水平リフトの二階微分

本節では,前節で定義したWP測地線の水平リフトの二階微分を求める.

定理 3.3 (水平リフトの二階微分の表示, [17, Theorem 3.8]). Tpの点σとΠ⁻¹(σ) の点Gを任意に固定する. さらにσtをσを通るTp上のWP測地線とし, GtをG を通るσ_tの水平リフトとする. このとき, Σ上のベクトル場Zが存在して

d² dt²

t=0

G_t= (1

4∥G˙₀∥²G0 +α₀ )

G₀+L_ZG₀ が成立する. ただし∥G˙₀∥²_G0 :=<G˙₀,G˙₀ >_G0であり, α₀は

α₀ :=−1

2(∆_G0 −2)⁻¹∥G˙₀∥²G0 (3.4) によって定まるΣ上の非負値関数である.

証明. P_Gtを式(2.14)で定まるT_GtMから(T_GtM−1)^⊥への直交射影とし, ˜G_tをG_t を始点とする定値ベクトル場とする. このとき, G_tがM₋1上の測地線であること から

D^′_G˙

t

G˙_t= 0 ⇔ (DG˙t

G˙_t)^TGtM−1 = 0

⇔ (DG˙t

G˙_t)_Gt =P_Gt(DG˙t

G˙_t)

⇔ G¨_t+ Γ(G_t)( ˙G_t,G˙_t) = P_Gt( ¨G_t) +P_Gt(Γ(G_t)( ˙G_t,G˙_t))

⇔ G¨_t+ (DG˜t

G˜_t)_Gt =P_Gt( ¨G_t) +P_Gt((DG˜t

G˜_t)_Gt)

⇔ G¨_t =P_Gt( ¨G_t)−[(DG˜t

G˜_t)_Gt]^TGtM−1

を得る. 以降, t= 0とする. 式(3.3)より, あるベクトル場Xが存在して [(DG˜0

G˜₀)_G0]^TG0M−1 =L_XG₀ が成立する.

よって以下では,PG0( ¨G0)を求める. PGの定義と線形性から,tが十分小さいとき 0 =P_Gt( ˙G_t) = P_Gt( ˙G₀+tG¨₀+o(t))

= P_Gt( ˙G₀) +t P_Gt( ¨G₀) +o(t)

である. よってP_Gt( ˙G_t)をt = 0で微分すると

0 = d

dt

t=0

P_Gt( ˙G_t)

= d

dt

t=0

P_Gt( ˙G₀) +P_G0( ¨G₀) を得る.

次に, [ d

dt

t=0PGt( ˙G0)

]を求める. 関数ft( ˙G0)を

LGtG˙₀− LGtL^∗Gtf_t( ˙G₀) = 0

満たすものとする. このとき, LG0G˙0 = 0, f0( ˙G0) = 0に注意すると d

dt

t=0

P_Gt( ˙G₀) = d dt

t=0

L^∗Gtf_t( ˙G₀)

= d

dt

t=0

[(−∆_Gt + 1)f_t( ˙G₀)G_t] + d dt

t=0

Hess_Gtf_t( ˙G₀)

= (−∆_G0 + 1) d dt

t=0

f_t( ˙G₀)G₀+ Hess_G0 d dt

t=0

f_t( ˙G₀)

= (−∆_G0 + 1) d dt

t=0

[(−∆_Gt + 1)⁻¹(−∆_Gt + 2)⁻¹LGtG˙₀]G₀

+ 1

2L_[grad

G0 d

dt|t=0ft( ˙G0)]G₀

= (−∆_G0 + 2)⁻¹ d dt

t=0

(LGtG˙₀)G₀+ 1 2L_YG₀

= (−∆_G0 + 2)⁻¹ [

(−∆_G0 + 1) d dt

t=0

tr_GtG˙₀+ d dt

t=0

δ_Gtδ_GtG˙₀ ]

G₀+ 1 2L_YG₀

= (−∆G0 + 2)⁻¹(−∆G0 + 1)(−∥G˙0∥²G0)·G0

+ (−∆_G0 + 2)⁻¹ d dt

t=0

(δ_Gtδ_GtG˙₀)G₀+ 1 2L_YG₀

が成立する. 第一等式は式(2.14),第二等式は補題2.6による.また第四等式は式(2.4) とδ_GG˙₀ = 0, 第五等式はtr_GG˙₀ = 0から従う. ただし, Y := grad_G

0

d dt

t=0f_t( ˙G₀) である.

