第 6 章 波包函数から

147

第 6 ^{章 波包函数から}

Schwartz-Harish-Chandra ^函 数へ

6.1 ^設定

前章と同様に

P =M U ∈ F

とし、Π

2(M)

内の

X_unit(M)

軌道

Pu

を考える。σ

∈ Pu

の二つの実現

(σ, E), (σ, E)

の間の

M

同型

A : E →^∼ E

を取れば、その双対同型

A^∨ : E^{∨ ∼}→E^∨

が定まる。このとき

M×M

同型

A⊗(A^∨)⁻¹ :E⊗E^{∨ ∼}→E⊗E^∨

は

A

の取 り方によらない標準同型である。同様に

I_P^G_×^×_P^G(E⊗E^∨)

と

I_P^G_×^×_P^G(E⊗E^∨)

も標準同型に なる。Φ が

σ∈Pu

に

I_P^G_×^×_P^G(σ⊗σ^∨)

の元

Φ_σ

を対応させる函数と言うときには、ある開 コンパクト部分群

K ⊂K

があって

Φ

は

σ

の各実現

(σ, E)

に対して

I_P^G_×^×_P^G(E⊗E^∨)^K×K

の元

Φ_E

を対応させるもので、二つの実現

(σ, E)

と

(σ, E)

に対して

Φ_E

と

Φ_E

が上の 標準同型で移りあうものを指す。χ

∈X_unit(M)

に対して制限写像

res^P_K×K^×P (σ⊗σ^∨, χ⊗χ⁻¹) :I_P^G_×^×_P^G(E_χ⊗E_χ^∨₋₁)−→^∼ I_K^K×K_P×KP(E⊗E^∨)

を簡単のため

r_σ,χ

と書く。これは等距線型同型であり、これを使って上のような

Φ

を

Φ : Pu → I_K^K×K_P×KP(E ⊗E^∨)^K×K

と見ることにより、それが有理正則であることや滑ら か

(C^∞

級) であることが定義できる。 ここで

I_K^K×K_P×KP(E ⊗E^∨)^K×K

は有限次元なの でその位相

C

ベクトル空間としての位相は一意であることに注意しておく。滑らかな

Pu σ →Φ_σ ∈I_P^G_×^×_P^G(σ⊗σ^∨)

たちの空間を

C^∞(Pu, P)

と書く。

r_σ,χ

は同一視

C^∞(Pu, P)Φ−→^∼ [χ→r_σ,χ(Φ_σχ)]∈

C^∞(X_unit(M))⊗I_K^K×K_P×KP(E⊗E^∨)Stab(σ,X(M))

を与えることに注意する。ここで

χ∈Stab(σ, X(M))⊂X_unit(M)

は

X_unit(M)

には移動 で、I

_K^K×KP×K^P(E⊗E^∨)

には

I_K^K×K_P×KP(E⊗E^∨) −−−→ I_K^K×K_P×KP(E⊗E^∨)

r_σ,χ



 ^rσ,χ I_P^G_×^×_P^G(E⊗E^∨) −−−−→^標準同型 I_P^G_×^×_P^G(E_χ⊗E_χ^∨₋₁)

を可換にする同型で、対角に作用している。下の行の写像は上の標準同型である。実

Lie

群の場合と異なり、一般にこの作用は非自明であることに注意せよ。

6.2 Eisenstein ^{函数の滑らかさ}

補題

6.2.1. Φ∈C^∞(Pu, P)

とする。

(i)

任意の

g ∈G

に対して

Pu σ →E_P^G(Φ_σ)(g)∈C

は滑らか。

(ii) P₁ = M₁U₁ ∈ F

と

m₁ ∈ M1

に対して

Pu σ → E_P^G(Φ_σ)_P1(m₁) ∈ C

および

Pu σ →E_P^G(Φ_σ)^w_P

1(m₁)∈C

はともに滑らか。

証明.

