にして之より利廻りを求めんとす。川式の分母を沸へば 袋軋h＝︵二‡Y≦−︵︼＋れ︶−︵ヨエJユ︰：⋮⋮・︰⋮ ︵N︶ 右退室一項級数に展開し・もの昇墓の順序に各列して後嗣退を讃軋にて除すれば 利選り特殊算出法 利過りとは資本増加の割合を云ひ、賛際経済問題として盈嬰なるものにして、此虚に年金及債券の利廻り算出 法を諭ぜんとするものなるが1其算式に於て利廻りの高次式を含み、共完全解む得る事は二仮に不可能とせらる ゝものなれ共、其近似値を求むる方法は竃爽より幾多研究されつ1ありて、此塵に利息算として興味深き鮎と云 ふぺく本稿に於て其こ仮に知られざる方法に就て述べんとす。 l ベーブー氏の年金利過り算出岬般方法︵誰〓︶ 此虚に例年据置後場年礪績の毎期単位支彿高に封する年金硯慣算式は利過り革も、其年金現慣をαとすれば
利遡り特殊算・出法
1−︵−．十エ．串 ︵−＋〇▲学⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮︵こ傑 時 重
︵三三一︶㌧ ︼九之よカ下式を得べし 此鹿に於て 去︶
︵蕪︶圭ぎ言−㌃チ⋮⋮⋮
として上式に代入し・ものこ蒜ハ以上の項を省著すれぼ 上式右蓮の第二項の・亀の係数を単位ならしむるため次の如く商連を1卓︵ぎ十諸士︶兼すれば︵むl葺き‖T掌十こ土釜茎
可‖T︵哲阜幸エ︶ヰ十忘富㌣十皆喜十も⊥ふ旨十ぎエふ︶ホ⋮⋮⋮： a第大谷第四披
れ‖計．−． ＞‖‖け∵■丁・
︼柏忘ヨ＋串十こ もl ︼ 一山完苛−十苧十こ も、−− ＝−＋軋−×︵買蔓草‡貢ぎ豊ホ＋品川霊卜晶
KきエTき⊥−− ︼比忘塁＋さ十こ こ⋮⋮：︵A︶ さけ− ︼T嘗十こ土
態＋⋮⋮・⋮⋮言⋮⋮ −由＼︵拍富サ↓↑ヰご1卜 ︵三三二︶ 二〇次に第岬階、二階、三階等の利廻り近似値を 言− 忍︶ ご− 是求むる﹁ベーリー﹂氏叫般式なるが特別の場合として折畳期間なき普通年金現憤より利廻りを求むる算式は上式 に於て∋＝○とすれば可なり。即 とすれば ご二＝、∼ 之を㈱式に代入すれば ∵．∵丁． 更に之を掬式に代入して分母を沸ひ整理すれば 責＝芦 ≡＝−Ou 算式何に於て 利廻り特殊鈴良法
戸訂︵葎︶芸さ⊥
好例︵こ拾年間据置試拾年間櫻繚毎年宋軍位支排金に封する年金硯慣九、四五〇露に封する利廻りを求む。 ↑い ‖‖ ︼餌−︵讃1−︶才 ︼㌣⊥恵子⊥豆 ︼N芯ミ十、ト＋i︶−只ミ・。−こ＞ ︼父野工幸†ご1 ︵も−こ計 ︼餌︵Mぎ＋串＋i︶ 乳∵−− 計⋮・妻⋮言 ︵の︶ チミ⋮⋮・⋮人ヱ ヽ、u 甲山いOU、 ︵三三三︶ 二一利過り眞値︵小数第六位迄︶㌃＼○ニ大型二七との差僅かに小数第六位竺ハあるのみなり。 こ 第二怯︵年金算式直接解法︶︵誌二︶ 普通年金硯慣算式︵詑故前述の如し︶ 利廻虞値︵小数墾ハ位迄︶軋＝、〇三八些二七に射し其差僅かに、000C〇六にしてjE確に近き値が得らるべき算 式と云ふべし。 算例︵二︶式拾年間鳩摸毎年末単位支沸金の普通年金現槽二≡、七八〇四に封する利廻りを求む。 免U‖‖−巴﹁00○隕 さ＝柏○− 算式何に於て
訂︵小︶蔓⊥H．⋮≡ひ