最後に, [

d dt

t=0δ_Gtδ_GtG˙₀

]を求める. δ_G0G˙₀ = 0とδ_GtG˙₀のtに関する滑らか性 から, 十分小さいtに対して

δ_Gtδ_GtG˙₀ = δ_Gt [

δ_G0G˙₀+t d dt

t=0

δ_GtG˙₀+o(t) ]

= t δ_Gt ( d

dt

t=0

δ_GtG˙₀ )

+o(t)

を得る. よってt = 0で微分すると, d

dt

t=0

δ_Gtδ_GtG˙₀ =δ_G0 ( d

dt

t=0

δ_GtG˙₀ )

が成立する. ここで補題を述べる.

補題 3.4 (余微分作用素の変形).

δ_G0 ( d

dt

t=0

δ_GtG˙₀ )

=−3

4∆_G0∥G˙₀∥²G0 (3.5) この補題を用いると,

PG0( ¨G0) = − d dt

t=0

PGt( ¨G0)

= −(−∆_G0 + 2)⁻¹(−∆_G0 + 1)(−∥G˙₀∥²G0)G₀

− (−∆_G0 + 2)⁻¹ (

−3

4∆_G0∥G˙₀∥²G0

)

G₀− 1 2L_YG₀

= (−∆_G0 + 2)⁻¹ [

(−∆_G0 + 1)∥G˙₀∥²_G0 + 3

4∆_G0∥G˙₀∥²_G0 ]

G₀

− 1 2LYG0

= (−∆_G0 + 2)⁻¹ (

−1

4∆_G0 + 1 )

∥G˙₀∥²G0G₀− 1 2L_YG₀ が成立する. 以上をまとめて

G¨₀ = P_G0( ¨G₀)−L_XG₀

= (−∆_G0 + 2)⁻¹ (

−1

4∆_G0 + 1 )

∥G˙₀∥²G0G₀

− 1

2L_YG₀−L_XG₀

= (1

4∥G˙₀∥²G0 +α₀ )

G₀+L_ZG₀ を得る. ただし,

Z := −1

2Y −X, (3.6)

α₀ := −1

2(∆_G0 −2)⁻¹∥G˙₀∥²G0

である.

最後に証明中で用いた補題を証明する.

補題の証明. この証明では, テンソルの添字はEinstein規約に基づくものとする. {xⁱ}をΣ上の局所座標でG₀に関して等温座標になるものとする. 以下のテンソル 計算では等温座標を用いる. このとき

∂i := ∂

∂xⁱ, hij,k :=∂k[h(∂i, ∂j)], ρ:= (G0)11 = (G0)22

とおくと, G₀ =Gから定まるChristoffel記号Γ^l_ij は Γ^l_ij = 1

2ρ

[(∂_iρ)δ^l_j+ (∂_jρ)δ_i^l−(∂_lρ)δ_ij]

とかける. ただし,δ_jⁱ, δijはともにクロネッカーのデルタを表す. ここでh:= ˙G0と おくと, hはG₀に関してTTテンソルであるので

tr_G0h= 0 ⇔ h₁₁+h₂₂= 0 (δ_G0h)_j = 0 ⇔

∑2 i=1

h_ij,i =

∑2 i=1

[Γ^l_iih_lj + Γ^l_ijh_il]

(j = 1,2) を満たす.

まず, 余微分作用素の定義から δ_G0

( d dt

t=0

δ_Gth )

= −G^ij₀ (∇∂i(δ_Gth)^′_t=0) (∂_j)

= −1 ρ

∑2 j=1

(∇∂j(δGth)^′_t=0) (∂j)

= −1 ρ

∑2 j=1

[∂_j(δ_Gth(∂_j))^′_t=0−(δ_Gth(∇∂j∂_j))^′_t=0]

= −1 ρ

∑2 j=1

∂_j(δ_Gth(∂_j))^′_t=0 とかける. 最後の等式は

∑2 j=1

∇∂j∂_j =

∑2 j=1

Γ^l_jj∂_l = 0

であることを用いた. 詳しくは後の命題4.9の証明を参照されたい.