(i)Pu σ→ φσ ∈ I_P^G(σ), φ^∨_σ ∈ I_P^G(σ^∨)

を滑らかな函数として

Φ =φ⊗φ^∨

に対し て主張を確かめればよい。φ の右移動

σ →I_P^G(σ, g)φ_σ

も滑らかなので

g = 1

としてよい。

E_P^G(φ_σ⊗φ^∨_σ)(1) =

Kφ_σ(k), φ^∨_σ(k)dk

の右辺の積分は広義一様絶対収束しているので、これも

σ ∈Pu

の滑らかな函数である。

(ii) (σ, E) ∈ Pu

を固定し、B

M

許容表現

(σ_B, E_B)

を思い出す。その

B_M

反傾表現

(σ^∨_B, E_B^∨)

を用いて

I_P^G_×^×_P^G(EB⊗B_M E_B^∨)

が考えられる。C

^∞(Pu, P)

の元の

σ

の十分小さい 近傍

U

への制限は

U σ_χ −→ϕ(χ)Φ_χ, ϕ∈C^∞(X_unit(M)), Φ∈I_P^G_×^×_P^G(E_B⊗B_M E_B^∨)

の形の函数の有限線型結合である。E

_P^G(•)P₁, E_P^G(•)^w_P1

の線型性から

X_unit(M)χ−→E_P^G(Φ_χ)_P1(m₁), E_P^G(Φ_χ)^w_P1(m₁)∈C

が有理正則函数（特に滑らか）なことを見れば十分である。

まず

φ ∈ I_P^G(E_B), φ^∨ ∈ I_P^G(E_B^∨)

の行列成分

G g → I_P^G(σ_B, g)φ, φ^∨ ∈ B_M

が定 義され、それらの張る

B_M

加群

A(I_P^G(σ_B))

が考えられる。また

Eisenstein

写像

E_P^G

も

E_P^G :I_P^G_×^×_P^G(E_B⊗B_M E_B^∨)→ A(I_P^G(σ_B))

なる

G×G×B_M

準同型を定める。定理

1.3.5

は

B_M

許容表現に対しても成り立つ

(1.4

参照) から、命題

1.5.2

も

B_M

許容表現に拡張さ れる。特に十分大きい

t >1

に対して

E_P^G(Φ)(a⁻¹m₁) =δ_P1(a⁻¹m₁)^1/2E_P^G(Φ)_P1(a⁻¹m₁), a∈A⁺P₁(t), m₁ ∈M1

で特徴づけられる

E_P^G(Φ)_P1 :M1 → B_M

がある。しかも

a ∈ A⁺_P1(t)

と

χ ∈ X(M)

に対 しては、

E_P^G(Φ)_P1(a⁻¹m₁)_χ =δ_P1(a⁻¹m₁)^−1/2E_P^G(Φ)(a⁻¹m₁)_χ E_P^G(Φ)

の定義積分は広義一様絶対収束するので

=δ_P1(a⁻¹m₁)^−1/2E_P^G(Φ_χ)(a⁻¹m₁)

=E_P^G(Φ_χ)_P1(a⁻¹m₁) (命題1.5.2

より)

が成り立つ。この両辺は

AM₁

有限だから、この等式は実は任意の

a ∈AM₁

で成立して おり

E_P^G(Φ_χ)_P1(m₁) =E_P^G(Φ)_P1(m₁)_χ

6.2. Eisenstein

函数の滑らかさ

149

である。右辺は

X(M)

上の多項式函数

E_P^G(Φ)_P1(m₁) ∈ B_M

ゆえ、E

_P^G(Φ_χ)_P1(m₁)

も

χ∈Xunit(M)

の有理正則函数。

次に

E_P^G(Φ_χ)^w_P

1

を考える。4.1.5 と同様に中心指数を使って弱

Jacquet

加群だけを切り 出す。E

:=Exp(I_P^G(σ_B)_P1)

と書けば、4.1.5 のように

E =

w∈P1W_P

{(w(χµ_BM)|AM1)|χ∈ Exp(σ_w−1(P1)^M)}

である。ν

∈ E

に対して、ν

∈ {(w(χµB_M)|AM1)|χ∈ Exp(σ_w−1(P₁)^M)}

となる

w∈ P₁WP

についての

Gr_wF•,P₁

内の広義

ν

等型部分空間の長さの和を

n(ν)

と書く。

E^w :={ν = (w(χµ_BM)|AM1)∈ E |Reχ= 0} E⁺ :={ν = (w(χµB_M)|AM1)∈ E |Reχ= 0}

とおく。a

∈(A⁺P1)⁻¹

を固定すれば、判別式を考えて

Q(X)

ν∈E^w

(X−ν(a))^n(ν)+R(X)

ν∈E⁺

(X−ν(a))^n(ν)

が

b:=

ν∈E^w

ν∈E⁺

(ν(a)−ν(a))^n(ν)n(ν)

に等しくなるような

Q(X),R(X)∈B_M[X]

が取れる。これを使って

S :=R(a)

