有限要素法による吊橋の固有振動解析
高 橋 和 雄 ネ ・ 酒 井 邦 男 * *
F r e e V i b r a t i o n s o f S u s p e n s i o n B r i d g e s b y F i n i t e E l e m e n t Method
by
Kazuo T AKAHASHI
( C i v i l E n g i n e e r i n g ) and
K u n i o SAKAI
( C h o f u P l a n t s C o . ， L t d . )
Summary
A f i n i t e element method i s developed f o r v e r t i c a l ， t o r s i o n a l and h o r i z o n t a l f r e e v i b r a t i o n s o f s u s p e n s i o n b r i d g e s . N umerical examples i n which r e a l s u s p e n s i o n b r i d
目ge used a r e p r e s e n t e d a s v e r i f i c a t i o n o f t h e a n a l y s i s . A s u f f i c i e n t number o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s and modes ar~ d e t e r m i n e d . The r e s u l t s a r e compared with t h o s e o b t a i n e d by a G a l e r k i n method and a e x p e r i m e n t . The accuracy and e f f e c t i v e n e s s o f t h e p r e ‑ s e n t s o l u t i o n a r e d i s c u s s e d .
1 . 緒
吊橋の振動特性は他の橋梁構造と比較して直接安全 性と連なるもので、あるために，その解析はきわめて重 要な意味を持つ.この第一段階として吊橋の固有振動 性状を把握しておく必要がある.これまでの長支間吊 橋の振動解析法としてガラーキソ法もしくはエネルギ 一法による近似解法が採用されて!実用に供されてい る 1) しかしながら，ケーブルが塔頂で、塔に固定され ている場合やハンガーが鉛直でない場合，補剛桁の支 持条件が単純支持でなく，連続である場合などはガラ
ーキン法などでは変位関数の仮定が無理となってくる ために，その適用には制約がある.そこで本研究は吊
橋の固有振動性状解析に有限要素法の適用を試みたも のである.本研究では有限要素法による吊橋の固有振 動解析の第一段階として補剛桁の鉛直，ねじりおよび 水平振動について振動解析を行い，ガラーキン法によ る解および実測値と比較した結果を報告するものであ る.
昭和 5 4 年 4 月 27 日受理
* 土木工学科
料長府製作所山口県下関市長府町
2 . 解析にあたっての基本的仮定
文献 ( 1 ) に示されている吊橋の携度理論の仮定と同じ であるが，本論で特別に用いられている仮定は次のと おりである.
( 1 ) 振動の振幅は十分に小さく，ケーブノレの変位によ
hl fL h2 yよx）
@ h（x f
1 f1
X￡
一 Bト蕪，島
main span
只茎一
@ side ￡2
Fig．1 Geometry and co−ordinate system of a suspension bridge
る活荷重水平張力H：Pはケーブルの死荷重による水平 張力Hwに比較して小さい．
（2）吊橋のハンガーは補剛桁の中心に取り付けられて おり，補剛桁の道路曲線による初期曲率は十分小さく 無視できる．したがって補剛桁のね じりと水平たわみ はそれぞれ独立に生ずる．
（3）減衰の影響を無視する．
3．吊橋の振動のエネルギー
Fig．1に示すような側径間を有する吊橋を対象とす
る．
3．1鉛直振動のエネルギー1）
ケーブルのひずみエネルギーは死荷重による初期応 力δ。＝一定による項と活荷重による付加応力σ・によ る項との和で与えられ，次のように表わされる2）．