次に[(δ_Gth(∂_k))^′_t=0]を計算する. 添字をjからkに変更したのは計算上の都合に

よるものである. このとき, (δ_Gth(∂_k))^′_t=0

= [

−G^ij_t (∇^t∂ih)(∂_j, ∂_k)]_′

t=0

= −(G^ij_t)^′_t=0(∇∂ih)(∂_j, ∂_k)−G^ij₀ [

−(Γ^l_ij(t))^′_t=0h_lk−(Γ^l_ik(t))^′_t=0h_jk]

= G^ia₀ habG^bj₀ [

∂ihjk −Γ^l_ijhlk−Γ^l_ikhjl

] + G^ij₀ [

(Γ^l_ij(t))^′_t=0hlk+ (Γ^l_ik(t))^′_t=0hjk

] (3.7)

と式変形できる. 一方で

∥h∥²_G0 = 1 ρ²

∑2 i,j=1

h_ijh_ij

∂_k∥h∥²G0 = ∂_k (1

ρ² )∑2

i,j=1

h_ijh_ij + 1 ρ²

∑2 i,j=1

h_ijh_ij,k

= −2 ρ³(∂kρ)

∑2 i,j=1

hijhij + 2 ρ²

∑2 i,j=1

hijhij,k

= −2

ρ(∂_kρ)∥h∥²G0 + 2 ρ²

∑2 i,j=1

h_ijh_ij,k

とかけることを用いて, 式(3.7)の第一項を計算すると G^ia₀ h_abG^bj₀ [

∂_ih_jk−Γ^l_ijh_lk−Γ^l_ikh_jl]

= 1

ρ²δ^iah_abδ^bj[

h_jk,i−Γ^l_ijh_lk−Γ^l_ikh_jl]

= 1

ρ²

∑2 i,j=1

h_ijh_ij,k− 1 ρ²

∑2 i,j=1

h_ij[

Γ^l_ijh_lk+ Γ^l_ikh_jl]

= 1

2∂_k∥h∥²G0 + 1

ρ(∂_kρ)∥h∥²G0 − 1 ρ²

∑2 i,j=1

h_ij[

Γ^l_ijh_lk]

− 1 ρ²

∑2 i,j=1

h_ij[

Γ^l_ikh_jl]

= 1

2∂_k∥h∥²G0 + 1

ρ(∂_kρ)∥h∥²G0

− 1 ρ²

∑2 i,j=1

h_ij 1 2ρ

[

(∂_iρ)h_jk+ (∂_jρ)h_ik−

∑2 l=1

(∂_lρ)δ_ijh_lk ]

− 1 ρ²

∑2 i,j=1

h_ij 1 2ρ

[

(∂_iρ)h_jk+ (∂_kρ)h_ji−

∑2 l=1

(∂_lρ)δ_ikh_jl ]

= 1

2∂_k∥h∥²G0 + 1

ρ(∂_kρ)∥h∥²G0

− 1 2ρ³

[ ₂

∑

i,j=1

(∂_iρ)h_ijh_jk +

∑2 i,j=1

(∂_jρ)h_ijh_ik−

∑2 j,l=1

(∂_lρ)h_jjh_lk ]

− 1 2ρ³

[ ₂

∑

i,j=1

(∂iρ)hijhjk +

∑2 i,j=1

(∂kρ)hijhij −

∑2 j,l=1

(∂lρ)hjlhkj

]

= 1

2∂_k∥h∥²G0 + 1

ρ(∂_kρ)∥h∥²G0

− 1 2ρ

[ ₂

∑

i,j=1

(∂_iρ)h_ijh_jk+

∑2 i,j=1

(∂_jρ)h_ijh_ik ]

− 1

2ρ(∂_kρ)∥h∥²G0

となる. ここで第二等式には

h_jk,i=h_kj,i =h_ij,k

を適用したが, 後の補題4.9で示される. さらに第四等式には Γ^l_ijh_lk = (∂_iρ)h_jk+ (∂_jρ)h_ik−

∑2 l=1

(∂_lρ)δ_ijh_lk,

Γ^l_ikh_jl = (∂_iρ)h_jk+ (∂_kρ)h_ji−

∑2 l=1

(∂_lρ)δ_ikh_jl

を適用した. 最後の等式はhのG-Trace free性と添字のとりかえによって成立す る. hのTT性から

1 2ρ³

[ ₂

∑

i,j=1

(∂_iρ)h_ijh_jk +

∑2 i,j=1

(∂_jρ)h_ijh_ik ]