ν∈E⁺

(a−ν(a))^n(ν)∈B_M[AM1]

とおく。χ

∈X_unit(M)

に対しては

µ_BM,χ =χ

はユニタリなので

3.3

の記号で

Exp(I_P^G(σχ)^w_P1) ={νχ|ν ∈ E^w}, Exp(I_P^G(σχ)⁺_P1) = {νχ|ν ∈ E⁺}

である。ν

∈ Exp(I_P^G(σ_χ)_P1)

に対して

n_χ(ν) :=

ν∈E ν_χ=ν

n(ν)

は

ν

の広義等型部分空間の長さの総和だから

I_P^G(σχ)P₁(Sχ)φ= 0 φ∈I_P^G(E_χ)⁺_P

1

のとき

b_χ·φ φ∈I_P^G(E_χ)^w_P1

のとき

である。a

∈ (A⁺P₁)⁻¹

としたので

|ν_χ(a)| = 1, ∀ν ∈ E^w

かつ

|ν_χ(a)| = 1, ∀ν ∈ E⁺

とな るから、X

unit(M)

上至る所で

b_χ = 0

である。よって

χ∈X_unit(M)

上で

b⁻¹S

は有理正 則で、

I_P^G(σ_χ)_P1(b⁻_χ¹S_χ)φ = 0 φ∈I_P^G(E_χ)⁺_P

1

のとき

φ φ∈I_P^G(E_χ)^w_P1

のとき

が成り立つ。特に

E_P^G(Φχ)^w_P1(m1) =b⁻_χ¹R(Sχ)E_P^G(Φχ)P₁(m1)

も

χ∈Xunit(M)

の有理正則

函数である。

補題

6.2.2. Φ∈C^∞(Pu, P)

に対して

C >0

があって

|E_P^G(Φσ)(g)| ≤CΞ(g), σ ∈Pu, g∈ G.

証明

. X_unit(M)

従って

Pu

はコンパクトゆえ、その上の滑らかな函数

Φ

は定数函数で抑 えられる。よって

(σ, E)∈ Pu

を止め、φ

∈ I_K^K_P(E), φ^∨ ∈ I_K^K_P(E^∨)

に対して

C > 0

が あって

|I_P^G(σ_χ, g)φ[χ], φ^∨[χ⁻¹]| ≤CΞ(g), χ∈X_unit(M)

となることを見ればよい。定義から

I_P^G(σ_χ, g)φ[χ],φ^∨[χ⁻¹]=

Kφ[χ](kg), φ^∨[χ⁻¹](k)dk

=

K

χδ_P^1/2(m_P(kg))σ(m_P(kg))φ(k_P(kg)), φ^∨(k)dk

である。ここで有限族

{v_i}^mi=1 ∈E,{v_j^∨}ⁿj=1 ∈E^∨

と

K

上の局所定数函数

{c_i}^mi=1,{c^∨_j}ⁿj=1

があって

φ(k) = m

i=1

c_i(k)v_i, φ^∨(k) = n

j=1

c^∨_j(k)v^∨_j, k ∈K

と書ける。これを代入して系

3.4.2

から

C >0

があって

|σ(m_P(kg))φ(k_P(kg)), φ^∨(k)| ≤ m

i=1

n j=1

|c_i(k_P(kg))c^∨_j(k)σ(m_P(kg))v_i, v^∨_j|

= m

i=1

n j=1

|c_i(k_P(kg))c^∨_j(k)| · |f_vi,v∨

j(m_P(kg))|

≤CΞ^M(m_P(kg)), ∀k∈K, g ∈G.

最後に補題

2.1.6

を用いて

|I_P^G(σ_χ, g)φ[χ], φ^∨[χ⁻¹]| ≤C

K

δ_P^1/2(m_P(kg))Ξ^M(m_P(kg))dk=CΞ(g)

を得る。

P =M U ∈ F

とそれに含まれる

P₀ ∈ P(M₀)

および

δ >0

に対して

D_P^P

0(δ) :={m∈M⁻P₀| −α(H₀(m))≥δ|H₀(m)|, ∀α∈∆_P0\∆_PM 0 }

とおく。

補題

6.2.3. P1 =M1U1 ⊃ P0 =M0U0, ∈ F

と

δ >0

を取る。このとき

Φ ∈C^∞(Pu, P) (P ⊃P₀

とは限らない

)

に対して

>0, C >0

があって

|E_P^G(Φσ)⁺_P1(m)| ≤CΞ^M1(m)e^−|H0(m)|, ∀σ∈Pu, m∈D^P_P0¹(δ).