わ‖．〇∽ヾ“−小り ∼三言こ＝中∼丈鮎叫︶‖⋮⋮諾＝∼き○∽話芸り ︰︵鮎叫︶でき上 節米巷 第四耽 ご 師 ︼㍑− ︼℃、、 一帖−び00計 ︼柏×A−−∽りりさ 一拍︶︵瓜∴1可り00＞ わHり﹂︶∽∞止T︸抽∞ ＞＝．〇∽00隕隕∽∽ ︵三三四︶ 二二之を〓式に代入すれぼ 、二 ︰︵こ∴二︺、・∴・ ■．・十一ドニ 丙連を伊にて険し更に う‖り︵等︵白十︼︶⊥i〇⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮・⋮⋮人∽︶ とすれぼ上式は ニー十Tミ。︸＝う．言三 開通の封教をとり ∼這て王．ご＝A ∼這二＋ユミl︶︶＝申⋮⋮⋮︰︵A︶ とすれぽ上式は簡野に次の如くなるペし。 IA＋︵さ＋−︶Bll l㌻q？⋮⋮；⋮⋮⋮︵ひ︶ 別格り特殊箕出法 貪R守ュ＝−︵象＋こ箋＋−＝人㌻⋮⋮⋮⋮人︼︶ なる算式を得べし。之よh︰こ牢求めんに次の如き代入法を施せば に於て 、︰■︻∴、 −＋軋＝8 として分母を彿へば ￠ ︼−二＋こ．壬 ︵柏︶ ︵三三玉︶ 二三
として此倍の近似値︵小数二位未満切掩︶数回式に代入して其式を満足せしむるAの近似値を求め以つて利廻り を算出しても可なり。 笹例︵三︶前述例︵二︶を採用するときは即 さ＝旭○ 貪＝−㌢可00OA 之を伺式に代入すれぼ ー∼道 場・‖＝︵串＋こへ這︵R十ニーミ這貪＝に二〓二〓こ 然るに年金椴班年数相常長朋の璧口にぉの値はAに比し極めて小にして︵詮明智盟Aの概算値として
第六番 第四抗
︵三三六︶ 二四 上式に於て㌔は既知数にして、B貨を輿ふる寄に依りて定められ、従って上武が成立する如く改め作製されあ る下表を用ひてAの近似値を求め得ペく、従って之より利親を算出卜得ペし。 A＝∼還 ヾ■ ︵①︶前述の表により或は㈱式よりAの概算値−i．可なるを知る之より次表を得べし。 之む比例部分法により 画 A‖㌣ごこ⊥㌘＝・∴三㌫†，1⋮加l ∼芸当誓＝A＋㌻q白＝NL肘︼冨−十＝∽Ⅶ芸＝、訂芸○可 利廻り癖殊算出法 之に依って ーA8置章節＝︼●ひ 怒るを知り得べし依って更に次表を作製し得べし。 ︵三．三七︶、二玉
利廻り虞値、〇三八望ニハ八との差僅かに小数七位に二あるのみにして極めて精確なる結果と云ふベト。本迭は
﹁べーリー﹂氏算法の如く輿へられたる関係式の展開によりて近似式を求めたるに反し算出基礎式拘は近似式にあ
らずして之より窟精確なる値を算出し得る特長を有す。葡本法は前法と比較のため年金現偶に付き述べたるも
年金絡慣・年凰金・攣蓋・其他典へらる1常初の関係式の簡単なるものに適用して便なる方法なり戯れ共本法を債券利避に付其算式を研究せるも其得ねる結果は艮好なれ共常初の閲係式精々複雑のためそれより求めたる算式
利廻り虞噂○≒八祖三七との差僅かに小劫撃ハ位に於て六のみにして、更に此方法を繰返すときは・
第六各 第四兢 ㌻やH簸．〇−竺竺二三 鴇−1小十鼠“−．〇∽00A∽− 鴇＝︼＋鼠＝−．〇“00料ひのの トA＝㌻ミ1﹃⊥⋮十√叩⋮㌍＝賢雲ひ00
