Akira Yoshizato

Teichm¨ uller

Weil-Petersson

Akira Yoshizato

Adviser : Shin Nayatani

目 次

1 Teichm¨ uller

8

1.1

. . . . 8

1.2 Teichm¨ uller

. . . . 9

1.3 M

. . . . 10

2 Weil-Petersson

L

12 2.1 L

. . . . 12

2.2 Lichnerowicz

. . . . 14

2.3 L

. . . . 16

2.4

M

. . . . 23

2.5 Weil-Petersson

. . . . 25

2.6 L

. . . . 29

3 Levi-Civita

34 3.1

Levi-Civita

. . . . 34

3.2 Teichm¨ uller

Levi-Civita

. . . . 37

3.3 Weil-Petersson

. . . . 37

3.4

. . . . 39

4

48 4.1

. . . . 48

4.2

. . . . 55

4.3 Wolf

Diriclhet

. . . . 56

4.4

. . . . 57

5

65 5.1

. . . . 65

5.2

. . . . 67

5.3

. . . . 69

5.4

p ≥ 2

. . . . 69

序文

本修士論文では

,

p ≥ 2

Teichm¨ uller

uller

Weil-Petersson

[17],[18]

定まる

Levi-Civita

,

ができた

[命題 3.1].

[17],[18]

[15]

.

本論文は第一章から第四章までとし, 第五章を補足とした. 補足では, リーマン 面の一意化定理と閉曲面上のリーマン計量について今吉洋一・谷口雅彦氏のテキ スト

[6]

.

,

2

− 1

.

有向曲面の

Teichm¨ uller

.

,

uller

.

.

,

(M, C )

F

M

M

, F

(M, F

C )

(M, C )

閉曲面とはコンパクトで境界のない有向曲面のことであり

,

Teichm¨ uller

0

Teichm¨ uller

.

1

,

スの

Teichm¨ uller

題は種数

p ≥ 2

.

O. Teichm¨ uller

p ≥ 2

Teichm¨ uller

R

ことがわかる. これはリーマン面上の正則二次微分の理論から得られた結果で, そ の後

, L.V. Ahlfors

L. Bers

Teichm¨ uller

て

,

Teichm¨ uller

である.

微分幾何学的な解釈（立場）とは, Teichm¨

uller

.

が対応することから保障される. この立場から捉えることで,テンソルの理論を用 いた解析方法が可能になる点で微分幾何学的という意味が窺える

.

,

.

,

p ≥ 2

,

,

p ≥ 2

Teichm¨ uller

この立場では

,

,

(0, 2)

Teichm¨ uller

,

とが自然な発想である. 結論からいえば, Teichm¨

uller

TT

(0, 2)

.

TT

Tracefree and Transverse

ここでいう余微分作用素は双曲計量全体の空間の接空間を特徴付ける際に現れる 作用素である.

さらに, リーマン計量全体の空間上に

L

L

Σ

L

.

,

曲計量の空間から

Teichm¨ uller

,

Weil-Petersson

TT

L

, Weil-Petersson

WP

WP

, L

TT

,

,

.

さて, Teichm¨

uller

uller

.

.

C

Dirichlet

.

意味で滑らかに変化するとき, 対応する調和写像も滑らかに変化するという結果が ある

.

数が

Teichm¨ uller

.

と,同じ同値類に属する二つの双曲計量をとったとき,それぞれのエネルギー関数 は一致するかということである

.

以上の準備の下で, Teichm¨

uller

WP

,

.

,

WP

,

,

L

L

.

本修士論文の構成は以下の通りである：

第一章では, まず可微分同相群

Diff(Σ)

p ≥ 2

Teichm¨ uller

T

M

.

M

G

T

M

(0, 2)

.

第二章では,

T

M

L

⟨· , ·⟩

L

Lichnerowicz

L

δ

L

− 1

M

M

,

G

T

M

L

.

T

M

TT

Teichm¨ uller

.

, TT

L

Weil-Petersson

g

TT

T

M

L

第三章では

,

L

WP

Levi-Civita

D, ∇

[17]

.

, WP

, WP

M

TT

第四章では

,

Dirichlet

,

,

,

.

,

Dirichlet

.

uller

WP

本論文では特に断らない限り, リーマン多様体や曲面, ベクトル場, テンソル場

は

C

.

謝辞

本修士論文の執筆にあたり, 公私ともに多大なる御指導をいただいた納谷信先 生

,

1 Teichm¨ uller

二次元有向曲面は等温座標の存在性から複素構造が定まり

,

Teichm¨ uller

.

p ≥ 2

Teichm¨ uller

,

− 1

uller

.