= 1

2ρ³ (∂₁ρ h₁₁h_1k+∂₁ρ h₁₂h_2k+∂₂ρ h₂₁h_1k+∂₂ρ h₂₂h_2k)

+ 1

2ρ³ (∂₁ρ h₁₁h_1k+∂₁ρ h₂₁h_2k+∂₂ρ h₁₂h_1k+∂₂ρ h₂₂h_2k)

= 1

2ρ³





h₁₁(∂₁ρ h₁₁−∂₂ρ h₂₁) +h₁₂(∂₁ρ h₂₁+∂₂ρ h₁₁) (k = 1) h₁₁(∂₁ρ h₁₂−∂₂ρ h₂₂) +h₁₂(∂₁ρ h₂₂+∂₂ρ h₁₂) (k = 2)

= 1

2ρ³





∂₁ρ h₁₁h₁₁+∂₁ρ h₁₂h₁₂ (k= 1)

∂₂ρ h₁₁h₁₁+∂₂ρ h₁₂h₁₂ (k= 2)

= 1

2ρ(∂_kρ)∥h∥²G0

が成立する. よって式(3.7)の第一項は G^ia₀ h_abG^bj₀ [

∂_ih_jk−Γ^l_ijh_lk−Γ^l_ikh_jl]

= 1

2∂_k∥h∥²G0 (3.8) である.

次に, 式(3.7)の第二項を求める. Christoffel記号のt微分は [Γ^l_ij(t)]_′

t=0 = 1

2(G^lm_t )^′_t=0[(G₀)_mj,i+ (G₀)_im,j −(G₀)_ij,m] + 1

2(G^lm₀ ) [(h₀)_mj,i+ (h₀)_im,j −(h₀)_ij,m]

= 1 2

(

−1 ρ²

)∑2 m=1

h_lm[(∂_iρ)δ_mj + (∂_jρ)δ_im−(∂_mρ)δ_ij]

+ 1

2ρ[h_ij,l+h_il,j−h_ij,l]

= − 1 2ρ²

[

(∂_iρ)h_lj + (∂_jρ)h_li−

∑2 m=1

(∂_mρ)δ_ijh_lm ]

+ 1 2ρh_il,j とかける.

よって式(3.7)の第二項は G^ij₀ [

(Γ^l_ij(t))^′_t=0h_lk+ (Γ^l_ik(t))^′_t=0h_jk]

=

∑2 l=1

1 ρδ^ij

[

− 1 2ρ²

(

(∂_iρ)h_lj + (∂_jρ)h_li−

∑2 m=1

(∂_mρ)δ_ijh_lm )

+ 1 2ρh_il,j

] h_lk

+

∑2 l=1

1 ρδ^ij

[

− 1 2ρ²

(

(∂_iρ)h_lk+ (∂_kρ)h_li−

∑2 m=1

(∂_mρ)δ_ikh_lm )

+ 1 2ρh_il,k

] h_jl

= −

∑2 j,l=1

1 2ρ³

[

(∂jρ)hlj + (∂jρ)hlj −

∑2 m=1

(∂mρ)δjjhlm

] hlk+

∑2 j,l=1

1

2ρ²hjl,jhlk

−

∑2 j,l=1

1 2ρ³

[

(∂_jρ)h_lk+ (∂_kρ)h_lj−

∑2 m=1

(∂_mρ)δ_jkh_lm ]

h_jl+

∑2 j,l=1

1

2ρ²h_jl,kh_jl

=

∑2 j,l=1

1

2ρ²h_jj,lh_lk

− 1 2ρ³

[ ₂

∑

j,l=1

(∂_jρ)h_lkh_jl+

∑2 j,l=1

(∂_kρ)h_ljh_jl−

∑2 m,l=1

(∂_mρ)h_lmh_kl ]

+

∑2 j,l=1

1

2ρ²h_jl,kh_jl

= − 1

2ρ(∂kρ)∥h∥²G0 + 1

4∂k∥h∥²G0 − 1 4

(

−2

ρ(∂kρ)∥h∥²G0

)

= 1

4∂_k∥h∥²G0 (3.9)

となる.