ご這言1ご＝ふ．ひー竺ご㌫＋﹁〓〓ご〓㌫＝︼．のひのObO ㌻戦記＝．〇−の加0000 料＝．？慧〓㌫− 軋＝．〇∽飴舟山00の ︵三三八︶ こ六詮明川式より分母を沸ひ移項すれば ヽ︵こ＝−−︵−＋ニーさ−竺㌃＝○ ：！土石︶ 軋＝彗＋かとして﹁テーラー﹂の定理により展開すれぽ ．ユ、・・三・＼．、︶︰、二・・︶＼、、：、こHこ 左通のムの二次の項を省忍すれば ヽ︵こ＋ミ、︵こ＝0 も徒らに繁雑となり管用に適せず。 三 ﹁ニュクトン﹂民法 普通年金現慣算式 に於て丸＝こニ†計とし﹁ニふふリーン﹂民法を適用すれば下式を得べし。 利堪り特殊算出法 ＞“＝ ■l 、↑ −1 − 中 ︼−︵︼＋エー苫 え︼＋エー⊆ヱ︶−白 、︵、・︶ ヽで︶ ーー︵−＋ユ1苧−雪 ⋮⋮幸三⋮⋮⋮⋮⋮・⋮⋮⋮享 ︵ご ∵1〓＋こ．さ−弓 叉−＋こl音1．−白 ⋮・・・−二▼⋮⋮●⋮⋮・・︵的︶ ○＜鴇＜− ︵三三九︶ 二七
㌔＝．〇空で〓；㌫ 眞値、〇三八掴芸ハ八との差小数第七倍にあるのみなり。
国 定限差挿入紘
廻の如き場合には算式複雑となり質問に適せす。 法は輿へられたる闇夜式より縛らるべき虚数の透導曲数が簡雷る婁合に限す應用せらるべきものにして債券利 本法に於ける利習算式淫比較的簡芝して且之より算出せ基金利管論法に劣らぎる結砦得ぺし。本 ︵此場合其簡便法あれ共好結兼を得す此虞に省忍す︶ 算例︵豊前速算例︵二︶を用ふれぼ即 ぎ−1NO 白＝︼加．ヾ00○瓜 第︼階利廻り概算値を四分︵年金表其他によりて︶とすれぼ算式拘により 、∴丁︵丁→⋮︶こ卜・二111二 三∴∴三−︰ニ︶・・︰工︰ラ主⋮ ＝‖・−．〇〇︼ひ匝 ㌣虹ここ−．〇〇−ひ把‖．〇∽00Aふ 第二階利過り概算値室二分八厘初毛とすれば 第六番 第四妨 て‖＝．〇∽∞A ＞＝．〇〇〇〇∽血㌫ ︵三四〇︶ 二八誓−∴7−＝＞璧1i 警−ぎ＝D誓 浮−讐n Dぎ D誓−bこ丁−＝DざlH ♭ぎ−＞写＝Dざミ⋮⋮⋮⋮⋮⋮ なる如き党限差者記挽を用ふるときは次の如き表を得べし。 ︵之を定睨差衣と名づくべし︶ 利廻り膵殊算出法 此方法は軽々の輿へられたる表、例へば利息衷・封敏表等の助により其要求する中間値を求むる方法近して前 述の算式により直接求むる方法よりも詳細なる表を用ふれば二愴精確なる値が侍らるべ應用範臨機めて靡き嘗用 低値大なるものなり。 其方法軽々あれ共著人は主として中央党限差法の應用を諭ぜんとするのであるが順序として従来知られてる一− ふウトン氏定限差法の應用に付ざ職者を述べ前者と比較封照せんとするのである。 ︵こ ﹁一こウトン﹂氏限定書法 輿へられたる年金硯慣債券憤格等豪打とし其等の表によりて最も近き倍を机とし次に机を挑みて 増1D︶ 璧−ニ 誓り ぎ、 諾−■⋮⋮⋮︰⋮︰︰ なる数列を得べし。次に ︵三四．一︶ こ九
是即﹁三ウトン﹂民定限差挿入法式として知らる1ものなり。上式の第四項以降を切冷つるときは︵旨−＝♭ ♭ヤ苫＝︰牧と暑記す︶
輯⋮︵？載︶i誓l苛○⋮⋮全
次に表芸をんとし利親り近似値粛正とすれぼ
軋＝‖㌢＋8此利過り・仏、ゐに劃する年金硯慣債券偵格等の億をγ、餉とし ′卜■川”外 か
第六螢 弗四鱗
、 ︰、、こ・、∵ミ．二∵ミ 1△γ1j 帥】 △℡y−ユ r△帥l 仇【！△2yo ヱニ⊥」 △3y＿1 ′△yLf △3帥 ∵上＋ 十 ズh−こ︵≠−3 ︼．担わ b㌧誓＋・⋮⋮⋮・圭 とすれば ︵三四二︶ 三〇㌃隼‖︵l＋幽丁︷錘＋恥︶一・⋮⋮・⋮⋮三⋮︵∽︶彗〇 是等は即﹁ニュウトン﹂氏挿入法を利廻りに應用せる算式な少。 ハ二︶ 中央定限差法 本法は前述﹁ニウトンし民法より更に精密なる値を輿ふるものにして蜜際計算に靡く用ひらるゝ方法なり。前述 の如き暑記耽を用ふるときは 是﹁ニウトン﹂民定限蓋式より導ける﹁エペレット﹂の中央党限差各式なり。︵詮明暑す︶
