井 上 孝

理論地理 学ノ ー ， ト N o . 1 1 ( 1 9 9 8 ) , 1

8 

都市人口に関する順位規模法則と対数正規分布モデルの 整合性について

I  はじめに

都市の人口規模別分布は，あらゆる国や地域に おいてはぼ安定均衡することが知られている．こ れらの分布パターンの記述を試みたモデルは，い ずれも分布が安定的であることを前提としている が円理論の視点の違いによって大きく二つに分 けられる幻． その一つは，都市の人口規模と順位の 関係を検証しようとするものであり，順位規模法 則（rank ‑ s i z e r u l e ）がその議論の中心となってい る ． もう一つは，都市の矧莫別分布そのもののパ ターンを採るものであり，おもに対数正規分布 ( l o g n o r m a l  d i s t r i b u t i o n ）を用いて説明がなされ てきた．

以上の二つのモデルのうち都市の順位規模法則 は，ある範囲内に立地する都市の人口規模とその 順位がパレート分布（P a r e t od i s t r i b u t i o n ）で表

されることを意味する（鈴木， 1 9 8 0 ,p p . 3 7 1 ‑ 3 7 2 ) .  パレート分布は，所得の不平等度を説明するため に1 9 世紀末期に P a r e t o が導入したものであり，

これを用いたパレー ト分布モデルは所得分布を表 すモデルとして著名である（山本ほか，1 9 9 7 , p .  3 7 8 ）.このモデルは，特に高所得者層に対して当 てはまることが知られている ．都市の人口規模と その順位は，パレート分布に従うならばそれぞれ の対数に線形関係が生じる．この関係に初めて着 目したのは Auerbach ( 1 9 1 3 ）とされるが，法則と して定式化したのは Z i p f( 1 9 4 9 ）である（鈴木，

1 9 8 5 ,   p p . 5 5 ‑ 6 0 ；森川， 1 9 9 0 , p p . l l 0 ‑ 1 1 2 ； 林 ， 1 9 9 1 ,   p p . 6 2  7 0 ） . 後述するように，この法則は，

適合度に多少の差異はあるものの多くの国や地域 において成立することが検証されている．

これに対して，都市の人口規模別分布が対数E 規分布によって表されるモデル，すなわち，都市 人口の対数が正規分布に従うとする考えは， G i ‑ b r a t  ( 1 9 3 1 ）によって初めて提示された（鈴木，

1 9 8 0 ,   p p . 3 8 9 ‑ 3 9 0 ） .対数正規分布モデルは，バレー

井 上 孝

ト分布モデルが低所得者層に対して適合しにくい 点を解消するために， G i b r a t 自身が考案したもの である． その後，この分布の応用に関する研究は，

事業所の規模別分布や生物の個体分布など多様な 現象について数多く試みられたが（Crow and  S h i m i z u ,   1 9 8 8 ） ，地域人口の分布については， 後 述する 2 ' 3 の研究以外にほとんどみられない．

一方，こ れらのこつのモデル，すなわち， パレー ト分布モデル（順位規模法則）と対数正規分布モ デルの関係に言及した研究もきわめて少ない．

Beckmann ( 1 9 5 8 ）は，この二つのモデルを都市の 規模別分布に関する議論の出発点として位置づけ たが，その関係については言及しなかった. B e r r y   ( 1 9 6 1 ）は，者 I I 市の規模別分布が「片側の切れた対 数正規分布（t r u n c a t e d J ognormal  d i s t r i b u t i o n ） 」 に従うときにパレート分布モデルが成立しうるこ とを示唆した（鈴木，1 9 8 0 , p p . 3 8 9 ‑ 3 9 0 ） .篠 崎 ( 1 9 5 1 ）と Parrand S u z u k i  ( 1 9 7 3 ）は，ある条件 下において近似的に両者が重量合することを示して いる．また，これらの研究に先立って Lotka ( 1 9 4 1 ）は，パレ ー ト分布モデルが（対数正規分布 から導かれるのではなく）， P ea r . s o n 型分布族の中 のある特定の分布型から導かれると述べてい る

このように，バレート分布モデルと対数正規分 布モデルは都市の規模別分布に関する基本モデル と考えられているにもかかわらず，両者の論理的 対応関係については考察が十分でない．そこで本 稿は，この二つのモデルか論理的に両立しうるの か否か，すなわち二つの理論の整合性を数学的に 証明し，その関係について新しい知見を与えるこ

