的な型の分類が可能である，というものである。以上のような観点から，波動運動に対する変分原理の汎関数であるLagrangianの積分がCatastropheポテンシャルに対応することがわかる。したがって，この Lagrangianの積分あるいは解曲面であるHamiltonian がどのような型のときに砕波現象を表わすことができ

(¥

図-2 解の存在範囲 (非砕波) p るかを議論すればよいことになる。表 lに変分原理とCatastrophe理論との関係を示す。式 (66)からわかるように.Hamiltonianは基本的には2変数(s-.s-.) の3次式であり，この曲面は真の解曲面の停留点付近におけるTaylor近似となっており，トポロジー的に

(11)

浅海における進行波の砕波について(第 2報) ここに1 a" a2

・

a

，

はノマラメータである。 (X， y)=(S， S，)とすると， Hamiltonianが上式のいずれの引に属するかは， S'S;の係数の符号に左右きれる。しかるに，この係数は， 198 3 73 つ

，

A

，

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・

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，

2'+4'+6')ε2C.2_.，・ ( 71) 変分原理とCatastrophe理論の関係表 -1 natural processes on the potention field gradient dynamical systems variationalprinciple R.Thom's classification theorem ofsingularities stationary condition a

.

elementary catastrophe catastrophe potential n o -e 以 d g u E n q コ a e O 訓 r i t -n

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内向副 a z L M 刊川一日 ed-V E ・ V ・ -' n u a L V ρ L V ・_H 叫 t -γ I s s q u u u a Y E -A U L U L U Lagrange's eQuation of motlOn Hamilton's canonical eQuations 重要な特性が保存きれているものと考えられる。 Catastrophe理論によると 2変数の3次式で表わされるポテンシャルの型は 2種類であり.それぞれ次式で表わされる。 Hyperbolic umbilic: V

，

=X'+ y'十a

，

X Y十a

，

X+ぬY Elliptic umbilic: V

，

= X'-XY'+a

，

(X'+ Y')+a

，

X+a

，

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〉

integral surface Hamiltonian function

(12)

ftt球大学理工学部紀要 (工学篇)第14号. 1977年となり，この級数はk♂1<1で収束し，常に正値である。したがって，波動運動に対するCatastropheポテンシャルはEllipticumbilic九であり，式 (66)は次式のように表示するのが妥当である。すなわち，式 (66)は多様体上の力学系であるから，多様体のトポロジーが重要な役目を果たすので，εのオー夕、ーから各項を比較するのでなく. 2変数

(

t

.

t

.

)

で表わされるエネルギー頗顛虫悲歎として考えるべきであろう。 Catastropheポテンシャlレ: H= ~~₁₄-ÀêC.- ~~:-ê'C.'-...~!:3 10~~ 700~ ~ I l 上 _l5l~ノム 28旦 ~'r叫 .しり2 -12 20cし _，175 cし J"> +qt

+[討す誌の

+O(t') 4.3 孤立波に対する砕波モデル前節4.2において従来の摂動論の問題点を指摘し， Catastrophe理論を用いてこの問題を改良した基礎方程式を求めた。ここでは，この基礎式の特性と砕波の発生条件との関係を調べ.高次近似解をえるための手懸とする。そのために.Hamiltonianの特性の顕著に現われる孤立波について考え，第1近似ではあるが. 砕波モデルとなっていることを示す。孤立波に対する基礎方程式は，

{ ao(εc.)-1J}1JJ=a

，

(eC.) {a

，

(eC.)

ao(εC') 1 12 3 _{一一一一εc}73 _・• ₊. _一_一Te'C289，，._・ 4 20 210~~ . 504 1 1 • 347 ，，. - ε_{4 1 0}C --;:;;c;::- e-C-~~ 700 a

，

(eC.)= 3 73 •. 289， .，一₂一₀一₂ー一一₁一₀εC十一ー一一 e-C-~~ . 504 1 19 •. 288 ，，. - ε C十 ε c 220~~ . 175 a

(

，

εc・)= 1 1 • 347 ，，. -一₄一一ーεC--;一一一ε -C-1O~~ 700 であり，次の解がえられる。 -εC. 199 1J=ao(

ピ)舎手

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>β waves (75) ) 2 7 ( F 円内a向o山何ωω(eC(凶M ε町ピ凶C♂の.つ)