上式より￡を算出すれば
諒車‖︵？壇上
更に上式を簡暮すれば
上式より利廻り算出に仙骨便宜なる算式を透導せん忙、上式に於て D誓−＝♭ h吃竿↑十＞烏誓−1♭め なる略記統を用ふれば 利廻り特殊算出法 璧‖＝︵︼−こ誉＋言ト1 只−−こ D止〒一＋b㌦彗 ＋埴︸ ⋮⋮・・・・・・・⋮⋮⋮人相︶ ︵三四三︶ 三一上述の㈱、何が中央党限差法による利廻り算式なり之等の柄式望肌法の叫、拘、榊式に比し何れも非常に精密な る結鼎を得ペし。 算例︵五三十年後備退の五．分利債券憤格額面百に封し九八なりと云ふ其利通りを求む。 債券慣格算式は
第六巻第四携
警＝ぎ＋︵？埴︶；埴芋⋮⋮・⋮︵￡第二階概算値として上式の第三項を省略すれぼ
、︵・、・∴・ご∴︰丁∴∵之を上式拘忙代入して整理すれぽ次の第二階近似値を得ペし。
㌃小一・︵？壇三滝＋ヰ・三享：⋮台︶
に依りて利過りを悪阻差法によりて求めんとす0 コ＝両輪頭轟 ∩＝添馳紛敷 冨 ㌦P‖K＝︵㌣こ串 q＝頭鞘堂≠ 軋＝涼切望直 ︼−︵︼＋ユー串 貪＝令紗鐘滴 ︵三川四︶ 三二︵こ ﹁ニュウトン﹂民定限差法に依って上表より算出すれぼ ︵亡 払わ￡ 地心ON∽≠畑−のN−ひ料持≠＋b00000＝○ 坑 外＝封矧．＝・∽抽功00払ム
先づ叫般によく知られたる債券利廻り概算式
∵‖㌃＋車︶小︵丁車︶ ヽに依りて本例の数倍を代入して利廻り概算値五分馴鹿嵐宅強を得べし。依って利息衣より下表を得べし。
﹁
料 ‖＝．〇∽十拍＝bひlの柏りーの 利退り特殊算出法 詫 −−．〇〇−00MりA柏 くっく⊃C〉（＝〉 のtコ1ひth事ゝ C〉（Jl⊂〉こJt ト■ トJ l」 ト▲ ー▲ 「▲ 匹〉 ㌢ A くOlユー ⊂） ● 一 − 訣 ● − ■ ● N 00 − 1斗 十・十 l ト く⊃bOb ーー⊂〉 く⊃ 口 q ⊂〉 （訊 くJl ■・一 くっ く＝〉 ∼㌣ l・一 こJI ￠〉 会：S く＞ 茎 くD く〇l ∽ ● ● h⊃ く0 、J 十 ＋ ヰ （＝〉 ⊂〉 （⊃ ♭ （Jlひ【の A くD こ7l り 一丁 ⊂〉 Jゝ 〇1亡ゆ q −・▲ く⊂〉 Cけ くロ ーJ 1l b−b く⊃⊂＞ ・AUT ♭ 0〇 持 lO く⊃ ⊂β ′− 一丁 ￠〉 （カ 料＝＝．〇∽十視＝．〇罰−al∂り脇付 r︼協闇慣肯庖思慮 −．害エ＝・。。−撃00 ︵三四五︶ 三三︵二︶ 中央党限差法に依って上表より算出すれぼ左の如L。 NひM∽−芯！の虻N可ひ○≠＋餌00000uO ︵ヱ 鮎トd ㌃b＝苛・。ひ一芸㌶恥 ㌃＝・∽柏慧⋮ 8‖‖PbO∽×︵冨諾−￠十．誓ご器こ︶十︷．ひ×︵笠諾lり＋．芸慧︼︶沌J諾Nご︶ 秀一軋ご∵︼ 執れも眞値、〇五山六二七〇七に近きも阿武に依る方法最も近きを知るべし。
註︵こ．〓●Chaユ○コい↓hmOこe三athmヨat叫que des Opera什訂コF5．aコCim蒜s●
註︵二︶ H■B一〇竃i”＜ersicheruコ登玉atheヨatik● 註︵三︶ 原口売平氏著 高等利息算