とを目的とする．

I I   都 市 の 規 模 別 分 布 に 関 す る こ つ の モ デ ル

本章では，パレート分布モデルと対数正規分布

‑ 1 ‑

モデルの基本概念およびいくつかの研究成果を紹 介する ．

1 . パレー卜分布モデル（順位規模法則）

Z i p f   ( 1 9 4 9 ）により定式化されたパレ ー ト分布モ デルは，以下のように表される．

ρ ＝ k r ‑ a   ( 1 )  

ただし， ρ は順位が第 r位の都市における人口規 模であり， α と k は定数である．通常 h は首位都 市（p r i m a t ec i t y ）の人口を意味する ．ここで， ( 1 ) 式の両辺に対数をとり logk=b とおけば，

I o g t

a l o g

＋ b  ( 2 )  

となるので ，前述のよ うに， 人口規キ莫の対数 l o g ρ と順位の対数 l o g r は線形関係にあることがわか る．定数 a はその直線の傾きに相当し，地域内の 人口の分散化が進むほど小さな値となる.Simon 

( 1 9 5 5 ） は，この法則が都市の規模別分布だけでな く，生態学，生物学，経済学などが扱う諸分布に 当てはまることを指摘している． さらに，その後 の地理学的研究によって， この法則は多くの国や 地域において成立することが示された ( I s a r d ,   1 9 5 6  ;  S t e w a r t ,   1 9 5 8  ,  B e r r y   and  G a r r i s o n ,   1 9 5 8   :  B e r r y ,  1 9 6 1  ;  C l a r k ,  1 9 6 7 ；高阪， 1 9 7 8 ; 鈴木， 1 9 8 2:  S u z u k i ,   1 9 8 2 ； 北 ）I J , 1 9 8 5 ；河浸ほ か ， 1 9 8 8 ；小島 ・ 幡谷編， 1 9 9 5 ) .

と れ ら の 研 究 の 中 で B e r r y and  G a r r i s o n   ( 1 9 5 8 ）および B e r r y( 1 9 6 1 ）は，この法則の適合 度に応じて国や地域の類型化を行なっている．

B e r r y らは，このモデルをさまざまな国の都市人 口データに当てはめ，適合度のよいパターンを rank s i z e 型，首位都市の人口が極端に大きいパ

ターンを p r i m a t e 型とした．

2 対数正規分布モデル

人口規模 ρ の対数 q ( = l o g p ）が平均 μ ，分散 σ Z の正規分布 N ( μ ,  ( , ‑ 2 ）に従うとき，すなわち， q が 次の縫率密度関数を満たすとき，都市の人口規模 別分布は対数正規分布となる．

g ( q ） ＝ 方 ^E 叫一 句 ¥ l ‑ ‑ J ( 3   このとき ，人口規模 b の確率密度関数は次式で表

される（Crowand S h i m i z u ,   1 9 8 8 ,   pp .  2 3) . 

／

（ ρ ） ＝ ‑ b _{. / 2 π 6 P}   ^{仰｜ー血宅} _L 

E f l

（ ρ ＞ Oのとき），

／

（ ρ ） ＝ O  （ ρ ＝刊のとき） ( 4 )  

対数正規分布は， ρ ＞ O の範囲において I （ β ） ＞ O と なり事実上定義される．またこの分布は，正規分 布とは異なりモードが平均よりも小さい． した がって，分布のピークが左側に片寄った，非対称 のカーブを描〈 (Crow an d  S h i m i z u ,   1 9 8 8 ,   p p .  

1  ‑ 1 2 ) .  B e r r y  ( 1 9 6 1 ）は自らが 主張した「片側の 切れた対数正規分布」 の関数形を示していないが，

その確率密度関数を（ 4 ）式にならって表現すると，

非負の定数おに対して，

！（ρ）寸吋－血努正~］／

L 三 位 p [ ‑ i ! Q 務 引 ゅ （ 向 。 の と き ） ，

となる叫． 定数 P o は関数を切断する位置を表わす．

G i b r a t   ( 1 9 3 1 ）は，対数正規分布を実際に ヨー ロッパの大都市の人口に適用して理論の有効性を 主張した．しかし， G i b r a t 以降この分布は，鈴木 ( 1 9 6 0 a ,   1 9 6 0 b ,   1 9 7 8 ）によって地域別の人口密度 の値に応用されてはいるものの吋，都市の規模別 分布に適用された例は皆無に近い．なお，G i b r a t

