k ≡ 双線形モデルにおける因子回転

双線形モデルにおける因子回転

小笠原 春 彦

要 約

因子分析モデルで代表 される双線形モデルには,交互作用項の部分に因子回 転に相当する自由度が存在する｡ この研究では,因子分析以外の双線形モデル のうち,

元頻度表に関す る対数双線形モデル と2 要因分散分析モデルのひと つである

モデルを とりあげ,複数の因子負荷行列 を対象 に因子 回 転 を行い,その標準誤差を推定する方法 を示 した｡ また,線形項の含 まれるモ デルでは因子負荷行列の列和が

である制約が課 されることが多いので,従来 の回転方法に加 えて,寄与の分散 を最小化する方法を示 した｡

1

.淑線形モデル

観測個体 ×変数で構成 され るデー タ行列や

元の分割表等 において,

要素の頻度 または連続変数の測定値 を

l jとあ らわす ( i = 1

j=

^.

.双線 形 とは

∫

xij

≡

k

の ようにモデルが積 の形の項 を含む ことを意味す る｡ この場合, Al i k ,

夢 kは パ ラメータである場合 と確率変数である場合がある｡ また,次のように線形の

〔181〕

182 商 学 討 究 第47巻 第2･3号

項が含 まれることがある

γ

xi,･芸FLg+FLli+FLz,.+∑ ス¹ⁱkA2ik

k=1 (2)

Kruskal(1981)

は

式のモデルを純双線形

,

式のモデルを混合双線形

とよび区別 している ^｡ 当 論文では

式の表現 をともに双線形モデル とよ ぶ ｡

式の典型的なモ デルはいわゆる因子分析モデルである

すなわち,

xi

=

である｡ここで,x

i l , . . . Xi I ･ ) ' , 旦=(

l, . . . ,F L p) I ,

lAg】 , 透 ‑gi l , ‥. t f i r ) ' で あ り,

x

j

は i 番 目の被験者 に関する観測値のベク トル,且 は平均のベ ク トル, A は因 子負荷行列,f l ･ は因子得点のベ ク トルである

f iが確率変数ではな く且 ,

と同様 にパ ラメータである場合 は因子分析 の母数模型 とよばれるが,これは

式 において 〟g,F L l iがない場合 に相当する. f iが確率分布 に従 う変量模型の場 合 は,パ ラメータについてのみ考 えると

式は線形モデルである

ところで

式 にはモデルに一意性がない ことはあ きらかである｡そのひと つは位置 に関す るもので, もうひとつは尺度を含む変換 に関す るものである｡

j ' q メ q

前者の不 定性 を除 くために,通常 ∑

∑

‑

1 , …, r ) i ‑

i

の ような制約が課 される｡後者の不定性の 問題は次 により示 される｡

AIA

Z '

ここで,

式は

式の右辺第

項 に対応す る行列であ り,

1

‑lA2jk]

である｡ また,

は任意の k次の正則な正方行列である｡

この間題は

式の因子分析 モデルでは因子の変換や回転の問題 として古 く

双線形モデルにおける因子回転

か ら研究 されてきた ( 例えば

,芝

,柳井他

参照

これは一意性の欠如 を逆 に利用 して ,A の変換後の行列 A 7 1 をよ り適切 なもの に構成するということで もあるが,変換 の対象は通常の場合 A というひとつの 負荷行列である｡一方

式の場合 に因子分析 モデル との類似性か らAl とA

を因子負荷行列 とよぶ と

式には通常の因子分析モデル と異 な り,

つの因 子負荷行列が存在す ることになる｡

当論文ではこの ような双線形モデルにおける因子の変換 問題を

つの主なモ デルについて扱 う｡ なお,

式は最 も簡単 なケース として示 した もので一般 には次のように表わされる

′

i(E(Xij))‑FLg+FLli+ FL2i+∑Alk‑1 ikA2ik ⁽⁵⁾

ここで,

･ )は一般化線形モデル

における種 々 の リンク関数 に対応する｡すなわち,期待値のある変換が双. 線形 となっている モデルである｡ただ し,

式の右辺は双線形モデルであるので これは一般化 双. 線形モデル

である

2.