以上から,式(3.7)は式(3.8)と式(3.9)をあわせて[₃

4∂_k∥h∥²G0

]であるから

δ_G0 ( d

dt

t=0

δ_Gth )

=−

∑2 j=1

1 ρ∂_j∂_j

(3 4∥h∥²G0

)

=−3

4∆_G0∥h∥²G0

が成立する. 最後の等式は等温座標の下でLaplace作用素が

∆_G0∥h∥²G0 =

∑2 j=1

1

ρ∂_j∂_j∥h∥²G0

とかけることを用いた. 詳しくは後の命題4.9の証明を参照されたい.

注意12. ベクトル場Zについて. 原論文[17]では定値ベクトル場によるLevi-Civita 接続の表示が異なるが, 正規座標を用いることによって[(Dh˜˜h)_G]^TGM−1 はGのあ

るベクトル場によるLie微分で表示できる. このベクトル場と本論文で得られたベ クトル場は,実は定数倍の違いしかない.

注意 13. 補題の証明は原論文[17]の証明（Gの正規座標を用いた証明）とは少し 異なり, Gの等温座標によるものである. これはテンソルの添字を用いる際に, 各 点でのみ意味を持つ正規座標を用いたものとそうでないものを混同しないように 配慮した結果である.

4 エネルギー関数の測地的凸性

この章では, 調和写像について概説する. まず調和写像の定義を述べ, ドメイン とターゲットの曲面に局所座標を与えて調和写像の方程式を導出する. 次にドメイ ンとターゲットの計量から定まる等温座標を用いて,調和写像の方程式を複素座標 によって表現する. 複素化された方程式からドメインの計量の等角同値類のとり方 によらないことを説明する. その後, Teichm¨uller空間上のエネルギー関数を調和 写像を用いて定め, Diff₀(Σ)の作用に関して不変であることを示す. 最後にエネル ギー関数の測地的凸性を示す

この章以降では, (M^m, g_M^m)をm次元リーマン多様体, (Nⁿ, g_Nⁿ)をn次元リー マン多様体, (Σ, g)を種数p≥2以上の計量つき閉曲面とする.

4.1 調和写像

本節では調和写像の定義から調和写像になるための局所座標を用いた方程式を 導出する. さらにその局所座標を等温座標としてとり, 複素座標による方程式の表 示を与える.

f :M^m →NⁿをC¹級写像とする. 写像fのDirichletエネルギー E(f)とは E_{gN n}(f) := 1

2

∫

M^m

e(f)dµ_{gM m} e(f) := tr_{gM m}(f^∗g_Nⁿ)

によって定まるものである. このときE( )はM^mからNⁿへのC¹ 級写像全体の 空間C¹(M^m;Nⁿ)上の汎関数になり, これをC¹(M^m;Nⁿ)上のDirichlet汎関数と いう.

さらにM^mからNⁿへのC¹級写像uが調和写像であるとは,uがDirichlet汎関 数Eの臨界点になることである. つまり, uの任意の変分c_t(c₀ =u)に対して

δE_{gN n}(u) := d dt

t=0

E_{gN n}(c_t) = 0 (4.1)

を満たすことである.

命題 4.1 (調和写像の方程式). uをM^mからNⁿへのC¹級写像, (V,{y^α}ⁿα=1)を Nⁿの任意の局所座標とする. さらに(U,{xⁱ}^m_i=1)をM^mの局所座標でu(U) ⊂ V

をみたすものとする. このとき, uが調和写像であることはU上で

∆_{gM m}u^δ+

M^m

∑

i,j=1 Nⁿ

∑

α,β=1

(g_M^m)^ijΓ^δ_αβ ◦u∂u^α

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j = 0, δ= 1,2 (4.2) を満たすことと同値である. ただし, u^δ = y^δ ◦ uとし, Γ^δ_αβ はg_Nⁿ から定まる Christoffel記号とする.