琉一牛∫12（蝦＋去・ りd・
＋」新（・・ ・ ＋壱・ 2）d・ （1）
ここに・H・一 轣逍茁H蓄・
H・一∫∫碗d蕊一三，
Hw：ケーブルの死荷重水平張力， H：P：ケーブルの 活荷重水平張力，dA。：ケーブルの微小断面積，ノは xに関する微分を示す・dsr／dx2＋dy。2， Lは全径間 長，上式のHpはたわみuと次のように関係づけられ
る．
H・一E 粋齧求Ed・ （2）
ここに，旦：各スパン長
ケーブルの形状y，が放物線であることおよび高次の微 小項を無視すれば，式（1）は次のように書き改められる．
琉一音（2H・∫1ガ・d・一H・∫拠d・）（3）
ここに・蜂一
上式の右辺第1項はケーブルの形状変化によるもの，
また，第2項はケーブルの弾性変形によるものであ
る．
吊橋のハンガーの伸びは無視することができるので 補剛桁のたわみはケーブルのそれと同じくUであり，
その曲げによるひずみエネルギーは
V・一E∫1恥 ・d・ （4）
ここに，E：補剛桁の弾性係数， Iv：補剛桁の鉛直 方向の断面2次モーメソト
ー方，運動エネルギーは次のように与えられる．
T一軸∫1（w・切論d・ （5）
ここに，g：重力の加速度， Wt：補剛桁の単位長さ あたりの重量，We：ケーブル2本分の単位長さあたり の重量
3．2 ねじり振動1）
Fig．2に示すように補剛桁の微小ねじりψに際し
『
b
k 、 窺 「 、、、 、
1
一「
@ ／ 、 、 @ 、
@ 、 、
@ 、
@ i ノ、＼、、 、Sl I
@ i l
、 、 @ 、
@ 、
、 l b 、 、 豊 、 量
1＼一」 、
Fig．2 Cross・一section of a suspension bridge
て，各ケーブルの変位はそれぞれ
・・一一書9・・・r9 （6）
ここに，b：補剛桁の幅
上式の変位によって生ずるケーブルの活荷重水平張力 Hpは次のように与えられる．
H・一触曽Σ・ぎ∫1ψd・ （7）
したがってケーブルの形状変化と伸びよって生ずるケ ーブルのひずみエネルギーは式（3）を用いて
瑞一撃∫1微＋讐÷
（Σ1亀∫1ψd・）・ （8）・
補剛桁のねじりによって生ずるエネルギーは次のよう に与えられる．
V・一号∫31・〆・d・＋号∫3Kg・2d・ （9）
ここに，EIw：曲げねじり剛性1， GK：St． VenaIlt のねじり剛性
運動エネルギーについては補剛桁および床版の回転に よる項と補剛桁のねじりに伴うケーブルの鉛直変位に よる項との和で与えられ，次のとおりである．
T一罪∫1価d・＋量∫1う・d・
一瓢α・w・＋b讐）∫1φ・d・（1・）
ここに，z：ねじり中心から質点dmdxまでの距離，
r：回転半径 3．3 水平振動3）
ケーブルおよび補剛桁の水平たわみず，vに伴ってケ ーブルおよび補剛桁には鉛直変位が付随して生ずる．
砒一号＋㌃▽）2・三号 （・1）
ここに，Ut：補剛桁の付随鉛直変位， U・：ケーブ ルの付随鉛直変位，y：ケーブルから塔頂までの距 離，hlハンガー長
ケーブルは水平横方向にサグを持たないので，水平た わみによるケーブルの伸びを無視すれば，ケーブルの 形状変化に伴うひずみエネルギーは2）
琉一2H・（音∫1▽2d・＋壱w畦評む∫講d・）
（12）
式⑳の第2式で表わされるケーブルの鉛直変位によっ てえられる重力エネルギーは
W・一∫1−d・一∫1畷号）d・ （・3）
補剛桁の曲げによるひずみエネルギーは
V・b一丁目∫II・留・d・ （・4）
ここに，Ih：補剛桁の水平方向の断面2次モーメン
ト
補剛桁の鉛直変位によって生ずる重力エネルギーは次 のように表わされる．
琉・一∫1−d・一∫1眺葺＋0醤）2｝d・
（15）
次にケーブルおよび補剛桁の運動エネルギーTc， Tむ は
覧一 梔ｹ∫掃2d・
鷹一 梔ｹ∫1雨・d・ （・6）
また，マ，vによって付随する鉛直変位による運動エネ ルギーは
賑一 ﾊ∫1％（昏22y）d馬
T記一去音∫lw・｛マ2＋（ウー▽）22y 2h｝（・7）
4．有限要素法による解法 4．1吊橋の離散化および変位モデル