対数双線 形 モデル にお ける因子 回転

2. 1

対数線形モデル と対数双線形モデル

対数線形モデルは頻度表 ･分割表のモデル としてよく知 られている ( 例 えば

Bishopeta1.,1975

参照)

元頻度表の

要素の東度 に関す る確率変数 を

X l j とす ると典型的な対数線形モデルは

ln(E(Xij))=FLg+FLli+FLZj+FL3ij (6)

である

ここで

はいわゆる交互作用の項 を表わ している｡対数双線形

モデルは

の項が双線形 に構造化 されたモデルであ り,

連関

184

_{商 学 討 究 第}

_{巻 第}

モデル,乗法的交互作用モデル等 ともよばれることがある

1986,1991;Andersen,1994)0

上記の確率変数 X l j は互いに独立にポアソン分布 に従 うと仮定するとそれぞ れの確率関数は次のように記述 される

p (xiJ･‑ xi)

･

r

S ij‑FLg+FLli+FL2j+^{∑ llik≠k l2jk,(i‑ 1,...},9;I

‑1

. , q)

k=1

( 7 )

ここで 4 ･ kはモデルの一意性のために導入 されたパ ラメータで,厳密 には

式 は三重線形

であるが, これは回転により双線形 に変換 される｡

さて,モデルの一意性のためにパ ラメータに制約 を付す｡ まず,各パ ラメー タをベ ク トルと行列で次のように表わす｡

L l= (FLll,‑,FLIp)',̲些 = (FLll,‑･,FLlq)',

Al‑Ellik],A2‑【12t

h

,◎

, . .

パ ラメータの制約は

旦 1^'ip‑ 0,iL2'土q= 0,Al'12=A2'土q=Or,

Al'Al‑Ir,A2'A2

‑ I r

(8)

(9)

である. ここで

ム =

個の1 ) , 9 Z :

. . . , 0 ) ' ( r個の0 )で ん は r次の単位行 列である｡

ところで,

式 において

あるいは

の一方が潜在確率変数であるモ

デルは,

のモデルであるが これは

式の通常の因子分

析モデルを頻度のケースにあてはめた ものであ り,｢ ポアソン因子分析｣あるい

は｢ 潜在変数を含む対数双線形モデル｣と名付 けられている｡ この表現 を用いる

と

式のモデルはポアソン因子分析の母数模型 とい うこともで きよう ｡ ただ

双線形モデルにおける因子 回転 185

し,通常の因子分析 モデルの ように

lと

の一方が因子負荷で他方が因子得 点であるとい う区別 は一般 にはない｡

2

2 回転前パラメータの推定

パ ラメー タの推定 は尤度 を最大化す ることにより行 う ^｡ 回転前のパ ラメータ の推定 に関す る当節 の方法 は

によ り,示 されて いるものであるが, この方法は他 の双線形モデルにも応用可能であ り, また, 回転後の結果 とも密漢 に関連するので要点 を述べ る｡

各頻度

の観測が相互 に独立である とい う仮定の下で,各パ ラメー タの尤度 は次のようになる

ZIq

L(Pg,‑ti･L2,Al,A2,◎Jx)‑^{pl,qe苦p(q∂l}jx2j)expトe^{I) q}xp(∂lj)

ⁱ / xl j !

= e;p(^q

妄言

i

)

(

/i E lj gl Xl ' ] ' !