( 1 9 3 1 ）は，都市人口がなぜ対数正規分布に従うの かについて理論的な検討も行な って いる（鈴木，

1 9 8 5 ,   p p . 1 1 ‑ 1 8 ) .   I I I   整合性の検証

本章は，パレ ー ト分布モデルと対数正規分布モ デルの整合性について厳密な議論を試みる．

1  . 検証方法

一般に，モデル聞の論理的対応関係としては次 の三つの場合が想定できる．すなわち，①論理的 に同等である，もしくは数学的に等値である，② 論理的に矛盾する，もしくは互いに否定しあう関 係にある，③少なくとも論理的に同等ではなく互 いに否定しあう関係でもない，つまり①と②のい

‑ 2 ‑

において有利である．これに対して，対数正規分 布における規模一頻度関係から順位規模関係を 見出すためには，対数正規分布の積分が必要とな るが，その解は特定の関数で表わすことができず 近似計算で得るしかない

したがって，この変換 手順は解析的な考察しかできない点において不利

と判断される．

かくして本章では，続〈第 2 ・ 3 節において，

順位一規模関係から規模ー頻度関係への変換を行 ない，モデル聞の整合性を検証する．まず第 2 節 では，規模頻度関係を表す関数の増減を調べる ことによって，いわゆる論理の無矛盾性，すなわ ち，二つのモデルの関係が上記の①〜③のどれに 相当するかを判断する．次に第 3 節では，パレー ト分布モデルを規模ー頻度関係を表わすモデルへ 変形させることにより，より広い意味での整合関 係について吟味を行なう ．

2. 関数の増減からみた整合性の検証

ここでは，順位一規模関係がパレート分布モデ ルに従うとき，人口規模の対数 q(=logp ）の確率 密度関数 g ( q ）がどのような増減の型を示すかを 考察し，それに基づいて整合性の検証を行なう ．

まず変数 qを用いて（2 ） 式 を ， ずれでもないベの三つの場合が考えられる ． この

うち①と③の場合は，それが判明した時点で当面 の目的である検証作業が終了するが，②の場合は さらなる考察が必要である．なぜなら，②の場合 ても条件（たとえば，変数の範囲を限定するなど の条件）によっては三つのモデルの形を一致また は近似させることが可能だからである．通常のモ デル論では，こうした場合でも事実上整合してい るモデルとして扱われる ．

本稿では，上述したよ うな広い意味での型車合性 を検証するために，一方のモデルにおける独立 ・ 従属変数のぺアをもう 一方のモデルのぺアに組み 替える．この方法は，具体的には，パレート分布 モデルにおける順位（ rank ） 一人口規模（ p o p u l a ‑ t i o n  s i z e ）関係を，対数正規分布における人口規 模一頻度（ f r e q u e n c y ）関係に変換するか，もしく

は，その逆の変換を行なうことである． このうち，

人口規模 ー頻度関係から順位 一人口規模関係を導 く手 J I 慎は，前述した篠崎（ 1 9 5 1 ） と P a r rand Suzu ‑ k i   ( 1 9 7 3 ）の研究で既に採用されている ．そこで本 稿は，これまで議論されていない，順位一規模関 係から規模一頻度関係への変換を行なう ．この変 換手 ｝

頂は，（2 ）式に示したように線形関係（すなわ ち，順位一規模関係）から議論が始まるので数学 的に扱いやすく，とくに代数的な考察が可能な点

b 

e x p ( b / a )  

~

q+.tlq  q 

0  1 

︒ ω2

工ト 一区

︿

O

O J Z

N

ω Z O

一ト

︿﹂

﹃

J a o a

RANK  r  人口規模の対数と順位との関係

‑ 3 ‑

第 1 図

q=‑alogr+b  ( 6 )   と変形する．このとき ，人口規模の対数 q と順位 rの関係は第 l 図で表される．変数 q は非負の範 囲で定義されるので ，（ 6 ）式の定義域（すなわち，

l 順位

の変域）は［1 , e x p ( b / a ）］となる

） . さらに，

( 6 ）式を順位 rについて解くと，

r ＝ 叫 （ 今 ̲ q ̲ ) ^{( 7 )} 

が得られる ． ここで ， L l q を十分に小さい正の定数 とし，人口規模の対数が区間 （ q ,q+Llq ）に含まれ るような都市の頻度（すなわち，都市の個数）を