吊橋の離散化を通常のはりの曲げ振動の場合と同様 の手法を用いて行う4）．鉛直振動とねじり振動につい てはケーブルの変位は補剛桁の変位によって規定され るために1節点の自由度はたおみおよびたわみ角（も しくはねじり角およびねじり率）の2個である．これ に対して水平振動についてはケーブルと補剛桁が独立 に動きうるので1節点の自由度は補剛桁のたわみ，た わみ角およびケーブルのたわみの計3個である．本論 文では鉛直振動についてのみ定式化を述べることにす
る．
吊橋の要素についての変位U・は次のように表わす ことができる．
ue（ξ1，ξ2，t）・＝｛ξ12（3−2ξ1）， aξ12ξ2，
ξ22（3−2ξ2），一aξ1ξ22｝T｛q（t）｝，
e
＝｛fむ（ξ1， ξ2）｝T｛q（t）｝e （18）
e
ここに，a：分割長，ξ1＝1一訂a，ξ2＝文／a，｛q（t）｝、
：節点変位ベクトル（＝｛UL UL／UR UR ｝T）
4．2 補剛桁の剛性マトリックス
式（4）は式（18）の各要素の変位を用いて次のよ
うに表わされる．
V・（・）一去急献ER（｛忽・｝署｛・（・）｝のT
（｛fも ｝ぎ｛q（t）｝e）d又
一去滋｛・（・）｝署〔k・〕・｛・（・）｝e 1（・9）
ここに，N1：スパンiの分割数Ni＝￡i／a， N＝
N1十N2十N3
〔kむ〕・一2
ﾛ妾髪∴魂黎
言忌a−1。遇
したがって，吊橋全体の剛性マトリックスは
〔K・〕一菖〔k・〕・・｛・｝、蚤｛・（・）｝・
と表わされるから，式（19）は次のように書き改めら
れる．
V・（・）一壱｛・｝T〔K・〕｛・｝ （2・）
4．3ケーブルの剛性マトリック客
ケーブルの形状変化による剛性マトリックスは式
（3）の第1式を用いて
V，、一⊥ま〔当2H。∫8（｛f、 ｝零｛q（、）｝。）・
2i；1 e＝1 （｛ft ｝零｛q（t）｝e）d5〜1
一畿｛・（・）｝・〔㎞・〕・｛・（・）｝・（・・）
ここに，
〔kc1〕・一盛ll推＝：1等
一36 −3a 36 −3a 3a −a2 −3a 4a2
V・・一去｛・｝T〔剛・｝ （22）
ケーブルめ伸びによる剛性マトリックスは式（3）の 右辺第2項を用いて次のように誘導することができ
る．
琉、一音2聾・噛轟∫1・d・）翰一両 「∫1｛f・｝害｛・（・）幽 （23）
用齢罐瓢譜シジプソソ公式を
∫1・d・一号（・・1＋4・・2＋2・・3＋…4・・N午・・（N・・））
一号｛・・4・2・…4…｝T｛・・｝ （24）
したがって，
琉・一 ?o・｝・4尭含。購｛・・4・2・一・4・｝・
（急一転∫1｛・｝署d・）｛・｝
一回｛・｝・〔K・2〕｛・｝ ・ （25）
ここに
〔K嚇一響丸端｛1・4・2・……4…｝・
〜蝶遣∫1購）
∴薇驚響鷺ll驚窪喪
い．これはケーブルの伸びによる剛性は全スパンの要 素の変位が決定してはじめて確定するものであるか ら，必然的に全体系の剛性マトリックスとして存在す るためである．
4．4質量マトリックス
式（5）の運動エネルギーに式（18）を代入する
と，
T一壱浅〔翌、∫；（w・吉晩）㈹竈｛4（・）｝の・
（｛ft｝客｛q（t）｝e）d又
一去翌、｛q（t）｝零〔m〕・｛q（・）｝・ （26）
ここに，
呼矯 G糞 雛〕
ここで，全体系の吊橋の質量マトリックス〔M〕は
〔M〕一二m〕，とおけるから，上式1ま次のよう躇 e＝1
き改められる．
T一去｛r｝・〔M〕｛釜｝ （27）
4．5マトリックス運動方程式の誘導およびその解
式⑳，も，⑳および剛肱＿の関数Lカ、
次のように求められる．
L・＝T一（Vt十Vc1十Vc2） （28）
上式を用いてHamiltonの原理を適用すれぽ次式がえ
られる．
∫ll｛δ・｝・｛〔M〕｛海＋（〔K・〕＋陶＋〔K司）
｛r｝｝dt＝｛0｝ （29）
節点変位｛δr｝の任意性から｛｝の中がゼロでなけ れぽならない．これより全体系の運動方程式は次のよ
うに与えられる．
〔M〕｛r｝十〔K〕｛r｝＝｛0｝ （30）
ここに〔K〕＝〔K：t〕十〔Klc2〕十〔Kc2〕，〔M〕，〔K〕：
対称マリックス
上式は吊橋の鉛直振動の運動方程式である．解の形を 次のように仮定する．
｛r｝＝｛r＊｝eiωむ （31）
ここに，ω：固有円振動数，i＝／＝i，・｛r＊｝：変 位振幅のベクトル
式（31）を式（30）に代入すれば，次の連立1次方程 式がえられる．
（〔K〕一ω2〔M〕）｛r＊｝＝｛0｝ （32）
上式のωおよび｛r＊｝は通常の行列の固有値問題の計 算法を用いて求めることができる．なお，要素の剛性 マトリックスを用いて全体系の剛性マトリックスを作 成する方法および境界条件の処理には文献（5）に示