パ ラメータの推定値 は(

式の制約の下で

式 を最大化するものである｡

負の対数尤度 を′とす ると

FEZ pi

i‑

‑ l n

i , ･ x

l n (

)

i=lj'^‑1

^{( ll )}

である

式の制約 に対応す るラグランジュの未定乗数 をそれぞれ,

̲ 負 ‑(

^{β1 ,}

^I

^{& =( β2 1, . . . ,β2 , ) ' ,rl( =rl ' ) ,r2( =r2 '} )とす る と最小化基

次のようになる

g

=

i

過

'

l ' i

･‡ tr

け 1 (

J b･ J

(12)

186

商 学 討 究

巻

号

( 1 2) 式の最小化 はス コア法 を用いた数億計算 による｡ これに必要 なグラデ イエ ン トベク トルは g 番 目のパ ラメー タを

とすると

I)q

9i ‑∑∑

^{1 ‑x2}

^j

8 i j ) i

Bog i‑1j‑1 ⁽¹³⁾

のように表わされる｡上式の右辺の要素 は容易 に得 られ表 1‑ 1の ようになる

また,情報行列の

要素は

P q

Ei∂2g/｡o g ∂

^{o hi‑ 茅} 昌 e xp

8i j

∂Sij

∂S

Bog a

O

aO g aO ^{h ( 1 4)}

である

ここで

1

∂

∂

の うち

でない要素 は表

の ようになる

未 定乗数 を除 くパ ラメー タの数 は

であ るが,未定乗数の 数 に相 当する制約の数は逝 , 也

の順 に1

+1)

である｡繰 り返 し計算 は次の ように行 う

旦♪(

‑旦

ここでは̲ Q P( i )未定乗数 を含 む

個 のパ ラメー タを並 べたベ ク トルで添字の ( i )は i 番 目の繰 り返 しにおける値であることを表わす｡

I(i)

は情報行列,

^･ )はグラデイエ ン トベク ト) i , である｡

双線形 モデルにおける 囚1･ 回転

表 11 1 グラデ ィエン トベク トルの要素

187

パ ラメー タ

添字の範囲

FLg 1

0

^{, ‑}

〟1g ^βi^●g dl

FL2h 6

]

. h

, . .

Algh ∂l

T

k+(

,

,

,

, ‑

^2hk a:

h

+(

,

￠k

0

^{, . .}

α1

0

^{, . .}

α2

0

A 9, Al/iJ, A2 9, A2'lq

γ1kk

0

ylk1

0

γ2kk

0

^{, . .}

注 ∂i gはクロネ ッカーのデルタ (∂ s T t

‑ i

≠ t )

1 k ^{l 〕}

表

情報行列の要素

パ ラルー タの対

添字の範 囲

l c

FL2h,a2 1 h‑1

, . ,

Algk,Algl ylkl g‑1

, ‑, A

Algk,β1k 1 g‑1

,

,

;

,

Alg

l

,

^2hk,A2hl y2kl h ‑1

, ‑

1 , . .

,

;

1 , . .

AZhk,γ2kl ^2hl h ‑1

, ‑

, ‑

188 商 学 討 究 第47巻 第 2･3号

2.3

線形項のないモデル

(7)

式のモデルにおいて

L

,F L l i,

を除いたモデルは前述の純双線形のモ デルである

これは,

式の通常の因子分析モデルでは平均項且 を除いたモ デルに相 当す る｡

は主成分分析 の文脈 ではあるが このような モデルを N

の意)テクニクとよんだ｡ ここで も,その呼び方 を援用する ｡ このモデルは表現が簡略になる反面,データへのモデルのあては ま りは,同一の

( 因子数 と呼ぶ)の場合 は

式のモデル と比べ ると不利で ある

N テクニクのモデルでは

である . したがって,モデルの一 意性のための

1と

の制約 は

1

,

,のみでよいoパ ラメー タの推定法は前節 において,該当 しないパ ラメータと不要な制約の部分 を除い て構成すればよい｡ なお,

式のモデル と

テクニクのモデルの中間の もの として通常の因子分析モデルのように,

つの要因 ( 被験者 と変数)のうち平 均項が一方の要因のみに設定 されるモデルも同様 に構成することがで きる｡

2.4

因子回転の方法

線形項 を含 むモデル及び

テクニクのモデルのいずれにおいて も交互作用 項 を様 々に変換す ることが可能である｡交互作用項 を集合的に

◎A2 'で表 わす と,

Al申A2'‑ AIT(T

l ◎

‑ (Al◎1/2C77(A2⑳1/2(1/C

)