η （ q ）とおくと（第 1 図 ） ， ( 7 ）式より，

冗

（ q ） ＝

p （与￡）−吋上手 A I L ) ^附

が導かれる叫． したがって，変数 q 上の任意の 2 実 数 Q i ,Q z   ( q 1   <  Q z ） ， および，任意の正定数 L l q に対し て ，

n (   q 2 ) ‑n (   Qi)= e x p (  b / a )  [  ex p （ーの／ a ) e x p (   Q 1

α ） ］ ［1 ‑exp( ‑ L l q / a ) ] < O   ( 9 )   が成立する．

とこで，変数 q 上の，ある l組の実数 Q i ,Q i ( Q 1   くq z ）に 対 し て ， 確 率 密 度 関 数 g ( q ）が g ( q 1 ) <

g ( q z ） なる性質を有していると仮定する． このと き ，不等式

（ q 1 )<n(q2 ）を満たすある正定数 L l q が必ず存在するが ， この不等式は（ 9 ）式と矛盾する．

ゆえに，変数 q 上の任意の 2 実数 Q 1 ,Q 2 ( Q 1 くの）に ついて，

g ( q 1 ） ミ g ( q z ) 目 的 が成り立つ. ( J O ）式は， 変数 q の確率密度関数 g ( q ) が単調減少関数であることを意味する．これに対

して，正規分布（（ 3 ）式）が変数 q の単調減少関数 でないことは明らかであり ，ゆえに，変数 ρ は対 数正規分布（（ 4 ）式）に従わない． したがって，パ レート分布モデルと対数正規分布モデルの聞に論 理的な整合関係はないと判断できる．

なお， B e r r y ( 1 9 6 1 ）が主張した「片側の切れた 対数正規分布 J ( ( 5 ）式）に関しては，多少の注意、を 要する．なぜなら，この分布は，切断の軸が対数 正規分布（（ 4 ）式）のモー ド

）の右側に位置する場

合，すなわち，

Po~exp(µ - a2) ^{︵  l} 

^︶  が成り立つ場合に単調減少となり，接合性を有す る可能性がでてくるからである . ( 1 1 ）式は，対数正 規分布のカーブから，右側の減少する部分だけを 抜き出すことを意味するので，これによって表わ される分布はもはや対数正規分布の特徴をもって いるとは言い難い． しかし，この特殊な分布は，

前述の Pa r r and  Suz u k i   ( 1 9 7 3 ）の研究とも関連 があるので，次節において改めて議論する．

3 . モデルの変形による整合性の検証

本節では， まず，パレート分布モデルから規模 一頻度型モデルへの変形を行なう ．すなわち，順 位規模関係がパレート分布モデルに従うときの 確率密度関数 g ( q ）の形を決定する．

パレー ト分布モデルの対象となる全都市の個数 は，（6 ）式の定義域の長さに相当すると考えられる ので，［ e x p ( b / a ） ー1 ］となる ．このとき，このイ 直に 対する都市の頻度 n ( q ) ( ( 8 ）式）の比率は，全都市 の 中 か ら 人 口規 模 の 対 数 が q より大きく （ q +Llq ）より小さい都市を抜き出す確率に他ならな い． ゆえに， L l q を限りなくゼロに近づけたときこ の比率と g ( q) L l q は等しくなり ，（ 8 ）式より，

山

一叫とす k ) J ^{( I Z )}  

が待られる．当然ながら側式は，（6 ）式における変 数 q の値域，すなわち（ 0 , b ］ の範囲で成り立つも のであり ， g ( q ）はそれ以外の区間でゼロとなる ． したがって ， 人 口規模の対数 q の確率密度関数 g ( q ） は ， ( I Z ）式の極限値を求める ことにより ，以下 のように定式化される．