6.2. Eisenstein

函数の滑らかさ

151

証明.

I_P^G(σ)

の中心指標はユニタリゆえ

E_P^G(Φ_σ)⁺_G = 0

だから

P₁ G

だとしてよい。補 題

6.2.1

と同様に、(σ, E)

∈Pu

を固定し

Φ∈I_P^G_×^×_P^G(EB⊗B_M E_B^∨)

に対して

|E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(m)|, χ∈X_unit(M)

を評価すればよい。

主張

6.2.3.1. t >0, C₁ >0, d ∈N

があって

|E_P^G(Φχ)⁺_P1(m)| ≤C1Ξ^M1(m)(1 + logm)^d (6.1)

が

α(H₀(m))≤ −t, ∀α∈∆_P0\∆_PM1

0

なる任意の

m ∈M⁻P0, χ∈X_unit(M)

に対して成り 立つ。

証明.

1.4

で

BM

許容表現に拡張された命題

1.5.2

により、t >

0

を十分大きく取れば、主 張の条件を満たす

m∈M⁻P0

に対して

|E_P^G(Φ_χ)_P1(m)|=δ_P1(m)^−1/2|E_P^G(Φ_χ)(m)|, χ∈X(M)

が成り立つ。補題

6.2.2

から

C₂ >0

が取れて、χ

∈X_unit(M)

のときこの右辺は

C₂Ξ(m)δ_P1(m)^−1/2

で抑えられる。ところが補題

2.1.1 (ii)

から

C,C₃ >0,d∈N

があって

Ξ(m)δ_P1(m)^−1/2 ≤Cδ_P0(m)^1/2(1 + logm)^dδ_P1(m)^−1/2

=Cδ_PM1

0 (m)^1/2(1 + logm)^d

≤C₃Ξ^M1(m)(1 + logm)^d

である。結局

|E_P^G(Φ_χ)_P1(m)| ≤C₂C₃Ξ^M1(m)(1 + logm)^d (†)

が主張の条件を満たす

m ∈M⁻P₀

に対して成り立つ。

一方で補題

6.2.1 (ii)

の後半の証明の構成から、

a∈(A⁺P₁)⁻¹

と

B_M

の元の有限族

{b_i}ⁿ_i=0

があって

E_P^G(Φ_χ)^w_P1(m₁) = n

i=0

b_i(χ)E_P^G(Φ_χ)_P1(aⁱm₁), χ∈X_unit(M), m₁ ∈ M1

である。b

i

たちはコンパクト集合

Xunit(M)

上有界だから、m

→E_P^G(Φχ)P₁(aⁱm)

たちに

(†)

の評価をすれば、ある

C>0

に対して

|E_P^G(Φ_χ)^w_P1(m)| ≤CΞ^M1(m)(1 + logm)^d (‡)

なる評価が得られる。(

†)

と

(‡)

の差を取ることで

E_P^G(Φχ)⁺_P1(m)

についての主張が従

う。

さて補題

6.2.1

の証明の記号に戻って

χ ∈X(M)

に対して

rχ(X) :=

ν∈E⁺

(X−νχ(a))^n(ν) = N

i=0

ri,χX^N−i

により

r(X)∈ B_M[X]

とその係数たち

r_i ∈B_M

を定める。χ

∈X_unit(M)

ならば

|ν_χ(a)|

は

χ

によらず、ν

∈ E⁺

から

0<|ν_χ(a)|<1

である。従って必要なら

a

をそのべき乗で 置き換えて

|νχ(a)|

を十分小さくすることで、1

≤i≤N

に対して

|r_i,χ|=|

A⊂E⁺

|A|=i

(−1)ⁱ

ν∈A

ν_χ(a)| ≤2⁻ⁱN⁻¹

が成り立つようにできる。このとき

C4 >0

があって

|E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(aⁿm)| ≤C₄2⁻ⁿΞ^M1(m)(1 + logm)^d (6.2)

が

α(H0(m))≤ −t,∀α ∈∆P₀ \∆_PM1

0

を満たす任意の

m∈M⁻P₀, χ∈Xunit(M),n ∈N

に 対して成り立つことを示そう。

実際、E

⁺ = ∅

なら

E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1 = 0

ゆえ、E

⁺

は空でないすなわち

N ≥ 1

としてよい。

n

についての帰納法による。n < N のときは主張

6.2.3.1

から

|E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(aⁿm)| ≤C₁Ξ^M1(aⁿm)(1 + logaⁿm)^d.