( 16 )

である. ここで, S ,T は r次の任意の正則 な正方行列である

( 1 6) の上の式 は Tl◎ S

が因子 問の関連 を表わす行列 ( 一般 に非対称) としてあ らわれて お り,解釈 は単純ではない｡( 16) の下の式の T は直交行列である必要はないが,

,とす る と

1/2(1/C)T)(^2◎1/2(1/C)T)･

ト

となって C が一定 とす ると因子負荷の

双線形モデルにおける国子回転

乗の平均の大 きさが変換 によって も変わらないのでわか りやすい｡ また,因 子分析 における直交回転の諸手法 を利用することも容易 となる｡

C

の大 きさは

とす ると各 因子の寄与が

つの因子負荷行列で等 しくな り自 然の ようにみえる

これは, 2つの要因の水準の数

少

が同一の場合 は良 いが,それ らが異 なると水準数の大 きい ( 小 さい)方の要因の因子負荷が平均 的に小 さく ( 大 きく)なるので,同一の座標 にプロッ トする場合 などはわか り に くくなる

したがって,因子負荷の

乗の平均が

と

とで等 しくなるよ うに

‑ 抄/q)

とす ると便利であろう

さて,

と

をそれぞれ

l

とあ らわ し, これを回転前 因子負荷行列 とよび,直交回転後の因子負荷行列 を

1

であ らわす と

Bl‑A

l

2 ( 1 / C ) T

T ( 1 7 )

である ｡ ここで問題 は適切 な

lと

をもた らす

を求めることである . 通常 の因子分析 の状況では因子負荷行列 はひ とつであることが多いが,イ ンター バ ッテ リー法のように変数が

つのグループに分かれる場合 ̲ ( 小笠原

や複数の被験者集団か ら得 られたデータ等の場合のように,複数の因子負荷行 列が存在す ることもある

は

つの因子負荷行列が存在す る 場合 に,いずれの行列にもいわゆる単純構造 をもた らす ような共通の直交行列

を得 る方法 を提案 している

これは,因子回転後の各因子負荷行列のいわゆるオーソマ ックス基準の和 を 最大化するものである

すなわち,最大化基準

l

は

o(BIB2,‑

忘

f

･

忘 f

{

j 等 貴

である

ここで

であ り, uJはオー ソマ ックス ･ウェ

イ トである｡例 えば

1のケースはいわゆるバ リマ ックス法 に対応する｡なお,

因子負荷行列が 2つある場合で も( 1 8) 式の 2つの項のうち,一方のみを用いる

190

商 学 討

第

第

ことも可能であるし,各項 に異なるオーソマ ックス ･ウェイ トを用いることも 可能である｡

ところで, ( 18) 式 を最大化することにより,

1

2には単純構造が もた らさ れ , 解釈が容易 になることが期待 される｡ しか し, 平均項 を含むモデルでは

と

2には,各列の和が

であるという制約が課 されている

この制約は,

‑ip

‑9, ,

‑9,であ り,回転後 も保存 さ

れる

したがって, このようなケースでは ( 1 8) 式を最大化す ることにより,解 釈 の容易 な行列が得 られない可能性がある｡そこで,次のような方法 を考 える｡

オー ソマ ックス法 において,バ リマ ックス法は

のクオーティマ ックス 法 よりも寄与の大 きさが平均化 ( 水準化) されることが知 られている｡寄与の 水準化が好 ましいことの根拠は必ず しも明確ではないが,各因子が異なる側面 を同程度の強 さで表現 している場合 ( 寄与が水準化 されている場合)には,因 子の解釈 も全体 として,行いやすいことは確かである｡そこで,