この章では, 可微分同相群とその連結成分について説明し, 種数

p ≥ 2

の

Teichm¨ uller

定め

,

.

以後, Σを種数

p ≥ 2

(境界のないコンパクト有向曲面), M

Σ

, M

Σ

− 1

1.1

本節は

, Teichm¨ uller

つを述べる.

可微分同相写像

f : Σ → Σ

p

∈ Σ

(U, φ)

f (p

)

(V, ψ)

ψ ◦ f ◦ φ

J f := J(ψ ◦ f ◦ φ

)

Diff(Σ)

,

.

さらに次の位相に関して

Diff(Σ)

K, U

Diff(Σ)

[K, U ]

[K, U ] := { f ∈ Diff(Σ) ; f(K ) ⊂ U }

Diff(Σ)

O

O := { [K, U] ⊂ Diff(Σ) ; K

}

によって定める. この位相をコンパクト開位相という. ここで位相群

Diff(Σ)

id

Diff

(Σ)

,

.

補題

1.1. Diff

(Σ)

Diff(Σ)

.

証明. ここでは正規部分群であることを示す.

g ∈ Diff

(Σ)

Diff(Σ)

g

g

= id

, g

= g

h ∈ Diff(Σ)

, h ◦ g

◦ h

Diff(Σ)

h ◦ g

◦ h

= id

, h ◦ g

◦ h

= h ◦ g ◦ h

.

h ◦ g ◦ h

∈ Diff

(Σ)

.

注意

1. Diff

(Σ)

id

Diff(Σ)

[3].

1.2 Teichm¨ uller

,

本節では種数

p ≥ 2

Σ

Teichm¨ uller

. G

, G

∈ M

ϕ ∈ Diff

(Σ)

G

= ϕ

G

を満たすとき,

G

G

Diff

(Σ)

M

T

:= M

/Diff

(Σ)

が得られる. この

T

p

Teichm¨ uller

Diff

(Σ)

に

Diff(Σ)

M

:= M

/Diff(Σ)

も定義できて

,

M

p

.

注意

2.

Teichm¨ uller

[15, Corollary2.4.6].

1.3 M

本節では

, M

,

.

M

(0, 2)

.

G ∈ M

R

0

I

M

γ : I → M

,

U ⊂ Σ

U

X, Y

γ(X, Y ) : I × U → R , (γ(X, Y ))(t, q) := (γ

)

(X

, Y

)

C

.

注意

3. M

t

時間変数と空間変数の両方に関して滑らかであることが重要である.

次に

, M

M

. G

M

γ

˙

γ

:= lim

t→0

γ

− γ

t

と定めると, ˙

γ

G

M

γ

(0, 2)

,

(0, 2)

,

˙

γ

p

∈ Σ

p

(U, (x

, x

))

.

, γ

I × U

(α

)

( · ), (1 ≤ i, j ≤ 2)

γ

(q) =

∑

(α

)

(q)dx

dx

, q ∈ U

.

γ ˙

U

˙ γ

(q) =

∑

( ˙ α

)

(q)dx

dx

, q ∈ U

となる

.

,

γ ˙

(α

)

t

したがって

M

G

(0, 2)

T

M = { Σ上の対称 (0, 2)

}

T

M

G

注意

4.

, M

.

M

(0, 2)

Fr´ echet

,

[15].

Fr´ echet

ル空間を

Fr´ echet

.

2 Weil-Petersson

L ²

この章では

,

M

L

, M

L

M

T

T

TT

T

M

TT

L

(0, 2)

TT

T

M

L

.

2.1 L

本節では,

M

L

G ∈ M

p

∈ Σ

p

(U, (x

, x

))

このとき

, h

, h

∈ T

M

U

< h

, h

>

:=

∑

G

(h

)

G

(h

)

= Tr[G

h

G

h

] (2.1)

G

(G

)

(i, j )

[(G

)((h

)

)(G

)((h

)

)]

.

補題

2.1.

(2.1)

< h

, h

>

p

証明.

(V, (y

, y

))

p

{ x

}

{ y

}

P

, U ∩ V

(G

) =

(P

)(G

)P

, ((h

)

) = P ((h

)

)

P (m = 1, 2)

.

Tr [

(G

)((h

)

)(G

)((h

)

) ]

= Tr [

(P

)(G

)P

P ((h

)

)

P

(P

)(G

)P

P ((h

)

)

P ]

= Tr [

(P

)(G

)((h

)

)(G

)((h

)

)

P ]

= Tr [

(G

)((h

)

)(G

)((h

)

) ]

が成立する

.

.

