は逆三角関数を表す

２００７年微分積分学 I 期末試験問題 2007^年8^月8^日(^水)^実施

(^注意)

• 解答は解答用紙に書くこと．

• 解答用紙には学籍番号，氏名を忘れずにかくこと．

• 解答は結果だけでなく，それに至る過程を記述すること．結果のみの解答の場合，その問 の得点は0 ^{点とする．}

1. x= sin⁻¹(cosx)

をみたす

をすべて求めよ．ただし，sin

は逆三角関数を表す

2.

次の関数の増減，凹凸，極値,

軸との交点，lim

を調べ，グラフにせよ．

f(x) = e^−x(2−6x) (x0)

3.

次の関数の

における

次近似多項式を求めよ．

f(x) = log|cosx|

4.

不定積分

x²−x+ 1

x²−6x+ 4 dx

を求めよ．

5.

次の定積分を求めよ．

_e

1

logx x² dx

K.U.

[解答例] 1.

定義より

x= sin⁻¹(cosx) ⇐⇒ sinx= cosx, −π

2 x π 2.

これをみたす

は

2. f(x) = e^−x(2−6x)

に対して

f(x) = e^−x(6x−8)

これより

で

0< x < 4

3 =⇒ f(x)<0 :f(x)

は単調減少

3 < x =⇒ f(x)>0 :f(x)

は単調増加 さらに

f(x) = e^−x(14−6x)

これより

よって

は極小値．

0< x < 7

3 =⇒ f(x)>0 :f(x)

は下に凸

3 < x =⇒ f(x)<0 :f(x)

は上に凸 最後にロピタルの定理から

x→∞lim e^−x(2−6x) = 2 lim

x→∞e^−x−6 lim

x→∞

x

e^−x = 0−61 e^x = 0

以上でグラフの概形は以下のようになる：

2

0

4 x

3 7

3 13

3.

２次近似多項式は

g(x) =f(0) +f(0)x+f(0) 2 x²

で与えられる．f(0) = log 1 = 0,

f(x) = −sinx

cosx , ∴ f(0) = 0.

さらに

f(x) = −1

cos²x, ∴ f(0) = −1.

以上で

x²−x+ 1

x²−6x+ 4 = 1 + 5 2

(x²−6x+ 4)

x²−6x+ 4 + 12 1 (x−3)²−√

5²

より

x²−x+ 1

x²−6x+ 4dx=x+ 5

2log|x²−6x+ 4|+ 6

√5log

x−3−√ 5 x−3 +√

5

+C

5.

部分積分により

_e

1

logx x² dx=

_e

1

(−x⁻¹)logxdx= [−x⁻¹logx]^e₁+

_e

1

1 x

1

xdx= 1−2 e.

K.U.