式の直交

回転の もうひとつの方法 として

1と

2 の寄与の水準化 を得 ることを考える

寄与の水準化 を最大化す るには寄与の分散 を最小化すればよい｡

r

1 につい てのみ考 える とこれは

₁

r ) j ∑ ‑ 1

i ‑

^{を最小化することで}

あるが,第

項 は直交回転 によ り不変であるので第

項 を最小化すればよい｡

これは,

式か らもわかるように,オーソマ ックス ･ウェイ トのつかない項 を除いたオーソマ ックス基準 を最大化す ることに対応 している｡前川 ( 柳井他

,1990,p.102)

はこれを u, ‑ +‑のケース として説明 しているが,実際にこ の方法が適用 された例 を筆者は知 らない｡

この方法 を水準化法

とよぶ ことにす る

つの行列 の 場合 については寄与の分散の和 を定数 ( 負)倍 した次の

のを最大化 す る

r ♪

l(B',B2)‑

‑( 1/4) j ∑i ‑ 1i (

i

ここで負 の値 を とるの は通常 の オー ソマ ックス法 のアル ゴ リズ ム ( 例 えば

双線形モデルにおける因子回転

を少ない修正で用いることがで きるようにするためである｡なお, 前述の

の方法 も通常のオーソマ ックス法の計算法 を基本的には用い

ることがで きる

2. 5

因子回転後の因子負荷の棲準誤差

因子回転後の因子負荷の漸近的標準誤差 は,多変量正親分布 を仮定する連続 変数の因子分析モデルの場合 と同様 に,制約付最尤推定量の漸近的標準誤差 と

して求めることがで きる

ポアソン分布 を仮定する,対数双線形モデルの場合 もこの方法 を利用することがで きる｡ また,因子回転後の因子負荷の制約式の 表現 は,複数の因子負荷行列がある場合 にも単一の因子負荷行列のケースを基 にして簡単 に求め られる ^｡ 単丁の因子負荷行列における直交回転の場合の制約 は

によって得 られた｡ これは, どんな種類 の回 転法で も解析的な方法であれば適用す ることがで きる一般的なものである｡ し か し,

の証明は読みやすい ものではない｡

一方,回転後の制約式 とい う観点か らではな く,回転後の国子負荷行列 を求 める とい う観点か らは,バ リマ ックス法 については

(1988,p.375

,

式)が ラグランジュの未定乗数法 を用 いて,その導出の途 中で制約式 に相当する式 に到達 している

しか し,推定量の制約 とい う観点で はないので途 中の式 として記述 されてい るのみであ る｡ また,竹 内 ･柳 井

式)もラグランジュの未定乗数法 を用いて直交回転後の 因子負荷 を求める一般解 として制約式の直前の段階に到達 しているが,推定量 の制約式 という観点はとられていない｡

ここでは,ラグランジュの未定乗数法 をもとにして, これ らの研究の延長 と して複数の因子負荷行列がある場合 について,回転後の因子負荷の制約式 を次 に示す｡

まず, S個 の回転後の因子負荷行列

が存在 し,回転の最大化基準 t

は個 々の最大化基準 ( 異 なる種類の基準で もよい)の和で次のようにあ らわさ

れるとする｡

192 商 学 討 究 第47巻 第2･3号

S

i

B1 , . . . , B

k=1

(20)

この とき

は直交 回転 のための行列 を

とす る と

,の条件 の 下で

1 , .

を最大化するもの として得 られる ^. したがって, ラグランジュ の未定乗数 として対称行列

を導入すると解は

i

を最大化す る もの として得 られる｡ (

式 に

式 を代入 して′の rに関す る微分 をとると次のようになる ｡

i..∂tk(Bk)

d f ‑ k

S

dBkLtr(rTd7l‑trl

l ∑ _k ‑

( ∂ a ^{t k B ( Bk k ' )}

最適値 においてはfの

に関する偏微分が 0であることか ら

a^tk(B

^k )

A

⁼ 0

であ り,右か ら T をかけて

が対称であることを用いると

Q‑

表 蒋欝

S k=1

a a t k B ( B k‑ k ) 0

A

(22)

(23)

(24)