証明. 本証明では添字に関してEinstein規約に基づくとする.

c₀ =uをみたすC¹(M^m;Nⁿ)上の滑らかな曲線c_tを任意にとる. さらにuに沿 うNⁿ上のベクトル場Wを

W(u(p0)) := d dt

t=0

ct(p0) = d(y^α◦c_t(p₀)) dt

t=0

( ∂

∂y^α )

u(p0)

(p0 ∈Σ) (4.3) によって定めるとする. ここでc^α_t :=y^α◦c_tとおくと

e(c_t) = ∂c^α_t

∂xⁱ

∂c^β_t

∂x^j(g_M^m)^ij(g_Nⁿ)_αβ◦c_t とかける. t= 0で微分すると

d dt

t=0

e(c_t)

= 2∂W^α

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(g_M^m)^ij(g_Nⁿ)_αβ◦u+ ∂u^α

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(g_M^m)^ij∂(g_Nⁿ)_αβ

∂y^γ ◦u·W^γ

= 2gradg_{M m}u^β(W^α) (gNⁿ)αβ ◦u+∂u^α

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(gM^m)^ij∂(g_Nⁿ)_αβ

∂y^γ ◦u·W^γ(4.4) を得る. この第一項をM^m上で積分すると

∫

M^m

gradg_{M m}u^β(W^α) (gNⁿ)αβ ◦u dµg_{M m}

=

∫

M^m

grad_{gM m}u^β(W^α(g_Nⁿ)_αβ ◦u)dµ_{gM m}

−

∫

M^m

W^αgrad_{gM m}u^β((g_Nⁿ)_αβ ◦u)dµ_{gM m}

=

∫

M^m

g_M^m(grad_{gM m}u^β, grad_{gM m}(W^α(g_Nⁿ)_αβ◦u))dµ_{gM m}

−

∫

M^m

W^αgrad_{gM m}u^β((g_Nⁿ)_αβ ◦u)dµ_{gM m}

= −

∫

M^m

(∆_{gM m}u^β)W^α(g_Nⁿ)_αβ ◦u dµ_{gM m}

−

∫

M^m

W^α(gM^m)^ij∂u^β

∂x^j

∂(g_Nⁿ)_αβ

∂y^γ ◦u∂u^γ

∂xⁱ dµg_{M m} (4.5)

となる. よって第二項の積分も合わせると d

dt

t=0

E_{gN n}(c_t) = 1 2

∫

M^m

d dt

t=0

e(c_t)dµ_g

=

∫

M^m

[

−∆_{gM m}u^β(g_Nⁿ)_αβ◦u− ∂u^γ

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(g_M^m)^ij∂(gNⁿ)αβ

∂y^γ ◦u + 1

2

∂u^γ

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(g_M^m)^ij∂(gNⁿ)γβ

∂y^α ◦u ]

W^αdµ_{gM m} を得る.

ここでuが調和写像であるとする. このときc_tの任意性から, E(c_t)の微分が0 であることと各α= 1,2に対して

0 = −∆_{gM m}u^β(g_Nⁿ)_αβ◦u− ∂u^γ

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(g_M^m)^ij∂(g_Nⁿ)_αβ

∂y^γ ◦u + 1

2

∂u^γ

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(g_M^m)^ij∂(g_Nⁿ)_γβ

∂y^α ◦u

を満たすことは同値になる. 両辺に(g_Nⁿ)^αδ◦uをかけ, αで和をとると,各δ= 1,2 に対して

0 = −∆_{gM m}u^δ

− 1 2

∂u^γ

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(gM^m)^ij(gNⁿ)^αδ◦u

[∂(g_Nⁿ)_αβ

∂y^γ ◦u+∂(g_Nⁿ)_γα

∂y^β ◦u− ∂(g_Nⁿ)_γβ

∂y^α ◦u ]

= −∆g_{M m}u^δ− ∂u^γ

∂xⁱ

∂u^β

∂x^j(gM^m)^ijΓ^δ_γβ◦u

が成立する. よって, 変数をγをαに取り替えることで主張を得る. 系 4.2. 調和写像u:M^m →Nⁿについて次のことが成立する：

1. M^m =M¹のとき, uはNⁿ上の測地線になる. 2. Nⁿ =N¹のとき,uはM^m上の調和関数になる.

証明. m = 1のとき, x¹を単にxと表すとする. このとき, 正値関数cがあって (g_M^m)^ij =c

とかける. 調和写像の方程式は各δ = 1,2に対して c∂²u^δ

∂x² +

∑n αβ=1

cΓ^δ_αβ ◦u∂u^α

∂x

∂u^β

∂x = 0

となる. よって両辺に¹

c をかけると, 測地線の方程式になる.

n= 1のとき, y¹を単にyと表すとする. このとき, 正値関数dがあって (g_Nⁿ)_αβ =d

とかけて, さらにChristoffel記号は0になる. 調和写像の方程式は

∆_{gM m}(y◦u) = 0 となる. これは調和関数の定義に他ならない.