ここで

1 + logaⁿm ≤1 + logaⁿ+ logm ≤(1 + logaⁿ)(1 + logm) Ξ^M1(aⁿm) =I^M1

P₀^M1(111_M0, aⁿm)φ₀, φ₀^an∈A=^M1 I^M1

P₀^M1(111_M0, m)φ₀, φ₀

=Ξ^M1(m)

ゆえ、C

4 :=C₁sup{2ⁿ(1 + logaⁿ)^d|0≤ n≤N −1}

とすれば

|E_P^G(Φχ)⁺_P1(aⁿm)| ≤C1Ξ^M1(m)(1 + logm)^d(1 + logaⁿ)^d

≤C₄2⁻ⁿΞ^M1(m)(1 + logm)^d.

次に

n ≥N

であるとする。n(ν) の定義から

I_P^G(σ_χ)⁺_P

1(r_χ(a)) = 0

ゆえ

N

i=0

r_i,χE_P^G(Φ_χ)⁺_P1(aⁿ⁻ⁱm) = N

i=0

r_i,χR(a^N−i)E_P^G(Φ_χ)⁺_P1(a^n−Nm)

=R(r_χ(a))E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(a^n−Nm) = 0.

6.2. Eisenstein

函数の滑らかさ

153 r_0,χ = 1

であるから、帰納法の仮定により

|E_P^G(Φχ)⁺_P1(aⁿm)|=− N

i=1

ri,χE_P^G(Φχ)⁺_P1(aⁿ⁻ⁱm)

≤ N

i=1

|r_i,χ| · |E_P^G(Φ_χ)⁺_P1(aⁿ⁻ⁱm)|

≤ N

i=1

2⁻ⁱN⁻¹·C₄2ⁱ⁻ⁿΞ^M1(m)(1 + logm)^d

=C₄2⁻ⁿΞ^M1(m)(1 + logm)^d

となって

(6.2)

が得られる。

さて補題を証明しよう。D

^P_P0¹(δ)

の部分集合

D:={m∈D^P_P¹₀(δ)| |H0(m)|>2δ⁻¹

sup

α∈∆_P0\∆

PM1 0

−α(H0(a)) +t }

を考える。m

∈D

に対して

n := inf

α∈∆_P0\∆

P M1 0

t−δ|H₀(m)| α(H₀(a))

とおけば、α

∈∆P₀ \∆_PM1

0

に対して

α(H₀(ma⁻ⁿ)) =α(H₀(m))−nα(H₀(a))≤α(H₀(m)) +δ|H₀(m)| −t ≤ −t

である。従って

ma⁻ⁿ

は

(6.2)

の条件を満たすから

|E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(m)| ≤ C₄2⁻ⁿΞ^M1(ma⁻ⁿ)(1 + logma⁻ⁿ)^d, χ∈X_unit(M)

が成り立つ。ここで

logma⁻ⁿ ≤logm+nloga

≤1 + logm+ loga(δ|H₀(m)| −t)

−α(H₀(a))

補題

1.1.7

から

C₅ >0

があって

≤C₅(1 +|H₀(m)|) + logaδ

−α(H₀(a))(1 +|H₀(m)|)

≤C₆(1 +|H₀(m)|)

が

m∈D

によらない

C₆ >0

に対して成り立つ。また

r:=−(2α(H₀(a)))⁻¹δ

として

n >δ|H₀(m)| −t

−α(H₀(a)) −1 = δ

−α(H₀(a))

|H₀(m)| −δ⁻¹(t−α(H₀(a)))

m∈D

から

δ⁻¹(t−α(H0(a)))<|H0(m)|/2

なので

> δ

−2α(H₀(a))|H0(m)|=r|H0(m)|

である。これらを代入して

m∈D

では

|E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(m)| ≤C₄C₆^d2⁻ⁿΞ^M1(m)(1 +|H₀(m)|)^d

≤C₄C₆^d2^−r|H0(m)|(1 +|H₀(m)|)^dΞ^M1(m)

であることがわかる。さらに

< rlog 2

と取れば、C

7 >0

で

2^−rx(1 +x)^d=e^{−rxlog 2}(1 +x)^d< C7e^−x, x∈R>0

なるものがあるから、

|E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(m)| ≤C₄C₆^dC₇e^−|H0(m)|Ξ^M1(m), m∈D