されている手法にしたがった．
水平振動の変位関数は補剛桁の曲げに対する自由度 とケーブルに対する自由度が存在するために式（18）
の代わりに次のように仮定する必要がある．
補剛桁に対して
ve（ξ1，ξ2， t）＝｛ξ12（3−2ξ1），一aξ12ξ2， 0，
ξ22（3−2ξ2），aξ1ξ22，0｝ε｛q（t）｝e
＝｛ft（ξ1，ξ2）｝ぎ｛q（t）｝e （32）
ケーブルに対して，
r7e（ξ1，ξ2，t）＝｛0，0，ξ2，2，0，ξ2｝ε｛q（t）｝e＝
｛fc（ξ1，ξ2）｝ぎ｛q（t）｝e
5．数値計算例
有限要素法の有用性を確めるために現在架設されて いる関門大橋および平戸大橋を対象に数値計算を行う．
計算に用いた構造諸元は次のとおりである．
関門橋2）6）：￡＝703．5m，・f＝64．Om， h＝69．119m，
f＊＝3．517m， b＝29m， LE＝1，2ユ6．056m， Iv＝3．44 m4， Ih＝33．67m4， K・＝3．573m4，1ω＝729m6， Hw＝
11682．6t／cable， w t＝19．04t／m， wc＝4．974t／m，
E＝2．1×107t／m2， Ec＝2．0×107t／m2， G＝0．81×
107t／m2， Ac＝0．2796 m2， 1／g（wむr2十wcb2／4）＝
163．056tms2／m，旦1＝167．75m， f1＝3．906m， Iv1＝
2．582m4， Ih1＝26．912m4， J1＝3．Om4，1ω1＝600m6，
wむ1＝21．156t／m，・サフィックスqT は側径間を示
す．
平戸大橋7）：旦＝460m， f＝45m， h＝48．917m， f＊
＝2．5m， b＝14．5m， LE＝829．99m， Iv＝1．648m4，
Ih＝9．621m4， J・＝0．8899m4，1ω＝：33．9604m6， Hw
＝3240．42t／cabIe， wt＝9．49t／m， wc＝1．536t／m，
AG＝0．171m2，1／g（wtr2十wcb2／4）・＝・23．627tms2／m，
5．1解の収束性
通常の1次元はり構造への有限要素法の適用とは異 って本題の吊橋の解析には，ねじりおよび鉛直振動に はケーブルの伸びの項にシンプソン公式による数値積 分による誤差が含まれる．また，水平振動にはハンガ ー長および塔頂からケーブルまでの距離を求めるにあ たってケーブル形状を放物線の代わりに階段状の折線 に近似するための誤差が含まれる．これらのために，
本題の解の収束性は通常のはり構造の場合とは異なる ものと予想される．そこで本節では要素の分割数を変 化させて解の収束状況を検討するものである．
関門大橋の主径間のねじり振動の1次および2次振 動の収束状況をFig．3に示す．1次振動はケーブル に伸びが生ずる対称振動に対応し，2次振動はケーブ ルに伸びが生じないはりとしての振動で，逆対称振動 形をもつために数値積分の結果がゼロとなるものであ る・図のように単調な収束を示し，ほぼ4分割程度で 収束していることがわかる．2次振動よりも1次振動
・1
〔Hz〕
0，4
0．2
0
エ ごのむ
o一脚。一一一〇一＿＿＿＿＿o＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿oo．514
o＼噸 ！st皿ode
o。415
10 20 一一 30
N
Fig．3Convergence of natural frequencies obtained
by FEM （Torsional vibration， Klanmom
Bridge）
が収束が遅い原因は数値積分の項が含まれるためと考 えられるが，この数値積分の影響は小さく実用上は考 慮する必要はないものと考えられる．
Fig．4に水平振動の振動数の収束状況を示す．水 平たわみ振動にはハンガー形状仮定の誤差が含まれる ために，解の収束性はねじり振動の場合よりも劣るこ とがわかる．しかし，分割数を増大させれぽ急速な収 束を示すために，特に問題とならないようである．
一
1窪
0．4
0．2
0
ヨァ り ど
げ 一一●一一晒一・一一一つ一一一一一＿卜一一一一6・・676
！／
占
駄 2。d。。de
＼』一＿一＿卜．寸＿。一一噌一一一一一一一〇〇・440
ユ のロご
r一←一→一一σ一一一一〇・157
10 20 一一二一 30
N