次に, M^m, Nⁿがともに二次元有向リーマン多様体の場合について考える. この とき各点のまわりでM²のg_M²に関する等温座標{x^j}²j=1とN²のg_N²に関する等 温座標{y^α}²α=1が存在する. さらに局所複素座標z, wを

z :=x¹+ix², w:=y¹+iy², i=√

−1 (4.6)

によって定めることができる. また複素座標による偏微分を

∂

∂z := 1 2

( ∂

∂x¹ −i ∂

∂x² )

, ∂

∂z¯:= 1 2

( ∂

∂x¹ +i ∂

∂x² )

∂

∂w := 1 2

( ∂

∂y¹ −i ∂

∂y² )

, ∂

∂w¯ := 1 2

( ∂

∂y¹ +i ∂

∂y² )

によって定める. 上の複素座標を用いると,次の補題がわかる.

補題 4.3. M²からN²へのC¹級写像uに対して

∑2 j=1

(∂(u¹+iu²)

∂x^j

)2

= 4u_zu_z¯

∂²(u¹+iu²)

∂x¹∂x¹ +i∂²(u¹+iu²)

∂x²∂x² = 4u_zz¯

∑2 j,α=1

(∂u^α

∂x^j )2

= 2(|u_z|²+|u_z¯|²)

が成立する. ただし,

u_z := ∂u

∂z, u_¯z := ∂u

∂z¯ と表すものとする.

証明. 実座標による微分を複素座標で表す. それぞれ計算すると

¯

u_z = 1

2(u¹_x1 −u²_x2)−i1

2(u¹_x2+u²_x1) u_z¯ = 1

2(u¹_x1 −u²_x2) +i1

2(u¹_x2 +u²_x1) u_z = 1

2(u¹_x1 +u²_x2)−i1

2(u²_x1 −u¹_x2)

¯

u_z¯ = 1

2(u¹_x1 +u²_x2)−i1

2(u²_x1 −u¹_x2) を得る. よって

¯

u_z =u_z¯= 1

2(u¹_x1 −u²_x2)−i1

2(u¹_x2 +u²_x1) (4.7) u_z = ¯u_z¯= 1

2(u¹_x1 +u²_x2)−i1

2(u²_x1 −u¹_x2) (4.8) が成立する. この事実を用いて, 主張の右辺を計算すればよい.

命題 4.4 (調和写像の方程式の複素化). {x^j}²j=1 をM²のg_M² に関する等温座標, {y^α}²α=1をN²のg_N² に関する等温座標とし,

g_M² =λ(δij), g_N² =ρ(δαβ)

と表す. さらにz, wを式(4.6)で定めた複素座標とする. このとき, 調和写像の方 程式は

uz¯z +ρ_w◦u

ρ◦u uzuz¯= 0 (4.9)

とかける.

証明. 調和写像の方程式は等温座標を用いると, 各γ = 1,2に対して

∆_g

M2u^γ+

∑2 j,α,β=1

1

λ(Γ^γ_αβ ◦u)∂u^α

∂x^j

∂u^β

∂x^j = 0

とかける. 左辺の式をA^γとおき, 等温座標を用いて各項を表示する.

第一項のLaplace作用素は

∆_g

M2u^γ = tr_g

M2(Hess_g

M2u^γ)

=

∑2 i,j=1

(g_M²)^ij (

∂²u^γ

∂xⁱ∂x^j −

∑2 k=1

Γ^k_ij∂u^γ

∂x^k )

=

∑2 j=1

1 λ

(

∂²u^γ

∂x^j∂x^j −

∑2 k=1

Γ^k_jj∂u^γ

∂x^k )

となる. ドメインとターゲットのChristoffel記号をそれぞれの等温座標によって 表示すると

Γ^k_ij =

∑2 l=1

1

2(g_M²)^kl (∂g_lj

∂xⁱ + ∂g_il

∂x^j − ∂g_ij

∂x^l )

= 1

2λ

(∂(λδ_kj)