上の演算の定義から

,

h ∈ T

M

,

< h, G >

=

∑

G

h

tr

h

Σ

tr

h = 0

を満たすとき,

h

G

Trace free

G-Trace free

次に,

M

L

G ∈ M

h

, h

∈ T

M

⟨ h

, h

⟩

:=

∫

Σ

< h

, h

>

dµ

によって定まる演算

⟨· , ·⟩

L

.

, dµ

G

Σ

.

Σ

,

.

命題

2.2. ⟨· , ·⟩

M

.

証明. まず,

G

M

.

G ∈ M

, G

M

G

.

,

h, h

∈ T

M

⟨ h, h

⟩

=

∫

Σ

G

h

G

h

√

det((G

)

) dx

dx

とかけて

, G

t

.

[

t 7→ ⟨· , ·⟩

]

L

G

次に線形性と対称性であるが, これは共に行列のトレースの線形性と対称性から 従う

.

,

. G ∈ M

. Σ

G

Σ

λ

G

= λδ

⟨ h, h ⟩

=

∫

Σ

< h, h >

dµ

=

∫

Σ

∑

( 1 λ

h

)

dµ

≥ 0

が成立する

.

i, j

h

= 0

,

,

h ≡ 0

L

2.2 Lichnerowicz

本節では

, M

Lichnerowicz

.

た

Lichnerowicz

G ∈ M

G

G

= G

M

{ ∂

}

を

T Σ

.

, Σ

p

T

Σ

G

G

Levi-Civita

∇

.

∇

Christoffel

Γ

(t)

∑

Γ

(t)∂

:= ∇

∂

R

R

(∂

, ∂

)∂

:= ∇

∇

∂

− ∇

∇

∂

− ∇

∂

, [ · , · ]; Lie bracket Ricci

R

R

(∂

, ∂

) :=

∑

(G

)

G

( R

(∂

, ∂

)∂

, ∂

) =

∑

(G

)

( R

)

断面曲率

κ

κ

:= G

( R

(∂

, ∂

)∂

, ∂

)

G

(∂

, ∂

) G

(∂

, ∂

) − G

(∂

, ∂

)

.

G

t

R

, R

, κ

t

, G

= G

Levi-Civita

, Christoffel

,

, Ricci

∇ , Γ

, R , R, κ

Σ

κ

Gauss

(R

)

= κ

[(G

)

(G

)

− (G

)

(G

)

)]

が成立する

(cf. [7, Lemma 3.3.3]).

Ricci

(R

)

= κ

∑

(G

)

[(G

)

(G

)

− (G

)

(G

)

)] = κ

(G

)

を満たす

.

G

2 κ

=

∑

(G

)

(R

)

(2.2)

が成立する. ここで

Ricci

∑

d dt

t=0

(R

)

(G

)

= − ∆

(tr

h) + δ

δ

h (2.3)

[1, Theorem1.174].

Σ

C

f

,

∆

f := div

(grad

f) = tr

(Hess

f )

によって定まる作用素

∆

G

Laplace

f

∆

f

L

div

⟨ f, ∆

f ⟩

=

∫

Σ

f ∆

f dµ

=

∫

Σ

− G(grad

f, grad

f ) dµ

≤ 0

k

, X

, · · · , X

Σ

. Σ

(0, k + 1)

α

δ

α

δ

α(X

, · · · , X

) := −

∑

G

( ∇

α)(∂

, X

, · · · , X

)

によって定める. このとき, テンソル場に対する作用素

δ

G

[1, Definition1.56(c)]

k = 0

δ

α = −

∑

G

( ∇

α)(∂

)

.

以上の準備の下で, Lichnerowicz作用素を導出する.

h := ˙ G

∈ T

M

(2.3)

d dt

t=0

(G

)

=

∑

G

h

G

, R

= κ G

を用いて

,

(2.2)

t

, d

dt

t=0

2 κ

=

∑

[ d dt

t=0

(R

)

(G

)

+ (R

)

d dt

t=0

(G

)

]

= − ∆

(tr

h) + δ

δ

h − κ

∑

G

G

h

G

= − ∆

(tr

h) + δ

δ

h − κ tr

h

= ( − ∆

− κ) tr

h + δ

δ

h

.

L

h := ( − ∆

− κ) tr

h + δ

δ

h (2.4)

.

G

Lichnerowicz

, L

T

M

C

(Σ)

G

h

G

L

h = 0

を満たすことである. これは

G

M

G

κ

t

0

.

, G

G

= G

G

(2.3)

∑

( ˙ R

)

(G

)

= κ tr

h

注意

5.

{ ∂

}

.

2.3 L

本節では, まず計量のベクトル場による変形である

Lie

L

Divergence free

（

Transverce

,

Lie

.

, Lichnerowicz

L