吋

一イ十十ヤ(a仏トト叫バμ1いぱωE町ピ(eC♂ イ .C Breaking wave， (76) 前述のように，1JJ の係数の根は式 (73) の特異点であり，砕i庄の発生と密接な関係がある。また，孤立波の場合には，式 (73) の右辺の根は波高を表わす。したがって，これらの根が一致する極限において砕波が発生し，そのときには上述の特異点は見かけ上除去きれて，式 (73)から砕波波形が求められる。このことは.従来の研究において，.i皮の峰の上側に特異点が存在し，砕波時にはこの特異点が丁度峰の上に位置するという仮定が用いられる1日ことと一致している。図 -3は式(73)に対する解の存在範囲を示したもので，上述の様子がよくわかる。波高と波速の関係は. 平=a

，

(eC.) から求められる。この曲線と，曲線 1 J=ao(eC.) 明り 7 (78) との交点から砕波波高および波速が求められ，それぞれ. れ=0.8448 I } (79) Cbllih=1 +εc.=1.3514 J となる。このときの砕波波形の波頂角は約87・である。 (73)

ギ

i

V

) 4 7 ( 守 17b 図-3 解の存在範囲 (砕j皮モデル)

(13)

(85) Catastropheポテンシャル，式 (72)からわかるように関数の摂動項はば二平であるから，上述の孤立波に対してはA=7Jと.なる。したがって，波頂での水粒子速度は，浅海における進行j皮の砕波について(第2報) 十

fme+

主

甲

州

}

+

.

である。 200 次に，水平および鉛直方向の水粒子速度をそれぞれ u. wとすると，式 (6)から

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o

.

(87) となる。図-4に波高と波速および波頂での水平水粒子速度との関係を示す。同図には各種の砕波限界およひ被速の近似式u/!.戸

=

1

1 τ

7Jを併記しである。波速はこの近似式とほぼ同じであり，この意味においても，ここで述べた研波モデルは第l近似である。水粒子速度は甲が小さいときには収束性は良いが.rr→れのときには発散する傾向を示す。このことは砕波波形における本質的な現象であるのか.または他の何らかの原因I司に起因するものであるかは，今後検討すべき事項

33Tn-

与の岬+与内川一

“

1"'./Y''f' ' 4; = 一山十・・・，となる。 permanent waveを対象としているので1 A=εQ. 個目とおくと，式 (80) および (81) から， ) 1 8 (

元

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=A

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ー

か

Aoo (8司 +…，議 = 山 + 占川岬古川仰て、ある。図一5および図-6にはそれぞれ孤立波に対するエネルギー曲面とそのときの波形を示す。エネルギー曲面の安定領域は図中に斜線で示した領域である。この曲面上には曲面の特異点て、あるsaddle pointが3点存在し，原点に位置するものは，孤立j皮の特異点である (84) がえられる。ここに， A=

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Laitone () McCowam -<>-Byatt-Smith A Fenton，Strelkoff ロRロyleigh • Author 0.8 0.6 1 .0 0.4

?

C/I局h 0.2 1 .6 1.4 孤立波の波高と波速および波頂での水粒子速度との関係 0.6 0.8 1.0 CI勾h.UC/I勾h 0.4 0.2 図 4

。

(14)

琉球大学理工学部紀要 (工学篇)第14号， 1977年 201 ? ? 図ー5 エネルギー曲面の等位曲線 (a)εc

・

=0.300 (b)εc

・

=0.340(c) EC

・

=0.3514 無限遠点に対応することがわかる。また，1J→ れのときには他の2つのsaddlpointが軌道上に接合して. これらは砕波波頂に対応している。このときには 3 つのsaddlepointは等エネルギーレベルにあるから，エネルギーがポテンシャルの井戸からまさにあふれようとするときの状態であり，砕波の物理的な現象と同等であると考えられる。また，軌道は2つのsaddle 7