が得 られる

式 における

のユニークな要素数は

個である｡

式のオーソマ ックス基準の場合 について具体的に表現すると

として,

乙 . っ

w 且

. .

qij‑∑_L=l^"b

3 ^q 1

言

l ^庖 h

^‑

号

^I

(i") ･ ^L

皇

1 ( b 3

一 号

^{2 2}

^j

^{2 2 i h i‑}

^{1 i i i}

双線形モデルにおける国子回転

である｡ なお,

,(

式か らわかるように

と

を変換前因子負荷行列

として定めた場合,一般には回転以外の変換の自由度があるので,モデルの一 意性 のためには ㍉個の制約が必要である

そ こで,

式以外 の制約 は次の

ように求める｡

Bl,Bl‑

r ◎ ( P /q )

2T

T'◎ ( q / p )

/ 2T

であるので

R ‑ q B

P

‑ 0

である .

の (

要素 r l jについてみると

メ q

rij

‑ q J

P

g

(i21)

(26)

(27)

(28)

であ り,ユニークな R の要素の数は

個である.

β

1と

の漸近的標準誤差は拡大 された情報行列 Jに以上の結果 を用 いるこ とにより求めることがで きる

小笠原

Jの具体的な表現は付録 にある｡

3. FANOVA

モデルにおける因子回転

FANOVA (factoranalysisofvariance)

モデルとは

要因分散分析の交互 作用項が因子分析モデルの ように構造化 されたモデルで,

によ

り名付 け られた ものである

このモデルでは前節 ませの対数双線形卓デルの対

数期待値が連続変数の期待値そのもの となっている｡ このモデルは分散分析 の

データにおいて各セルの観測数が

の場合で も交互作用 を検定で きる長所があ

194

商

討

第47 巻 第

り,因子 の数

が ひ とつの場合 は

年代か ら提案 されている

Haberman,1990)｡

因子数が

以上 の場合 は

が最初 の ようであるが, この場合 には回転等の変換の自由度が発生する｡モデルは次のように記述 される｡

Xij‑a ij+^eij

= FLg+ FLli+ FJ2j+ (Al◎ A2')iJ.+ eij, eij‑ N(0,6

; ･ )

‑1 , . . . , 9;

‑1 , . . . , q )

(29)

ここで e l jは相互 に独立である とす る

qf jは等分散 を仮 定す ることが多 いが ここでは, よ り一般的な異 なる分散のケースを扱 う

また,各パ ラメ⊥夕は対 数双線形モデル と同様 の制約があるもの とす る｡パ ラメータの値 は正規分布 の 次 の尤度 をパ ラメー タの制約の下で最大化す ることに よ り求 めることがで き

る

｡

L(E

･

隼

^{汗 密}

ここで且 , は,それぞれ

におけるパ ラメー タを並べたベ ク トルである｡

は (

セルの観測個体数であ る｡繰 り返 し計算 も前節 までの方法 とほぼ同様 に行 うことがで きる

分布型がポアソン分布ではな く,正規分布であることに よる計算上の相違 は次の点である

負の対数尤度

に関す るグラデ イエ ン トベ ク トル と

でない情報行列 の部分 は

竹∑H･･･

v

L

♪

∑ TT

i i皿 CQ

2 ⁚り b

也 .3i 市 一義 ^{善 (xijl‑8}

i j

a

E

^蕊

(

^{. . . , 9 ; j= 1} , . . . , q )

双線形モデルにおける因子回転 である｡ (

式 より

2JW<Au⁚り〟

叫 VI

l

一

195

であるので, qi J ･ は繰 り返 し計算 において,他のパ ラメータの最新値 を用 いて 計算 した 6 "l j .により更新するとよい.

因子回転の方法,回転後の国子負荷の標準誤差の求め方 も前節 までの結果 と 同様である ｡

モデルにおいて,

テクニクのモデルを考 えること がで きることも同様である｡なお, 等分散が仮定 され, 釣合い型データであれば, モデルのあてはめは各セルの平均値の線形項か らの残差に関する特異値分解 を 行 うことに相 当する ^｡

4.