巴

x o f ( b ‑ a ) / a l

g(q)=  (0ζqζb のとき），

a [ e x p ( b ， ／ α ） −1 ] 

g ( q ) = O (q<O ，または， b<q のとき） ( 1 3 )   ( 1 3 式は，人口密度の対数 q が指数分布に従うこと

を意味し，第 2 図に示したように指数逓滅型の

‑ 4 ー

竺段丘 i

a{exp(b ! a ） ー 1 }

1  a  { e x p ( b / a ） ー l }

︵ 切 ︶ 句

﹀ ↑ 一

ωZ 出

と コ 一 定

∞ O E

b 

。 _。

POPULATION S I Z E  I N  LOGARITHMS  q 

示した②の関係にあると結論づけられる．

以上の結論は，ある条件下で二つのモデルが近 似するという，篠崎（1 9 5 1 ）および Parr and  Suz u ‑

k i   ( 1 9 7 3 ）の主張と隔たりがある．そこで，なぜこ のような一見異なる主張が現われるかについて以 下で考察する．

P a r r  and Suzuki  ( 1 9 7 3 ）は，（3 ）式で表わされ る正規分布 N( μ , o ‑ 2 ） の ， q

Q o( q o は任意の定数）

となる部分のカー 7 ＇がと の程度ノ

レ ー ト分布に整 合するかを ，詳細な数値シミ ュレーションによっ

て検証している．このシミュレーションでは，定 数 Qo にさまざまな値が与えられ，その結果，おお むねのの値が大きくなるほど整合の程度がよく なることがわかった． 言い換えれば， 「 片側の切れ た対数正規分布 J ( ( 5 ）式）は，切断の位置 ρ 。が右側 に移るほど，パレー ト分布により近似した分布を 導くことになる ．この結果は，本節で証明された

「ノ寸レート分布から指数分布が得られる 」 ことと矛 盾しない．なぜなら，正規分布から切り取られる カ ープは，その切り取り区聞が右側に移るほど指 数分布のカーブに類似していくからである ． また，

この結果は，前節で示した 「 ( I I ）式の条件下におい て （ 5 ）式がパレー ト分布と整合しうる j という 予見 に対する答えにもなっている．なお，篠崎( 1 9 5 1 ) は，証明を行なってはいないが， 二つのモデルの 人口規模の対数の確率密度関数

カ ーブを描〈．さらにこの事実は，変数 ρ が対数 正規分布（（ 4 ）式）ばかりでなく，「片側の切れた対 数正規分布」（（ 5 ）式）にも従わないことを意味する ．

変数 q の累積分布関数は ( 1 3 ）式を積分すれば得 られるが，パレート分布モデルから直接導くこと もできる．人口規模の対数が0より大きく q より 小さい都市の数は，（7 ）式より｛e x p ( b / a ) ‑ e x p [ ( b

‑q ) f , α ］ ｝で表されるので，この値の，全都市の個数 に対する比率 G(q ） は ，

第 2 図

e x p ( b / a ) ‑e xp[(b‑q  ) a l  

e x p ( b / a ） 一 1 ^{( 1 4 )} 

となる．累積分布関数はまさにこの比率 G(q ）と 一致する． 実際 ， G ( q ）を q で微分すると ( 1 3 ）式が得

られ，また， G ( O ) = O ,G(b) =l が成り立つ．

つづいて，指数分布（ ( 1 3 ）式）と正規分布 N( μ ,   O ' Z )  

とを比較する ことによ って，パレー ト分布モデル と対数正規分布モデルの，近似的な意味での繋合 性について検討する．指数分布は，第 2図に示し たように会域において単調減少であり，しかも，

q が小さくなるほどその減少の幅が大きくなる．

したがって，指数分布と正規分布とは， q が比較的 小きい範囲において著しく異なる ．ゆえに，近似 的な意味においても，パレート分布モデルと対数 正規分布モデルとは整合しない，つまり，前節で

‑5 ー

G(q) 

整合性について Parrand Suzuki ( 1 9 7 3 ）とほぼ 同様の主張をしている ．

さらに，「片側の切れた対数正規分布 J ( ( 5 ） 式 ） において ρ

P o と なる部分のカ ーブが大都市の分 布を表すものとするならば，この部分はパレー ト 分布に近似するので ， 次のような命題が導かれる．

すなわち，「 a ）都市人口とその順位は一般に対数 正規分布に従うが， b）大都市に限ればパレー ト分 布に従う J と考えることができる．この命題は，

第 I 章て招介した，所得分布に関して得られてい る法則「所得分布は一般に対数正規分布に従うが，

高所得者層に限るとパレート 分布に従う J からも 容易に推論できるが，二つのモデルの整合性につ いて一つの答えを与えることは確かである． なお，

この命題の前半部 a ）と後半部 b ）は互いに無矛盾 であるが，論理的には a ）がb）を包含する形であ り同等ではない． したがって，その論理関係は前 節の分類では③となる．

