博 士 （ 理 学 ） 森 秀 夫
学 位 論 文 題 名 Chu correspondences (Chu 対 応 ）
学位論文内容の要旨
集 合間 に2項 関係 ヒく 二AxXが あると、その関係が定めるガロア対応AコBHB´：〓
｛ ヱE Xla与 エ，VaEB｝(YくXに つい ても 同様 に定 まる ）に よっ て決 ま る閉 集合族の 完 備 東4 ‑ {B[B＝B"，VBくA｝ ，ズ ＝{YIY ‑Y″，VYく 二X｝が あ り、 それ らは 逆同 形A竺Xopであることが知られている．一方、2集合とその2項関 係の組P‑ (A，ズ，与）
をChu空間という，Chu空間Pにたい して完備東の組(A，ズ）が定まり、これをGal(P)と かく．
本 論文 で は、Chu空間 のあいだにChu対応(Chu correspondence)を導入し、対象を Chu空間、射をChu対応としてもつ圏ChuCo'rsを定義した，Chu対応ルニニ（工ヤ，ヰ）とは、
2つのChu空間pー(AっX， :P)とQ= (B，V与Q）に対して、
Va EA ， VyEV Lpa Q ダ甘 0P R(Py
を み た し 、 か つL〔paくB、 ヰ り くXが ど ちら もそ れ ぞれ 与P、与Qから 決 まる 閉集 合と な っ て い る よ う な 対 応 工 ヤ ： A→pow(B)、Rp：y→pow(X） の こ と で あ る ． こ こ でpow(X） と はXの部分集合族のことである．
こ の よ う に し て 定 義 し た 圏ChuCorsと 上 半 東 の 圏Slatの あ い だ に ガ ロ ア 関 手Galを 定 義す る ．このガロア関手は 、く；hu空間にその2項関係 が定める完備東を、く)hu対 応に上半 東準同 形を、それぞれ対応させる ．射の対応についてはGal（ ヤ）：二ニヤ＊：Gal(P)→Gai(o) で定める，ここで、ヤ＊(AっA′）＝((U。eA L(pa)u，(U。eA L(Pa)′）である，次の定理が得られた．
定 理1ガロ ア関 手はChuCorsとSlatのあいだの圏同値を 与える．
圏Statは、テンソル、internal hom、双対化など、豊富な演算をもつ*‑autonomous圏 である．圏ChuCorsもまた*‑autonomロous圏であることも本論文で明らかになった．さら に 本 論 文 で は 、 ガ ロ ア 関 手 が こ れ ら の 演 算 を 保 存 す る こ と も 示 し た ． 定理2ガロア関手は*‑auto'nomous構造を保存する，
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学位論文審査の要旨 主 査 教 授 津 田 一 郎
副 査 教 授 由 利 美 智 子 副 査 教 授 辻 下 徹
（ 立 命 館 大 学 理 工 学 研 究 科 ）
学 位 論 文 題 名 Chu correspondences (Chu 対 応 ）
近年、形式文脈を理論の基盤にする研究が多様を分野で展開されているが、その 際、形式文脈の相互関係を記述する概念としてChii写像が使用されている。Chii 写像を射とする圏は、線型論理の意味論を展開する土台のーっを与えるために、理 論計算機科学の研究者を中心として1990年代に活発を研究活動が行われた。しか し、Chii写像は、単独概念で表現される形式概念を特別視するものであり、形式 文脈の相互関係を記述する概念としては十分を一般性を持っておらず、また、そ のことがChii写像の具体的扱いを困難にしている。
本論文において導入されたChii対応は、Chii写像にある不自然を制約から免れ ており、理論的にも柔軟性のあると同時に、具体的を扱いも容易であり、形式文 脈 を 基 盤 と す る 分 野 で 潜 在 的 有 用 性 を 持 っ て い る こ と が 推 測 さ れ る 。 以下、論文の主要を概念と結果を概説する。
形 式文 脈は 対応C：（ ズ；Aっ 貝くズx A)の別名である。部分集 合yくズに対 し 、 ど の ッCYと も 貝 関 係 に あ るacAの 全 体 をy′ くAと か き 、yの 極 集 合 と 呼 ぶ 。 同 様 に 部 分 集 合BくAに つ い て も 極 集 合B'く ズ が 定 義 さ れ る。Y"：y を満すyくズを閉集合 と呼ぶ。閉集合全体は共通部分の演算について閉じており 完 備 束 を を す 。 こ れ を 形 式 文 脈Cの ガ ロ ア 束 と 呼 びGaoi,s(C)と 書 く 。
2つの形式文脈G＝ (AiっAri：R〕（i〓1っ2）の間のChii対応は、写像
F : Ai→ P(A2):
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G： X2→ ア(Xl)
（P（ 一 ） は 冪 集 合 を あ ら わ す ） の 対 （EG） で あ っ て 、 す べ て のaiEAiっX2E X2 に つ い てFaiっGx2が 閉 集 合 で あ り
FaiXX2くR2幸 ＝ 今aiXGx2く Ri
が 満 さ れ て い る も の を い う 。 形 式 文 脈 を 対 象 と し 、Chu対 応 を 射 で と す る 圏 を ChuCorsと す る 。
こ の 論 文 の 主 要 春 結 果 は 次 の 二 定 理 に ま と め ら れ て い る 。
定 理73形 式 文 脈Cか ら 完 備 束Qol (C)へ の 対 応 は 、 圏ChuCo'r.sか ら 上 半 束 射 の 圏Slatへ の 圏 同 値 関 手QaZを 定 め る 。
定理98圏Ch'u.CorSは＊−a11tODOm011S圏の構造を持ち、圏同値関手9甜が、＊‐a11tonom011S 圏とし ての構造を保つ。
圏Sla,tは よ く 理 解 さ れ て い る こ と か ら 、 定 理73は 、ChuCorsの 圏 の 構 造 を 明 ら か に し た も の で あ る と 評 価 で き る 。 一方 、 形式 文脈 は完 備束 の コン パク トを 記 述 法 を 与 え て い る こ と に 着 目 す れ ば 、 定理73は、 完備 束間 の上 限 保存 写像 に対 し Chii対 応 に よ る コ ン パ ク ト を 記 述 法 を 与え た とい う評 価も 与え る こと がで きる 。 定 理98は 、 形 式 文 脈 の 構 成 法 と し て 、圏 論 的に 良い 性質 を持 っ もの を豊 富に 与 え た も の で 、 形 式 文 脈 を 基 盤 に 持 つ 諸 分 野 で の 有 用 性 が 期 待 で き る 。 以 上 の よ う に 、 こ の 論 文 に お い て 著 者は 、 形式 文脈 の相 互関 係 を記 述す るの に 使 用 さ れ て き たChii写 像 を 拡 張 し た 基 盤的 概 念で あるCbii対応 を 導入 し、 その 基 本 的 性 質 を 明 ら か に し 、 形 式 文 脈 を 基 盤と す る多 くの 研究 分野 に 対し 大き を貢 献 を し た こ と に を る 。 よ っ て 、 著 者 は 北 海道 大 学博 士（ 理学 ）の 学 位を 授与 され る 資 格 を 持 つ 、 と 認 め る 。
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