，

論l副によると， saddlepoint を結ぶような軌道は存在しないことがわかっている。したがって，上述の砕波波形は厳密な意味での砕波波形でなく，漸近的に近づく極限の波形を表わしていると考えるべきであろう。 5 . 結諭以上，沿岸における波動現象を解明するための基礎研究として，通常の波から砕波までの一連の波を表現しうる砕波モデルをえることができる lつの解析手法を提示した。すなわち，まず浅海長波理論において用いられている然動法により，流体力学の基礎方程式から水面変動のみで表わした波動方程式を求め，対応する変分原理を確定した。さらに，重力j皮の運動は保存力の場における物理現象であるから，このカ学系を Hamilton系に変換してえられるHamiltonianは，基礎方程式に対する解曲面 (エネルギー曲面)となってらいることがわかった。また.この曲面は微小ノぞラメータに関する級数表示となっており，従来のf異動論に基っく逐次近似解は，基礎式を準線形化するためそこに含まれている特異性が消失し，砕j皮モデルとなりえないことを示した。しかし，この曲面は2変数(s.t.)の関数であり，基礎式は解曲面上での力学系であるから，このよ7な場合には曲面のトポロジーが重要左なる。一方.上述のHamiltonianは.変分原理に対する{亭留点付近における真の解曲面のTay)or近似となっており，トポロルジー的に重要な特性を保持していると考えられる。このような観点から上述のHamiltonianをCatastrophe 理論を用いて評価することlごより，このHamiltonian は砕波を表現しうるCatastpheポテンシャル(Elliptic umbilic)に相当することが判明した。そこで，この基礎式を孤立波について解き，所要の砕波モデルとなっていることを例示した。同僚な取扱いはクノイド放に対しても進めることができるl骨が，ここでは省略する。このようにしてえられるモデルは.砕波に対する第 1近似であるために数多くの問題点を含んで釘り，より正確な砕波モデルを形成するためには， Catastrophe ポテンシャルをより詳細に検討する必要があろう。 pomtを結ぶ形となっている。しかるに，カ学系の理最後に，本研究に際し終始温かい御指導をいただいた京都大学防災研究所土屋義人教授ならびに.御鞭縫をいただいた琉球大学理工学部河野二夫教授に対し深謝の意を表する次第である。また，京都大学防災

(15)

202 浅海における進行波の砕波について(第2報) ? 1.0 7

長=

1.3514 1.340，- " 1.300'-、 1.000 -1.0

。

曲

5

。

0.5 図 6 孤立波とその砕i皮波形(砕波波頂角o;o87") 研究所安田孝志助手から有益な御助言をいただいたことを記し，併せて感謝するものでみる。 _p_p_._445-456_，₁₉₇₃ 十 10) 筒井茂明:浅海における進行j庄の砕波につVて，参考文献琉球大学理工学部紀要工学篇，第13号，pp.203-212，1977 11) Thom， R.: Stabilite Structurelle et 1) Lamb，H.: Hydrodynamics， 6th ed.， Morphogenese， Benjamin， 1972

Cambridge，pp. 417← 420， 1932 英訳 :Structural Stability and Morphogenesis，

2 ) 前出 1 ) ， pp. 426-427 Benjamin， 1975

3) Laitone， E.V.: The second approximation 12) 土屋義人・安田孝志:新しいクノイド波理論の to cnoidal and solitary waves， J. of fluid Mech.，試み，第21回海岸工学講演会論文集， pp.65-71，1974 vo1.9， pp. 430-444， 1960 13) Luke， J.C.: A variational principle for a 4) Milne-Thomson: Theoretical Hydrodyna. fluid with a free sueface， J.of Fluid Mech.，

mics， Macmillan， 5th ed.， pp. 390 -423， 1968 vol.27， pp. 395-397， 1967 5) Stoker， J.J.: Water Waves， Pure and 14) 前出 10)

Applied Math.， vol.4，Interscience， pp. 342-351， 15) Hirsch， M.W.

&

S. Smale: Differential 1957 Equations， Dynamical System， and Linear

6 ) Michell， J.H.: The highest waves in Algebra， Academic， 1974.邦訳:力学系入門，岩波 water， Phil. Mag.， vol.36， pp. 430-437， 1893 書庖， 1976

7) Lenau， C.W.: The solitary wave of 16) Grant， M.A.: The singularity at the crest maximum amplitude， J.of Fluid Mech.， vol.26， of a finite amplitude progressive Stokes wave， pp. 309-320， 1966 J. of Fluid Mech.， vol.59， pp. 257-262， 1973

8) Yamada， H.& T. Shiotani: On the 17) Longuet-Higgins， M.S.: On the mass， highest water waves of permanent type， Bull. momentum， energy and circulation of a Disas. Prev. Res. Ins.，t Kyoto Univ.， vol.18， solitary wave. 11， Proc. Roy. Soc. Lond.， A. part 2， No. 135， 1968 340， pp. 471-493， 1974

9 ) Longuet -Higgins， M.S.: On the form of 18) 例えば，斉藤利弥，位相力学(常微分方程式の the highest progressive and standing waves in 定性的理論)，現代の数学24，共立出版， 1971 deep water， Proc. Roy. Soc. Lond.， A. 331， 19) 前出 10)

浅海における進行波の砕波について(第2報) : 砕波モデルに対するCatastropheポテンシャル: University of the Ryukyus Repository

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