最後に，前述の Lotka ( 1 9 4 1 ）の主張を確認す るために，（ 1 3 ）式から人口規模 b の確率密度関数

／

（ ρ ）を導く ． この手続きは，確率密度関数 g ( q ） に 対して， p=exp(q ）なる変数変換（ただし， lζPζ exp(b ））を行なう ことを意味する．このとき， 一 般に，／（ ρ ） ＝ g ( l o g ρ ）かが成り立つので，

( b / a )  

／

（ ρ ） ＝  _{a[ex p ( b / a ) ‑l ]}   ( 1

ρ

e

p(b ） のとき），

f(p)=O 

（ ρ ＜l ，または， exp(b ） ＜ ρ のとき） ( 1 5 )  

が導かれる．ゆえに，人口規模 ρ の確率密度関数 は，奇しくも（ 1 ）式と同形にな りパレー ト分布に従 うことになる.( 1 5 ) 式は， P e a r s o n 型分布族の第 6 型（注 3 参照）の特別な場合（ s=O の場合）とみ なされるが，第 6 型のカーブがもっ性質を継承し ているとは言い難い． したがっ て ， L otka の主張 の硲認にはさらなる議論を要するが， この問題に ついては，本稿の主題からはずれるので稿を改め て論じたい．

I V  ニ つ のモ デ ル は 両 立 し う る の か ？ ーむすびに代えてー

本稿は，都市の規模別分布に関するこつのモデ

ル，すなわち，パレー ト 分布モデル ( J i 頂位規模法 則）と対数正規分布モデルの整合性について検証 を行なった ．その結果，順位一規模関係がパレー ト分布モデルに従うとき，人口規模の対数に関す る確率密度関数が指数分布（（ 1 3 ）式）となることが わかった．これは，上記の二つのモデルが論理的 にも近似的にも繋合しないことを意味する．

ただし，Berry ( 1 9 6 1 ）が主張した「片側の切れ た対数正規分布」（（ 5 ）式）については，その切断の 位置 P o が右側に移動するほど，パレート分布によ り近似した分布を導くことがわかった ．そして，

この事実から，都市人口に関する命題 「 都市人口 とその順位は一般に対数正規分布に従うが，大都 市に限ればパレート分布に従う J を提示すること ができた．これは，本稿の主題に対して一つの解 答を示した形となっている．しかし，この命題は，

都市人口分布に固有の性質を考慮して打ち立てら れたものではなく ，所得分布に関する知見からの 簡単なアナロジーに過ぎない．そこで本章では，

都市人口分布をモデル化する際の，何らかの固有 の問題によって不義合が生じると考え，この前提

に基づく一試論を以下に示す．

筆者は，二つのモデルが整合しないのは， 「 都市 人口 jの意味に 「 自治体別人口」 と「市街地（ま たは集落）別人口」の 2種類があるからではない かと考える ．自治体別人口は，市町村界によって 画定された範囲の人口であり，統計デー タとして 掲載される都市人口は通常これをきす．これに対 して市街地別人口は， 一つの市街地あるいは集落 を単位として市町村界とは無関係に定まる人口を 意味する ． ニつのモデルが整合しないのは， 「 対数 正規分布モデルが自治体別人口の分布に適合し，

パレー ト分布モデルが市街地別人口の分布に適合 する j からではないかと考えるのである．当然な がら，この仮説が正しければ二つのモデルは両立 する．

このような仮説を提示する理論的根拠は二つあ る ． その一つは， 1 ）対数正規分布モデルが都道府 県別人口やアメリカ合衆国の州別人口の分布にき わめてよく適合する点であり（鈴木， 1 9 6 0 a , 1 9 6 0 b ,   1 9 7 8 ） ，もう 一つは，本稿の結果からも示されてい るとおり ， 2 ） 二つのモデルが人口規模の小さい都 市群において著しく采離し，大きい都市群では比 較的盤合する点である． このうち 1 ）から， 対数正