∂xⁱ +∂(λδ_ik)

∂x^j − ∂(λδ_ij)

∂x^k )

(4.10) Γ^γ_αβ =

∑2 δ=1

1 2(g_N)^γδ

(∂g_δβ

∂y^α +∂g_αδ

∂y^β − ∂g_αβ

∂y^δ )

= 1

2ρ

(∂(ρδ_γβ)

∂y^α +∂(ρδ_αγ)

∂y^β − ∂(ρδ_αβ)

∂y^γ )

(4.11) とかける. よって式(4.10)から,各k = 1,2に対して

∑2 j=1

Γ^k_jj =

∑2 j=1

1 2λ

(∂(λδ_kj)

∂x^j +∂(λδ_jk)

∂x^j − ∂(λδ_jj)

∂x^k )

= 1

2λ (∂λ

∂x^k + ∂λ

∂x^k −2 ∂λ

∂x^k )

= 0 となるので,各γ = 1,2に対して

∆_g

M2u^γ =

∑2 j=1

1 λ

∂²u^γ

∂x^j∂x^j を得る.

式(4.11),補題4.3を用いてA¹+iA²を計算すると A¹+iA²

= ∆_g

M2u¹+i∆_g

M2u² +

∑2 j,α,β=1

1

λ(Γ¹_αβ◦u)∂u^α

∂x^j

∂u^β

∂x^j +i

∑2 j,α,β=1

1

λ(Γ²_αβ◦u)∂u^α

∂x^j

∂u^β

∂x^j

=

∑2 j=1

1 λ

∂²u¹

∂x^j∂x^j +i

∑2 j=1

1 λ

∂²u²

∂x^j∂x^j

+ 1

λ

∑2 α,j=1

1 2ρ◦u

( 2 ∂ρ

∂y^α ◦u∂u^α

∂x^j

∂u¹

∂x^j − ∂ρ

∂y¹ ◦u∂u^α

∂x^j

∂u^α

∂x^j )

+ i1 λ

∑2 α,j=1

1 2ρ◦u

( 2 ∂ρ

∂y^α ◦u∂u^α

∂x^j

∂u²

∂x^j − ∂ρ

∂y² ◦u∂u^α

∂x^j

∂u^α

∂x^j )

= 1

λ

∑2 j=1

∂²(u¹+iu²)

∂x^j∂x^j

+ 1

λ

∑2 α,j=1

1 2ρ◦u

( 2 ∂ρ

∂y^α ◦u∂u^α

∂x^j

∂(u¹+iu²)

∂x^j − (∂ρ

∂y¹ +i∂ρ

∂y² )

◦u∂u^α

∂x^j

∂u^α

∂x^j )

= 1

λ4u_zz¯

+ 1

λ ρ◦u

∑2 j=1

(

(ρ_w+ρ_w¯)◦u∂u¹

∂x^j +i(ρ_w−ρ_w¯)◦u∂u²

∂x^j

)∂(u¹+iu²)

∂x^j

− 1

2λ ρ◦u2ρ_w¯◦u2(|u_z|²+|u_z¯|²)

= 4u_zz¯ λ

+ 1

λ ρ◦u

∑2 j=1

( ρw◦u

(∂(u¹+iu²)

∂x^j

)2

+ρw¯ ◦u

[(∂u¹

∂x^j )2

+ (∂u²

∂x^j )2])

− 2ρ_w¯ ◦u

λ ρ◦u(|u_z|²+|u_z¯|²)

= 4u_zz¯

λ + 1

λ ρ◦u

(ρw◦u·4uzuz¯+ρw¯ ◦u·2(|uz|²+|uz¯|²))

− 2ρ_w¯ ◦u

λ ρ◦u(|u_z|²+|u_z¯|²)

= 4

λ (

u_z¯z+ ρ_w◦u ρ◦u u_zu_z¯

)

となる.

A¹, A²ともに0であったから,

u_z¯z +ρ_w◦u

ρ◦u u_zu_z¯= 0 を得る.

注意 14. 調和写像の方程式は複素座標を用いることでドメインの計量に関する情 報, すなわちλが現れないことがわかる. よってこの命題は, 有向曲面の間の調和 写像はドメインの計量の等角同値類に関して不変であることを示している.

ドキュメント内 Akira Yoshizato (ページ 39-55)