が成り立つ。一方で

D^P_P¹

0(δ)\D={m∈D^P_P¹

0(δ)| |H₀(m)| ≤2δ⁻¹

sup

α∈∆_P0\∆

P M1 0

−α(H₀(a)) +t }

はコンパクトゆえ、上の

>0

に対して

C₈ >0

があって、

|E_P^G(Φ_χ)⁺_P

1(m)| ≤C₈e^−|H0(a)|Ξ^M1(m), m∈D^P_P¹

0(δ)\D

が成り立つ。結局

C := sup(C₄C₆^dC₇, C₈)

として補題を得る。

6.3 ^波包函数

コンパクト多様体上の滑らかな函数の空間

C^∞(X_unit(M))

に通常の

Schwartz

位相を入 れる。

(σ, E)∈Pu

を取る。各開コンパクト部分群

K ⊂ K

に対して

I_K^K×K_P×KP(E⊗E^∨)^K×K

は有限次元ゆえ、

C^∞(Pu, P)^K×K

C^∞(X_unit(M))⊗I_K^K×K_P×KP(E⊗E^∨)^K×K

Stab(σ,X(M))

(6.3)

にも位相が定まる。最後に

C^∞(Pu, P) = lim−→_K C^∞(Pu, P)^K×K

には上の位相的帰納極限としての位相を入れる。

同型

X_unit(M)/Stab(σ, X(M))χ→^∼ σ_χ ∈Pu

により、X

unit(M)

上に

1.1.5

で止めて おいた測度の商測度として

Pu

上の測度

dσ

が定まる。

Φ∈C^∞(Pu, P)

の波包函数

(wave packet)

を

fΦ(g) :=

u

µ(σ)E_P^G(Φσ)(g)dσ

と定義する。

6.3.

波包函数

155

命題

6.3.1. C^∞(Pu, P)Φ→f_Φ ∈ C(G)

は定義可能な連続写像。

証明

. C(G)

の位相的帰納極限としての定義から、各開コンパクト部分群

K ⊂ K

に対 して

C^∞(Pu, P)^K×K Φ−→f_Φ∈ C(G//K)

が定義可能な連続写像であることを見ればよい。

(σ, E)∈Pu

を固定すれば

I_P^G_×^×_P^G(E_B⊗B_M

E_B^∨)^K×K

は

BM

加群として有限生成ゆえ、その有限生成系

F

が取れる。C

^∞(Pu, P)^K×K

の元は各点の十分小さな近傍上では

σχ−→

Φ∈

ϕΦ(χ)bΦ(χ)Φχ, ∃ϕΦ ∈C^∞(Xunit(M)), bΦ ∈BM

と書ける。ϕ

Φb_Φ

を

ϕ_Φ

と置き直せば

σ_χ −→

Φ∈

ϕ_Φ(χ)Φ_χ, ϕ_Φ ∈C^∞(X_unit(M))

となるが、X

unit(M)

はコンパクトだからこの表示が

Xunit(M)

全体上で成り立つとして よい。よって結局

C^∞(X_unit(M))ϕ −→f_ϕ,Φ ∈ C(G//K) f_ϕ,Φ(g) :=

X_unit(M)

µ(σ_χ)ϕ(χ)E_P^G(Φ_χ)(g)dχ

が定義可能な連続写像であることを示せばよい。X

unit(M)

上の微分作用素の有限族全体 の集合を

D^M

と書こう。C

^∞(X_unit(M))

上の位相は

D∈ D^M

を添字とするセミノルム

ν^M(D, ϕ) := sup{dϕ(χ)|d∈D, χ∈X_unit(M)}

の族から定まる

Fr´echet

位相であったから、結局

(1) fϕ,Φ ∈ C(G//K).

(2) r >0

に対して

D∈ D^M

があって

ν_r(f_ϕ,Φ)≤ν^M(D, ϕ),∀ϕ∈ C^∞(X_unit(M)).

を示せばよい。

m ∈M0

に対して

s(m) := sup_α∈∆P

0 |α(H₀(m))|

と書くことにし、J

⊂∆_P0

に対して

M⁻P₀(J) := m∈M⁻P₀

(i) α(H0(m)) =−s(m), ∀α ∈J

(ii) 0≥α(H₀(m))>−s(m), ∀α∈∆_P0 \J

とおく。f

∈C^alg(G), r∈R, J ⊂∆_P0

に対して

ν_r,J(f) :=

m∈M⁻_P0(J)

|f(m)|Ξ(m)⁻¹(1 + logm)^r