数値例

表

は

に引用 されている L

他 の研究例で,棉 神 の健康のカテゴリーと親の社会経済的地位に関する頻度表である

表

は

因子モデルのあてはめの結果である

回転の方法は

つの因子負荷行列 を 対象 にしたバ リマ ックス法 と水準化法の ものである｡線形項 は周辺度数に対応

した ものであ り,その標準誤差は交互作用 を表わす因子負荷 に比べて小 さい｡

この例 は行 と列の各 カテゴリーがそれぞれ順序 を構成 してお り,回転前の第 Ⅰ 因子はその順序 に対応 し,第 Ⅱ因子は

の

( 強度)及 び符号 を逆 にした ものを表わ している

一方, ◎の対角要素の大 きさをみると 第 Ⅱ因子 は第 Ⅰ因子 に比べ るとかな り小 さい｡

回転後の結果は水準化法では第 Ⅰ因子 は精神 の健康 と高い地位 を表わ し,第

Ⅱ因子は逆に精神の不健康 と低い地位 を表わ してお り,回転前の因子負荷 とは

別のわか りやす さが得 られている ｡ バ リマ ックス法では社会経済的地位 のパ

ター ンは回転前の傾向をかな り残 している｡なお,回転後の因子負荷 の標準誤

差 も寄与の水準化 に対応 して均等化 していることがわかる｡ なお, このモデル

196 商 学 討 究 第47巻 第2･3号

の適合の x2 値は尤度比 とピアソンによるものいずれ も

で適合 は十 分である

｡

表

はNテクニクの結果である｡回転前の第 Ⅰ国子の標準誤差は著 しく 小 さいが, これは周辺度数の情報を反映 しているため と解釈で きよう

同 じく 第 Ⅱ因子はカテゴリーの順序 に対応 している

回転後の結果はバ リマ ックス法 の もののみを示 してある

全体 に億が大であるので見に くい面 もあるが第 Ⅰ, 第 Ⅱ因子は線形項のあるモデルの回転後の第 Ⅰ,第 Ⅱ因子 に対応 していること は明 らかである｡ なお, この場合標準誤差 も均等化 されている｡

表

はアメ リカの年別 ( 推定を含む9 年分)の博士号種類別取得者数 ( 計

名)の頻度表

である｡表

は

因子をを仮定 し,

つの方法 を示 してあるがいずれ

も学位 に関する因子負荷行列のみを対象 としたものである｡バ リマ ックス法で は第 Ⅲ因子 と第 Ⅰ因子の学位の部分が回転前の傾向をかな り残 している｡水準 化 法 の結 果 をみ る と第 Ⅰ因子 は

年,化 学,生物 学, 第 Ⅱ因子 は

推定)午,心理学,生物学,第 Ⅲ因子 は

年,工学,数学, 社会科学他 などに対応 している｡ これ らの対応 はバ リマ ックス法で もみ られな くはないが,数値が回転前 と同様 に因子間で大 きく異なるので見 に くい｡また, 水準化法では標準誤差 も均一なものが得 られている ( 表にはないがバ リマ ック ス法の第Ⅲ因子の標準誤差は

である)｡なお,尤度比 とピアソンによ る値 はそれぞれ

( d.

.

であ り,モデルのあてはま りとしては3 因子で も十分ではない

表

は

のデー タである ｡ これは形容詞,動詞,名詞か ら

なる文 ( 例

を提示 して,人物 の良 し悪 L

を

段階の評定尺度で評価 させた ものである ｡ 表の値は動詞 と名詞の組み合わ

せ ごとの

回

形容詞

人)の評定の平均値である｡ ここでは簡単のため

に動詞 と名詞以外 の要因はない もの とし,各セルは独立な

回の評定の結果で

あ り,標本分散 はいずれ も

である と仮定 した｡表

は

因子 を仮定 した

モデル ( 線形項 を含 む)のあてはめの結果である｡ この例 も表