伝搬する正弦波

伝搬する正弦 波

) sin(

 

t



x

+x

方向に伝搬する正弦波

位相定数 角周波数

 

 



 



f t x





2



2

sin





 



 



t x

T





1 2



2

sin





 

  

  

x T 2 t sin

位相角

t = 0 t = T t₁

x = λ x = 0 x₁

ある時刻

(t = t₁)

について見てみると、 ある場所

(x = x₁)

について見てみると、

-x +x

0 -t +t

0



  波の伝搬速度

v

従って、波数と角周波数の比は、

前回の復習

+

は入射波、−

は反射波を表 わす

線路上での電圧、電 流

x γ, Z₀ V_x

I_x

V₀ I₀

x = 0

受電端

Z_L

V_x⁺

入射波電圧

反射波電圧

) 1 (

0









V_x V_x Z

入射波電流と反射波電流は流れる 方向が反対であるため引き算とな る

V_x^-

V_x = V_x⁺ + V_x^- I_x⁺

入射波電流

I_x^-

反射波電流

I_x = I_x⁺ + I_x^-

V_x⁺

位置

x

での電圧を意味している

+ は入射波 , − なら反射波を表す

本講義での表記として、

添え字は、線路 上での位置を表

わす

→ は、電

圧フェー ザの方向

を表わす

前回の復習

線路上での電圧、電 流

受電端

x

γ, Z₀ V_x I_x

V₀ I₀

x = 0

Z

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x

e I Z Z V

e I Z Z V

V Z V

e I e

I I

I I

e I Z V e

I Z V e

V e

V V

V V

















































































) 2 (

) 1 2 (

) 1 1 (

) 2(

) 1 2(

1

0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

線路上の任意の位置

x

での電圧と電流は、受電端での電圧と電流

V₀

と

I₀

を用いて、

x I

Z x I V

x I

Z x V

V

x x









cosh sinh

sinh cosh

0 0

0

0 0 0







 双曲線関数を用いた式

入射波と反射波で表わした式

で与えられる

前回の復習

波の反 射

1.

半無限長線路

) ( 0 ) ( 0

0 0

l x l

x

x x

s x

e V e

V

e V e

V V

V





















_ ^



_^ V^x



V^se^l



V^se^{(j)l}

l s l s

x V Z e I e

I



( / ₀) ^



^ 2.

特性インピーダンス

Z₀

で終端した場合

反射波は無い

(

無反射

) Z0

I Z V

x x

x

 

0 0

0 Z

I V



Z₀

送電端

V_s

l x

Z₀ Z_x

Z_in x_s

V_x I_x I_s

V₀ I₀

x=0

受電端 送電端

V_s

l x

Z₀ Z_in

x_s=x+l

V_x I_x I_s

無限長

0^e^{ x}



0 V ^

l s x

x V e V e

V



₀ ^



^

l s l s

x

x V Z e V Z e I e

I



( ₀ / ₀) ^



( / ₀) ^



^

つまり、無反射 インピーダンス整合

Z0

I Z V

s s

in

 

(x→∞)

x→∞

では

0

になる 線路上のどの場所から受電端を見たイン ピーダンスも線路の特性インピーダンス

Z₀

に等い

1.

の場合と等価

Z0

I Z V

x x

x

 

入射波のみ 線路上どこから見てもインピーダンスは

Z₀

送電端から

見ても同じ

Z_x

Z_x

は線路上の位置

x

から受電端を見たインピーダンス

3.

受電端を短絡した場合

波の反 射

送電端

V_s

l x

Z₀ Z_x

Z_in x_s

V_x I_x I_s

V₀=0 I₀

x=0

受電端 短絡

x I

e e

I I

x I

Z e

e I Z V

x x

x

x x

x













cosh )

2 ( 1

sinh )

2 ( 1

0 0

0 0 0

0

















受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい

x_s x=0

短絡

2

x=0



2

3

 



2 2

5





3

電圧 電流 全反射



0



t

4

 

t



2

 

t



4 3



 

t



 

t

x I Z

Z V

x x

x

 

₀ tanh



任意の点より受電端の

方を見たインピーダン

定在波 ス

4.

受電端を開放した場合

波の反 射

送電端

V_s

l x

Z₀ Z_x

Z_in x_s

V_x I_x I_s

V₀ I₀=0

x=0

受電端 開放

Z x e V

Z e I V

x V

e e

V V

x x

x

x x

x













sinh )

2 ( 1

cosh )

2 ( 1

0 0 0

0

0 0

















受電端では、入射波と反射波の振幅が等しい

x_s x=0

開放

2

x=0



2

3

 



2 2

5





3

電圧 電流 全反射



0



t

4

 

t



2

 

t



4 3



 

t



 

t

x I Z

Z V

x x

x

 

₀ coth



任意の点より受電端の 方を見たインピーダン 定在波 ス

3.

