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1 Describe the Hahn-Banach theorem and explain how big the dual of a normed space is.

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Academic year: 2021

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(1)

FA 2017/7/25 Both sides of the answer sheet can be used.

1 Describe the Hahn-Banach theorem and explain how big the dual of a normed space is.

2 Describe the open mapping theorem on linear operators and show that all the complete norms on a vector space V are equivalent.

3 Define a linear operator T on the Hilbert space ℓ

2

by (T ξ)

n

=

1n

ξ

n

(n ≥ 1).

(i) Show that T is a hermitian operator.

(ii) Calculate the operator norm ∥ T ∥ of T . (iii) Describe the spectrum of T with the reason.

Glossary:

dual space

双対空間

normed space

ノルム空間

open mapping

開写像

complete norm

完備なノルム

linear operator

線型作用素

operator norm

作用素ノルム

hermitian operator

エルミート作用素

spectrum

スペクトル（集合）

1

参照

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