‑ 6 ‑

規分布モデルが「自治体別の都市人口」の分布に 当てはまることは容易に推論できる．他方，市街 地別人口の分布は， 、 すべての自治体が一つの市街 地のみを有するとき自治体別人口の分布と一致す るはずである．しかし，通常大都市圏ではいくつ かの自治体がまとまって一つの市街地をなし，逆 に，非大都市圏では一つの自治体の中にいくつも の市街地が立地する．したがって，分布のレンジ は，市街地別人口の方が自治体別人口に比ぺてか なり広い． とくに分布の左側（人口規模が小さい 側）では，市街地の頻度が自治体の頻度を大きく 上回る と予想される． この予想、および上述の 1 ) '

2 ）の事実は，パレート分布モデルが「市街地別の 都市人口 jの分布に適合すると仮定すれば，すべ

て合理的に説明できるのである．

かくして，パレート分布モデルと対数正規分布 モデルの不整合を説明する一つの仮説が示され，

これらのモデルが両立しうることがわかった．こ の仮説を検証するためには，正確な市街地別人口 のデータが入手しにくいため，数値シミュレー ションが有効な手段になると考えられるが，これ については今後の課題としたい．

本稿の骨子は， 1 9 9 8 年度日本地理学会秋季学術大会

（ 於 ・ 北海道大学）で発表した。

（青山学院大学経済学部）

｝宝

1 ）都市の人口規模別分布が安定均衡に至るための 諸条件，すなわち，この前提が成立するための諸 条イ牛については， Oka be  ( 1 9 7 9 ,   1 9 8 0 ) ,   Haag and  W e i d l i c h  ( 1 9 8 4 ) ,  Sheppard ( 1 9 8 5 ) ,   Tabuchi  ( 1 9 8 6 ）などの一連の研究において詳細な議論が行 なわれている．

2 ）高坂（1 9 7 8 ）は，都市の規正実別分布に関するモ デルを， 1 ）順位規模分布型， 2 ）パレート分布型 ，

3 ）対数正規分布型，の三つに分類したが，都市の 順位規模法則で表される分布はパレート分布と数 学的に同等なので，本稿では二つに分けた．

3 )   P e a r s o n 型分布族と は，次の微分方程式を満た す確率密度関数 f(x ）を意味し，種々の条件に応 じて1 2 の裂に分類される（竹内， 1 9 8 9 ,p p . 4 4 ‑ 4 5 ) . 

生 ^l ＝支持与を ^{( 1 6 )}  

ただし， a,b,c,d はノマラメータである. Lotka  ( 1 9 4 1 ）は，この分布族の第6 型もしくは第1 1 型か ら j 順位規模法則を導出できるとした． このうち第 6 型は以下のように定式化できる （ k , a , 

t はパ ラメータである）．

f(x)=k(x 一 α）•x-•

( I 司

この確率密度関数は，左端が x ＝ α によって限ら れた非対称曲線となる．

4) ( 5 ）式の分母の積分式は，ょ： （ ！ 戸 ） dp=lとするた めの調整墳である ．

5 ）鈴木（1 9 6 0 a , 1 9 6 0 b ,   1 9 7 8 ）は，都道府県別人 口密度およびアメリカ合衆国の州別人口密度の値 が対数正規分布に従うことを確かめたが，これら のデータは都市人ロデータとは別個のものであり 性格も異なると考えられる ．

6）これについては， 二つのモデルが論理的に独立 している場合と，一方のモデルが他方のモデルを 包含している場合が考えられる．

7 ）標準正規分布 N ( O ,1 ）の区間（ー o o , z ） におけ る積分 j ま，一般に関数 ( l ) ( z ）で表記されるが，この 値を特定の関数で表現することはできない．すな わち，関数 ( l ) ( z ）を積分記号を用いずに表現する ことはできない．

8 ）一般に e x p ( b / a ）は登数とはならないので厳密・

には maxγ

e x p ( b / a ）であるが，順位 γ の概念を 拡張してこれを実数とみなせば，（1 ,e x p ( b / a ） ］ が ( 6 ）式の定義域となる．

9 ）一般に（8 ）式の右辺は盤数とならないので， n ( q ) を離散変数と考えれば（8 ）式は近似式でしかない．

しかし， n(q ） の概念を拡張してこれを連続変数と みなせば，（8 ）式が成立すると考えられる．

1 0 )   ( J I ）式の右辺e x p ( μ‑ c t 2 ）が対数正規分布のモー ド（最大値を与える bの値）となる．通常，この 値と正規分布のモード μを変換した値exp （ μ ） と は一致しない（Crow and  S h i m i z u ,   1 9 8 8 ,   p .  9 ) . 

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