Fig．4Convergence of natural frequencies obtained by FEM （Horizontal vibration， Hirado Bridge）
5．2鉛直およびねじり振動
すでに振動実験が実施されている関門大橋を対象に 側径間を考慮：した吊橋の鉛直およびねじり振動の計算 を行った結果をTable 1に示す．表においてFEMの 項は本法の固有振動数を，Calc．はかラーキン法によ る解析解を，またExp．は起振機実験による実測値で ある．Calc．とFEMの場合では剛性および死荷重6）の 大きさが若干異なるが，表に示すようにFEMとCalc．
の対応およびFEMとExp．の対応は良好であること が立証される．
Fig．5（a）〜（」）に対称および逆対称鉛直振動の振 動形を示す．（a）〜（e）の対称振動の場合にはケーブ ルに活荷重水平張力Hpが生ずるために長径問の変位 が生ずることになる．対称1次振動が主径間で節を持 つのはサグを持つケーブルの振動の影響が効いている ためである．対称1次，2次，4次および5次振動は 主径間の変位が卓越する振動である．一方，（f）〜（j）
の逆対称振動ではケーブルの伸びが生じないために吊 橋の主径間と側径間の間の連成はなく，Fig．5の（f）
〜（j）に示すように各径間で軸力を受けるはりと同じ 振動が生ずるのみである．ガラーキン法などを使用す る場合にはこれらの変位を仮定するにはかなりの慣れ を必要とするが，有限要素法ではシステム的に行える 点に利点がある．
5．3水平振動
水平振動はケーブルの伸びを伴わないので，主径間
Tablel l Natural frequencies of Kanmon Bridge
Mode
獅浮高b・ﾑ
FEM
@ （Hz）
Calc．
@ （Hz）
Exp．
@ （Hz〕
Calc．
eEM
Exp。
eBM
vert■cal
魔奄b窒≠狽奄盾
sy！n・
12345
0，204 O，276 O，433 O，551 O，964
0，200 O，270 O，429 P0，528
O，914
0，212 O，298
￨0，570
O，918
0．98 O．98 O．99 O．96 O．95
1．04 P．08
P．03 O．95
o ≠獅煤｡sym・
1234
0，154 O，378 O，388 O，739
0，152 O，375 O，391 O，705
0，180
￨0，740
0．99 O．99 P．01 O．95
1．17
鼈黷
P．00
torsional
魔奄b窒≠狽奄盾
sym・
12 0，407 O，796
0，384 O，766
0，387 O，717
0．94 O．96
0．95 O．90
antisym． 1 0，514 0，492 0，472 0．96 0．92
Ca) ist sym;netrtc mode f‑O.204 ca:) (O.2
s ae span ):experinental result
(t) lst nnt!symetrSe meae.
f.O.IS4 Cl{t) (e.!se) ( ) :experimental rtsult
s'!de span rnain span
c
side span
mein sps" side
spap
(b) 2nd symmetric lmede f"O.276 CHz) CO.298)
Cg) 2pla antisymmetric f.b.37s cHx)
mode'
Cc) Srd, SYMFLgtr'ic mede feO,433 CHz)
Ch 3rd antisrrtrmetrtc fiO.3SS (Ht)
mede
Cd)
4th sy""etr!c moae f.e.551 (Hz)
(O.S70) (s) 4th etttisymetric
feo.7S9 tu1) CO.740) '
mode
(e)
Fig. 5
Stti sygrmetric zaede f‑O.964 (Ht) co.gle)
Modes of vertical vibration of Kanmon
(j) Sth
Bridge
sntisymtetrle f.:,lse (Hz)
mode
(a) lst symmetric f;O.IS7 {H
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