の場合の双対

(

電圧と電流を逆にしたもの

)

になっている

波の反射と定在 波

t = 0



2



4



4 3





x

+x

方向に進行する波 反射波 反射端 定在波

=

進行波

+

反射波

出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html

反射端

(

全反射

)

進行波 反射波 定在波



反射端

(r=0.5)

進行波 反射波 定在波

反射端

(r=0.1)

進行波 反射波 定在波 定在波の節の位置

定在波の腹の位置

定在 波

反射係 数

0 0 0

0 0

0

/ /

Z Z

Z Z

Z I

V

Z I

V I

Z V

I Z V V

Γ V

x x x

x x x x

x

x x

x x

x



 



 



 





_^

入射波電圧 反射波電圧 電圧反射係数

0 0

0 1

1 Γ Γ Z

Z



 

x x

x Z

I V



x x

x

x V e V V e

V^



₀^{ } , ^



₀^{ }

x x x

Γ Γ Z

Z



 

1 1

0

0 0 0

0 0

0 0

0

0 /

/

Z Z

Z Z Z

I V

Z I

Γ V



 



 

電流反射係数

x x

x x x

x

x

x Γ e Γ

e V

e V e

I e I I

I

      



_^{ }_ ^_^{ }_ ^_^ ₀ ^2

0 0 0

0

入射波電流 反射波電流

電流反射係数

= −

電圧反射係数 電力反射率

2 0

0

0 0

x x x

x x

x x

x

x Γ

e I e V

e I e V I

V I

V



_{ }



























電力反射率

=(

電流反射係数

)² = (

電圧反射係数

)²

x x = 0

Z₀, 



Vx



Vx



V0



V0 Z

















x x

x

x x

x

V V

I Z

V V

V

0 ( )

2 1

) 2(

1

0 0

x x

x

x x

x

I Z V V

I Z V V













より





 0 0

0 V

Γ V

x x

x Γ

Z Γ

Z



 

1 1

0 x

x x

x

e Γ V e

V e

V e

V _{ }



 2

0 2

0 0 0

0  











 



反射係 数

1.

半無限長線路または、受電端を特性インピーダンス

Z₀

で終端した場合

無反射

2.

受電端を短絡した場合

全反射

3.

受電端を開放した場合



全反射

V0

x x=0

Z₀, 



Vx



Vx ^

V0 x

x

x e

Z e

Z _

 2 2 0 1

1







 



₀=1

Z=∞) 開開

x

x e

Γ



^2

x x=0

Z₀, 



Vx



0



Vx



V0 0^



0

V Z₀

Z0

Z_x





₀=0



_x=0

Z=Z₀

-1 1

j

-j



₀

-1 1

j

-j



₀

-1

j

-j



₀ 1

x x=0

Z₀, 



Vx



Vx



V0



V0 x

x

x e

Z e

Z _

 2 2 0 1

1







 



₀=−1

 開開

Z=0 )

x

x e

Γ

 

^2

反射係 数

4.

受電端をインピーダンス

Z

で終端した場合

x x=0

Z₀, 



Vx



Vx



V0



V0 Z



₀

x x

x Γ e

e Z Γ

Z _

 2 0

2 0 01

1







 

x

x Γ e

Γ



₀ ^2

-1 1

j

-j



₀



5.

受電端をリアクタンス

X

で終端した場合

全反射

-1 1

j

-j



₀



0

tan 1

2 Z

 X

 





x x=0

Z₀, 



Vx



Vx



V0



V0 x

x

x Γ e

e Z Γ

Z _

 2 0

2 0 0 1

1







 



₀|=1

x

x Γ e

Γ



₀ ^2

X

jX Z

 

理想線 路

R = G = 0

と仮定すると、無損失

( = 0)

かつ無歪となり、理想線路と呼ばれている

LC j

LC C

j G L j R

j

    



   

(



)(



)

 

²

 開開開開  

0,

  

LC,

開開開開開開

R

と

G

を一定として

L

および

C

を変化させた場合に、 が極小に なる条件は、 を

L

または

C

で微分して、

C L C

j G

L j

Z R





 



 開開開

0

2 0

2 Z

j L

j R

C j G j

j L L L













 



 



 



 



 

0





L

 開開開開開開開開

Z₀

開開開

) / ( 1

) / ( 1

0 j C G

R L j G

Z R







 

 開開開開開開

G C R

L

 開開開開開

Z₀

開開開開開開

C L G

Z₀



R



開開開開 

_min



RG,

  

LC

C

で微分した場合も同様に、

2 j2 Z⁰ C

j G

L j R j

j C C

C













 



 



 



 



 となり、

上記の条件が満足されれば が極小になる

無歪線 路

t A₀ t₀ t

f(t) g(t)

) (

)

(t A₀ f t t₀

g

 

( ) ⅰ

減衰定数

(

或いは増幅利得

)

が周波数に無関係に一定

(A₀

は周波数に依らない

)

無歪線路の条件

( ) ⅱ

位相定数は周波数に比例する

(

或いは、位相速度

v_p

が一定である

)

p

p v

v

f







 

2

 

2



伝送線路のパラメータとしてこの条件を与えるには、

開 が一定

・  が  に比例

・

Z₀

が一様

G C R

L

 は無歪の条件でもある

Z₀₁ Z₀₂ Z₀₃

一様でないと不連続点で反射が起こる

t

t + t

装荷線 路

無装荷ケーブル

　松前重義氏がその発明と実用化に大きく貢献 　興味がある方は、以下のページを参照

装荷ケーブル

松前重義 1901-1991

http://www.u-tokai.ac.jp/about/movie/history/index.html

開開開開開開開開開開開開

G

が非常に小さいため　　　　　　となり、無歪や減 衰極小条件からは大きくかけ離れたものとなっている。そこで、　　　

　　　に近

づけるために、線路の途中に

L

を装荷したものを装荷ケーブルと言い、

伝送距離を大きく延ばすことができたために、真空管が発明される以前 には広く使われていた。しかし、真空管による電気信号の増幅が可能に なってからは、次第に下記の無装荷ケーブルに置き換わっていった。現 在ではさらに同軸ケーブルによる伝送が主流となっている。

G C R

L



G C R L



L

L L

L